Sem 12 - Fund Mecânica Poli 2022 2 Cap 11 26-03-23

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Fundamentos da 
Mecânica 
Semana 12 
Semestre 2022.2 
Cap. 11 – Rolagem, torque e momento angular 
 
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Prof. MsC. Eduardo César 
CAP. 11 – ROLAGEM, TORQUE E MOMENTO ANGULAR 
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OBJETIVOS 
•Saber que uma rotação suave pode ser considerada uma combinação de translação 
pura e rotação pura; 
•Conhecer a relação entre a velocidade do centro de massa e a velocidade angular 
de um objeto que está rolando suavemente; 
•Calcular a energia cinética de um objeto em rolagem suave como a soma da energia 
cinética de translação do centro de massa com a energia cinética de rotação em 
torno do centro de massa; 
•Conhecer a relação entre o trabalho realizado sobre um objeto em rolagem suave e 
a variação da energia cinética do objeto; 
•Usar a lei de conservação da energia mecânica para relacionar a energia inicial de 
um objeto em rolagem suave à energia do mesmo objeto em um instante posterior; 
 
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OBJETIVOS 
•Desenhar o diagrama de corpo livre de um objeto em rolagem suave que está se 
movendo em uma superfície horizontal ou inclinada sob a ação de uma ou mais 
forças; 
•Conhecer a relação entre a aceleração do centro de massa e a aceleração angular 
de um objeto em rolagem suave; 
• Conhecer a relação entre a aceleração do objeto, o momento de inércia do objeto 
e o ângulo da rampa, no caso de um objeto em rolagem suave que está se movendo 
em uma rampa; 
•Desenhar o diagrama de corpo livre de um ioiô em movimento. Saber que o ioiô é 
um objeto que rola suavemente para cima e para baixo em uma rampa com uma 
inclinação de 90°; 
•Conhecer a relação entre a aceleração e o momento de inércia de um ioiô; 
•Calcular a tração da corda que sustenta um ioiô em movimento; 
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OBJETIVOS 
•Saber que o torque é uma grandeza vetorial; 
•Saber que o ponto em relação ao qual o torque é calculado deve sempre ser 
especificado; 
•Determinar o torque produzido por uma força sobre uma partícula calculando o 
produto vetorial do vetor posição da partícula pelo vetor que representa a força; 
• Usar a regra da mão direita para determinar a orientação de um torque; 
•Saber que o momento angular é uma grandeza vetorial; 
•Saber que o ponto fixo em relação ao qual o momento angular é calculado deve 
sempre ser especificado; 
•Determinar o momento angular de uma partícula calculando o produto vetorial do 
vetor posição da partícula pelo vetor que representa o momento; 
•Usar a regra da mão direita para determinar a orientação de um momento angular; 
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OBJETIVOS 
•Usar a segunda lei de Newton para rotações para relacionar o torque que age sobre 
uma partícula à variação do momento angular da partícula; 
•Usar a segunda lei de Newton para rotações para relacionar o torque que age sobre 
um sistema de partículas à variação do momento angular do sistema; 
•Conhecer a relação entre o momento angular de um corpo rígido em relação a um 
eixo fixo, o momento de inércia do corpo e a velocidade angular do corpo em 
relação ao eixo; 
•Calcular o momento angular resultante de um sistema de dois corpos rígidos que 
giram em torno do mesmo eixo; 
•Saber que a ação da força gravitacional sobre um giroscópio em rotação faz com 
que o vetor momento angular (e o próprio giroscópio) gire em torno do eixo vertical, 
um movimento conhecido como precessão; 
•Calcular a taxa de precessão de um giroscópio; 
•Saber que a taxa de precessão de um giroscópio não depende 
 da massa do giroscópio. 
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11.1 CORPOS EM ROLAGEM 
• É o movimento que combina movimentos de translação e rotação; 
• Estudado especialmente no caso das rodas; 
• Tem a possibilidade e haver a rolagem apena com rotação pura (Ex: rodar globo 
terrestre). 
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11.1 CORPOS EM ROLAGEM 
• Se fixarmos um ponto P na figura abaixo, no lado direito, e iniciar o movimento no 
sentido horário, iremos ter o seguinte deslocamento, no lado esquerdo: 



R
dt
Rd
dt
ds
v
Rs
CM 

• Rolagem suave é o movimento de estruturas circulares na qual não possuem 
escorregamento e nem quicam, na superfície a qual estão se deslocando; 
• A equação da rolagem suave é descrita acima, como o produto do raio, em metros 
pela velocidade angular, em rad/s. 
 
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11.1 CORPOS EM ROLAGEM 
• A rolagem, no caso abaixo, é uma composição de movimentos de rotação pura e de 
translação pura (caso c); 
• Para melhor compreensão, imagine uma roda de bicicleta, sem apoio no chão e 
apenas girando em torno do seu eixo (caso a); 
• No movimento de translação pura, considere apenas o deslocamento do centro de 
massa para o lado direito (caso b); 
• Na composição, a velocidade na parte superior é o dobro do centro de massa e 
nula na parte inferior. 
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11.1 CORPOS EM ROLAGEM 
• A rolagem, no caso abaixo, como movimentos de rotação pura deve ser 
considerado como o ponto abaixo girando com velocidade angular ω, perpendicular 
ao plano da tela 
• No cálculo de velocidade escalar, no ponto superior T, dado que o movimento é 
apenas de rotação, podemos considerar que a distância do ponto inferior ao ponto T 
é 2R, logo: 
0)0(
2)2(




INF
SUP
v
RRv
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11.1 CORPOS EM ROLAGEM 
• Para calcular a energia cinética de rolagem K, no ponto P, é necessário utilizar os 
valores calculados para grandezas angulares e sobre o momento de inércia, o 
teorema dos eixos paralelos, conforme abaixo: 
CMCMCM
CMCMP
P
MvIMRIK
MRIMhII
IK
2
12
2
122
2
12
2
1
22
2
2
1





• Na energia cinética, o primeiro termo relaciona-se com o movimento de rotação 
pura e o segundo termo com o de translação pura. 
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11.1 CORPOS EM ROLAGEM 
• Em relação às forças atuantes na rolagem , podemos citar o atrito estático, o atrito 
dinâmico e num plano inclinado, além das citadas, as forças gravitacionais e de 
reação normal; 
• Como o objeto de estudo são corpos em rolagem suave, não será tratado o atrito 
dinâmico, na qual existem quando há o escorregamento; 
• Sobre o atrito estático, considerando a aceleração angular α, podemos relacionar: 



R
dt
Rd
dt
dv
a
Rv
CM
CM
CM


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11.1 CORPOS EM ROLAGEM 
• Num plano inclinado, para calcular a aCM, devemos utilizar a 2ª Lei de Newton, 
tanto para o movimento translacional, como ao rotacional. 
• No momento translacional, devemos considerar que a corpo redondo seja 
homogêneo, possua raio R, se desloque para a esquerda, que o eixo do X é para 
direita e na direção da inclinação θ, e a força de reação normal e a força peso 
estejam aplicadasno centro de massa. A força de atrito está no ponto P opondo-se 
ao movimento. 
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11.1 CORPOS EM ROLAGEM 
• Num plano inclinado, para calcular a aCM, devemos utilizar a 2ª Lei de Newton, 
tanto para o movimento translacional, como ao rotacional. 
• No momento translacional, devemos considerar que a corpo redondo seja 
homogêneo, possua raio R, se desloque para a esquerda, que o eixo do X é para 
direita e na direção da inclinação θ, e a força de reação normal e a força peso 
estejam aplicadas no centro de massa. A força de atrito está no ponto P opondo-se 
ao movimento. 
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• Utilizando a 2ª lei de Newton, para movimentos translacionais, a componente x, da 
força gravitacional e a força de atrito estático, numa rolagem suave, temos: 
)(, IMaMgsenf xCMs  
• Utilizando a 2ª lei de Newton, para movimentos rotacionais, sabendo que as 
componentes de força gravitacional e normal, não produzem torque, devido serem 
forças radiais e que apenas a força de atrito, com braço de alavanca R, possui torque, 
além disso o momento de inércia da roda girando está em seu centro de massa, 
temos: 
)(:)()(
)(),(
2
,,
,
,
IV
R
aI
f
R
a
IRfIIIeII
III
R
a
RaIIIRfI
xCMCM
s
xCM
CMs
xCM
xCMCMsRES





 


 
 
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• Substituindo o atrito, temos: 
2
,2,
,2
,
,
1
:),()(
)(
MR
I
gsen
aMgsen
R
I
Ma
MaMgsen
R
aI
temosIemIV
IMaMgsenf
CM
xCM
CM
xCM
xCM
xCMCM
xCMs















 
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• Num ioiô, de raio R, temos várias considerações sobre as forças envolvidas: 
1) Ao descer, h, perde energia potencial mgh, ganha energia cinética translacional 
M e ganha energia cinética rotacional 0,5ICMω²; 
2) A corda está laçada no eixo do ioiô e quando é totalmente esticada, a força 
tração da corda, sentido baixo/cima, faz que inverta o sentido, apenas com 
energia cinética rotacional; 
3) Para enrolá-lo todo, é necessário puxar a corda para cima, a corda começa a ser 
enrolada no eixo até R0, ganhando energia potencial gravitacional; 
4) Para aumentar a energia cinética rotacional, na extremidade inferior da corda, 
deve-se arremessar o ioiô para baixo para descer corda com a velocidade vCM e 
velocidade angular ω, ao invés de rolar para baixo a partir do repouso; 
5) Considerar espessura desprezível da corda. 
 
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2
CMv
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• Para cálculo da aceleração do centro de massa do ioiô, podemos 
utilizar a equação do atrito cinético anterior, fazendo algumas 
considerações: 
1) O plano inclinado é perpendicular à superfície de referência, 
logo θ=90°; 
2) Ao invés de rolar na superfície externa de raio R, rola em 
torno de R0; 
3) Ao invés de ser freado pelo atrito fs, é freado pela tração da 
corda. 
Das as considerações acima, temos: 
 
11.1 CORPOS EM ROLAGEM 
2
0
22
,
11
90
1
MR
I
g
MR
I
gsen
MR
I
gsen
a
CMCMCM
xCM









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11.2 O TORQUE COMO VETOR 
• Ampliando a definição de torque, dizemos que uma força F aplicada na partícula 
em A, numa direção de r, temos que o torque é o produto vetorial entre os vetores r 
e f, nessa ordem; 
• A direção e sentido do torque devem obedecer a regra da mão direita (+k); 
• Na regra da mão direita, os vetores são unidos numa origem e coloca-se a palma da 
mão na direção de um vetor e desloca-se ao outro. O polegar indicará a direção do 
torque. (Lembrar da rotação horária e anti-horária) 
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11.2 O TORQUE COMO VETOR 
• A direção e sentido são determinados pela regra da mão direita, já a intensidade, 
pode ser calculada como: 
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11.3 MOMENTO ANGULAR DE UMA PARTÍCULA 
• É a quantidade de movimento associadas a movimentos rotacionais; 
• O momento linear p está para movimentos translacionais, assim como o momento 
angular ℓ está para movimentos rotacionais. 
• É uma grandeza vetorial que possui sentido e direção, de acordo com a regra da 
mão direita; 
• Para cálculo do vetor ℓ, temos que: 
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11.4 2ª LEI DE NEWTON PARA ROTAÇÕES 
• Vamos relacionar a 2ª Lei de Newton aplicada a rotações e confirmar a relação 
direta entre as variáveis lineares e angulares, conforme abaixo: 
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11.5 CONSERVAÇÃO DE MOMENTO ANGULAR 
• Para demonstrar que há conservação de momento angular, quando não são 
aplicadas forças externas, ou seja, nenhum torque externo age no sistema, temos: 
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11.6 MOMENTO ANGULAR DE UM SISTEMA DE 
PARTÍCULAS 
• O momento angular de um sistema de partículas é a soma de todos os momentos 
angulares. Sendo assim, temos: 
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LISTA DE EXERCÍCIOS HALLIDAY (PGS. 321 A 327) 
 
• Rolagem 02; 
• Forças e energia cinética 07 e 15; 
• Ioiô 24; 
• Momento angular 29; 
• 2ª LN para rotações 32; 
• Momento angular de um corpo rígido 36; 
• Conservação de momento angular 49; 
• Processão de um giroscópio 68; 
• Problemas adicionais: 81. 
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REFERÊNCIAS 
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BIBLIOGRAFIA 
BÁSICA: 
• HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de Física, Vols. 1 e 2. 10ª ed. 
Rio de Janeiro: LTC, 2016. 
•TIPLER, P. A.; MOSCA, G. Física para Cientistas e Engenheiros, Vol. 1. 6ª ed. LTC, 
2009. 
•KELLER, F. J.; GETTYS, E.; SKOVE, M. Física, Vol. 1. São Paulo: Makron Books, 1999. 
 
COMPLEMENTAR: 
• SERWAY, R.Física, Vols. 1 e 2. 3ª ed. São Paulo: THOMSON, 2007. 
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OBRIGADO ! 
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