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Autores: Profa. Valéria de Carvalho
Prof. Éder Carlos Moreira
Profa. Isabel Cristina de Oliveira Navarro Espinosa
Colaboradoras: Profa. Ana Carolina Bueno Borges
Profa. Marisa Rezende Bernardes
Cálculo Diferencial e
Integral de Várias Variáveis
Professores conteudistas: Valéria de Carvalho / Éder Carlos Moreira /
Isabel Cristina de Oliveira Navarro Espinosa
© Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta obra pode ser reproduzida ou transmitida por qualquer forma e/ou
quaisquer meios (eletrônico, incluindo fotocópia e gravação) ou arquivada em qualquer sistema ou banco de dados sem
permissão escrita da Universidade Paulista.
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
C331c Carvalho, Valéria de.
Cálculo diferencial e integral de várias variáveis / Valéria de
Carvalho; Éder Carlos Moreira; Isabel Cristina de Oliveira Navarro
Espinosa. - São Paulo: Editora Sol, 2022.
256 p. il.
Nota: este volume está publicado nos Cadernos de Estudos e
Pesquisas da UNIP, Série Didática, ISSN 1517-9230.
1. Funções. 2. Funções derivadas parciais. 3. Funções integrais
integrais duplas. I. Título.
CDU 517.2/.3
U515.53 – 22
Valéria de Carvalho
Possui graduação em Ciências, com habilitação em
Matemática pela Universidade de Bauru (1987), atual
Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho. É mestre
em Educação Matemática pela Universidade Estadual de
Campinas (1999) e doutora em Educação Matemática também
pela Universidade Estadual de Campinas (2007). Foi professora
colaboradora do Laboratório de ensino de Matemática da
Universidade Estadual de Campinas e atualmente leciona
na Universidade Paulista, sendo também coordenadora do
curso de Matemática na modalidade EaD. Possui experiência
nas áreas de Educação, com ênfase em Ensino e Tecnologias,
Educação Matemática e Educação Matemática Crítica, atuando
principalmente nos seguintes temas: Educação Matemática;
Matemática Crítica; Educação Matemática; Tecnologias de
Informação e Comunicação; Sociedade e Meio Ambiente;
Educação Estatística e Tecnologias, Estatística e Cálculo.
Éder Carlos Moreira
É engenheiro geólogo pela Universidade Federal de Ouro
Preto (UFOP), mestre em Engenharia Civil pela Universidade
de São Paulo (USP) e doutor em Metalogênese e Geoquímica
pela Universidade Federal do Rio Grande do Sul.
Teve como característica comum, em todos os seus trabalhos
de doutorado, mestrado e graduação, a modelagem matemática
de problemas relacionados à Engenharia.
Atua no Ensino Superior desde 1995. No presente, é
professor da Universidade Paulista (UNIP) e coordenador do Ciclo
Básico de Engenharia da UNIP Campinas. Leciona as disciplinas
Tópicos de Matemática, Cálculo Diferencial e Integral, Cálculo de
Funções de Várias Variáveis e Equações Diferenciais.
Isabel Cristina de Oliveira Navarro Espinosa
Mestra em Educação Matemática pela Pontifícia Universidade
Católica (PUC–SP), graduada em Matemática pela Faculdade
Oswaldo Cruz, leciona no ensino superior desde 1981.
Foi professora nos cursos de licenciatura em Matemática
e de pós-graduação lato sensu em Educação Matemática das
Faculdades Oswaldo Cruz.
Atualmente dá aulas na Universidade Paulista (UNIP) nas
modalidades presencial e EaD (Educação a Distância).
É coautora dos seguintes livros: Geometria Analítica para
Computação; Álgebra Linear para Computação; Matemática:
complementos e aplicações nas áreas de Ciências Contábeis,
Administração e Economia; Cálculo Diferencial de uma Variável;
Cálculo Integral de uma Variável.
Prof. Dr. João Carlos Di Genio
Reitor
Profa. Sandra Miessa
Reitora em Exercício
Profa. Dra. Marilia Ancona Lopez
Vice-Reitora de Graduação
Profa. Dra. Marina Ancona Lopez Soligo
Vice-Reitora de Pós-Graduação e Pesquisa
Profa. Dra. Claudia Meucci Andreatini
Vice-Reitora de Administração
Prof. Dr. Paschoal Laercio Armonia
Vice-Reitor de Extensão
Prof. Fábio Romeu de Carvalho
Vice-Reitor de Planejamento e Finanças
Profa. Melânia Dalla Torre
Vice-Reitora de Unidades do Interior
Unip Interativa
Profa. Elisabete Brihy
Prof. Marcelo Vannini
Prof. Dr. Luiz Felipe Scabar
Prof. Ivan Daliberto Frugoli
Material Didático
Comissão editorial:
Profa. Dra. Christiane Mazur Doi
Profa. Dra. Angélica L. Carlini
Profa. Dra. Ronilda Ribeiro
Apoio:
Profa. Cláudia Regina Baptista
Profa. Deise Alcantara Carreiro
Projeto gráfico:
Prof. Alexandre Ponzetto
Revisão:
Andréia Andrade
Michel Kahan
Sumário
Cálculo Diferencial e Integral de Várias Variáveis
APRESENTAÇÃO ......................................................................................................................................................7
INTRODUÇÃO ...........................................................................................................................................................8
Unidade I
1 FUNÇÕES DE DUAS OU MAIS VÁRIAS VARIÁVEIS E GRÁFICOS DE FUNÇÕES DE DUAS
VARIÁVEIS .................................................................................................................................................................9
1.1 Conceituando funções de várias variáveis ....................................................................................9
1.2 Conceituando e operando com funções de duas variáveis ................................................ 11
1.3 Domínio ou o campo de existência de uma função .............................................................. 17
1.4 Representação gráfica de uma função de duas variáveis e curvas de nível ................ 31
1.5 Aprofundando os estudos de funções de duas variáveis e das curvas
de níveis ........................................................................................................................................................... 40
1.6 Visualizando gráficos construídos no Winplot ........................................................................ 48
1.7 Voltando às curvas de nível ............................................................................................................. 51
1.8 Limite e continuidade de funções de duas variáveis ............................................................. 53
2 DERIVADAS PARCIAIS .................................................................................................................................... 61
2.1 Derivadas parciais ................................................................................................................................ 63
2.2 Cálculo das derivadas parciais ....................................................................................................... 64
2.3 Interpretação geométrica da derivada parcial ......................................................................... 64
2.4 A técnica das derivadas parciais .................................................................................................... 65
2.5 Generalização de derivadas parciais para funções de n variáveis .................................... 73
2.6 Regra da cadeia ..................................................................................................................................... 73
2.7 Diferencial total de uma função de duas ou mais variáveis .............................................. 76
3 APLICAÇÕES DE DERIVADAS PARCIAIS .................................................................................................. 87
3.1 Primeiros exemplos de aplicações ................................................................................................ 87
3.2 Plano tangente ..................................................................................................................................... 90
3.3 Derivadas de funções compostas .................................................................................................. 92
3.3.1 Primeira regra da cadeia ...................................................................................................................... 92
3.3.2(x,y) se aproxima da origem, na região em vermelho,
na tabela, os valores numéricos da função g(x,y) se aproximando de valores diferentes quando (x,y)
tendem a (0,0), os valores para os quais g(x,y) tendem são -1, 0 e 1. A essa altura, você já sabe que, para
o limite existir quando (x, y) tende a um ponto qualquer, independentemente do caminho escolhido, o
resultado da função deve tender sempre a um mesmo valor.
Vamos ampliar a imagem para melhor visualizar a argumentação, aproximando nosso olhar do
ponto (0,0).
Tabela 5 – Aproximação numérica do limite de g(x,y) quando tendem a (0,0)
0,00 0,38 0,80 1,00 0,80 0,38 0,00
-0,38 0,00 0,60 1,00 0,60 0,00 -0,38
-0,80 -0,60 0,00 1,00 0,00 -0,60 -0,80
1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00
-0,80 -0,60 0,00 1,00 0,00 -0,60 -0,80
-0,38 0,00 0,60 1,00 0,60 0,00 -0,38
0,00 0,38 0,80 1,00 0,80 0,38 0,00
C8 C7
C4 C2
C5
C6
C3C1 0,00 0,38 0,80 1,00 0,80 0,38 0,00
-0,38 0,00 0,60 1,00 0,60 0,00 -0,38
-0,80 -0,60 0,00 1,00 0,00 -0,60 -0,80
1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00
-0,80 -0,60 0,00 1,00 0,00 -0,60 -0,80
-0,38 0,00 0,60 1,00 0,60 0,00 -0,38
0,00 0,38 0,80 1,00 0,80 0,38 0,00
Pela tabela anterior, podemos perceber que, se caminharmos por C1, C2, C3 e C4, temos g(x,y)
resultando 0 (zero); porém, se o percurso que escolhemos para caminhar com f(x,y) no sentido do
ponto (0,0) for C5 e C6 g(x,y), resultando a 1 (um), se caminharmos por C7 e C8 g(x,y) é -1 (menos
um). Se o limite existe, é único; isto é, o resultado de g(x,y) está dependendo do caminho; logo,
o limite não existe. Se acharmos um único caminho com um valor diferente para a função, isso
garante que o limite não exista.
Reforçando: para existir o limite de lim
( , ) ( , )x y
x y
x y→
−
+0 0
2 2
2 2
2 2
2 2
, o resultado deveria ser único, não
importando o caminho pelo qual se aproxime da origem.
A seguir, duas posições diferentes de observadores para a visualização do gráfico da função
g x y
x y
x y
( , ) = −
+
2 2
2 2
2 2
2 2 . Você percebe a descontinuidade?
61
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE VÁRIAS VARIÁVEIS
z z
y
y
x
x
Figura 68
Provavelmente, não! Mas acabamos de mostrar numericamente que a função é descontínua. Como
você explica essa “aparente” contradição para a função g x y
x y
x y
( , ) = −
+
2 2
2 2
2 2
2 2 ?
O fato é que temos que ter consciência que construir um gráfico não consiste em montar uma
tabela, marcar os pontos no sistema cartesiano e unir esses pontos. Só podemos uni-los quando
sabemos qual é o padrão da curva e se ela é contínua ou não. Na representação anterior, nosso pacote
computacional não nos apontou visualmente a descontinuidade. Por isso é importante termos bem
claros os conceitos de domínio, limite e continuidade de uma função. Os pacotes computacionais não
são perfeitos. Geralmente nos auxiliam na boa visualização geral da curva ou da superfície. Você precisa
de conhecimentos sólidos e ser crítico sempre!
Saiba mais
Apresentamos, na unidade 5 deste livro-texto, outras ilustrações e
argumentações sobre representação gráfica de curvas e/ou superfícies
descontínuas. Bom estudo e desperte seu senso crítico.
2 DERIVADAS PARCIAIS
As aplicações das funções de várias variáveis procuram determinar como variações em uma das
variáveis afetam os valores das funções. Por exemplo, um economista que deseja determinar o efeito de
um aumento de impostos na economia pode fazer seus cálculos utilizando diferentes taxas de imposto,
mantendo constantes outras variáveis, como o desemprego.
Podemos adotar o mesmo raciocínio para determinar a taxa de variação de uma função f em relação
a uma de suas variáveis independentes, isto é, encontrar derivada de f em relação a uma das variáveis
independentes, mantendo constantes as outras variáveis. Esse processo chama-se diferenciação
62
Unidade I
parcial, e cada derivada é uma derivada parcial. Uma função de várias variáveis tem o mesmo número
de derivadas parciais quantas suas variáveis independentes.
Falando um pouco mais conceitualmente, sabe-se que três padrões de problemas estão relacionados
com derivadas:
• problemas de taxa de variação de uma função;
• problemas envolvendo coeficiente angular de reta tangente; e
• problemas envolvendo máximos e mínimos (o tema de estudo da Unidade III).
Lembrete
Em cálculo de uma variável, aprendemos que:
Se y = f(x) é uma função a uma variável, a taxa de variação instantânea
de y em relação a x, quando x = x0, é o coeficiente angular (a) da reta
tangente ao gráfico y = f(x) no ponto P(x0,y0), onde y0 = f(x0).
lim lim
( ) ( )
’( ) ( )
∆ ∆
∆
∆
∆
∆x x
x
y
x
f x x f x
x
f x a
→ →
= + − = =
0 0
0 0
0 0
Esse limite recebe o nome de derivada da função de uma variável.
Nesta unidade, uma função de duas variáveis independentes será representada por z = f(x,y), onde
x e y são duas variáveis independentes, e P (x0,y0,z0) é um ponto sobre o gráfico de f, onde (x0,y0) é
um ponto do domínio da função e z0 = f (x0,y0). Desejaremos resolver os problemas relacionados com
derivadas: taxa de variação da função quando x = x0 e y = y0; coeficiente angular da reta tangente ao
gráfico da função no ponto P e determinação de valores máximos e mínimos de uma função de duas
variáveis.
Considerando f uma função a duas variáveis, surgem as questões:
• Como calcular taxa de variação da função em relação a qual direção de variação do ponto do
domínio (x0,y0)?
• Há infinitas retas em ℜ3 que tangenciam a superfície no ponto P. Qual a direção da reta que se
deseja calcular o coeficiente angular?
Inicialmente vamos estudar as taxas de variação da função apenas em relação às variáveis
independentes x e y. Essas taxas recebem a terminologia de derivadas parciais.
63
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE VÁRIAS VARIÁVEIS
Notações:
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
f
y
z
y
f f D f D f
f
x
z
x
f f D f D f
x x
y y
, , , , ( ), ( )
, , , , ( ), ( )
1 1
2 2
O gráfico de uma função de duas variáveis z = f(x,y) é, em geral, uma superfície em ℜ3.
2.1 Derivadas parciais
Consideremos um ponto (x0,y0) do domínio de f; se mantivermos y constante no valor y0 e variarmos
x do valor x0 para o valor x0 + ∆x, f dependerá apenas de x.
Seja:
∆ ∆f f x x y f x y= +( ) − ( )0 0 0 0, , .
À razão: ∆
∆
∆
∆
f
x
f x x y f x y
x
=
+( ) − ( )0 0 0 0, , ,
chamamos de taxa média de variação de f em relação a x.
Observando que:
a)
∆
∆
f
x
depende do ponto de partida (x0,y0);
b)
∆
∆
f
x
depende da variação ∆x.
Ao limite (se existir e for um número real) de ∆
∆
f
x
, quando ∆x tende a zero, denominamos derivada
parcial de f no ponto (x0,y0), em relação a x. Indicamos essa derivada parcial por um dos símbolos:
∂
∂
( )f
x
x y0 0, ou f x yx 0 0,( ) .
Assim,
∂
∂
( ) = ( ) =
→
f
x
x y f x y
f
xx
x
0 0 0 0
0
, , lim
∆
∆
∆
64
Unidade I
Analogamente,
∆
∆
∆
∆
∆
∆
f
y
f x y y f x y
y
e
f
y
x y f x yy
y
=
+( ) − ( )
∂
∂
( ) = ( ) =
→
0 0 0 0
0 0 0 0
0
,
, ,
,
lim
ff
y∆
Observação
A fim de enfatizar que apenas x pode variar, ou seja, que y deve ser
mantido constante quando a derivada é calculada, é usual substituir o símbolo
d
dx
por
∂
∂x
(o símbolo ∂ é chamado de d rond e pronunciado “del”).
2.2 Cálculo das derivadas parciais
As derivadas parciais podem ser calculadas pelo uso das mesmas técnicas que eram válidas para
funções ordinárias.
Não é necessária nenhuma nova regra para calcular derivadas parciais. Para calcular
∂
∂
f
x
, basta
derivar f em relação à variável x, tratando a variável y como constante; para calcular
∂
∂
f
y
, deriva-se f em
relação à variável y, tratando a variável x como constante.
2.3 Interpretação geométrica da derivada parcial
Para y0 fixo (isso significa que geometricamente temos um plano em R3) => que é dado um plano
para y = y0; logo, a derivada em x pode ser interpretada à inclinação da reta tangente à superfície
z = f(x,y), com o plano y = y0 no ponto (x0,y0).
Simbolicamente, temos: tg f x y
f
x
x yxα = = ∂
∂
( , ) ( , )0 0 0 065
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE VÁRIAS VARIÁVEIS
z
α
β
y0
x0
y
x
Figura 69
Analogamente, para x0 fixo (isso significa que geometricamente temos um plano em R3) => que é
dado um plano para x = x0; logo, a derivada em x pode ser interpretada a inclinação da reta tangente à
superfície z = f(x,y), com o plano x = x0, no ponto (x0,y0).
Simbolicamente, temos: tg f x y
f
y
x yyβ = = ∂
∂
( , ) ( , )0 0 0 0
Em outras palavras: nas funções de uma variável, a derivada mede a inclinação da reta tangente
à curva no ponto dado. Nas funções do tipo f(x,y) de duas variáveis, a derivada em relação a x mede a
inclinação da reta tangente à superfície, no ponto dado (x0,y0,z0) e numa seção paralela ao eixo x, com
y constante, e numa seção paralela a y e com x constante.
2.4 A técnica das derivadas parciais
Operações de derivação – definindo f e g como sendo funções de x e c, n e a como constantes, são
válidas as seguintes operações:
dc
dx
dx
dx
d f g
dx
df
dx
dg
dx
d f g
dx
f
dg
dx
g
df
dx
ou
d u v
=
=
+( ) = +
⋅( ) = ⋅ +
⋅(
0
1
)) = +
=
=
−
−
u v v u
d
dx
f nf
df
dx
d
dx
f
g
g
df
dx
f
dg
dx
n n
’ ’
1
= −
g
ou
d
u
v
u v v u
v
2
2
’ ’
66
Unidade I
dc
dx
dx
dx
d f g
dx
df
dx
dg
dx
d f g
dx
f
dg
dx
g
df
dx
ou
d u v
=
=
+( ) = +
⋅( ) = ⋅ +
⋅(
0
1
)) = +
=
=
−
−
u v v u
d
dx
f nf
df
dx
d
dx
f
g
g
df
dx
f
dg
dx
n n
’ ’
1
= −
g
ou
d
u
v
u v v u
v
2
2
’ ’
Lembrando-se que f
f
x
yx = ∂
∂
→ = constante e f
f
y
xy = ∂
∂
→ = constante
Exemplo 1
Calcular as derivadas parciais f e f x y x yx ,( ) = +2 2
f
f
x
x y
x
x f
f
y
x y
y
yx y= ∂
∂
=
∂ +( )
∂
= = ∂
∂
=
∂ +( )
∂
=
2 2 2 2
2 2
Lembre-se de que, quando está derivando em relação a x, y é constante e derivada de constante é
zero e, quando está derivando em relação a y, x é constante e derivada de constante é zero.
Exemplo 2
Calcular as derivadas parciais f e f de f x y x yx y ,( ) = 3 3 2
f
f
x
x y
xx = ∂
∂
=
∂( )
∂
3 3 2
Antes de derivar a função em relação a x,
separamos 3 e y2 porque são constantes.
∂( )
∂
=
∂( )
∂
= =
3
3 3 3 9
3 2
2
3
2 2 2 2
x y
x
y
x
x
y x x y
Depois de deixar as constantes separadas,
deriva-se a função em relação a x e, em
seguida, agrupa-se o resultado.
f
f
y
x y
yy = ∂
∂
=
∂( )
∂
3 3 2
Ao derivar a função em relação a y,
separamos 3 e x3 porque são constantes.
f
f
y
x
y
y
x y x yy = ∂
∂
=
∂( )
∂
= =3 3 2 63
2
3 3
Depois de deixar as constantes separadas,
deriva-se a função em relação a y e, em
seguida, agrupa-se o resultado.
67
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE VÁRIAS VARIÁVEIS
Exemplo 3
Calcule as derivadas parciais f e f dex y f x y x xy
y
x
,( ) = + +2 22
2
3
Para simplificar os cálculos, vamos escrever a função da seguinte forma:
f x y x xy yx,( ) = + + −2 2 12
2
3
Para calcular fx, derivamos a função termo a termo, considerando x como variável e y como
constante.
f x y
f
x
x
x
y
x
x
y
x y
xx ,( ) = ∂
∂
=
∂( )
∂
+
∂( )
∂
+
∂( )
∂
−2
2
1
2
2
3
Antes de derivar a função, isolamos as
constantes, termo a termo.
f x y x y y xx ,( ) = + ( ) + −( )−2 2 1
2
3
12 2 A derivação é em função da variável x, termo
a termo.
f x y x y
y
x
x ,( ) = + −2 2
2
3
2
2
Após a derivação, agrupa-se o resultado,
termo a termo.
Para calcular fy, derivamos a função termo a termo, considerando y como variável e x como constante.
Mas, antes, vamos escrever a função f x y x xy
y
x
,( ) = + +2 22
2
3
como f(x, y) = + + −x y xy x y2 0 2 12
2
3
, pois
y0 = 1, e não vai afetar a função.
f x y
f
y
x
y
y
x
y
y
x
y
yy ,( ) = ∂
∂
=
∂( )
∂
+
∂( )
∂
+
∂( )
∂
−2
0 2
12
2
3
Antes de derivar a função, isolamos
as constantes, termo a termo.
f x y x x y xy ,( ) = ⋅ + ( ) + ⋅−2 0 2 2
2
3
11 A derivação é em função da variável
y, termo a termo.
f x y xy
xy ,( ) = + +0 4
2
3
Após a derivação, agrupa-se o
resultado, termo a termo.
f x y xy
xy ,( ) = +4
2
3
Observação
Pelos exemplos, você pode perceber que as derivadas parciais podem
ser calculadas pelo uso das mesmas técnicas válidas para as funções de
uma variável, exceto que todas as variáveis independentes, que não
aquela em relação à qual efetuamos a derivação parcial, são tomadas
temporariamente como constantes.
68
Unidade I
Exemplo de aplicaçãoExemplo de aplicação
1) Derivada de uma constante é zero:
a f x y f
f
x
e f
f
y
b g x y z rws g
g
x
x y
x
) ( , )
) ( , , ) ,
= → = ∂
∂
= = ∂
∂
=
= = → = ∂
∂
=
2 0 0
0
2π
gg
g
y
e g
g
zy z= ∂
∂
= = ∂
∂
=0 0
2) Derivada do produto (ou divisão) de uma constante por uma função é a constante multiplicada
(ou dividida) pela derivada da função:
a) f x y x( , ) = π 2
Resolução:
f x y x( , ) = π 2
fx = ∂
∂
= ∂
∂
= ∂
∂
=
f
x x
x
x
x
( )
( )
.
π
π
π
2
2
2 1
fx = π2
fy = ∂
∂
= ∂
∂
=
f
y y
x
x
( )
( ) *
π
π
2
2 0
fy = 0
Desse modo, dada f x y x( , ) = π 2 , temos f x y e f x yx y( , ) ( , )= =π 2 0 .
b f x y z x y z) ( , , ) = 2
3
2
f x y x y z( , ) = 2
3
2 Função a derivar.
fx = ∂
∂
= ∂
∂
f
x x
x y z( )
2
3
2 Expressão da derivada a
derivar.
69
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE VÁRIAS VARIÁVEIS
= ∂
∂
2
3
2y z
x
x( )
Isolando as constantes
para derivar em x.
= 2
3
2y z x* ( )
Derivada na variável x.
fx = 4
3
xy z
Resultado da derivada na
variável x.
fy = ∂
∂
= ∂
∂
f
y y
x y z( )
2
3
2 Expressão da derivada a
derivar.
= ∂
∂
2
3
2x z
x
y( )
Isolando as constantes
para derivar em y.
= ∗2
3
12x x
Derivada na variável y.
fy = 2
3
2x z
Resultado da derivada na
variável y.
fz = ∂
∂
= ∂
∂
f
z z
x y z( )
2
3
2 Expressão da derivada a
derivar.
= ∂
∂
2
3
2x y
z
z( )
Isolando as constantes
para derivar em z.
= ∂
∂
2
3
2
1
2x y
z
z( )
Usando regra da
potenciação a amn
m
n=
=
−2
3
1
2
2
1
2x y z( )
Função derivada.
=
2
6
12
1
2
x y
z
Usando regra da
potenciação a
a
m
m
− = 1
fz = 2
6
2x y
z
Expressão final da
derivada.
Desse modo, dada f x y x y z( , ) = 2
3
2 , temos f x y z xy zx( , , ) = 4
3
, f x y z x zy( , , ) = 2
3
2 e
f x y z
x y
zz( , , ) = 2
6
2
f x y z
x y
zz( , , ) = 2
6
2
.
70
Unidade I
3) Se f x y x x y y( , ) = + −3 2 3 22 2 , encontre f e fx y( , ) ( , )2 1 2 1 .
Resolução:
Para fazermos a derivada aplicada em um ponto, devemos primeiramente derivar genericamente a
função, para depois de feita a derivada substituirmos os valores de (x0,y0) na função já derivada. Ou seja,
em nosso exemplo, substituiremos (x,y) por (2,1) nas derivadas parciais já determinadas.
Determinando f e fx y( , ) ( , )2 1 2 1
f x y x x y y( , ) = + −3 2 3 22 2 Função a derivar.
fx = +
= +
3 2 2
3 4
2 3
2 3
x xy
x xy
. Primeiro, precisamos derivar a função na
variável x, para depois substituir o ponto
determinado.
fx( , )2 1 = +3 2 4 2 12 3. . . Derivada aplicada no ponto (2,1).
fx( , )2 1 = 20 Resultado da derivada no ponto.
fy = −
= −
2 3 2 2
6 4
2 2
2 2
. .x y y
x y y
Primeiro, precisamos derivar a função na
variável y, para depois substituir o ponto
determinado.
fy( , )2 1 = −6 2 1 4 12 2. . Derivada aplicada no ponto (2,1).
= 24-4=20 Realizando os cálculos.
fy( , )2 1 = 20 Resultado da derivada no ponto.
Desse modo, dada f x y x x y y( , ) = + −3 2 3 22 2 , temos f e fx y( , ) ( , )2 1 20 2 1 20= = .
4) Se r sen t xy= +2 3 2( ) , determine ∂
∂
∂
∂
∂
∂
r
t
r
x
e
r
y
, .
Resolução:
Determinando as derivadas parciais:
r sen t xy= +2 3 2( )
∂
∂
r
t
= +2 0cos( )t Derivando na variável t, qualquer termo que não
possuir a variável t será tomado como constante.
∂
∂
r
t
= 2cos( )t Resultado da derivada em t.
71
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE VÁRIAS VARIÁVEIS
∂
∂
r
x
= +0 3 2y Derivando na variável x, qualquer termo que não
possuir a variável x será tomado como constante.
∂
∂
r
x
= 3 2y Resultado da derivada em x.
∂
∂
r
y
= 2 3* xy Derivandona variável y, qualquer termo que não
possuir a variável y será tomado como constante.
∂
∂
r
y
= 6xy Resultado da derivada em y.
Desse modo, dada r sen t xy= +2 3 2( ) , temos
∂
∂
=r
t
t2cos( ) ,
∂
∂
=r
x
y3 2 e
∂
∂
=r
z
xy6 .
5) Se w x y z= 2 2 3π , determine
∂
∂
∂
∂
∂
∂
w
x
w
y
e
w
z
, .
Resolução:
Determinando as derivadas parciais
w x y z= 2 2 3π
∂
∂
w
x
= 2 2 3π y z Resultado da função w derivada em x.
∂
∂
w
y
= 2 2 3* π x y z Derivada da função w em y.
∂
∂
w
y
= 4 3π x y z Resultado da função derivada em y.
∂
∂
w
z
= 3 2 2 2* π xy z Derivada da função w em z.
∂
∂
w
z
= 6 2 2π xy z Resultado da função w em z.
Desse modo, dada w x y z= 2 2 3π , temos
∂
∂
=w
x
y z2 2 3π ,
∂
∂
=w
y
x y z4 3π e ∂
∂
=w
z
xy z6 2 2π .
72
Unidade I
6) Se f x y t x x t y y x( , , ) sen( ) cos( )= +2 2 , encontre f f e f1 2 3, .
f x y t x x t y y x( , , ) sen( ) cos( )= +2 2
f
f
x1 = ∂
∂
= ∂
∂
+ ∂
∂x
xsen x t
x
y y x( ( ) ) ( cos( ) )2 2
= ∂
∂
+ ∂
∂
t
x
xsen x y y
x
x
aplicar regra
do produto
2 2( ( )) cos( ) ( )��� ��
= + +t senx x x y y2 21 1( cos ) cos( ) *
f
f
x1 = ∂
∂
� � � � � � � � �t sen x t x cos x y cos y2 2 2
f
f
y2 = ∂
∂
= ∂
∂
+ ∂
∂y
xsen x t
y
y y x( ( ) ) ( cos( ) )2 2
= + ∂
∂
0 2x
y
y y
regra do produto
( cos( ))� �� ��
= + −x y y y seny( cos ( ))2 2
f
f
y2 = ∂
∂
= −2 2xy y xy senycos
f
f
t3 = ∂
∂
= ∂
∂
+ ∂
∂t
xsen x t
t
y y x( ( ) ) ( cos( ) )2 2
= ∂
∂
+xsen x
t
t( ) ( )2 0
= xsen x t( ) * 2
f
f
t3 = ∂
∂
= 2txsen x( )
73
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE VÁRIAS VARIÁVEIS
2.5 Generalização de derivadas parciais para funções de n variáveis
Derivadas parciais de funções a n variáveis
Seja f uma função a n variáveis e (x1, x2, x3,...xn) um ponto do domínio de f; então, a derivada parcial
de f em relação j-ésima variável xj é a função fj = (x1, x2, x3,...xn) definida por:
f x x x x
f
x
f x x x x x
j n
j x j
n( , , , ..., ) lim
( , , , ... , ...,
1 2 3
0
1 2 3= ∂
∂
= +
→∆
∆ xx f x x x x
x
n n
j
) ( , , , ... )− 1 2 3
∆
Se o limite existir.
No cálculo das derivadas parciais, todas são independentes, exceto a variável em relação à qual se
deseja calcular a derivada parcial. A função derivada depende dos valores a ela atribuídos. Desse modo,
a derivada parcial de uma função a n variáveis também é uma função a n variáveis.
2.6 Regra da cadeia
Seja g uma função de duas variáveis. Se w= f(v) e v = g(x,y), ou seja, w = f[g(x,y)]; então, mantendo
y constante e utilizando a regra da cadeia, temos:
�
�
� �
�
�
w
x
dw
dv
v
x
Analogamente, mantendo x constante e utilizando a regra da cadeia, temos:
∂
∂
= ∂
∂
w
y
dw
dv
v
y
Exemplo 1
Se w x y= − −1 2 2 , encontre
∂
∂
∂
∂
w
x
e
w
y
.
Solução:
Façamos v = 1− −( )x y² ² , ou seja, w v= .
v x y= − −( )1 2 2
e w v v= =
1
2
�
�
�
�
�
w
x
dw
dv
v
x
.
Regra da cadeia a
resolver.
74
Unidade I
dw
dv =
−
1
2
1
2v
=
1
2
1
2v
dw
dv
= 1
2 v
∂
∂
v
x
= ∂
∂
− −
x
x y( )1 2 2
∂
∂
v
x
= −( )2x
�
�
� �
�
�
w
x
dw
dv
v
x
= −1
2
2
v
x* ( )
�
�
� �
�
�
w
x
dw
dv
v
x
= −
− −
x
x y1 ² ²
Regra da cadeia a ser
resolvida.
dw
dv
=
−
1
2
1
2v
= 1
1
2v
dw
dv
= 1
2 v
∂
∂
v
y
= ∂
∂
− −
x
x y( )1 2 2
∂
∂
v
y
= −( )2y
�
�
�
�
�
w
y
dw
dv
v
y
* = −1
2
2
v
y* ( )
�
�
�
�
�
w
y
dw
dv
v
y
* = −
− −
y
x y1 ² ²
Regra da cadeia a ser
resolvida.
75
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE VÁRIAS VARIÁVEIS
Transcrevendo as regras da cadeia feitas, temos:
∂
∂
= ∂
∂
= ∂
∂
− −( ) = −( ) = −
− −
∂
∂
=
w
x
dw
dv
v
x v x
x y
v
x
x
x y
e
w
x
dw
dv
1
2
1
1
2
2
1
2 2
2 2
∂∂
∂
= ∂
∂
− −( ) = −( ) = −
− −
v
x v y
x y
v
y
y
x y
1
2
1
1
2
2
1
2 2
2 2
Exemplo 2
Calcule as derivadas parciais
∂
∂
z
x
e
∂
∂
z
y
da função z x xy y= + +( )2 5
Solução:
Mantendo y constante e usando a regra da cadeia para derivar z em relação a x, temos:
∂
∂
= + +( ) ∂ + +( )
∂
= + +( ) +( )z
x
x xy y
x xy y
x
x xy y x y5 5 22 4
2
2 4
Mantendo x constante e usando a regra da cadeia para derivar z em relação a y, temos:
∂
∂
= + +( ) ∂ + +( )
∂
= + +( ) +( )z
y
x xy y
x xy y
y
x xy y x5 5 12 4
2
2 4
Exemplo 3
Calcule as derivadas parciais fx e fy da função f x y x e xy,( ) = −2 .
Solução:
De acordo com a regra do produto:
f x y x ye e xy ex
xy xy xy,( ) = −( ) + = − +( )− − −2 2 12 2 2
e
f x y x xe x ey
xy xy,( ) = −( ) = −− −2 22 2 2
.
76
Unidade I
2.7 Diferencial total de uma função de duas ou mais variáveis
A condição para que uma função seja diferenciável é que suas derivadas parciais existam. Assim,
dada a função z = f(x, y), sua diferencial total é:
d z
f
x
dx
f
y
dy= ∂
∂
+ ∂
∂
Exemplo
Diferenciar a função f(x, y) = 2 x2 + 3 xy + 3y2.
Temos: fx(x, y) = 4x + 3y e fy(x, y) = 3x + 6y; assim, a diferencial da função é df = (4x+3y) + (3x+6y) dy.
A função de várias variáveis é diferenciável se suas derivadas parciais forem contínuas. A diferencial
de uma função F(x1, x2,... xn) de n variáveis é:
dF
f
x
dx
f
x
dx
f
x
dx
f
x
dx
n
n
ii
n
i= ∂
∂
+ ∂
∂
+ + ∂
∂
= ∂
∂=
∑
1
1
2
2
1
......
Exemplos de AplicaçãoExemplos de Aplicação
1) Determinar as derivadas parciais das funções:
a)
f x y x y
f
x
x x
f
x
x e
f
y
y y
f
( , )
*
* *
= +
∂
∂
= + = => ∂
∂
=
∂
∂
= + = => ∂
∂
3 4
3 2 0 6 6
0 4 2 8
2 2
yy
y= 8
b) f x y
y
x y
( , ) =
+
2
2 2
Lembrete
Note que f x y
u x y
v x y
u
v
( , )
( , )
( , )
= = , se designarmos por us us a derivada de
uma função u numa variável qualquer. Desse modo, us pode representar ux,
ou uy, ou uz, ou ui, entre outros. Analogamente, vs pode representar vx, ou
vy, ou vz, ou vt, entre outros. Desse modo:
se f
u
v
= , sendo u e v funções de várias variáveis, então, f
u v u v
v
s
s s= −. .
2 .
77
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE VÁRIAS VARIÁVEIS
Vamos voltar à resolução da derivada de f x y
y
x y
( , ) =
+
2
2 2
u y
u
u
e v x y
v x
v y
x
y
x
y
� �
�
�
�
�
�
��
� � �
�
�
�
�
�
��
2
0
2
2
2
2 2
Vamos determinar f x y
f
x
x y e f x y
f
y
x yx y( , ) ( , ) ( , ) ( , )= ∂
∂
= ∂
∂
f x y
x y y x
x y
x y xy
x y
f x y
x
y
( , )
( ) ( )
( ) ( )
( , )
= + −
+
= + −
+
2 2 2 2 2 42 2
2 2 2
2 2
2 2 2
== + −
+
= −
+
0 2 2 42 2
2 2 2
2
2 2 2
( ) ( )
( ) ( )
x y y y
x y
y
x y
2) Calcular a inclinação da reta tangente à interseção da superfície z x y xy= −20 2 3 com o plano
y = 1 no ponto (2,1,2).
Resolução:
Conforme estudamos, para y0 = 1, a derivada em x é ser interpretada à inclinação da reta tangente
à superfície z=f(x,y). Logo: tg f
f
xxα = = ∂
∂
( , ) ( , )2 1 2 1 . Assim:
f x y xy y
f
f tg
x
x
x
( , ) *
( , ) * * * ( )
( , )
= −
= −
= => = =>
20 2
2 1 20 2 2 1 1
2 1 79 79
3
3
α αα = = °arctg79 89 27,
A inclinação, portanto, será de 89,27°.
3) Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções a seguir nos pontos indicados:
a) f x y xy x( , ) = +2 3 2 , quando x y0 0 12, ( , )( ) = − .
i) fx: derivada parcial de primeira ordem na variável x, derivada f em x e considere y constante:
f x y xy x
f x y y x
f
f
x
x
x
( , )
( , )
( , ) ( ) ( )
( , )
= +
= +
− = + −
− =
2
2 2
12 2 2 2 1
12 2
3 2
3
3
.. ( )
( , )
( , )
8 2 1
12 16 2
12 14
+
− = −
− =
f
f
x
x
78
Unidade I
ii) fy: derivada parcial de primeira ordem na variável y, derivada f em y e considere x constante:
f x y xy x
f x y x y
f x y xy
f
y
y
y
( , )
( , ) * * *
( , )
( , ) * (
= +
= +
=
− = −
2
2 3 0
6
12 6 1
3 2
2
2
)) *
( , )
2
12 24
2
fy − = −
b) g x y xexy( , ) =
3
no ponto (1,0).
Observação
Acima, temos uma regra do produto e uma regra da cadeia em um
mesmo exercício.
Antes de fazermos a derivada da regra do produto, vamos fazer a
derivada da regra da cadeia nas duas variáveis.
Chamaremos a função exy3
de t x y e e u x y xyxy( , ) ( , )= =
3 3 . Desse
modo:
u x y y y e u x y xy xy
t x y e t e t
x y
xy
u
u
s
( , ) ( , ) * *
( , ) ( )
= = = =
= => = =>1 3 33 3 2 2
3
(( )u u es
u=
Logo,
t x y y e e t x y xy ex
xy
y
xy( , ) ( , )= =3 3 2 3
3
Espera-se que você assimile os procedimentos descritos e, quando tiver
com uma experiência e segurança, faça-os mentalmente.
i) gx: derivada parcial de primeira ordem na variável x, derivada g em x e considere y constante:
g x y xexy( , ) =
3
Aqui, como vamos derivar na variável x, temos uma regra do produto e uma regra da cadeia em um
mesmo exercício, note que a variável x aparece duas vezes na função g.
79
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE VÁRIAS VARIÁVEIS
Vamos voltar à resolução:
g x y xe
g x y e x y e g x y e xy e
xy
x
xy xy
x
xy xy
( , )
( , ) ( ) ( , )
=
= + => = +
3
3 3
3 3 3
3
1 1
gg e e e e
g
x
x
( , ) * *
( , )
* *
1 0 1 0 0 1 0 1
1 0 1
1 03 3 1 03
0 0= + = + = + =
=
ii) gy: derivada parcial de primeira ordem na variável y, derivada g em y e considere x constante:
Note que aqui só temos a derivada da regra da cadeia, estamos derivando em y, ele parece só uma
vez, não há derivada da regra do produto, uma vez que x é constante.
g x y xe
g x y x xy e x y e
g e
xy
y
xy xy
y
( , )
( , ) *
( , ) * *
=
= =>
=
3
2 3 2 2 3
2 2 1
3 3
1 0 3 1 0 ** .03 00 0= =e
c) h x y senx y( , ) cos= 5 42 no ponto (0,p).
Observação
Acima, temos duas regras da cadeia em um mesmo exercício, não há
regra do produto, uma vez que as variáveis da função produto são diferentes.
Antes de fazermos a derivada da regra do produto, vamos fazer a
derivada da regra da cadeia nas duas variáveis.
Chamaremos a função u x y senx e v x y y( , ) ( , ) cos= =2 4 . Desse modo:
u x y x x e u x y
v x y e v x y y
x y
x y
( , ) cos ( , )
( , ) ( , ) cos
= =
= = −
2 0
0 4 4
2
Lembre-se: deseja-se que você assimile os procedimentos descritos e,
quando tiver com uma experiência e segurança, faça-os mentalmente.
i) hx: derivada parcial de primeira ordem na variável x, derivada h em x e considere y constante:
h x y senx y( , ) cos= 5 42
80
Unidade I
Vamos voltar à resolução:
h x y senx y
h x y x x y
h x y x x
x
x
( , ) cos
( , ) * cos cos
( , ) cos co
=
=
=
5 4
5 2 4
10
2
2
2 ss
( , ) * * cos cos
( , ) * *
4
0 10 0 0 4
0 0 1 1 0
2
y
h
h
x
x
π π
π
=
= =
Note que cos 4y, nesse caso, é constante.
ii) hy: derivada parcial de primeira ordem na variável y, derivada h em y e considere x constante:
h x y senx y
h x y senx sen y
h x y senx s
y
y
( , ) cos
( , ) * *
( , )
=
= −
= −
5 4
4 5 4
20
2
2
2 een y
h sen sen
h
h
y
y
y
4
0 20 0 4
0 20 0 0
0 0
2( , )
( , ) * *
( , )
π π
π
π
= −
= −
=
Note que senx2, nesse caso, é constante.
d) t x y x y( , ) ln( )= −2 2 no ponto (1,0)
Do cálculo de uma variável, temos que, se y = lnu, sendo u = u(x), então, ′ = ′
y
u
u
. Expandindo para
duas variáveis, temos: f x y u u u x y( , ) ln( ); ( , )= = ; então, fs
u
u
s= .
Voltemos à resolução:
t x y x y seja u x y
u x
u y ent o
t x y
x
x
y
x
( , ) ln( )
, :
( , )
= − = −
=
= −
=
2 2 2 2 2
2
2
ã
xx y
e t x y
y
x y
t t e
t
y
x x
y
2 2 2 2
2 2
2
1 0
2 1
1 0
2
1
2 1 0 2
−
= −
−
=
−
= = => =
( , )
( , )
*
( , )
(( , )
*
( , )1 0
2 0
1 0
0
1
0 1 0 02 2= −
−
= = => =tx
81
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE VÁRIAS VARIÁVEIS
4) Determine as derivadas parciais de primeira e segunda ordem das funções:
a) f x y xy x( , ) = +2 3 2
i) fx: derivada parcial de primeira ordem na variável x, derivada f em x e considere y constante:
f x y xy x
f x y y xx
( , )
( , )
= +
= +
2
2 2
3 2
3
ii) fy: derivada parcial de primeira ordem na variável y, derivada f em y e considere x constante:
f x y xy x
f x y x y
f x y xy
y
y
( , )
( , ) * * *
( , )
= +
= +
=
2
2 3 0
6
3 2
2
2
iii) fxx: derivada parcial de segunda ordem na variável x, derivada fx em x e considere y constante:
f x y y x
f x y
f x y
x
xx
xx
( , )
( , ) *
( , )
= +
= +
=
2 2
0 2 1
2
3
iv) fxy: derivada parcial de segunda ordem na variável y, derivada fx em y e considere x constante:
f x y y x
f x y y
f x y y
x
xy
xy
( , )
( , ) * * *
( , )
= +
= +
=
2 2
2 3 2 0
6
3
2
2
v) fyx: derivada parcial de segunda ordem na variável x, derivada fy em x e considere y constante:
f x y xy
f x y y
y
yx
( , )
( , )
=
=
6
6
2
2
Observação
Sabemos, pelo Teorema de Clairaut, que fyx = fxy. Logo, era esperado
que o resultado do item (iv) fosse igual ao item (v), como acabamos de
constatar.
82
Unidade I
vi) fyy: derivada parcial de segunda ordem na variável y, derivada fy em y e considere x constante:
f x y xy
f x y xy
f x y xy
y
yy
yy
( , )
( , ) * *
( , )
=
=
=
6
6 2
12
2
Lembrete
Vamos recordar o que aprendemos em cálculo diferencial (uma variável):
Se y = u.v com u = u(x) e v = v(x); então, y' = u' . v + u . v'
Se y f g x ou y f u= =( ( )) ( ) , com u = u(x); então, ′ = ′ ′ ′ = ′ ′y f g x g u ou y f u u( ( ))* ( ) ( ) *
′ = ′ ′ ′ = ′ ′y f g x g u ou y f u u( ( ))* ( ) ( ) *
Vamos estender essas regras para derivadas de várias variáveis.
Designaremos de us a derivada de uma função u numa variável
qualquer; desse modo, us pode representar ux, ou uy, ou uz, ou ui, entre
outros. Analogamente, vs pode representar vx, ou vy, ou vz, ou vt, entre
outros. Desse modo: se f = u.v, sendo u e v funções de várias variáveis,
então, f u v u vs s s= +. . .
b) g x y xexy( , ) =
3
no ponto (1,0).
Observação
Acima, temos uma regra do produto e uma regra da cadeia em um
mesmo exercício. Antes de fazermos a derivada da regra do produto, vamos
fazer a derivada da regra da cadeia nas duas variáveis.
Chamaremos a função exy3
de t x y exy( , ) =
3
e u x y xy( , ) = 3 ; desse
modo:
u x y y y e u x y xy xy
t x y e t e t
x y
xy
u
u
s
( , ) ( , ) * *
( , ) ( )
= = = =
= => = =>
1 3 33 3 2 2
3
(( )u u es
u=
Logo,
t x y y e e t x y xy ex
xy
y
xy( , ) ( , )= =3 3 2 3
3
83
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE VÁRIAS VARIÁVEIS
Espera-se que você assimile os procedimentos descritos e, quando tiver
com experiência e segurança, faça-os mentalmente.
i) gx: derivada parcial de primeira ordem na variável x, derivada g em x e considere y constante:
g x y xexy( , ) =
3
Aqui, como vamos derivar na variável x, temos uma regra do produto e uma regra da cadeia em um
mesmo exercício, note que a variável x aparece duas vezes na função g.
Vamos voltar à resolução:
g x y xe
g x y e x y e g x y e xy e
xy
x
xy xy
x
xy xy
( , )
( , ) ( ) ( , )
=
= + => = +
3
3 3
3 3 3
3
1 1
ii) gy: derivada parcial de primeira ordem na variável y, derivada g em y e considere x constante.
Note que aqui só temos a derivada da regra da cadeia, estamos derivando em y, ele aparece só uma
vez, não há derivada da regra do produto, uma vez que x é constante.
g x y xe
g x y x xy e x y e
xy
y
xy xy
( , )
( , ) *
=
= =
3
2 3 2 2 3
3 3
iii) gxx: derivada parcial de segunda ordem na variável x, derivada gx em x e considere y constante:
g x y xe
g x y e xy e
g x y y e y e x
xy
x
xy xy
xx
xy xy
( , )
( , )
( , ) .
=
= +
= + +
3
3 3
3
3 3 3
3
1 yy y e
g x y y e xy e
xy
xx
xy xy
3 3
3
3 3 6
3
2
* *
( , ) = +
iv) gxy: derivada parcial de segunda ordem na variável y, derivada gx em y e considere x constante:
g x y xe
g x y e xy e
g x y y e xy e
xy
x
xy xy
xy
xy xy
( , )
( , )
( , )
=
= +
= + +
3
3 3
3
2 3 2
3
3 3 xxy xy e
g x y y e xy e x y e g x y
xy
xy
xy xy xy
yx
3 2
3
2 3 2
3
2 5
3
3
3 3 3
* *
( , ) * ( ,= + + = ))
84
Unidade Ig x y xe
g x y e xy e
g x y y e xy e
xy
x
xy xy
xy
xy xy
( , )
( , )
( , )
=
= +
= + +
3
3 3
3
2 3 2
3
3 3 xxy xy e
g x y y e xy e x y e g x y
xy
xy
xy xy xy
yx
3 2
3
2 3 2
3
2 5
3
3
3 3 3
* *
( , ) * ( ,= + + = ))
v) gyy: derivada parcial de segunda ordem na variável y, derivada gy em y e considere x constante:
g x y xe
g x y x y e
g x y x y e x y
xy
y
xy
yy
xy
( , )
( , )
( , ) * * * * *
=
=
= +
3
2 2 3
2 3 2 2
3
3 2 3 336 9
2 3
2 3 3 4 3
xy e
g x y x ye x y e
xy
yy
xy xy( , ) = +
c) h x y senx y( , ) cos= 5 42
Observação
Acima, temos duas regras da cadeia em um mesmo exercício, não há
regra do produto, uma vez que as variáveis da função produto são diferentes.
Antes de fazermos a derivada da regra do produto, vamos fazer a
derivada da regra da cadeia nas duas variáveis.
Chamaremos a função u x y senx e v x y y( , ) ( , ) cos= =2 4 . Desse modo:
u x y x x e u x y
v x y e v x y sen y
x y
x y
( , ) cos ( , )
( , ) ( , )
= =
= = −
2 0
0 4 4
2
Lembre-se: deseja-se que você assimile os procedimentos descritos e,
quando tiver com uma experiência e segurança, faça-os mentalmente.
i) hx: derivada parcial de primeira ordem na variável x, derivada h em x e considere y constante:
h x y senx y( , ) cos= 5 42
Vamos voltar à resolução:
h x y senx y
h x y x x y
h x y x x
x
x
( , ) cos
( , ) * cos cos
( , ) cos co
=
=
=
5 4
5 2 4
10
2
2
2 ss4y
85
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE VÁRIAS VARIÁVEIS
Note que cos4y, nesse caso, é constante.
ii) hy: derivada parcial de primeira ordem na variável y, derivada h em y e considere x constante:
h x y senx y
h x y senx sen y
h x y senx s
y
y
( , ) cos
( , ) * *
( , )
=
= −
= −
5 4
4 5 4
20
2
2
2 een y4
Note que senx2, nesse caso, é constante.
iii) hxx: derivada parcial de segunda ordem na variável x, derivada hx em x e considere y
constante:
h x y senx y
h x y x x y
h x y x xsen
x
xx
( , ) cos
( , ) cos cos
( , ) *
=
=
= −
5 4
10 4
2 10
2
2
xx y
h x y x senx yxx
2
2 2
4
20 4
cos
( , ) cos= −
iv) hxy: derivada parcial de segunda ordem na variável y, derivada hx em y e considere x
constante:
h x y senx y
h x y x x y
h x y x x
x
xy
( , ) cos
( , ) cos cos
( , ) * cos
=
=
= −
5 4
10 4
4 10
2
2
22
2
4
40 4
sen y
h x y x x sen yxy( , ) cos= −
Por outro lado:
h x y senx y
h x y senx sen y
h x y senx
y
y
( , ) cos
( , ) * ( )
( , )
=
= −
= −
5 4
5 4 4
20
2
2
2ssen y
h x y x x sen y
h x y x x sen y
yx
yx
4
20 2 4
40 4
2
2
( , ) * cos
( , ) cos
= −
= −
Comprovando que h x y h x yxy yx( , ) ( , )= .
86
Unidade I
v) hyy: derivada parcial de segunda ordem na variável y, derivada hy em y e considere x constante:
h x y senx y
h x y senx sen y
h x y senx
y
y
( , ) cos
( , ) * ( )
( , )
=
= −
= −
5 4
5 4 4
20
2
2
2ssen y
h x y senx y
h x y senx y
yy
yx
4
20 4 4
80 4
2
2
( , ) * cos
( , ) cos
= −
= −
d) t x y x y( , ) ln( )= +2 2
Do cálculo de uma variável, temos que, se y = lnu, sendo u = u(x), então, ′ = ′
y
u
u
. Expandindo para
duas variáveis, temos f x y u u u x y( , ) ln( ); ( , )= = ; então,
fs
u
u
s= . Voltemos à resolução:
t x y x y se u x y
u x
u y
ent o temos
x
y
( , ) ln( ), := + = +
=
=
2 2 2 2 2
2
ã
i) t x y
x
x y
x( , ) =
+
2
2 2
ii) txx = ?
t x y
x
x y
t
u
v
t
u v uv
v
t
x y x x
x
x x xx
x x
xx
( , )
( ) ( )
(
=
+
=> = => = −
= + −
2
2 2 2
2 2 2
2 2
22 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2
2 2 2
2 2
2
2 2 4 2 2
2 2
+
= + −
+
= −
+
= −
+
y
x y x
x y
y x
x y
t
y x
x
xx
) ( ) ( )
( yy2 2)
iii) txy = ?
t x y
x
x y
t
u
v
t
u v uv
v
t
x y x y
x x xy
y y
xy
( , )
* ( ) ( )
(
=
+
=> = => =
−
= + −
2
0 2 2
2 2 2
2 2
xx y
xy
x y
xy
x y
t
xy
x y
txy yx
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
0 4 4
4
+
= −
+
= −
+
= −
+
=
) ( ) ( )
( )
87
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE VÁRIAS VARIÁVEIS
iv) tyy = ?
t x y
y
x y
t
u
v
t
u v uv
v
t
x y y y
y y yy
y y
yy
( , )
* * ( ) (
=
+
=> = => =
−
= + −
2
2 1 2 2
2 2 2
2 2 ))
( ) ( )
( )
x y
x y y
x y
t
x y
x y
yy
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2
2 2 2
2 2 4
2 2
+
= + −
+
= −
+
3 APLICAÇÕES DE DERIVADAS PARCIAIS
3.1 Primeiros exemplos de aplicações
A pressão P(kPa), o volume V(l) e a temperatura T (kelvins) de 1 mol de gás ideal estão relacionados
por meio da equação: P*V = 8,31*T. Com base nessas informações, determine:
a) a taxa de variação da pressão em relação à temperatura quando o volume do gás for de 300 litros
e a temperatura 800 k.
Resolução
Desejamos determinar a taxa de variação da pressão em relação à temperatura, ou seja, a derivada
parcial da pressão; para isso, primeiro vamos isolar P na equação fornecida em nosso enunciado geral,
depois vamos determinar a derivada parcial.
P
T
V
P T V
T
V
P
T
P T V
T
V V
P
T
P
� � �
�
�
�
� �
�
�
�
8 31 8 31
8 31 1 8 31
800
0
,
( , )
,
( , )
, ,
( ,, )
,
, , /300
8 31
300
0 02777 2 777 10 2� � � � �� kPa k
Interpretação do resultado
Quando o volume do gás for de 300 litros e a temperatura aumentar de 1°K, a pressão aumentará
de 0,0277 kPa.
b) Determine a taxa de variação da pressão em relação ao volume quando o volume do gás for de
300 litros e a temperatura 800 k. Temos que:
88
Unidade I
P
T
V
P T V T V
P
V
T V
T
V
P
= => =
∂
∂
= − = −
∂
∂
−
−
8 31
8 31
1 8 31
8 31
1
2
2
,
( , ) , *
( ) * , * *
,
VV
( , )
, *
800 300
8 31 800
3002= − ≈ − =0,07387 -7,4*10-2
Interpretação do resultado
Quando a temperatura do gás for de 800°k, a pressão diminui 0,074 Pa (ou 7 4 10 2, * − kPa) para
cada litro.
c) Determine a taxa de variação do volume em relação à pressão quando a temperatura for de 800°k,
sujeita à pressão de 200k Pa.
Resolução
Sabemos que P*V = 8,31*T:
V
T
P
V T P T P
V
P
T P
T
P
P
= => =
∂
∂
= − = −
∂
−
−
8 31
8 31
1 8 31
8 31
1
2
2
,
( , ) , * *
( ) * , * *
,
∂∂
= − ≈ − =
V
( , )
, *
800 200
8 31 800
2002 0,1662 -1,662*10-1
Interpretação do resultado
O volume de um gás, a 800°k, sujeito a uma pressão de 200 kPa, diminui de 0,1662 litros para cada
1 kPa de pressão.
Exemplo de aplicaçãoExemplo de aplicação
As latas de refrigerantes antigas eram feitas de aço e possuíam a forma de um cilindro circular
reto, com altura de 12,5 cm, diâmetro interno de 6 cm e espessura de 0,1 cm. Se o custo do
material era de 0,02 unidade monetária da época por cm3, determine por diferenciação o custo
aproximado do aço que era usado na fabricação da lata.
Resolução
O volume de um cilindro circular reto, de volume V(cm3), raio r (cm) e altura h(cm), é V = pr2h. O
volume exato de aço na lata é a diferença entre o volume de dois cilindros circulares retos, para os quais
89
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE VÁRIAS VARIÁVEIS
r = 3,1, h = 12,7 e r = 3, h = 12,5, respectivamente. ∆V é o volume exato de metal; mas, como queremos
apenas um valor aproximado, devemos determinar dV.
Figura 70
Sabemos que o volume depende do raio e da altura.
Do conceito de diferencial total, temos que: dV
V
r
dr
V
h
dh= ∂
∂
+ ∂
∂
.
Logo, ∂ = ∂
∂
= ∂ = ∂
∂
=V
V
r
rh e V
V
h
r2 2π π .
Substituindo ∂ = +V rh dr r dh2 2π π , temos:
r = 3, h =12,5, dr = 0,1, dh = 0,2.
∂ = +
∂ = + = ≈
V
V cm
2 3 12 5 0 1 3 0 2
7 5 18 9 3 29 22
2
3
π π
π π π
* , * , ,
, , , ,
Logo, há aproximadamente Logo, há aproximadamente 9 3 29 223 3, ,π cm ou cm de aço. Como o custo do metal é de 2 centavos de aço. Como o custo do metal é de 2 centavos
por cmpor cm33, temos que o custo é de aproximadamente 0,02*29,22 = 0,5844 centavos, ou seja, por volta de , temos que o custo é de aproximadamente 0,02*29,22 = 0,5844 centavos, ou seja, por volta de
0,59 unidade monetária da época.0,59 unidade monetária da época.
Saiba mais
Para saber mais sobre diferencial de função de duas variáveis, consulte
o capítulo 5 do link a seguir:
LIMA, P. C. Diferenciabilidade de funções de duas variáveis. In: ______.
Cálculo diferencial e integral III: EAD. Belo Horizonte: UFMG, [s. d.]. p. 47-
52. Disponível em: . Acesso em: 2 set. 2013.
90
Unidade I
3.2 Plano tangente
Sabemos que equações do tipo y = a x + b definem retas em R2; por analogia, você pode concluir,
caso não saiba, que z = m x + n y + c define planos em R3.
Definição:
Se f : A ⊂ R2 → R, sendo a função diferenciável no ponto (a, b) ∈ A, e A é um subconjuntoaberto
de R2, dizemos que o plano pode ser definido pela equação:
f x y f a b
f a b
x
x a
f a b
y
y b( , ) ( , )
( , )
( )
( , )
( )= + ∂
∂
− + ∂
∂
− ou
f x y f a b f a b x a f a b y bx y( , ) ( , ) ( , )( ) ( , )( )= + − + −
Trata-se do plano tangente ao gráfico da função f no ponto (a, b), ou, ainda:
z z
f x y
x
x x
f x y
y
y y− = ∂
∂
− + ∂
∂
−0
0 0
0
0 0
0
( , )
( )
( , )
( )
é o plano tangente ao gráfico da função f, no ponto (x0,y0). Lembre-se de que z0 = f(x0,y0) ou
z0 = f(a,b).
Plano tangente
Superfície
Figura 71 – Plano tangente à superfície em um ponto
Exemplo
Vamos calcular a equação do plano tangente à superfície de f x y x xy y( , ) = − −2 23 no ponto (1, 1).
Primeiro, calculamos as derivadas parciais:
∂
∂
= − ∂
∂
= − −f x y
x
x y e
f x y
y
x y
( , ) ( , )
2 3 3 2 e substituímos (x, y) por (1, 1).
91
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE VÁRIAS VARIÁVEIS
Obtemos:
∂
∂
= − => ∂
∂
= − = − = −
∂
∂
= − −
f x y
x
x y
f
x
e
f x y
y
x y
( , ) ( , )
* *
( , )
2 3
11
2 1 3 1 2 3 1
3 2 ==> ∂
∂
= − − = − − = −f
y
( , )
* *
11
3 1 2 1 3 2 5
Por outro lado, sabemos que f x x x xy y( , ) = − −2 23 . Logo:
f( , ) * *11 1 3 1 1 1 1 3 1 32 2= − − = − − = −
A equação do plano tangente é dada por:
z z
f x y
x
x x
f x y
y
y y− = ∂
∂
− + ∂
∂
−0
0 0
0
0 0
0
( , )
( )
( , )
( )
Assim, a equação procurada é resultante de:
z f x
f
x
f
y
y = + −( ) ( ) +∂
∂
∂
∂
−1 1 1
11 11
1,
( , ) ( , )
( )
z = -3 + (-1) * (x − 1) − 5(y − 1)
z = -3 – x +1 – 5y + 5
z = – x − 5y + 3.
Logo, a equação do plano tangente à superfície no ponto (1,1) é z = – x − 5y + 3.
Exemplo
Determine a equação do plano tangente à superfície de f x y x x y y( , ) = + −2 33 2 3 3 no ponto (2, -1,5).
Resolução:
Sabemos que ( , ) ( , ) ( , )x y a b0 0 2 1= = − e que f x y f x y f a b x a f a b y bx y( , ) ( , ) ( , )( ) ( , )( )− = − + −0 0 é a
equação do plano tangente a uma superfície no ponto ( , , )x y z0 0 0 .
f(2,-1) = 5 é dado, mas também pode ser calculado substituindo x = 2 e y = –1 em f(x,y).
Calculando as derivadas parciais, temos:
f x xy e f x y yx y= + = −6 6 9 32 3 2 2 2 .
92
Unidade I
Determinando os valores das derivadas parciais no ponto (2,–1), obtemos:
f
f
f
f
x
x
x
x
( , ) * * * ( )
( , ) * * ( )
( , )
2 1 6 2 6 2 1
2 1 6 4 6 2
2 1 24 12
2 3− = + −
− = + −
− = −
(( , )2 1 12− = e
f
f
f
f
y
y
y
y
( . ) * ( ) * ( ) * ( )
( . ) *
( . )
2 1 9 2 1 3 1
2 1 9 4 3
2 1 36 3
2 2 2− = − − −
− = −
− = −
(( . )2 1 33− =
A equação do plano é:
f x y f x y f x y x a f x y y b
f x y x
x y( , ) ( , ) ( , )( ) ( , )( )
( , ) (
= + − + −
= +
0 0 0 0 0 0
5 12 −− + +
= + − + +
= + +
2 33 1
5 12 24 33 33
12 33 14
) ( )
( , )
( , )
y
f x y x y
f x y x y
3.3 Derivadas de funções compostas
3.3.1 Primeira regra da cadeia
Considere a função z = f(x, y), onde x = x(t) e y = y(t), isto é, tanto x quanto y são funções de t. A
derivada dessa função em relação a “t” é:
Representação gráfica da regra da cadeia:
z
x
t
y
t
∂
∂
z
x
∂
∂
z
y
dx
dt
dy
dt
Z depende de x e y (tanto x quanto y também são funções);
fazemos essa primeira associação gráfica colocando z um nível
acima de x e y, isto é, vamos derivar z em função de x e também
vamos derivar z em função de y. Em nosso modelo teórico, as
funções x e y dependem de t. Logo, x e y estão um nível acima de t.
Desejamos derivar z em função de t; há dois percursos para fazê-lo,
um passando por x e chegando a t (isto é, derivando x em função de
t), ou passando por y (isto é, derivando y em função de t).
Algebricamente, temos:
dz
dt
z
x
dx
dt
z
y
dy
dt
�
�
�
� �
�
�
�
Exemplo 1
Calcular a derivada da função F(x,y) = x2 +3y -5, onde x(t) = et e y(t) = t3.
93
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE VÁRIAS VARIÁVEIS
Resolução
Há duas formas de calcular as derivadas parciais:
1° modo
A função pode ser reescrita em função de t, substituindo x e y pelas expressões das funções em
relação a t.
F(x,y) = x2 +3y -5; x(t) = et e y(t) = t3 => F(t) = e2t + 3t3 -5
Desse modo, temos F escrita em função de apenas uma variável t, derivando, temos:
dF/dt = 2 e2t + 9t2
Observação
Em muitos casos, ao fazermos a substituição, chegamos a expressões
muito complexas, o que não foi o caso anterior. A seguir, vamos resolver
o mesmo exemplo, de modo que não fazemos a substituição para resolver.
Saiba que é comum, dada uma função complexa, quebrá-la em outras
funções para facilitar a resolução. Vale lembrar que, para resolver problemas
envolvendo taxa de variação, precisamos fazê-lo por derivadas. Para esses
dois casos, na resolução usamos os procedimentos ilustrados nos exemplos
a seguir.
2° modo
Retomamos as funções e calculamos as derivadas parciais necessárias para obter dF/dt:
z
x
t
y
t
∂
∂
z
x
∂
∂
z
y
dx
dt
dy
dt
F(x,y) = x2 + 3y -5
x(t) = e1 e y(t) = t3
dz
dt
z
x
dx
dt
z
y
dy
dt
= ∂
∂
⋅ + ∂
∂
⋅ , temos que:
�
�
�
�
�
� � �
F
x
x
F
y
dx
dt
e
dy
dt
tt2 3 3 2; ; ;
Cálculos feitos, substituímos em dF
dt
F
x
dx
dt
F
y
dy
dt
�
�
�
� �
�
�
� , e temos que:
dz
dt
x e tt= +2 3 3 2* *
94
Unidade I
dz
dt
xe tt= +2 9 ² , mas x = et
Logo,
dz
dt
e e t e tt t t= + = +2 9 2 92² ²
Exemplo 2
Se z x y= +2 2 , com x = 3t + 3 e y = t2, determine: dz
dt
.
Note que z x y e x t e y t= +( ) = + =2 2
1
2 23 3 .
Resolução
z
x
t
y
t
∂
∂
z
x
∂
∂
z
y
dx
dt
dy
dt
Vamos, inicialmente, fazer a representação gráfica do que
desejamos determinar:
dz
dt
z
x
dx
dt
z
y
dy
dt
�
�
�
� �
�
�
�
Temos que determinar cada derivada parcial para depois
substituir na equação anterior. Vamos aos cálculos:
∂
∂
=
∂ +( )
∂
= +( ) ( ) =
+( )
=
+
∂
∂
=
∂
−Z
x
x y
x
x y x
x
x y
x
x y
Z
y
2 2
1
2
2 2
1
2
2 2
1
2
2 2
1
2
2
xx y
z
x y y
y
x y
y
x y
x
t
t
2 2
1
2
2 2
1
2
2 2
1
2
2 2
1
2
2
3 3
+( )
∂
= +( ) ( ) =
+( )
=
+
∂
∂
= ∂ +
−
( )) ( )
∂
= ∂
∂
= ∂
∂
=
t
e
y
t
t
t
t3 2
2
Cálculos feitos, substituímos em dz
dt
z
x
dx
dt
z
y
dy
dt
= ∂
∂
⋅ + ∂
∂
⋅ , e temos
dz
dt
x
x y
y
x y
t=
+
+
+
+
2 2 2 2
3 2* * , mas x = 3t + 3 e y = t2; logo:
95
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE VÁRIAS VARIÁVEIS
dz
dt
t
t t
t
t t
t
dz
dt
t
= +
+ +
+
+ +
= +
( )
( ) ( )
*
( ) ( )
*
( )
(
3 3
3 3
3
3 3
2
9 1
3
2 2 2
2
2 2 2
tt t
t
t t+ +
+
+ +3
2
3 32 4
3
2 4) ( )
Exemplo 3
A pressão P (kPa), o volume V (l) e a temperatura T (°k) de 1 mol de gás ideal estão relacionados por
meio da equação PV = 8,31 T. Encontre a taxa de variação da pressão em relação ao tempo; quando a
temperatura é de 800 k está aumentando numa taxa de 0,2 grau kelvin por segundo, e o volume, de
200 l, está aumentando numa taxa de 0,4 litro por segundo.
Resolução
P
V
t
T
t
∂
∂
P
V
∂
∂
P
T
dV
dt
dT
dt
dP
dt
P
V
dV
dt
P
T
dT
dt
P
T
V
P T V
T
V
T V
�
�
�
� �
�
�
�
� �� � �
�
�8 31 8 31
8 31 1,
( , )
,
, *
PP
V
T V
V
T V
T
V
P
T
T V
�
�
�
�
� � � �
�
�
�
�
�
�
�
�
( , * )
, *
,
;
( , * )
8 31
8 31
8 31
8 31
1
2
2
1
TT
T V
V
� ��1 8 31
8 310 1* , *
,
;
Sabemos, pelo enunciado, que:
dV
dt
L
s
e
dT
dt
k s� � �0 4 0 2, , /
Cálculos feitos, substituindo em dP
dt
P
V
dV
dt
P
T
dT
dt
= ∂
∂
⋅ + ∂
∂
⋅ , temos:
dP
dt
V T
T
V V
dP
dt
( , )
,
* ,
,
* ,
( , )
, *
= − +
= −
8 31
0 4
8 31
0 2
800 200
8 31 200
800
2
22 0 4
8 31
800
0 2
800 200
8 31 80
800 800
8 31
400
0
* ,
,
* ,
( , )
, *
*
,
* ,
+
= − +dP
dt
11
800 200 0 001030875 0 0020775
800 200 0 0010
dP
dt
dP
dt
( , ) , ,
( , ) ,
= − +
= 446625 1 046625 10 3= −, * /kPa s
96
Unidade I
dP
dt
V T
T
V V
dP
dt
( , )
,
* ,
,
* ,
( , )
, *
= − +
= −
8 31
0 4
8 31
0 2
800 200
8 31 200
800
2
22 0 4
8 31
800
0 2
800 200
8 31 80
800 800
8 31
400
0
* ,
,
* ,
( , )
, *
*
,
* ,
+
= − +dP
dt
11
800 200 0 001030875 0 0020775
800 200 0 0010
dP
dt
dP
dt
( , ) , ,
( , ) ,
= − +
= 446625 1 046625 10 3= −,* /kPa s
Interpretação do resultado
A pressão cresce aproximadamente a 0,001 kPa a cada 1 segundo.
Exemplo 4
A tensão média V (volts), ou voltagem, de um circuito elétrico diminui com o tempo (segundos)
numa taxa de 0,2 v/s, devido ao desgaste da bateria. A resistência R (ohms Ω) aumenta numa
taxa de 0,6 Ω/s, devido ao aquecimento do resistor. Use a Lei de Ohm V = IR para encontrar a
taxa de variação da corrente / (amperes) em relação ao tempo, no instante em que R = 300Ω e
I = 0,1 A.
Resolução
/
V
t
R
t
∂/
∂V
dV
dt
∂/
∂R
dR
dt
I V R
V
R
Logo I V R
V
R
V R
dI
dt
I
V
dV
dt
I
R
dR
dt
( , )
, ( , ) *
�
� �
�
�
�
� �
�
�
�
�1
∂
∂
=
∂
∂
= =
∂
∂
= ∂
∂
= − = −
−
−
I
V
V
R
V
V
R R
I
R
VR
R
V R
V
R
1 1
1
0
1
2
2
*
;
( )
( ) * *
Sabemos, pelo enunciado, que:
dV
dt
v s e
dR
dt
s=− =0 2 0 6, / , /Ω
Cálculos feitos, substituímos em
dI
dt
I
V
dV
dt
I
R
dR
dt
�
�
�
� �
�
�
� , e temos:
dI
dt R
V
R
= − + −
1
0 2 0 62* ( , ) * ,
97
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE VÁRIAS VARIÁVEIS
Note que, quando I = 0,1A e R = 300Ω,
como V = I *R => V = 0,1*300 => V = 30 volts.
dI
dt
dI
dt
= − + −
= − + −
1
300
0 2
30
300
0 6
0 2
300
18
90000
2* ( , ) * ,
,
= −dI
dt
I s0 00087, /
Interpretação do resultado
A corrente decai de aproximadamente 0,00087 ampere a cada segundo, quando a corrente é de 0,1ª
e a resistência é de 300Ω.
Generalização da primeira regra da cadeia
Seja w uma função de n variáveis, ou seja, w f x x xn= ( , , ... , )1 2 , e cada uma dessas n variáveis é
função de t; então, w = F(t) e
dw
dt
w
x
x
t
w
x
x
t
w
x
x
tn
n= ∂
∂
∂
∂
+ ∂
∂
∂
∂
+ ∂
∂
∂
∂1
1
2
2* * ... *
A seguir, apresentaremos a segunda regra da cadeia.
3.3.2 Segunda regra da cadeia
Representação gráfica da regra da cadeia:
z
z y
s st t
∂z
∂x
∂x
∂s
∂x
∂t
∂y
∂s
∂z
∂y
∂y
∂t
Considere a função z = f(x,y), onde x = g(s,t) e y = h(s,t).
Então, z = F(s,t); pois z = f(g(s,t), h(s,t)) = F(s,t). Desse modo, z
possui derivadas parciais em relação a s e em relação a t, dada
por:
dz
ds
z
x
x
s
z
y
y
s
= ∂
∂
∂
∂
+ ∂
∂
∂
∂
* * e
dz
dt
z
x
x
t
z
y
y
t
= ∂
∂
∂
∂
+ ∂
∂
∂
∂
* *
Z depende de x e y (tanto x quanto y também são funções); fazemos essa primeira associação
gráfica colocando z um nível acima de x e y, isto é, vamos derivar z em função de x e também z em
função de y. Em nosso modelo teórico, as funções x e y, ambas dependem de s e t. Logo, x e y estão
um nível acima de s e de t. Desejamos derivar z em função de t e z em função de s. Inicialmente, há
98
Unidade I
dois caminhos para sair de a e chegar até x e y; continuando o percurso para chegar até s e t, existem
quatro caminhos possíveis.
Vamos descrever os caminhos possíveis para derivarmos z em relação a s. Primeiro, derivamos z
em x
∂
∂
z
x
, depois x em s
∂
∂
x
s
; na sequência, derivamos z em função de y ∂
∂
z
y
e depois y em s
∂
∂
y
s
. Analogamente, descrevemos os caminhos possíveis para derivarmos z em relação a t. Primeiro,
derivamos z em x
∂
∂
z
x
, depois x em t ∂
∂
x
t
; na sequência, derivamos z em função de y
∂
∂
z
y
e depois
y em t
∂
∂
y
t
.
Algebricamente, temos:
dz
ds
z
x
x
s
z
y
y
s
e
dz
dt
z
x
x
t
z
y
y
t
= ∂
∂
∂
∂
+ ∂
∂
∂
∂
= ∂
∂
∂
∂
+ ∂
∂
∂
∂
* * * *
Generalização da primeira regra da cadeia
Seja w uma função de n variáveis, ou seja, w f x x xn= ( , , ... , )1 2 , e cada uma dessas n variáveis é
função a n outras variáveis; então, x g t t tj m= ( , , ...., ).1 2
w F t t tm= ( , , ..., )1 2 e
dw
dt
w
x
x
t
w
x
x
t
w
x
x
ti i i n
n
i
= ∂
∂
∂
∂
+ ∂
∂
∂
∂
+ ∂
∂
∂
∂1
1
2
2* * ... * , para todo i = 1, 2, ..., m.
Exemplo de aplicaçãoExemplo de aplicação
Se z
x
y
com x r e e y ret t= = = +−
2
2 4 2; , determine:
a) ∂
∂
z
r
;
b) ∂
∂
z
t
.
99
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE VÁRIAS VARIÁVEIS
Resolução
z
x y
r rt t
∂z
∂x
∂x
∂r
∂x
∂t
∂y
∂r
∂z
∂y
∂y
∂t
Algebricamente, temos:
dz
dr
z
x
x
r
z
y
y
r
e
dz
dt
z
x
x
t
z
y
y
t
= ∂
∂
∂
∂
+ ∂
∂
∂
∂
= ∂
∂
∂
∂
+ ∂
∂
∂
∂
* *
* *
a) dz
dr
z
x
x
r
z
y
y
r
= ∂
∂
∂
∂
+ ∂
∂
∂
∂
* *
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
=
∂( )
∂
= − = −
∂
∂
−
−
z
x
x
y
x
x
y
z
y
x y
y
x y
x
y
x
2
2 1
2 2
2
2
2
1
*
( ) * *
rr
r e
r
re e
y
r
re
r
e
t
t
t
t
= ∂
∂
=
∂
∂
= ∂ +
∂
=
−
−( )
( )
2
2
4 2
2
Contas feitas, substituímos em:
dz
dr
x
y
re
x
y
et t= + −−2
2 2
2
2* * , substituindo x r e e y ret t= = +−2 4 2 , temos:
dz
dr
r e
re
re
r e
re
e
dz
dr
r e
t
t
t
t
t
t
t
=
+
+ −
+
=
−
−
−
−
2
4 2
2
4 2
2
2
2 2 2
2
2
*
( )
( )
* ,
**
( )
( ) *
( )
2
2 2
2
2 2
2
2
4 2
2 2
3 2 4
re
re
r e e
re
dz
dr
r e
re
r
t
t
t t
t
t
t
− −
−
+
−
+
=
+
− ee
re
t
t
−
+2 2 2( )
100
Unidade I
b)
dz
dt
z
x
x
t
z
y
y
t
= ∂
∂
∂
∂
+ ∂
∂
∂
∂
* *
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
=
∂( )
∂
= − = −
∂
∂
−
−
z
x
x
y
x
x
y
z
y
x y
y
x y
x
y
x
2
2 1
2 2
2
2
2
1
*
( ) * *
tt
r e
t
r e r e e
y
t
re
t
re
t
t t
t
t
= ∂
∂
= − = −
∂
∂
= ∂ +
∂
=
−
− −( )
*
( )
2
2 21
4 2
2
Contas feitas, substituímos em dz
dt
z
x
x
t
z
y
y
t
= ∂
∂
∂
∂
+ ∂
∂
∂
∂
* *
dz
dt
x
y
r e
x
y
ret t= − + −−2
22
2
2* ( ) * , substituindo x r e e y ret t= = +−2 4 2 , temos:
dz
dt
r e
re
re
r e
re
re
dz
dt
r
t
t
t
t
t
t=
+
− + −
+
=
−
−
−2
4 2 4 2
2
2
2 2 2
2
2
* ( )
( )
( )
* ,
ee r e
re
r e re
re
dz
dt
r e
t t
t
t t
t
t
− − −
−
−
+
−
+
= −
* ( )
( )
( ) *
( ( ))
2 4 2
2
4 2
2 2
2
2 2
22 2 2
5
2+
−
+
−
re
r e
ret
t
t( )
3.4 Derivada de uma função implícita de duas ou mais variáveis
Uma função encontra-se na forma implícita quando não está resolvida para uma variável específica.
As funções resolvidas para uma variável são chamadas de explícitas. Exemplo: y = f(x), z = f(x,y). Na
forma implícita, seria f(x,y) = 0, f(x,y,z) = 0 etc.
A derivada de uma função implícita do tipo f(x,y) = 0 em relação a x é
101
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE VÁRIAS VARIÁVEIS
∂
∂
+ ∂
∂
= → ∂
∂
+ ∂
∂
= = −
∂
∂
∂
∂
= −f
x
dx
dx
f
y
dy
dx
f
x
f
y
dy
dx
ou
dy
dx
f
x
f
y
fx
fy
0 0
Exemplo 1
Derivar a função f(x,y) = 2x2 + 5y3 + 2 = 0
Resolução
Sabemos que
dy
dx
f
x
f
y
fx
fy
= −
∂
∂
∂
∂
= − . Logo:
dy
dx
f
x
f
y
x
y
= −
∂
∂
∂
∂
= − 4
15 2
Para mais de duas variáveis, F(x,y,z) = 0. Fazendo u = f (x,y,z) e diferenciando, após algumas
considerações, teremos:
∂
∂
= − ∂ ∂
∂ ∂
= − ∂
∂
= − ∂ ∂
∂ ∂
= −z
x
f x
f z
f
f
e
z
y
f y
f z
f
f
x
z
x
z
/
/
/
/
Exemplo 2
Determinar as derivadas parciais
∂
∂
∂
∂
+ − =z
x
e
z
x
para x y z2 3 0
∂
∂
= − ∂ ∂
∂ ∂
= −
−
=
∂
∂
= − ∂ ∂
∂ ∂
= −
−
=
z
x
f x
f z
x
x
z
y
f y
f z
y
y
/
/
/
/
2
1
2
3
1
3
2
2
102
Unidade I
Saiba mais
Para saber mais sobre funções implícitas, consulte:
ANDRADE, D. O teorema da função inversa e da função implícita.
Maringá, [s. d.]. Disponível em: . Acesso em: 2 set. 2013.
BALBO, A. R. Derivada implícita e diferenciais. Bauru, 2007. Disponível em:
. Acesso em: 2 set. 2013.
3.5 Derivadas de ordem superior
Derivadas parciais de ordem superior são obtidas da mesma forma que as derivadas parciais de primeira
ordem. No entanto, deve-se observar que, para uma função de duas variáveis, existirão duas derivadas de
segunda ordem para cada derivada parcial, ou seja, as derivadas de segunda ordem de f são dadas por:
∂
∂
= ∂
∂
∂
∂
2
2
f
x x
f
x
ou
f fxx x x= ( )
∂
∂
= ∂
∂
∂
∂
2
2
f
y y
f
y
ou
f fyy y y= ( )
∂
∂ ∂
= ∂
∂
∂
∂
2f
y x y
f
x
ou
f fxy x y= ( )
∂
∂ ∂
= ∂
∂
∂
∂
2f
x y xf
y
ou
f fyx y x= ( )
Derivando duas
vezes em relação a x.
Derivando duas
vezes em relação a y.
Derivando primeiro em
relação a x e depois em
relação a y.
Derivando primeiro
em relação a y e
depois em relação a x.
Derivadas puras Derivadas mistas
Atenção à notação!!
Note que
∂
∂
∂
∂
= ( )
y
f
x
fx y
, isto é, ∂
∂ ∂
=
2f
y x
fxy .
Exemplo 6.1
Calcule as quatro derivadas parciais de segunda ordem da função f x y xy xy x,( ) = + + +3 25 2 1.
Solução
Mantendo y constante, vamos derivar duas vezes em relação a x.
f
f
x
y
x
x
y
x
x
x
x
y yx = ∂
∂
=
∂( )
∂
+
∂( )
∂
+
∂( )
∂
+ = + +3 2 3 25 2 0 5 2
.
103
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE VÁRIAS VARIÁVEIS
Como vemos, o resultado da primeira derivada em relação a x está em função de y, que é constante.
Portanto, ao derivar pela segunda vez:
f
z
x
xx = ∂
∂
=
2
2 0
Mantendo x constante, vamos derivar duas vezes em relação a y.
f
f
y
x
y
y
x
y
y
x
y y
xy xy
y y
y = ∂
∂
=
∂( )
∂
+
∂( )
∂
+
∂( )
∂
+
∂( )
∂
= +
3 2
2
0 0
5 2 1 3 10
Como vemos, o resultado da primeira derivada em relação a y está em função de x, que é constante.
Portanto, ao derivar pela segunda vez:
f xy xyy = +6 10
Analogamente, ao derivar fx em função de y, temos:
f y yxy = +3 102
E, ao derivar fy em função de x, temos:
f y yyx = +3 102 .
Nota
As derivadas parciais de segunda ordem fxy e fyx são chamadas de derivadas parciais mistas de f.
Observe que as derivadas parciais mistas calculadas no exemplo anterior são iguais. Quando a função e
suas derivadas são contínuas, as derivadas parciais mistas de uma função f(x,y) são iguais.
Exemplo de aplicaçãoExemplo de aplicação
1) Encontre as equações das retas tangentes às curvas de interseção entre a superfície
z x y= − −16 4 2 2 e os planos y = 2 e x = 1 no ponto (1,2,8).
a) Interseção entre a superfície z x y= − −16 4 2 2 e o plano y = 2
A equação da curva formada pela interseção do plano y = 2 com a superfície é:
z x z x= − − → = −16 4 2 12 42 2 2
A curva de interseção é uma parábola no plano xz. A reta tangente a essa parábola no ponto
P x y z P( , , ) ( , , )0 0 0 12 8= está, então, contida no plano xy e sua equação é dada na forma:
z z m x x e y y= + − =0 1 0 0( )
104
Unidade I
O coeficiente angular (m1) da reta tangente é o valor de
∂
∂
z
x
, quando x = 1 e y = 2.
∂
∂
= − → ∂
∂
= = − = −
= + − = + − −
z
x
x y x
z
x
m
z z m x x x
( , ) ( , ) .
( ) ( )(
8 12 8 1 8
8 8 1
1
0 1 0 )) = − + = − +8 8 8 8 16x x
Equação da reta: z x e y= − + =8 16 2
b) Interseção entre a superfície z x y= − −16 4 2 2 e o plano x = 1
A curva formada pela interseção do plano x =1 com a superfície é a parábola z = 12 -y2 no plano yz.
O coeficiente angular (m2) da reta tangente a essa parábola no ponto (1,2,8) é o valor de ∂
∂
z
y
, quando
x=1 e y = 2.
∂
∂
= − → ∂
∂
= = − = −z
y
x y y
z
y
m( , ) ( , ) .2 12 2 2 42
A reta tangente está contida no plano yz e sua equação é da forma
z z m y y y y y= + − = + − − = − + = − +0 0 8 4 2 8 4 8 4 16( ) ( )( ) .
Equação da reta: z y e x= − + =4 16 1
2) Encontre a equação da reta contida no plano y = 2 e tangente à curva obtida pela interseção do
gráfico de z = x2 + y2 com o plano y = 2 no ponto (2,2,8).
Coeficiente angular da reta tangente à curva de interseção entre a superfície e o plano y = 2
m
z
x
x
z
x1 2 2 8 2 2 4= ∂
∂
= → ∂
∂
= =( , ) .
Equação da reta:
z z m x x x x x
z x e y
= + − = + − = + − =
= =
0 0 8 4 2 8 4 8 4
4 2
( ) ( )
Encontre a equação do plano tangente ao paraboloide elíptico 2 4 6 02 2x y z+ − = , no ponto
P = (5, 1, 9).
Resolução:
Para resolver essa questão, usaremos a equação do plano tangente, vista a seguir:
z z f x y x x f x y y yx y− = − + −0 0 0 0 0 0 0( , ) * ( ) ( , ) * ( ) .
105
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE VÁRIAS VARIÁVEIS
Primeiro, definiremos nos pontos os valores para x y z x y z0 0 0 0 0 0, , , ,( ) .
Sabemos que o ponto x y z
x
y
z
0 0 0
0
0
0
5 19
5
1
9
, , ( , , )( ) = =>
=
=
=
Agora, devemos isolar z na equação. Logo:
2 4 6 0
2 4 6
2 4
6
3
2
3
2 2
2 2
2 2
2 2
x y z
x y z
z
x y
z
x y
+ − =
+ =
= +
= +
Isolamos o z. Portanto, continuaremos a resolver o exercício.
O próximo passo é definir quem são os termos na equação do plano tangente. Para que possamos
organizar o passo a passo de resolução do exercício, devemos determinar as derivadas parciais nos
pontos (5,1,9), isto é,
f x y f i
f x y f ii
f
x y
f
x x
y y
x
( , ) ( , ) ( )
( , ) ( , ) ( )
0 0
0 0
2 2
5 1
5 1
3
2
3
=
=
= + => xx x x
y y
x
f f i
e
f
x y
f
y
= => = => =
= + => = =>
2
3
5 1
2 5
3
5 1
10
3
3
2
3
4
3
2 2
( , )
*
( , ) ( )
ff f iiy y( , )
*
( , ) ( )5 1
4 1
3
5 1
4
3
= => =
Vamos substituir (i) e (ii) na equação do plano tangente.
z z f x y x x f x y y y
z x y
x y− = − + −
− = − + −
0 0 0 0 0 0 0
9
10
3
5
4
3
( , ) * ( ) ( , ) * ( )
* ( ) * ( 11
10
3
50
3
4
3
4
3
9
10
3
4
3
9
)
z
x y
z
x y
= − + − +
= + −
106
Unidade I
O valor -9 é resultado da soma de frações − − + = − = −50
3
4
3
9
1
27
3
9.
Logo, a equação do plano tangente é: z
x y= + −10
3
4
3
9.
A seguir, apresentamos a representação gráfica do plano tangente ao paraboloide elíptico
2 4 6 02 2x y z+ − = , no ponto P = (5, 1, 9).
z = xx/3+2yy/3
z = 10x/3
(x,y,z) = (5,1,9)
x
y
z
Figura 72
Dada a função 2 2 22 2x y z+ = , determinar a equação do plano tangente em P = (1, -2, 5) e
representá-la graficamente.
Resolução:
A equação no plano tangente é dada por:
z z fx x y x x fy x y y y− = − + −0 0 0 0 0 0 0( , ) * ( ) ( , ) * ( ) .
O primeiro passo é isolar o z:
2 2 2
2 2
2
2 2
2 2
x y z
x y
z
+ =
+ =
Simplificando:
x y z2 2+ = .
107
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE VÁRIAS VARIÁVEIS
O segundo passo é determinar as derivadas parciais em x e em y.
x y z f x y x y
f x y x f f ex x x
2 2 2 2
2 1 2 2 1 1 2 2
+ = => = +
= => − = => − =
( , )
( , ) ( , ) * ( , )
ff x y y f fy y y( , ) ( , ) * ( ) ( , )= => − = − => − = −2 1 2 2 2 1 2 4
Devemos, agora, substituir as informações desenvolvidas até aqui na equação do plano tangente:
z z f x y x x f x y y y
z x y
x y− = − + −
− = − + − −
0 0 0 0 0 0 0
5 2 1 4
( , ) * ( ) ( , ) * ( )
* ( ) ( ) * ( (( ))
( ) * ( )
−
− = − + − +
− = − − −
− = − −
= − −
2
5 2 2 4 2
5 2 2 4 8
5 2 10 4
2 4
z x y
z x y
z x y
z x y 110 5
2 4 5
+
= − −z x y .
Veja a representação gráfica da superfície com seu plano tangente em P = (1, - 2, 5).
z = x^2+y^2
z = 2x-4y-5
(x,y,z) = (1,-2,5)
x
y
z
Figura 73
A construção de gráficos usando recurso computacional de plano tangente será demonstrada no
capítulo 5.
108
Unidade I
3.6 Derivada direcional e vetor gradiente
3.6.1 Vetor gradiente
Se f for uma função de duas variáveis x e y e se as derivadas parciais fx e fy existirem, então, o
gradiente de f, denotado por ∇f (∇f: leia “del de f” e o símbolo ∇) é o operador nabla.
Definição:
∇f(x, y) = (fx(x, y), fy(x, y))
Interpretação
O vetor gradiente é o vetor que tem como coordenadas as derivadas parciais da função em estudo.
Exemplo
Se f(x, y) = 2x2 +3xy + 3y2, então, para calcularmos o gradiente de f no ponto (2, 1), isto é, ∇f(2, 1),
primeiro calculamos as derivadas parciais fx e fy.
Lembre-se: para determinar fx, derivo f considerando x variável e y constante. E, para determinar
fy, derivo f considerando x constante e y variável.
Vamos calcular as derivadas parciais:
em x: fx(x, y) = 4x + 3y;
em y: fy(x, y) = 3x + 6y.
Aplicando as derivadas no ponto (2,1):
fx(2, 1) = 8 + 3 = 11 e fy(2, 1) = 6 + 6 = 12
Logo:
∇f(2, 1) = (fx(2, 1), fy(2, 1)) = (11, 12)
3.6.2 Interpretação geométrica do vetor gradiente
Dada uma superfície em R3, formada pelos pontos (x, y, f(x, y)), considerando uma curva de nível
genérica dessa superfície (tal curva estará no domínio da função f), o vetor gradiente será perpendicular
a tal curva de nível, estará contido no plano xy e apontará no sentido e na direçãoem que a função tem
a taxa máxima de variação.
109
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE VÁRIAS VARIÁVEIS
Em síntese, o vetor gradiente é sempre perpendicular a uma curva de nível (as curvas de nível estão
plano xy) e indicará a direção e o sentido em que a função tem taxa máxima de variação.
Expansão do conceito:
Se f for uma função de três variáveis x, y, z e se as derivadas parciais fx, fy, fz existirem, então, o
gradiente de f, denotado por ∇f, é definido por:
∇f(x, y, z) = (fx(x, y, z), fy(x, y, z), fz(x, y, z))
Exemplo
O gradiente de f(x, y, z) = 5xyz + 2x2y2 + 3z-1 é:
∇f(x, y, z) = (fx(x, y, z), fy(x, y, z), fz(x, y, z)) =
= (5yz + 4xy2, 5xz + 4x2y, 5xy - 3z-2)
3.6.3 Derivada direcional Duf (x,y)
A derivada direcional permite determinar a taxa de variação de uma função de duas ou mais variáveis
em qualquer direção.
Se f é uma função diferenciável em x e y, então f tem derivada direcional na direção e no sentido de
qualquer versor u:
D f x y f x y u ou D f x y f x y f x y uu u x y( , ) ( , ) ( , ) ( , ), ( , )0 0 0 0 0 0 0 0 0 0�� � � �
Para determinarmos a derivada direcional, precisamos:
1) calcular o vetor gradiente da função em ( , )x y0 0 ;
2) encontrar o versor u;
3) determinar o produto escalar (ou interno) entre o gradiente e o versor.
Atenção:
1) Se o versor u faz um ângulo θ com o eixo x, então podemos escrever
u = (cosθ, senθ), assim:
D f x y f x y f x y sen f x y fu x y x y
( , ) ( , ), ( , ) . cos , ( , ).cos0 0 0 0 0 0 0 0� � �� � � (( , ).x y sen0 0 �
110
Unidade I
2) Se o versor u = (a, b), então:
Duf x y f x y f x y a b f x y a f x y bx y x y( , ) ( , ), ( , ) . , ( , ). ( , ).0 0 0 0 0 0 0 0 0 0= = +
3) Se u não é versor, então, temos que determinar o versor de u. Consideramos que w seja o versor
de u, logo:
w
u
u
onde u x y= = +, 2 2
3.6.4 Maximização da derivada direcional
Caso você precise saber em qual das direções f varia mais rapidamente e qual a taxa máxima de
variação, o que fazer? A resposta será dada por um teorema.
Seja f uma função de duas variáveis diferenciáveis no ponto P.
1) O máximo da derivada direcional em um ponto é dado pelo módulo do vetor gradiente em P, ou
seja: ∇f x y( , )0 0 .
2) O máximo da taxa de crescimento de f em P ocorre na direção do ∇f.
Lembrete
1) Devemos observar que î e ĵ são representações dos vetores i e j
→ →
.
Desse modo, o ∇ = ∂
∂
∂
∂
= ∂
∂
+ ∂
∂
f x y
f
x
f
y
f
x
f
y
j( , ) ( , ) î ^ .
Devemos nos habituar a diferentes formas de representação matemática.
2) Revisitando conceitos de vetores, versores e módulo de um vetor:
Se
u é versor de
v , então,
u = 1, ou seja, seu comprimento mede uma
unidade.
Lembrando que o versor de um vetor é sempre unitário.
Como determinar o versor
u de um vetor:
u
v
v
= , vale lembrar que
v x y= +2 2 ; isso se � �v ∈ 2.
Se
v R∈ ³ , então:
v x y z= + +² ² ² .
111
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE VÁRIAS VARIÁVEIS
Exemplo de aplicaçãoExemplo de aplicação
1) Determine o vetor gradiente (∇f) da função f x y x y sen x y( , ) ln( ) ( )= + +3 .
Resolução:
Temos que ^∇ = ∂
∂
∂
∂
= ∂
∂
+ ∂
∂
f x y
f
x
f
y
f x y
x
f x y
y
j( , ) ( , )
( , ) ( , )
î
A resolução é decorrente da determinação das derivadas parciais da função.
∂
∂
= + +
∂
∂
= + +
∂
∂
= +
f
x
x y x y
f
x
x y x y
e
f
y
x
y
3 1
3
1
2
2
3
* ln cos( ) *
ln cos( )
* cos(( ) *
cos( )
x y
f
y
x
y
x y
+
∂
∂
= + +
1
3
Contas feitas, devemos substituir na expressão do gradiente:
^∇ = ∂
∂
∂
∂
= ∂
∂
+ ∂
∂
∇ = +
f x y
f
x
f
y
f x y
x
f x y
y
j
f x y x y
( , ) ( , )
( , ) ( , )
( , ) ( ln
î
3 2 ccos( )) ( cos( ))x y i
x
y
x y j+ + + +
→ →3
2) Dada a função: f x y x xy y( , ) = − +2 2 4 , no ponto (2,3), com direção
v = ( , )
2
2
1
2
.
Resolução:
Precisamos determinar D f f f uu x y( , ) ( , ); ( , )2 2 2 2 2 2− = − − ∗
É dada a função f x y x xy y( , ) = − +2 2 4 , um ponto (2, -2) e a direção na qual desejamos calcular a
derivada direcional, na direção do vetor v = ( , )
2
2
1
2
.
Na prática, precisamos primeiro determinar as derivadas parciais no ponto (2, 2), isto é, fx(2,-2) e
fy(2,-2).
112
Unidade I
f x y x xy y
f x y
f
f
f x
f
x
x
xp
y
y
( , )
( , ) * *
.
(
= − +
= −
− = − −
=
= − +
2 2 4
2 2
2 2 2 2 2 2
8
2 4
22 2 2 2 4
0
, ) *
.
− = − +
=fyp
Agora, você já sabe que a derivada direcional deve ser calculada na direção de um versor, um vetor
de tamanho um. Logo, precisamos verificar o tamanho do vetor
v . Se o módulo do vetor
v for 1,
significa que
v já é um versor; se isso ocorrer, fazemos
v u= .
Caso contrário, isto é, o módulo de
v seja diferente de 1, precisamos determinar o versor
u , que é
obtido pela conta
u
v
v
= .
v
v
v
v
= +
= +
=
= ≠
( ) ( )
2
2
1
2
1
2
1
4
3
4
3
2
1
2 2
Como o módulo do vetor não é unitário, temos que determinar o versor.
u
v
v
u
u
=
=
=
( ; )
( ; ) *
2
2
1
2
3
2
2
2
1
2
2
3
113
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE VÁRIAS VARIÁVEIS
Multiplicando os valores e racionalizando, temos o versor que iremos usar na equação da
derivada direcional.
u = ( ; )
6
3
3
3
Já temos os valores das derivadas em relação às variáveis e também o valor do versor. Podemos,
então, calcular a derivada direcional para este exercício.
D f f f uu x y( , ) ( , ), ( , )2 2 2 2 2 2− = ∗
Substituindo o que temos de informações na equação anterior:
D f
D f
D f
u
u
u
( , ) , ,
( , )
( , )
2 2 8 0
6
3
3
3
2 2
8 6
3
0
2 2
8 6
3
− = ∗
− = +
− =
3) A função dada é f x y x xy y( , ) = − +2 6 83 2, a direção θ π=
4
e o ponto P = (1,2).
Resolução:
(x,y) = cosθ, senθ)
y
xθ
Figura 74
Sabemos que um ângulo pode fornecer uma direção, tornando fácil escrever um versor dado certo
ângulo, pois
u sen= (cos , )θ θ .
Queremos determinar a derivada direcional no ponto (1,2), isto é,
D f x y f x y f x y sen
D f f u
D f
u x y
u
u
( , ) ( , ) * cos ( , ) *
( , ) ( , ) *
( ,
= +
= ∇
θ θ
12 12
122 12 12
4 4
) ( ( , ), ( , )) * (cos , )= f f senx y
π π
114
Unidade I
Vamos às contas: derivando a função nas variáveis x e y.
Dada f x y x xy y( , ) = − +2 6 83 2
f x y f x y
f f
f f
x y
xp yp
xp yp
= − = − +
= − = − +
= − = −
6 6 6 16
6 1 6 2 6 1 16 2
6 12 6
2
2* * * *
++
= − =
32
6 26f fxp yp. .
O próximo passo é substituir os dados que calculamos, em:
D f f f sen
D f f
u x y
u x
( , ) ( ( , ), ( , )) * (cos , )
( , ) ( , ) * c
12 12 12
4 4
12 12
=
=
π π
oos ( , ) *
( , ) * cos *
( , ) *
π π
π π
4
12
4
12 6
4
26
4
12 6
2
+
= − +
= −
f sen
D f sen
D f
y
u
u 22
26
2
2
12 3 2 13 2
12 10 2
+
= − +
=
*
( , )
( , )
D f
D f
u
u
O resultado da derivada direcional na direção θ π=
4
, no ponto P = (1,2), é, portanto,D fu ( , ) .12 10 2=
4) Dada a função f x y x y y( , ) = −3 42 3 2 , o ponto P = (2,1) e o vetor
v i j= +2 3 . Determine a derivada
direcional de f na direção de v, no ponto P.
Resolução:
Vamos derivar a função em relação às variáveis x e y, já aplicando no ponto p.
f x y x y y
f x y f x y y
f f
x y
xp yp
( , )
* *
* * * * *
= −
= = −
= =
3 4
6 3 2 8
6 2 1 3 2 2 1
2 2 2
2 2
2 2 −−
= =
8 1
12 16
*
f fxp yp
115
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE VÁRIAS VARIÁVEIS
Verificar se o vetor
v é unitário, lembrando que o vetor
v i j= +2 3 . Determinando o módulo do vetor:
v
v
v
= +
= +
=
2 3
4 9
13
2 2
.
Como
v não é versor, vamos determinar o versor
u do vetor
v , pois a derivada direcional é obtida
pelo gradiente de uma função num ponto com o produto interno de um versor.
u
v
v
u
i j
u
=
= +
=
2 3
13
2
13
3
13
, .
Agora que temos o versor, podemos determinar a derivada direcional D f x yu ( , ) .
D f f x y f x y uu x y( , ) ( , ), ( , ) *12 �� �
Substituindo as informações de fx, fy e o versor u:
D f f f u
D fD f
u x y
u
u
( , ) ( , ), ( , )
( , ) , ,
(
2 1 2 1 2 1
2 1 12 16
2
13
3
13
= ∗
= ∗
22 1
24
13
48
13
2 1
72
13
, )
( , )
= +
=D fu
Racionalizando o resultado da derivada direcional, temos:
D fu 2 1
72
13
13
13
72 13
13
,( ) = ∗ =
116
Unidade I
O resultado final, portanto, é:
D f
D f
u
u
( , )
( , ) .
2 1
72
13
13
13
2 1
72 13
13
� �
�
5) Determinar o vetor gradiente ∇f, a partir da função f x y x xy( , ) = −2 22 , e esboce-o num gráfico.
a) No ponto p(1,2)
Resolução:
Devemos determinar as derivadas parciais da função em x e em y.
Representamos a derivada parcial em x na direção i e a derivada parcial em y na direção j.
∇ = − −f x y i x j( ) ( )4 2 2
Aplicando o ponto p(1, 2), temos:
∇ = − −
∇ = − −
∇ = −
∇
f i j
f i j
f i j
f
( , ) ( * * ) ( * )
( , ) ( )
( , )
(
12 4 1 2 2 2 1
12 4 4 2
12 0 2
112 2, ) .= − j x
y
1
1 2 3
2
∇f(1,2)
P(1,2)
Q(2,4)
3
4
PQ v
� �� �=
Figura 75 – Representação gráfica do vetor e do gradiente da função em (1,2)
b) Determinar a derivada direcional da função em P(1,2), na direção do vetor PQ
� ��
para Q(2,4), dados
dois pontos.
117
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE VÁRIAS VARIÁVEIS
Resolução:
Para representar o vetor PQ
� ��
, devemos fazer uma subtração do (Q – P), veja como:
� � ��
�
�
�
�
v PQ
v Q P
v
v
v i j
=
= −
= −
= − −
= +
( , ) ( , )
( , )
.
2 4 12
2 14 2
1 2
Para determinar a derivada direcional, necessitamos do versor de
v .
O vetor unitário com a direção de
v será:
u
v
v
=
u
i j
u
i j
u i j
= +
+
= +
= +
2
1 2
2
5
1
5
2
5
2 2
Após encontrarmos o versor e o vetor gradiente, podemos determinar a derivada direcional.
D f f u
D f
u
u
( , ) ( , ) *
( , ) ( , ) * ( , )
12 12
12 0 2
1
5
2
5
��
� �
Devemos lembrar que o vetor gradiente resultou em 0 2
i j− , isto é, vetor (0,-2). Portanto,
D f
D f
u
u
( , )
( , ) .
12 0
4
5
12
4
5
� �
� �
118
Unidade I
Exemplo de maximização da derivada direcional
Vale lembrar que: D f x y fu ( , )max � � .
A função dada é f x y x y( , ) = + +2 2 22 2 .
a) Encontrar a direção segundo a qual f(x,y) cresce no ponto P(1,2) e determinar a taxa máxima de
crescimento de f em P.
Para resolver esta parte do exercício, devemos encontrar o vetor gradiente.
∇ = +f x y xi yj( , ) 4 4
Aplicando o ponto P(1,2):
∇ = +
∇ = +
f
f i j
( , ) * *
( , ) .
12 4 1 4 2
12 4 8
P(1,2)
∇f(1,2)
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
-1
y
x
-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Figura 76 – Representação do gradiente de f x y x y( , ) = + +2 2 22 2 no ponto
A taxa máxima de aumento de f no ponto P(1,2)
Para definir qual a maximização da função no ponto, devemos calcular o módulo do gradiente da
função. Veja:
∇ = +f i j( , )12 4 8
119
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE VÁRIAS VARIÁVEIS
∇ = +
∇ = +
∇ = = =
∇ =
f
f
f
f
( , )
( , )
( , ) * * * *
( , ) *
12 4 8
12 16 64
12 80 4 4 5 4 4 5
12 2
2 2
22 5
12 4 5
*
( , ) .∇ =f
Logo, a taxa máxima de aumento de f no ponto P(1,2) será 4 5 .
b) A superfície f x y x y( , ) = + +2 2 22 2 é um paraboloide circular.
O ponto P(1,2) e o vetor � � �f i j( , )12 4 8 são representados no plano x, y; já o ponto Q é representado
na superfície.
Desenvolvimento:
O ponto Q na superfície é correspondente a P, e será obtido por Q f z= ( , , )12 0 .
Calculando z0.
z f ou seja
z
z
0
0
2 2
0
12
2 2 1 2 2
2 2 8 12
=
= + +
= + + =
( , ), ,
* ( ) * ( )
Logo, Q = (1,2,12).
Se movermos um ponto no plano Se movermos um ponto no plano xyxy passando por P na direção do ponto passando por P na direção do ponto ∇∇f(1,2), o ponto Q f(1,2), o ponto Q
correspondente ao gráfico descreve uma curva C de máximo aclive no paraboloide.correspondente ao gráfico descreve uma curva C de máximo aclive no paraboloide.
4 MÁXIMOS E MÍNIMOS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS
4.1 Conceituando pontos de máximo, de mínimo e de sela
Uma importante aplicação do estudo de derivadas parciais é encontrar seu ponto de máximo ou de
mínimo. Por exemplo: encontrar a máxima produção de uma firma com um dado orçamento ou entre
as possíveis combinações de consumos encontrar aquela que permite obter certo nível de produção com
o menor custo.
120
Unidade I
Lembrete
Vale lembrar que, para determinar os pontos críticos de função de
uma variável, devemos realizar a derivada primeira e igualar a função
a zero. Ao resolver a equação resultante, você terá os candidatos a
pontos críticos.
Seja f uma função de duas variáveis definida em uma região que contém (x0,y0). O número f (x0,y0)
é um máximo relativo de f se existe uma região circular R centrada em (x0,y0), tal que f(x,y) f(x0,y0), para todo par (x,y) em R.
P
Q
S
T
L
F(x,y)
Os pontos P e Q são pontos
de máximo, porque qualquer
deslocamento em sua vizinhança
irá descer.
O ponto S é uma sela porque
nos sentidos SP e SQ sobe, mas no
sentido SL ou ST desce.
Figura 77
Descobrir um ponto de máximo ou de mínimo pode exigir o conhecimento do gráfico de f e, para
isso, existem teoremas que nos auxiliam nesse sentido.
Teorema 5.1
“Seja f uma função a duas variáveis x e y, e seja (x0,y0) um ponto interior ao domínio de f. Se (x0,y0)
for um ponto de máximo ou de mínimo e se existirem fx e fy, então fx(x0,y0) = 0, e fy(x0,y0) = 0.” Portanto,
os pontos que anulam simultaneamente as derivadas fx e fy são chamados pontos críticos de f.
4.2 Determinando pontos de máximo, de mínimo e de sela
Exemplo 1
Seja f(x,y) = x2 +y2 -2x+1. Os possíveis pontos de máximo ou de mínimo são aqueles para os quais
fx = 0 ou fy = 0. Então,
fx = 2x -2 fy = 2y
121
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE VÁRIAS VARIÁVEIS
Solução:
Fazendo 2x - 2 = 0 e 2y = 0, temos x = 1 e y = 0, que é o ponto (1,0). O teorema 3.1 assegura-nos
que, se f tiver um ponto de mínimo ou de máximo, este só poderá ser o ponto (1,0).
Exemplo 2
Seja f(x,y) = x2 + y2 - 2x - 2y + xy. Os possíveis pontos de máximo ou de mínimo são aqueles para
os quais fx = 0 e fy = 0. Então, fx = 2x - 2 + y e fy = 2y - 2 + x. Igualando a zero essas derivadas parciais,
temos:
2 2 0
2 2 0
x y
y x
− + =
− + =
cuja solução é o ponto
2
3
2
3
,
.
Vamos à resolução:
Primeiro, isolaremos y na primeira equação do sistema.
2x - 2 + y = 0 => y = 2 - 2x, vamos substituir essa expressão encontrada para y na segunda equação
do sistema, ou seja, em 2y - 2 + x = 0. Logo, temos:
2 2 2 2 0 4 4 2 0 3 2
2
3
* ( )− − + = => − − + = => − = − => =x x x x x x
Vamos substituir o valor de x em y = 2 - 2x,
temos y y= − => = − =2 2
2
3
6 4
3
2
3
.
Assim,
2
3
2
3
,
é ponto crítico de f x y x y x y xy,( ) = + − − +2 2 2 2 .
O resultado do item 4.1 assegura-nos que, se f tiver um ponto de mínimo ou de máximo, este só
poderá ser o ponto
2
3
2
3
,
, uma vez que foi o único ponto crítico encontrado.
A seguir, apresentamos uma tabela pela qual você pode avaliar numericamente e indicar o fato que
2
3
2
3
,
é pelo menos um mínimo relativo da função.
122
Unidade I
Tabela 6
YX 0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80
0,50 -1,2500 -1,2725 -1,2900 -1,3025 -1,3100 -1,3125 -1,3100
0,55 -1,2795 -1,2925 -1,3075 -1,3175 -1,3225 -1,3225 -1,3175
0,60 -1,2900 -1,3075 -1,3200 -1,3375 -1,3300 -1,3275 -1,3200
0,65 -1,3025 -1,3175 -1,3275 -1,3325 -1,3325 -1,3275 -1,3175
0,70 -1,3100 -1,3225 -1,3300 -1,3225 -1,3300 -1,3225 -1,3100
0,75 -1,3125 -1,3225 -1,3275 -1,3275 -1,3225 -1,3125 -1,2975
0,80 -1,3100 -1,3175 -1,3200 -1,3175 -1,3100 -1,2975 -1,2800
0,85 -1,3025 -1,3075 -1,3075 -1,3025 -1,2925 -1,2775 -1,2575
0,90 -1,2900 -1,2925 -1,2900 -1,2825 -1,2700 -1,2525 -1,2300
0,95 -1,2795 -1,2725 -1,2675 -1,2575 -1,2425 -1,2225 -1,1975Segunda regra da cadeia ..................................................................................................................... 97
3.4 Derivada de uma função implícita de duas ou mais variáveis ........................................100
3.5 Derivadas de ordem superior.........................................................................................................102
3.6 Derivada direcional e vetor gradiente .......................................................................................108
3.6.1 Vetor gradiente .....................................................................................................................................108
3.6.2 Interpretação geométrica do vetor gradiente ..........................................................................108
3.6.3 Derivada direcional Duf (x,y) ............................................................................................................109
3.6.4 Maximização da derivada direcional ............................................................................................ 110
4 MÁXIMOS E MÍNIMOS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS ..........................................................119
4.1 Conceituando pontos de máximo, de mínimo e de sela ....................................................119
4.2 Determinando pontos de máximo, de mínimo e de sela ...................................................120
4.3 Critérios para caracterização de um ponto de máximo ou de mínimo .......................124
4.4 Máximos e mínimos com restrições; Multiplicadores de Lagrange ...............................133
Unidade II
5 INTEGRAIS DUPLAS: RETOMANDO OS CONCEITOS E O CÁLCULO DE UMA INTEGRAL .........149
5.1 Integral a duas variáveis ..................................................................................................................157
5.2 Integral dupla.......................................................................................................................................159
5.3 Integral dupla em uma região retangular ................................................................................160
5.4 Escolha da ordem de integração ..................................................................................................161
6 INTEGRAIS DUPLAS: INTEGRAIS SOBRE REGIÕES NÃO RETANGULARES ...............................166
6.1 Integrais sobre regiões genéricas .................................................................................................166
6.2 Integrais duplas em coordenadas polares ................................................................................180
Unidade III
7 CONCEITOS, CLASSIFICAÇÃO E EXISTÊNCIA E UNICIDADE DE SOLUÇÕES DE
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ..............................................................................................................................194
7.1 Conceitos básicos ...............................................................................................................................194
7.2 Classificação da equação diferencial quanto ao tipo de derivação ..............................195
7.2.1 Equação diferencial ordinária ......................................................................................................... 195
7.2.2 Equação diferencial parcial .............................................................................................................. 195
7.3 Ordem de uma equação diferencial ............................................................................................195
7.4 Classificação da equação diferencial quanto a sua linearidade .....................................196
7.5 A notação da equação diferencial ...............................................................................................197
7.6 Existência da solução de uma equação diferencial ..............................................................198
7.7 Existência e unicidade de soluções de equações diferenciais ..........................................203
8 RESOLVENDO ALGUNS TIPOS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS .......................................................213
8.1 Equações Diferenciais de Variáveis Separáveis ......................................................................213
8.1.1 Introdução ...............................................................................................................................................213
8.1.2 Equações diferenciais de variáveis separáveis ..........................................................................216
8.2 Equações Diferenciais de Primeira Ordem ...............................................................................226
8.2.1 Introdução .............................................................................................................................................. 226
8.2.2 A solução geral da equação diferencial de primeira ordem ............................................... 227
8.3 Aplicações: Modelagem utilizando equações diferenciais de primeira ordem .........239
8.3.1 Crescimento e decaimento .............................................................................................................. 239
7
APRESENTAÇÃO
Nesta disciplina, ampliaremos vários dos conceitos já estudados de cálculo diferencial de uma
variável e cálculo integral de uma variável. Nosso estudo de cálculo diferencial de várias variáveis está
apoiado em ideias e conceitos que desenvolvemos em funções de uma variável. Tomando os conceitos
de funções de variáveis como ponto de partida, faremos a expansão lógica das operações com funções
reais de uma variável para duas ou mais variáveis.
Funções de duas ou mais variáveis independentes aparecem nas ciências mais frequentemente
que funções de uma variável. Elas estão presentes nos estudos de probabilidade estatística, na
determinação de volumes de superfícies, na eletricidade, nas análises de produtividade (marginal
de mão de obra e marginal de capital), em situações de otimização – determinação de máximos e
mínimos –, na determinação de taxa de variação, na modelagem de situações reais, em métodos
de mínimos quadrados, na determinação de volumes e áreas de superfícies, na física, no cálculo
de massa, carga elétrica, centro de massa, momento de inércia, na avaliação da taxa a qual um
poluente liberado no meio ambiente dispersa, na mensuração da intensidade dos ventos de um
furação, no planejamento de chips para computador, na relação entre o preço de um produto e na
procura do consumidor, entre outros.
O tema Equações Diferenciais lida com problemas de taxa de variação. Uma equação diferencial é
uma equação que envolve derivadas, ou seja, é um problema que encerra relações de variáveis da forma:
dx
dt
f t= ( ) .
Na equação anterior, pode-se observar x como deslocamento em função do tempo t e, assim, ler que
a velocidade dx
dt
é função do tempo t.
Este livro-texto apresenta, no primeiro plano, a importância do conhecimento em equações
diferenciais para sua formação profissional. Mostra ao estudante uma ferramenta matemática para a
resolução de exercícios de equações diferenciais, em diversos campos do conhecimento.
Os objetivos específicos são reconhecer e identificar uma equação diferencial, utilizar um método
de solução para a equação diferencial e visualizar problemas que envolvam taxas de variação de
quantidades variáveis.
O conteúdo programático consiste em:
• classificação das equações diferenciais;
• equações diferenciais de primeira ordem – introdução;
• existência e unicidade de soluções de equações diferenciais;
• equações de variáveis separáveis;
• equações lineares de primeira ordem;
8
De forma sucinta, pode-se destacar que será realizado o estudo da classificação e da identificação de
equações diferenciais e adotado um método de solução para cada tipo de equação diferencial. Exemplos
práticos nos diversos campos do conhecimento serão apresentados para ilustrar os tópicos abordados.
INTRODUÇÃO1,00 -1,2500 -1,2475 -1,2400 -1,2275 -1,2100 -1,1875 -1,1600
O interior da tabela fornece-nos os valores de f x y( , )0 0 . Quando ( , ) ( , )x y0 0
2
3
2
3
→ , selecionamos em
azul os valores mínimos da tabela, esses valores são mínimos locais da função. A seguir, mostraremos
graficamente que a função tem apenas um valor mínimo. Logo, esse mínimo é global.
x
y
z
Figura 78 – Representação gráfica de f x y x y x y xy,( ) = + − − +2 2 2 2
Mais adiante, aprenderemos a classificar algebricamente se o ponto crítico encontrado, no caso
deste exemplo
2
3
2
3
,
, é máximo, mínimo, sela ou se nada podemos afirmar a respeito dele.
Exemplo 3
Seja f(x,y) = 2x + 3y - 5. Temos fx = 2 e fy = 3. Como fx e fy nunca se anulam, f não terá ponto de
máximo nem de mínimo.
Veja a seguir a representação gráfica dessa função:
123
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE VÁRIAS VARIÁVEIS
x
y
z
Figura 79 – Representação gráfica de f x y x y,( ) = + −2 3 5
Observação:
O resultado do item 4.1 só garante pontos de máximo ou de mínimo. Pode ocorrer que fx(x0,y0) = 0
e fy(x0,y0) = 0 sem que (x0,y0) sejam ponto de máximo ou de mínimo. É o que ocorre com a função
f(x,y) = xy. Temos: fx = y e fy = x; portanto, o ponto crítico é (0,0).
y
z
x
Figura 80 – Representação gráfica de f(x,y) = xy
Verifica-se que o gráfico da função f(x,y) = xy tem o aspecto de uma “sela de cavalo” e o ponto (0,0)
é chamado ponto de sela.
124
Unidade I
4.3 Critérios para caracterização de um ponto de máximo ou de mínimo
Se f tem derivadas parciais de primeira e de segunda ordem contínuas em uma região aberta, e se
existir um ponto (x0,y0) na região, tal que fx(x0,y0) = 0 e fy(x0,y0) = 0, então, podemos utilizar
∆ = ( )⋅ ( ) − ( ) f x y f x y f x yxx yy xy0 0 0 0 0 0
2
, , , .
Fazendo f x y A f x y B e f x y Cxx yy xy0 0 0 0 0 0, , , ,( ) = ( ) = ( ) = , temos ∆ = A . B - C2.
Então:
4.3.1 - f(x0,y0) é um ponto de mínimo se ∆ > 0 e A > 0.
4.3.2 - f(x0,y0) é um ponto de máximo se ∆ > 0 e A 0 A = 0 e ∆ 0
Conclusão Máximo relativo Ponto de sela Máximo relativo
A seguir, a representação gráfica da função que confirma nossa constatação feita na tabela anterior.
Ou seja, que a função possui dois pontos de máximo relativos, que não possui valor mínimo e que possui
um ponto de sela.
máximo relativo máximo relativo
sela
y
z
x
Figura 81 – Representação gráfica da função f x y xy x y,( ) = − −1
4
1
4
4 4
Note que, com a representação gráfica da função feita computacionalmente, conseguimos ver
os máximos relativos e a sela; mas não conseguimos determinar quais são esses valores. A seguir,
apresentaremos um quadro com a representação numérica dos valores da função contendo as
regiões dos pontos críticos, para confirmar os valores de máximos relativos indicados.
126
Unidade I
Tabela 8 – Representação numérica de f x y xy x y,( ) = − −1
4
1
4
4 4 no intervalo [-2,3]X[-2,2]
y
x -2,00 -1,50 -1,00 -0,50 0,00 0,50 1,00 1,50 2,00
-2,00 -4,000 -2,266 -2,250 -3,016 -4,000 -5,016 -6,250 -8,266 -12,000
-1,50 -2,266 -0,281 -0,016 -0,531 -1,266 -2,031 -3,016 -4,781 -8,266
-1,00 -2,250 -0,016 0,500 0,234 -0,250 -0,766 -1,500 -3,016 -6,250
-0,50 -3,016 -0,531 0,234 0,219 -0,016 -0,281 -0,766 -2,031 -5,016
0,00 -4,000 -1,266 -0,250 -0,016 0,000 -0,016 -0,250 -1,266 -4,000
0,50 -5,016 -2,031 -0,766 -0,281 -0,016 0,219 0,234 -0,531 -3,016
1,00 -6,250 -3,016 -1,500 -0,766 -0,250 0,234 0,500 -0,016 -2,250
1,50 -8,266 -4,781 -3,016 -2,031 -1,266 -0,531 -0,016 -0,281 -2,266
2,00 -12,000 -8,266 -6,250 -5,016 -4,000 -3,016 -2,250 -2,266 -4,000
2,50 -18,766 -14,781 -12,516 -11,031 -9,766 -8,531 -7,516 -7,281 -8,766
3,00 -30,250 -26,016 -23,500 -21,766 -20,250 -18,766 -17,500 -17,016 -18,250
Na tabela anterior, os valores máximos estão em azul e o valor de cela encontra-se em amarelo.
A seguir, analisaremos esses três pontos críticos.
Vamos analisar o ponto (-1,-1) ∈ D, que tem como imagem 0,5, isto é, f(-1,-1) = 0,5.
Tabela 9
y
x -1,50 -1,00 -0,50
-1,50 -0,281 -0,016 -0,531
-1,00 -0,016 0,500 0,234
-0,50 -0,531 0,234 0,219
Avalie os valores da região em
branco ao entorno de f(-1,-1) = 0,5,
em azul... E aí, percebeu que todos
os resultados são menores que 0,5?
Logo, 0,5 é um máximo local.
Vamos analisar o ponto (1,1) ∈ D, que tem como imagem 0,5, isto é, f(1,1) = 0,5.
Tabela 10
y
x 0,50 1,00 1,50
0,50 0,219 0,234 -0,531
1,00 0,234 0,500 -0,016
1,50 -0,531 -0,016 -0,281
Avalie os valores da região em
branco ao entorno de f(1,1) = 0,5,
em azul... E aí, percebeu que todos
os resultados são menores que 0,5?
Logo, 0,5 é um máximo local.
127
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE VÁRIAS VARIÁVEIS
Vamos analisar o ponto (0,0) ∈ D, que tem como imagem 0, isto é, f(0,0) = 0.
Tabela 11
y
x -0,50 0,00 0,50
-0,50 0,219 -0,016 -0,281
0,00 -0,016 0,000 -0,016
0,50 -0,281 -0,016 0,219
y
x -0,50 0,00 0,50
-0,50 0,219 -0,016 -0,281
0,00 -0,016 0,000 -0,016
0,50 -0,281 -0,016 0,219
C1
C2C3
Avalie os caminhos C1, C2 e C3 em torno de
f(0,0) = 0, em amarelo... E aí, o que você pôde
perceber?
Avaliação em separado dos caminhos:
Por C1: parte de -0,016, sobe para 0 e desce
para -0,016. Se fosse olhar só esse caminho, seria
máximo.
Por C2: parte de 0,219, desce para 0 e sobe
para 0,219. Se fosse olhar só esse caminho, seria
mínimo.
Por C3: parte de -0,016, sobe para 0 e desce
para -0,016. Se fosse olhar só esse caminho, seria
máximo.
Ao avaliarmos simultaneamente os caminhos,
temos que f(0,0) = 0 caracteriza-se como ponto
de sela.
Vale destacar que, usualmente, para levantar e classificar os pontos críticos de uma função, fazemos
apenas a avaliação usando a aplicação de derivadas.
Exemplo 2
Um painel plano tem a temperatura (T) dada em graus Celsius e modelada pela seguinte expressão:
T(x,y) = 32x2 + 48x + 40y2. Determine os pontos de temperaturas máximas e mínimas do painel.
Resolução
Para buscarmos valores máximos e mínimos, devemos derivar a função e igualar a derivada a zero.
Logo, precisamos fazer Tx = 0 e Ty = 0.
T x y x x y
T x e T y
x y
x
x y
( , ) � � �
� � � � �
� � �
� � �
32 48 40
64 48 0 80 0
64 48 0
48
64
2 2
��
� �
3
4
3
4
00 0segue que x y nosso ponto cr tico( , ) ( , ) .é í
Determinando:
T T T e Txx xy yx yy= = = =64 0 80;
128
Unidade I
Aplicando as derivadas de segunda ordem no ponto ( , )− 3
4
0 = P, temos:
T T T e Txx xy yx yy( , ) ; ( , ) ( , ) ( , )− = − = = − − =3
4
0 64
3
4
0 0
3
4
0
3
4
0 80
Lembrete
Para levantar e classificar os pontos críticos de uma função, fazemos
apenas a avaliação usando a aplicação de derivadas.
Tabela 12
Ponto crítico “P” A = Txx(P) B = Tyy(P) C = Txy(P) D = A.B-C2 Critério Avaliação
P = ( , )− 3
4
0 64 80 0 64.80-0 > 0 A > 0 e D > 0 MínimoComo esse ponto é mínimo, qualquer outro ponto na região de ( , )− 3
4
0 terá temperatura maior que
nesse ponto. Dessa forma, a menor temperatura do painel será:
T( , , ) ( , ) ( , ) ( )� � � � � � � �0 75 0 32 0 75 48 0 75 40 0 182 2
A título de conferência, apresentamos a tabela com as temperaturas na região do ponto crítico
levantado, confirmando que a temperatura mínima é de menos 18 graus (-18°) e ocorre no ponto
( , )− 3
4
0 .
Tabela 13
y
x -1.00 -0.75 -0.50 -0.25 0.00 0.25 0.50
-1,50 80,0000 45,0000 20,0000 5,0000 0.0000 5,0000 20,0000
-1125 70,0000 35,0000 10,0000 -5,0000 -10,0000 -5,0000 10,0000
-1,20 68,4800 33,4800 8,4800 -6,5200 -11,5200 -6.5200 8,4800
-1,15 67,1200 32,1200 7,1200 -7,8800 -12.8800 -7,8800 7,1200
-110 65,9200 30,9200 5,9200 -9,0800 -14,0800 -9,0800 5,9200
-1,05 64,8800 29,8800 4,8800 -10,1200 -15,1200 -10,1200 4,8800
-1,00 64,0000 29,0000 4,0000 -11,0000 -16.0000 -11,0000 4,0000
-0,95 632800 282800 3,2800 -11,7200 -16,7200 -11,7200 32800
-0,90 62,7200 27,7200 2,7200 -12.2800 -17.2800 -12,2800 2,7200
-0,85 62,3200 27,3200 2,3200 -12.6800 -17,6800 -12,6800 2,3200
129
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE VÁRIAS VARIÁVEIS
-0,80 62,0800 27,0800 2,0800 -12,9200 -17.9200 -12,9200 2,0800
-0,75 62,0000 27,0000 2,0000 -13,0000 -18;0000 -13,0000 2,0000
-0,70 62,0800 27,0800 2,0800 -12.9200 -17.9200 -12,9200 2,0800
-0,65 62,3200 27,3200 2,3200 -116800 -17,6800 -12,6800 2,3200
-0,60 62,7200 27,7200 2,7200 -12,2800 -17,2800 -12,2800 2,7200
-0,55 63,2800 28,2800 3,2800 -11,7200 -16.7200 -11,7200 3,2800
-0,50 64,0000 29,0000 4,0000 -11,0000 -16,0000 -11,0000 4,0000
-0,45 64,8800 29,8800 4,8800 -10.1200 -15,1200 -10,1200 4,8800
-0,40 65,9200 30,9200 5,9200 -9.0800 -14,0800 -9,0800 5,9200
Exemplo 3
Uma caixa retangular, sem tampa, deve ter 32 m3. Quais devem ser suas dimensões para que sua
superfície total seja mínima?
z
x
y
Figura 82
Resolução: seja x, y e z as arestas dessa caixa. Segue que o volume
V = xyz = 32 => z = 32/xy (i)
Área da superfície A = xy + 2zy + 2zx (ii)
Substituindo (i) em (ii), derivando e igualando as derivadas parciais a zero, temos:
A xy y
xy
x
xy
A xy
x y
A xy x y iii
Ax
� � � � � � � � � � �� �2
32
2
32 64 64
64 641 1* * ( )
(xx y y x A x y y
x
y
x
yx iv
A x y x
x
y
, ) ( , ) ( )
( , )
� � � � � � � � � �
� �
�64
64
0
64
642
2 2
2
664
64
0
64
642
2 2
2y A x y x
y
x
y
xy vy
� � � � � � � � �( , ) ( )
Igualando (iv) a (v), temos yx xy
x
x
y
y
x y vi2 2
2 2
= => = => = ( )
130
Unidade I
Substituindo (vi) em (iv), temos xx x x x2 3 3 364 64 4 4= => = => = => =
Segue que x = 4, y = 4 e z = 32/(4*4) => z = 32/16=> z = 2
Segue que x = y = 4 e z = 2 são os candidatos a pontos críticos.
Faremos agora as derivadas de segunda ordem e determinaremos o delta:
A
x
A x
x
A
x x xxx y y x y y A * * x, ,� � � � � � � � � � �� � �� �� �64
64 0 2 64
128
2
2 3
3
xx y yyy A yx y x x y x A x y * * y, , ,� � � � � � � � � � � � �� � �� �� � �64 64 0 2 642 2 3 1128
1
3x
A x y A x yyx xy( , ) ( , )� �
Avaliação do ponto
Tabela 14
Ponto crítico (4,4)
A A x yxx= ( , )0 0
128
4
128
64
23 = =
B A x yyy= ( , )0 0
128
4
128
64
23 = =
C A x yxy= ( , )0 0 1
∆ = ⋅ −A B C2 2 2 1 32* − =
Critério A > 0 e ∆ > 0
Conclusão Mínimo relativo
Exemplo 4
Uma empresa precisa fazer um projeto de uma calha de chapa de aço galvanizado de 24 cm de
largura, na qual se deseja fazer as dobras (nas duas laterais), de modo que a calha tenha formato
trapezoidal, conforme figura a seguir. Determine cada lateral x e o ângulo θ, de forma que a área da
seção da calha seja a máxima possível.
x
24 - 2x
x
θ
Figura 83
131
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE VÁRIAS VARIÁVEIS
Observação
Para resolver esse exercício, você vai usar as seguintes relações:
sen sen e2 2 2 2 12θ θ θ θ θ= = −cos * cos cos
Resolução:
Analisando a figura anterior, construímos a seguinte relação:
x
24 - 2x
xsenθ xcosθ
x
θ
Figura 84
Note que a área da seção da calha pode ser escrita como sendo área do retângulo da base 24-2x e
altura xsenθ mais a área dos dois triângulos de base xcoxθ e altura xsenθ. Desse modo, a função da área
da seção da calha pode ser escrita da seguinte forma:
A x f x x xsen x xsen
A x xsen
( , ) ( , ) ( ) * cos *
( , )
θ θ θ θ θ
θ θ
= = − +
= −
24 2 2
1
2
24 2xx sen x sen2 2θ θ θ+ * cos *
Se buscamos máximo ou mínimos, precisamos derivar em cada variável e igualar a zero, e é esse
procedimento que começamos a fazer agora.
Fazendo A
A x sen xsen xsen
Colocando sen em ev
x
x( , ) cosθ θ θ θ θ
θ
= − +24 4 2
iid ncia temos
A x sen x x
sen ou
x
ê , :
( , ) ( cos )θ θ θ
θ θ
= − + = =>
= => =
24 4 2 0
0 0 θθ π
θ
θ
=
− + =
( )
cos
cos
n o conv m
x x
Isolando na equa o acima
ã é
çã
24 4 2 0
,, :
cos cos cos ( )
temos
x x
x
x x
i2 4 24
4 24
2
2
12θ θ θ= − => = − => = −
132
Unidade I
A x xsen x sen x sen
Vamos fazer sen
( , ) * cos * ,
* cos
θ θ θ θ θ
θ θ
= − +
=
24 2
1
2
2 2
ssen da observa o segue que
A x xsen x sen x se
2
24 2
1
2
2 2
θ
θ θ θ
çã , :
( , ) *= − + nn
Fazendo A temos
A x x x
A x
2
24 2 2
1
2
2
24
2 2
θ
θ θ θ
θ
θ
θ
, :
cos cos * * * cos= − +
= ccos cos * cos
cos ( cos cos ) ,
θ θ θ
θ θ θθ
− +
= + − + =
2 2
24 2 2 0
2 2
2
x x
A x x vamos diividir a linha por x
x
Vamos substituir
24 2 2 0cos ( cos cos ) ,
c
θ θ θ+ − + =
oos cos , :
cos ( cos cos )
2 2 1
24 2 2 1 0
2
2
θ θ
θ θ θ
por da observação
x
V
−
+ − + − =
aamos substituir por
x
de i
x
x
cos ( )
(
θ 2
12
24 2
12
2 2
−
−
+ − − 112
2 2
12
1 02
x x
+ −
− =) ,
48
288
4
24
2 4
48 144
1 0
48
288
2−
+ − +
+ − +
− =
−
x
x
x x x
( )
xx
x x
x
x
x x x
x
+ − +( )+ − +
− =
+ − + − − +
4 24 8 96
288
0
48 24 96 8 4
288
( ) ( ) ( −− =
− =
=
=
288
0
3 24 0
3 24
8
x
x
x
x
)
Substituindo o valor de x em (i), ou seja, em cosθ = −2
12
x
, temos:
cos cos cos cosθ θ θ θ= − => = − => = => =2
12
8
16 12
8
4
8
1
2
Logo, θ = 60º
Desse modo, podemos dizer que se deve dobrar a chapa com um ângulo de 60° e que x = 8 cm.
133
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE VÁRIAS VARIÁVEIS
Saiba mais
Para saber mais sobre extremos de funções de duas ou mais variáveis,
consulte:
LIMA, J. D. Máximos e mínimos de funções de várias variáveis. Pato
Branco, [s. d.]. Disponível em: . Acesso em: 2 set. 2013.
4.4 Máximos e mínimos com restrições; Multiplicadores de Lagrange
Os multiplicadores de Lagrange são um método usado para maximizar ou minimizar uma função
z = f(x,y), sujeita a um vínculo (condição dada no padrão g(x,y) = 0). Esse método geralmente é mais
simples do que visto anteriormente. Vamos estudar os procedimentos para aplicar o método dos
multiplicadores de Lagrange para determinar os máximos e mínimos de uma função.
1) A função lagrangiana F será: F x y c f x y c g x y( , , ) ( , ) * ( , )= + , onde c é uma constante (c ∈ R), o valor
de c deverá ser determinado. Chamaremos c de multiplicador de Lagrange.
2) Buscaremos a solução para o sistema:
S
F x y c
F x y c
F x y c
x
y
c
1
0
0
0
:
( , , )
( , , )
( , , )
=
=
=
A solução do sistema S1 nos fornecerá os valores máximos e mínimos relativos da função F.
Observação
Esse método pode ser aplicado para funções com mais de duas variáveis!
Exemplo 1
Calcular o valor máximo para o produto de dois números cuja soma seja 26.
Resolução:
Sejam x e y os dois números procurados, temos que o produto será f(x,y) = x.y e desejamos que esse
resultado seja o máximo possível.
Restrição: x + y = 26, sabemos da teoria que g(x,y) deve ser igual a zero; logo, g(x,y) = x + y - 26.
134
Unidade I
1° passo
Definindo a função lagrangiana F(x,y,c), temos:
F x y c f x y c g x y
F x y c xy c x y
( , , ) ( , ) * ( , )
( , , ) * ( )
= +
= + + − 26
2° passoConstruindo o sistema S1
Sabemos que S
F x y c
F x y c
F x y c
x
y
c
1
0
0
0
:
( , , )
( , , )
( , , )
=
=
=
Vamos, primeiro, fazer as derivadas parciais de F, depois substituir os resultados no sistema S1.
F x y c xy c x y
F x y c y c F x y c yx x
( , , ) * ( )
( , , ) * * ( ) ( , , )
= + + −
= + + − => =
26
1 1 0 0 ++
= + + − => = +
= + +
c
F x y c x c y F x y c x c
F x y c x
y Y
c
( , , ) * * ( ) ( , , )
( , , ) * (
1 0 0
0 1 yy F x y c x yc− => = + −26 26) ( , , )
Acima, quando derivamos na variável x, y e c foram consideradas constantes; quando derivamos na
variável y, x e c foram consideradas constantes e, por fim, quando derivamos na variável c, x e y foram
consideradas constantes. Desse modo, temos:
S
F x y c
F x y c
F x y c
S
y c y cx
y
c
1 1
0
0
0
0
:
( , , )
( , , )
( , , )
:
(=
=
=
=>
+ = => = − ii
x c x c ii
x y x y iii
)
( )
( )
+ = => = −
+ − = => + =
0
26 0 26
Substituindo (i) e (ii) em (iii), temos:
x y c c c c+ = => − + − = => − = => = −26 26 2 26 13( )
Substituindo o valor de c em (i) e (ii), temos que x = - (-13) => x = 13 e que y = 13.
Logo, o produto máximo para f(x,y) com a restrição dada será 13*13 = 169.
135
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE VÁRIAS VARIÁVEIS
Exemplo 2
Maximize o produto de três números sabendo que a soma deles deve ser 27.
Resolução:
Sejam x, y e z os três números procurados, temos que o produto será f(x,y) = x . y . z e desejamos que
esse resultado seja o máximo possível.
Restrição: x + y + z = 27. Sabemos da teoria que g(x,y) deve ser igual a zero; logo, g(x,y) = x + y + z - 27.
1° passo
Definindo a função lagrangiana F(x,y,z,c), temos:
F x y z c f x y z c g x y z
F x y z c xyz c x y z
( , , , ) ( , , ) * ( , , )
( , , , ) * ( )
= +
= + + + − 27
2° passo
Construindo o sistema S1
Sabemos que S
F x y z c
F x y z c
F x y z c
F x y z c
x
y
z
c
1
0
0
0
0
:
( , , , )
( , , , )
( , , , )
( , , , )
=
=
=
=
Vamos, primeiro, fazer as derivadas parciais de F e depois substituir os resultados no sistema S1.
F x y z c x y z c x y z
F x y z c y z cx
( , , , ) . . * ( )
( , , , ) . . * ( )
= + + + −
= + + + −
27
1 1 0 0 0 ==> = +
= + + + − =>
F x y z c yz c
F x y z c x z c F x y z
x
y y
( , , , )
( , , , ) . . * ( ) ( , ,1 0 1 0 0 ,, )
( , , , ) . . * ( ) ( , , , )
c xz c
F x y z c x y c F x y z c xy c
F
z z
c
= +
= + + + − => = +1 0 0 1 0
(( , , ) * ( ) ( , , )x y c x y z F x y c x y zc= + + + − => = + + −0 1 27 27
Substituindo as derivadas parciais no sistema S1, temos:
S
F x y z c
F x y z c
F x y z c
F x y z c
x
y
z
c
1
0
0
0
0
:
( , , , )
( , , , )
( , , , )
( , , , )
=
=
=
=
=>
+ = => = −
+ = => = −
+ = => = −
S
yz c yz c i
xz c xz c ii
xy c xy c i1
0
0
0
:
( )
( )
( iii
x y z x y z iv
)
( )+ + − = => + + =
27 0 27
136
Unidade I
Comparando (i), (ii) e (iii), temos que:
- c = yz = xz = xy
Comparando os termos dois a dois, temos:
por um lado, que yz = xz => y = x;
por outro, xz = xy => z = y.
Juntando as duas informações, temos que x = y = z.
Substituindo na equação (iv), temos:
x + y + z = 27=> x + x + x = 27 => 3x = 27 => x = 9.
Como x = y = z, temos que y = 9 e z = 9. Logo, o produto máximo, considerando a restrição dada,
será f( , , ) . . *9 9 9 9 9 9 81 9 729= = = .
Exemplo 3
Entre todos os retângulos que estão inscritos em um círculo de raio r, determinar aquele que tem a
área máxima.
(x,y)
yy
y
x x
x
r
Figura 85 – Retângulo inscrito em um círculo de raio
A área do retângulo é f x y A x y xy( , ) *= = =2 2 4 (i).
Restrição: avaliando o triângulo retângulo de lados x, y e r, por Pitágoras, temos que r x y2 2 2= +
(ii).
137
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE VÁRIAS VARIÁVEIS
O retângulo tem que estar inscrito na circunferência; logo, o ponto (x, y) pertence à circunferência,
isto é, r x y x y r2 2 2 2 2 2 0= + + − ==> .
1° passo
Definindo a função lagrangiana F(x,y,z,c), temos:
F x y z c f x y c g x y
F x y c xy c x y r
( , , , ) ( , ) * ( , )
( , , ) * ( )
= +
= + + −4 2 2 2
2° passo
Construindo o sistema S1
Sabemos que S
F x y c
F x y c
F x y c
x
y
c
1
0
0
0
:
( , , )
( , , )
( , , )
=
=
=
Vamos, primeiro, fazer as derivadas parciais de F, depois substituir os resultados no sistema S1.
F x y c xy c x y r
F x y c y c x F x y cx x
( , , ) * ( )
( , , ) * ( ) ( , ,
= + + −
= + + − =>
4
4 2 0 0
2 2 2
))
( , , ) * ( ) ( , , )
( , ,
= +
= + + − => = +
4 2
4 0 2 0 4 2
y cx
F x y c x c y F x y c x cy
F x y c
y Y
c )) * ( ) ( , , )= + + − => = + −0 1 2 2 2 2 2 2x y r F x y c x y rc
Substituindo as derivadas parciais no sistema S1, temos:
S
F x y c
F x y c
F x y c
S
y cx y
x
y
c
1 1
0
0
0
4 2 0 4
:
( , , )
( , , )
( , , )
:
=
=
=
=>
+ = => == − => = − => = −
+ = => = − => = −
2
2
4 2
4 2 0 4 2
2
c x y
cx
y
cx
iii
x yc x yc x
cy
iv
x
( )
( )
22 2 2 2 2 20+ − = => + =
y r x y r v( )
Substituindo (i), (ii) em (iii), temos:
r x y r
cy cx
r
c y c x2 2 2 2
2 2
2
2 2 2 2
2 2 4 4
= + => = −
+ −
=> =
+
=> = +
+ =
r
c
y x
c
y x r vi
2
2
2 2
2
2 2 2
4
4
( )
( ) ( )
138
Unidade I
Sabemos que r x y2 2 2= +
Substituindo em (vi), temos:
c
y x r
c
r r
c r
r
r
c
c
c c
2
2 2 2
2
2 2
2 2
2
2
2
4 4 4
0
4
1 4
4
( ) ,+ = => = => = ≠ => = => =
= ± => = ±±2
Se c = -2, temos
y
x
y x
x
y
x y
= − − => =
= − − => =
2
2
2
2
Por outro lado,
se c = 2, temos
y
x
y x
x
y
x y
= − => = −
= − − => = −
2
2
2
2
o que é impossível, pois x e y são lados do retângulo. Logo, c = - 2.
Isso nos dá que a forma do maior retângulo inscrito é um quadrado, pois x = y.
Para obtermos as dimensões reais desse retângulo máximo, basta fazer x = y em r x y2 2 2= + . Segue
que temos: r x x r x r x x
r2 2 2 2 22 2
2
= + => = => = => =*
x
r
x r= => =
2
2
2
1
2
2 * .
Como x = y, temos que x y r= = 1
2
2 * . Desse modo, os lados do retângulo são:
2 2
1
2
2 2 2
2 2
1
2
2 2 2
4 2 2
x r x r
y r y r
A xy A x y
= => =
= => =
=> = => = =
* *
* *
. >> = =A r r r2 2 2 2*
139
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE VÁRIAS VARIÁVEIS
Exemplo 4
Determinar os extremos da função z = 6 - 4x - 3y, com a condição de que as variáveis satisfaçam a
equação x y2 2 1+ = , e interpretar geometricamente.
Resolução:
Geometricamente, o problema reduz-se a encontrar o valor máximo e mínimo da cota z do plano
z = 6 - 4x - 3y para seus pontos de interseção com o cilindro x y2 2 1+ = .
Desse modo, temos f(x,y) = 6 - 4x - 3y.
Restrição: g(x,y)= 0 => g x y x y( , ) = + −2 2 1.
1° passo
A função de Lagrange será:
F x y f x y c g x y
F x y x y c x y
( , ) ( , ) * ( , )
( , ) * ( )
= +
= − − + + −6 4 3 12 2
2° passo
Construindo o sistema S1
Sabemos que S
F x y c
F x y c
F x y c
x
y
c
1
0
0
0
:
( , , )
( , , )
( , , )
=
=
=
Vamos, primeiro, fazer as derivadas parciais de F, depois substituir os resultados no sistema S1.
F x y x y c x y
F x y c c x F x yx x
( , ) * ( )
( , , ) * ( ) ( , ,
= − − + + −
= − + + − =>
6 4 3 1
4 2 0 0
2 2
cc xc
F x y c c y F x y c yc
F x y
y Y
c
)
( , , ) * ( ) ( , , )
( , ,
= − +
= − + + − => = − +
4 2
3 0 2 0 3 2
cc x y F x y c x yc) * ( ) ( , , )= + + − => = + −0 1 1 12 2 2 2
Substituindo as derivadas parciais em S1:
S
F x y c
F x y c
F x y c
S
xc x
x
y
c
1 1
0
0
0
4 2 0 2
:
( , , )
( , , )
( , , )
:
=
=
=
=>
− + = => cc x
c
i
yc yc y
c
ii
x y x y
= => =
− + = => = => =
+ − = => + =
4
2
3 2 0 2 3
3
2
1 0 12 2 2 2
( )
( )
(iiii)
140
Unidade I
Substituindo (i) e (ii) em (iii), temos:
x y
c c c c c
2 2
2 2
2 2 21
2 3
2
1
4 9
4
1
4 4 9 1
4
1
1
+ = =>
+
= => + = => + =* *
66 9 1 4 4 25
25
4
5
2
2 2 2+ = => = => = => = ±* c c c c
Para c = 5
2
, temos:
x x x
y y y
= ÷ => = => =
= ÷ => = => =
2
5
2
2
2
5
4
5
3
2
5
2
3
2
2
5
3
5
*
*
E, para c = − 5
2
, temos: x e y= − = −4
5
3
5
.
Para saber qual o valor máximo e qual o mínimo, devemos substituir os valores encontrados para x
e y em f(x,y) = 6 - 4x - 3y. O maior valor será o máximo e o menor valor será o mínimo.
Logo, segue que:
a) x e y f f
f
= = => = − − => = − − =>4
5
3
5
4
5
3
5
6 4
4
5
3
3
5
4
5
3
5
6
16
5
9
5
4
5
3
5
( , ) * ( , )
( , )) ( , ) ( , )= − => = − => =6
25
5
4
5
3
5
6 5
4
5
3
5
1f f
b) x e y
f f
= − = −
=> − − = − − − − => − − = +
4
5
3
5
4
5
3
5
6 4
4
5
3
3
5
4
5
3
5
6
16
5
( , ) *
( ) ( )
( , ) ++ =>
− − = + => − − =
9
5
4
5
3
5
6
25
5
4
5
3
5
11f f( , ) ( , )
Como o resultado do item a foi maior que o do item b, concluímos que zmin = 1 e zm xá = 11.
Exemplo 5
Determine os pontos sobre a esfera x y z2 2 2 54+ + = que estão mais próximos e mais afastados
do ponto (1, 1, 2).
141
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE VÁRIAS VARIÁVEIS
Resolução:
Sabemos que d x x y y z z= − + − + −( ) ( ) ( )0
2
0
2
0
2 . Podemos evitar trabalhar com radicais ou
potências de números não inteiros se optarmos por determinar inicialmente d2, ao invés de d.
Desse modo:
d x x y y z z d x x y y z z2
0
2
0
2
0
2
2
2
0
2
0
2
0
2= − + − + −( ) => = − + − + −( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) em nosso exemplo
d x y z f x y z2 2 2 21 1 2= − + − + − =( ) ( ) ( ) ( , , ) .
Restrição: x y z g x y z x y z2 2 2 2 2 254 54+ + = => = + + −( , , )
1° passo
Definindo a função lagrangiana F(x,y,c), temos:
F x y z c f x y z c g x y z
F x y z c x y z
( , , , ) ( , , ) * ( , , )
( , , , ) ( ) ( ) (
= +
= − + − + −1 12 2 22 542 2 2 2) * ( )+ + + −c x y z
2° passo
Construindo o sistema S1
Sabemos que S
F x y z c
F x y z c
F x y z c
F x y z c
x
y
z
c
1
0
0
0
0
:
( , , , )
( , , , )
( , , , )
( , , , )
=
=
=
=
Vamos, primeiro, fazer as derivadas parciais de F, depois substituir os resultados no sistema S1.
F x y z c x y z c x y z( , , , ) ( ) ( ) ( ) * ( ),= − + − + − + + + −1 1 2 542 2 2 2 2 2
Note que faremos derivadas parciais de funções compostas; você tem que saber aplicar a regra
da cadeia.
F x y z c x y z c x y z
F x y z cx
( , , , ) ( ) ( ) ( ) * ( )
( , , , )
= − + − + − + + + −1 1 2 542 2 2 2 2 2
== − + + + − => = − +−2 1 1 2 0 0 0 2 2 22 1( ) * * ( ) ( , , , )
( , , ,
x c x F x y z c x xc
F x y z c
x
y )) ( ) * * ( ) ( , , , )
( , , ,
= − + + + − => = − +−2 1 1 2 0 0 0 2 2 22 1y c y F x y z c y yc
F x y z
y
z cc z c z Fz x y z c z zc
F x y cc
) ( ) * * ( ) ( , , , )
( , ,
= − + + + − => = − +−2 2 1 2 0 0 0 2 4 22 1
)) * ( ) ( , , )= + + + − => = + + −0 1 54 542 2 2 2 2 2x y z F x y c x y zc
142
Unidade I
Substituindo as derivadas parciais no sistema S1, temos:
S
F x y z c
F x y z c
F x y z c
F x y z c
x
y
z
c
1
0
0
0
0
:
( , , , )
( , , , )
( , , , )
( , , , )
=
=
=
=
=>
− + = => = − => = − => = −
− +
S
x xc xc x c
x
x
c
x
x
i
y y
1
2 2 2 0 2 2 2
2 2
2
1
2 2 2
:
( )
cc yc y c
y
y
c
y
y
ii
z zc zc z
= => = − => = − => = −
− + = => = −
0 2 2 2
2 1
2
1
2 4 2 0 2 4 2
( )
( )
==> = − => = −
+ + − = => + + =
c
z
z
c
z
z
iii
x y z x y z iv
2 2
2
2
54 0 542 2 2 2 2 2
( )
( )
( )
De (i) e (ii), temos:
1 1
1 1
− = − => − = − => − = − => =x
x
y
y
y x x y y xy x xy y x v( ) ( ) ( )
De (i) e (iii), temos:
1 2
1 2 2 2
− = − => − = − => − = − => =x
x
z
z
z x x z z xz x xz z x vi( ) ( ) ( )
Substituindo (v) e (vi) em (iv), temos:
x y z x x x x x
x x x
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
54 2 54 6 54
54
6
54
6
9
+ + = => + + = => = => =
= => = =>
( )
== ±3
a) Para x = 3, y = 3 e z = 6, temos:
d x y z f x y z2 2 2 21 1 2= − + − + − =( ) ( ) ( ) ( , , )
Logo:
d f
d
d d
2 2 2 2
2 2 2 2
2
3 3 6 3 1 3 1 6 2
2 2 4
8 16 24
= = − + − + −
= + +
= + => =
( , , ) ( ) ( ) ( )
b) Para x = -3, y = -3 e z= - 6, temos:
d x y z f x y z2 2 2 21 1 2= − + − + − =( ) ( ) ( ) ( , , ) , logo
143
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE VÁRIAS VARIÁVEIS
d f
d
2 2 2 2
2 2 2 2
3 3 6 3 1 3 1 6 2
4 4 8
= − − − = − − + − − + − −
= − + − + −
( , , ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
dd d2 16 16 64 96= + + => =
Avaliando os resultados dos itens a) e b), concluímos que (3,3,6) é o ponto mais próximo e (-3,-3,-6)
é o mais distante.
Saiba mais
Para saber mais sobre máximos e mínimos com multiplicadores de
Lagrange, consulte:
FIGUEIREDO, V. L. X. (Coord.). Multiplicadores de Lagrange e óptica
geométrica. Campinas, 2000. Disponível em: . Acesso
em: 2 set. 2013.
OLIVEIRA, O. R. B. Máximos e mínimos condicionados e multiplicadores
de Lagrange. São Paulo, 2012. Disponível em: . Acesso em: 2 set. 2013.
Resumo
Nesta unidade, definimos uma função de duas variáveis como sendo:
f : → D → R, tal que z = f(x,y)
(x,y) → z = (x,y).
Para calcular f(a,b), devemos substituir a no lugar de x e b no lugar de
y, na expressão que representa f(x,y).
O domínio de uma função só existe:
a) se você não correr o risco de dividir por zero;
b) se você não correr o risco de extrair raiz de índice par de valor
negativo;
c) em expressões envolvendo logb
a , você tem de, obrigatoriamente,
trabalhar com valores que resultem em a > 0, b > 0 e b ≠ 1.
144
Unidade I
Não se esqueça de que o domínio de uma função é representado
graficamente no R².
Para representar graficamente uma superfície, você deve saber que:
1) f(x,y) = ax + by + c ou z = ax + by + c representa um plano.
2) a)
x
a
y
b
2
2
2
2 1− = e b)
y
a
x
b
2
2
2
2 1− = representam hipérboles:
3) Uma circunferência pode ser representada por:
a) circunferência de centro (0,0) e raio r => r x y2 2 2= + ; ou por
b) circunferência de centro ( , )x y0 0 e raio r => r y y x x2
0
2
0
2= − + −( ) ( ) .
4) Uma esfera pode ser representada por r x y z2 2 2 2= + + se possuir
centro (0,0,0) e raio r.
5) Um elipsoide é representado por:
x
a
y
b
z
c
²
²
²
²
²
²
+ + = 1
6) Um paraboloide pode ser representado por:
paraboloide elíptico: z ax by= +² ² .
Não se esqueça de que toda superfície é representada graficamente no R³.
Você aprendeu que elaborar as curvas de nível de uma função é fazer
o “fatiamento da superfície”, e algebricamente devemos determinar
um nível genérico z = k para manipular a equação resultante, isolando
x e y, caso existam as curvas de nível, elas delimitarão alturas de
“fatiamento” da superfície para cada valor k, que representa uma
altura constante. Aprendeu também que a representação de uma curva
de nível é feita no R² e que existem funções descontínuas cujo limite
pode ou não existir.
Vimos que, para determinar uma derivada parcial de uma função de
duas variáveis, consideramos uma variável constante e derivamos em
relação a outra variável.
A interpretação geométrica da derivada parcial em x é dada
simbolicamente por: tg f x y
f
x
x yxα = = ∂
∂
( , ) ( , )0 0 0 0 .
145
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE VÁRIAS VARIÁVEIS
A regra da cadeia é representada por
∂
∂
= ∂
∂
w
x
dw
dv
v
x
.
Vimos que a diferencial total de uma função de duas variáveis é dada
por dz
f
x
dx
f
y
dy= ∂
∂
+ ∂
∂
Nesta unidade você aprendeu que a equação do plano tangente é dada por:
f x y f a b f a b x a f a b y bx y( , ) ( , ) ( , )( ) ( , )( )= + − + −
A primeira regra da cadeia é dada por: dz
dt
z
x
dx
dt
z
y
dy
dt
= ∂
∂
⋅ + ∂
∂
⋅
A segunda regra da cadeia é dada por:
dz
ds
z
x
x
s
z
y
y
s
e
dz
dt
z
x
x
t
z
y
y
t
= ∂
∂
⋅ ∂
∂
+ ∂
∂
⋅ ∂
∂
= ∂
∂
⋅ ∂
∂
+ ∂
∂
⋅ ∂
∂
A derivada de uma função implícita é dada por: dy
dx
f
x
f
x
f
f
x
y
= −
∂
∂
∂
∂
= −
Uma derivada de ordem superior nadamais é do que fazer a derivada
da derivada.
O vetor gradiente nada mais é do que um vetor que tem como primeira
componente a derivada da função em x, e como segunda componente a
derivada da função em y, isto é, ∇f(x, y) = (fx(x, y), fy(x, y)).
O resultado da derivada direcional é um número dado por:
Duf x y f x y u
( , ) ( , ).0 0 0 0= ∇
A maximização da derivada direcional é dada pelo módulo do vetor
gradiente em P, ou seja: ∇f x y( , )0 0 .
Vimos que, para determinar um candidato a ponto crítico, precisamos
derivar uma função e igualá-la a zero.
Aprendemos que f tem derivadas parciais de primeira e de segunda
ordem contínuas, e se existir um ponto (x0,y0) na região, tal que fx(x0,y0) = 0
e fy(x0,y0) = 0, então, podemos utilizar o seguinte critério:
∆ = ( )⋅ ( ) − ( ) f x y f x y f x yxx yy xy0 0 0 0 0 0
2
, , , .
146
Unidade I
Fazendo f x y Axx 0 0,( ) = , f x y Byy 0 0,( ) = e f x y Cxy 0 0,( ) = , temos
∆ = ⋅ −A B C2 .
Então:
4.3.1 - f (x0,y0) é um ponto de mínimo se ∆ > 0 e A > 0.
4.3.2 - f (x0,y0) é um ponto de máximo se ∆ > 0 e A 1 e 0Vamos iniciar nosso estudo saboreando o que vem a ser uma função de duas variáveis, seu domínio,
sua imagem, suas curvas de nível e a representação gráfica desse tipo de função. Na sequência,
avaliaremos limites e continuidade e, apoiados nos conhecimentos de derivada de função de uma
variável, aprenderemos a derivar funções de duas ou mais variáveis, estudaremos suas aplicações, a
integração dupla e suas aplicações.
Nossa intenção é que, ao terminar esta disciplina, você tenha desenvolvido solidez de conceitos e
conteúdos matemáticos, bem como aprendido a identificar os conhecimentos matemáticos necessários
para se tornar um bom profissional. E também capacitá-lo a trabalhar de forma integrada como
professor da sua área e de outras, de modo a contribuir efetivamente com a proposta pedagógica da
escola onde atuará. O presente livro-texto foi pensado e desenvolvido para facilitar seu engajamento
num processo contínuo de aprimoramento profissional, atualizando seus conhecimentos, incorporando
novas tecnologias e adaptando seu trabalho às novas demandas socioculturais. Nossa intenção também
é auxiliá-lo a reconhecer as dificuldades individuais de seus futuros educandos e que seja capaz de
sugerir caminhos alternativos a eles.
Ao cursar esta disciplina, você deve estar preocupado em se capacitar a identificar, interpretar
e utilizar representações numéricas, algébricas e geométricas de funções com duas variáveis em
situações-problema do cotidiano. Você deve procurar compreender e se familiarizar com técnicas e
símbolos matemáticos que envolvem o estudo de funções com duas ou mais variáveis. Além de ficar
plenamente capacitado a derivar e integrar funções com mais de uma variável e aplicar o conteúdo
ensinado em resolução de problemas.
9
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE VÁRIAS VARIÁVEIS
Unidade I
1 FUNÇÕES DE DUAS OU MAIS VÁRIAS VARIÁVEIS E GRÁFICOS DE FUNÇÕES DE
DUAS VARIÁVEIS
1.1 Conceituando funções de várias variáveis
Vamos iniciar nosso estudo saboreando o que vem a ser uma função de duas variáveis, seu domínio,
sua imagem, suas curvas de nível e a representação gráfica desse tipo de função.
Nesta unidade, abordaremos funções de duas variáveis sob quatro pontos de vista diferentes:
Quadro 1
Ponto de vista Por meio de
Verbal descrição literal;
Numérico tabela de valores das variáveis;
Algébrico fórmula relacionando as variáveis;
Visual gráfico (do domínio da função, no plano), gráfico da função (no espaço) ou curva
de nível (no plano estará contido o domínio da função).
No mundo não generalizado1, social ou físico, a Matemática pode ser apresentada de forma verbal;
por exemplo, o volume de uma caixa d’água residencial permanentemente possui 1.000 litros (ponto
de vista numérico), ou o volume de uma caixa de formato cúbico de lado igual a um metro (ponto de
vista verbal), ou V = l3 (ponto de vista algébrico), ou, finalmente, do ponto de vista gráfico, veja a seguir:
volume
(litros)
tempo
(horas)
1.000
Figura 1
1 Nós que, usualmente, estudamos Matemática apreciamos contar, medir, descobrir padrões e depois generalizamos.
Ou seja, muitas vezes partimos de situações reais, colocamo-nos a contar e medir os eventos e suas consequências em
relação a determinados focos de interesse (variáveis), a matematizar, ou seja, levantar padrões e modelos matemáticos,
formalizamos e generalizamos dentro de um determinado domínio (conjunto de validade dos padrões) e devolvemos à
sociedade ciência simbólica, muitas vezes desvinculada de sua origem no mundo social ou físico.
10
Unidade I
Note que, em V = l3 ou V(l) = l3 (bastou uma variável para termos o volume bem definido), a expressão
está matematizada e generalizada; mas ela ainda pode ser socialmente abstraída, ou seja, desconectada
de sua origem social, basta escrever f(x) = 3. Acabamos de apresentar os quatro diferentes pontos de
vista para a função de uma variável, note que o volume da caixa d’água não variou com o tempo.
Se nossa caixa d’água fosse de formato cilíndrico, precisaríamos de duas variáveis para definir
bem o volume. Sabemos que o volume do cilindro é a área da base (área de uma circunferência pr2)
vezes a altura da caixa h, ou seja, depende de duas variáveis, do comprimento do raio e da altura,
V = pr2 h ou V(r, h) = pr2 h.
r
h
Figura 2 – Caixa d’água cilíndrica de raio r e altura h
Outro exemplo do mundo social pode ser o caso de um fabricante constatando que o custo de
produção C de um produto depende da quantidade de material usado, do salário-hora dos operários, do
tipo de equipamento necessário para a produção do material, das despesas de manutenção, dos custos
fixos e das variáveis para manter a empresa funcionando. Desse modo, o custo C é uma função de sete
variáveis, pois depende de referências de quantidade.
Refletindo rapidamente sobre outros exemplos, você irá perceber que já está habituado a pensar em
mais de uma variável, só que não abordava esse tema sob o ponto de vista do cálculo diferencial. Vamos
a alguns deles:
• a área do triângulo depende de duas variáveis – base e altura;
• a localização de objeto no espaço;
• a função lucro;
• a função quantidade de mercadoria produzida;
• na biomedicina
11
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE VÁRIAS VARIÁVEIS
— no estudo de difusão;
— no fluxo de eletricidade por meio de tecidos;
— nas tensões ósseas;
— na interação de elementos sensórios na retina.
Lembrete
Pode haver relações matemáticas que, se não restringirmos o domínio,
não se caracterizarão como função.
Vamos recordar qual é a definição da função de uma variável:
Sejam A, B ⊂ R. Seja f uma relação matemática definida em A e com
valores em B, f é uma função de A em B se f for uma regra que associa a
cada elemento x ∈ A um único elemento y ∈ B. A notação usual é:
f : A → B tal que y = f(x).
O número x é chamado variável independente da função, e y variável
dependente da função.
Vamos nos ater à definição, quebrando-a em dois trechos:
“Uma regra que associa a cada elemento X ∈ A”; isso significa que não
podem “sobrar” elementos em A, ou seja, não pode ter elemento de A sem
correspondente em B.
“Um único elemento Y ∈ B”, um elemento de A não pode ter dois
correspondentes em B.
Adiante, vamos estender os conceitos e as definições estudados em cálculo de uma variável a duas
ou mais variáveis. Logo, você vai precisar de uma base sólida em cálculo diferencial e integral de uma
variável para ter um bom desempenho em cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Minha
sugestão: se você não está tão seguro com os conteúdos passados de cálculo, vai ter de estudar, estudar
e estudar... Faça dessa empreitada uma trajetória lúdica. Vamos aos estudos!
1.2 Conceituando e operando com funções de duas variáveis
Seja D um subconjunto (região) do espaço R². Chama-se uma função f de D toda relação que associa,
a cada par (x,y) ∈ D, um, e apenas um, número real, representado pelo símbolo f(x,y). Isto é, D é domínio
12
Unidade I
da função, f é a função e f(x,y) é o valor da função calculado em (x,y), f(x,y) ∈ R, em que R é o “conjunto
de chegada” da função f.
f: D → R, tal que z = f(x,y)
(x,y) → z = f(x,y).
x D y
z
(x0, y0) = (x0, y0, o)
f(x0, y0)z0
Figura 3
Avaliando a figura, você pode perceber que o domínio da função representado no R² encontra-se no
plano XOY, e a imagem z = f(x,y) é representada no eixo z.
Lembrete
Vale lembrar que o ângulo entre os eixos é sempre de 90° e que, ao
projetarmos uma figura espacial (do R³) no plano (R²), há uma deformação
na imagem que visualizamos.
De outro modo:
x
y z
D
f(x0, y0)
z0 = f(x0, y0)
(x0, y0)
Figura 4
13
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE VÁRIAS VARIÁVEIS
Definição de função de várias variáveis:
A função f é uma função real se todos os valores que assume são números reais. Dizemos que f
é uma função de variável vetorial se o seu domínio é um subconjunto de números reais no espaço
n-dimensional, com n > 1, isto é, se
D ∈ Rn.
Em duas variáveis,temos:
z= f(x,y)
argumentos imagem
Exemplos de modelos de funções de mais de uma variável:
• = + − −
• = +
+
f x x x x x fun o polinomial
f x y
y x
x
( , )
( , ) ln
1 2 1
4
2
2
1
2
3 12
2
é çã
11
2
• = + +
é áfunção composta de duas i veis
f a b c a
var
( , , ) cos ( )π cc
b
função composta de tr s i veis
f r s t r t s função c
é ê á
é
var
( , , )• = −2 15 oomposta de tr s veisê iávar
• P R T V
nRT
V
( , , ) = para determinar a pressão de um gás
• F (m,a)= m.a para determinar a força necessária para mover um corpo com massa m, com uma
aceleração a
Exemplos de valores de função de duas variáveis
Quando nada for especificado no enunciado do exercício, significa que ele está sendo trabalhado no
campo dos números reais:
Exemplo 1
Dado f x y x xy y( , ) = − +3 23 2 determine f(-3,5)
O primeiro passo, quando se tem a função com duas variáveis e são dados os pontos, é substituir os
pontos na função.
Lembre-se de que o primeiro ponto é em componente de x; nesse caso, o valor que será substituído
na variável x é -3. O mesmo procedimento deve ser feito para a variável y, e neste exemplo y = 5.
14
Unidade I
Substituindo o ponto na função, temos:
f( , ) ( ) * ( ) * *− = − − − +3 5 3 3 3 5 2 53 2
O próximo passo é resolver as operações matemáticas. Observe a resolução a seguir:
f
f
( , ) * *
( , )
− = − + +
− = − + +
3 5 27 9 5 2 25
3 5 27 45 50
Resolvendo a soma da expressão, temos:
f( , )− =3 5 68
Exemplo 2
Dada a função f x y x y( , ) * ln( )= +2 2 2 determine:
a) f(0,1)
Substituindo as variáveis da função pelos pontos dados, temos que f( , ) * ln( )0 1 2 0 12 2= +
f( , ) * ln( )0 1 2 0 1= +
f( , ) * ln0 1 2 1= , aqui é necessário lembrar que ln1 = 0; logo,
f( , ) *0 1 2 0=
f( , )0 1 0=
Zero é a imagem de f(0,1) pela função f x y x y( , ) * ln( )= +2 2 2
b) f e( , )0 2
temos que f x y x y( , ) * ln( )= +2 2 2
Assim,
f e e
f e e
f e e
( , ) * ln( ( ) )
( , ) * ln( )
( , ) * ln *
0 2 0
0 2 0
0 2 2
2 2 2 2
2 2 4
2 4
= +
= +
= = 44 2 4 1 8
0 82
* ln * *
( , )
e
f e
= =
=
15
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE VÁRIAS VARIÁVEIS
Lembrete
ln 0 não existe! Uma vez que não existe a ∈ R, com a > 0, tal que
an = 0 , para n ∈ R, analogamente e n Rn ≠ ∀ ∈0, .
ln , log ,e pois a
a= =1 1 se a > 0 e a ≠ 1, pois a a1 = , segue que
ln loge e
e= = 1
lne4 = 4lne, lembrando que log * logb
an
b
an= , com a b n R, , ∈ , a > 0,
b > 0 e b ≠ 1.
Exemplo 3
Dado o ponto (0,2p) e f(x,y) = cos(x +y), determine f(0,2p).
Devemos substituir os pontos do exercício na função dada, temos que:
f( , ) cos( ) cos0 2 0 2 2 1π π π= + = =
Assim, f(0,2p) = 1, isto é, a imagem do ponto (0,2p) é 1.
Lembrete
O ciclo trigonométrico tem raio igual a um, sendo que cosseno é a
leitura da projeção de um ponto no eixo x, e seno é a leitura da projeção de
um ponto feita no eixo y.
0
-1
-1
1 x
cosx
(0,1)
(-1,0) (1,0)
(0,-1)
eixo dos
cossenos
Figura 5
Avaliando as projeções feitas no ciclo trigonométrico, podemos dizer
que cosseno é igual ao valor de x (-1 ≠0 1;
— logaritmando x tem que ser maior que zero, isto é, x > 0.
Saiba mais
Para relembrar os conceitos e as definições sobre os logaritmos:
LOGARITMO. Matemática didática, [s. d.]. Disponível em: . Acesso em: 2 set. 2013.
MIRANDA, D. Logaritmo. Brasil Escola, Goiânia, [s. d.]. Disponível em:
. Acesso em: 2
set. 2013.
18
Unidade I
Observação
A seguir, serão feitas análises de problemas com funções de duas ou
mais variáveis e representação do domínio de cada função; para isso, é
importante recordar algumas equações importantes:
1) Plano: f x y ax by c ou z ax by c( , ) = + + = + +
a) O plano z = 3 é uma superfície paralela ao plano XY, passando no ponto z = 3
x
y
z = 3
z
Figura 6
b) O plano f x y x y( , ) = − −8 2 2 intercepta os três eixos nos primeiros quadrantes e segue
infinitamente, nas laterais, para cima e para baixo.
z
x
y
(0,0,8)
(0,4,0)
(4,0,0)
Figura 7
2) Hipérbole
a) x
a
y
b
2
2
2
2 1− =
Exemplo: x y2 1
1 4
1− =
19
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE VÁRIAS VARIÁVEIS
y
x
(-1,0) (1,0)
x
y
(-a,0) (a,0)
Figura 8 Figura 9
b)
y
a
x
b
2
2
2
2 1− =
Exemplo: y x2 2
4 1
1− =
y
(0,-2)
(0,2)
x
x
y
(0,b)
(0,-b)
Figura 10 Figura 11
20
Unidade I
3) Circunferências
a) Circunferência de centro (0,0) e raio r
r x y2 2 2= +
x
y
r
r
r
-r
-r
Figura 12
b) Circunferência de centro ( , )x y0 0 e raio r
r y y x x2
0
2
0
2= − + −( ) ( )
x
y
r
X0
Y0
Figura 13
4) Esferas ou superfície esférica
a) Esfera de centro (0,0,0) e raio r
r x y z2 2 2 2= + +
21
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE VÁRIAS VARIÁVEIS
x
y
z
r
Figura 14
b) Esfera de centro (X0, Y0, Z0) e raio r
r x x y y z z2
0
2
0
2
0
2� � � � � �( ) ( ) ( )
x
y
z
r
x0
z0
y0
Figura 15
5) Superfícies cilíndricas
São constituídas por retas paralelas que passam por uma curva plana, chamadas geratrizes,e a curva
plana é chamada diretriz.
22
Unidade I
a) Superfície cilíndrica parabólica
z
z = x^2 z
x x
y y
diretriz diretriz
geratriz
geratriz
Figura 16
b) Cilindro circular reto
geratrizes
geratrizes
Figura 17
6) Superfícies quádricas
Uma quádrica é um conjunto de pontos que respeitam uma equação do segundo grau, nas variáveis
x, y e z. São as correspondentes espaciais das cônicas no plano.
Saiba mais
Para saber mais e fazer uma revisão sobre as cônicas, revisite a unidade
6 do livro de Geometria Analítica e Álgebra Linear, da professora Isabel
Espinosa (UNIP Interativa).
23
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE VÁRIAS VARIÁVEIS
a) O elisoide
x
y z
²
² ²+ + =
9 4
1
z
x
y
Figura 18
b) Paraboloide elíptico z x y= +10 9² ² e paraboloide circular z x y= +4 4² ²
z z
x
x
y
y
Figura 19 Figura 20
Exemplos de análise do domínio e determinação de valores da imagem de funções de duas
variáveis
Exemplo 1
Dada a função f x y
x y
x y
,( ) = +
+
3 2
:
a) determine o domínio de f e represente graficamente seu domínio;
24
Unidade I
b) calcule f 1 3,−( ) .
Solução:
a) Como é possível dividir um polinômio por qualquer número real, exceto por zero, a função dada
pode ser calculada para qualquer par ordenado (x,y), tal que x + y ≠ 0 ou y ≠ -x. Note que sempre
podemos elevar um número real ao quadrado, multiplicá-lo por 3 e depois adicionar outro número real,
que o resultado continua sendo um número real. Logo, não há restrição ao numerador da função.
Representação gráfica do domínio da função:
y = -x y
x
D
D
D
D
D
Figura 21
Note que a reta y = -x não pertence ao domínio da função; por isso, ela foi desenhada tracejada.
Para indicar que uma curva não pertence ao domínio da função, nós a representaremos com uma linha
descontínua; caso contrário, ou seja, a curva pertença ao domínio da função, nós a representaremos
como uma linha contínua.
Determinar que y ≠ -x é excluir do domínio todo par ordenado em que y e x possuem o mesmo
módulo, mas com sinais opostos.
Para fazermos o gráfico da função, temos sempre que igualar a restrição a zero e avaliar que tipo de
curva ela representa. Em nosso exemplo, y = x pertence à família de retas y = ax + b (a é o coeficiente
angular e b é o linear, que indica onde o gráfico cruza o eixo y), b = 0, isto é, y = x é uma reta que
pertence à família de retas que passam pela origem.
Se tiver dúvida sobre a inclinação, monte uma pequena tabela. Por ser equação de uma reta, basta
verificar dois pontos.
Tabela 1
x y = -x
0 0
1 -1
25
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE VÁRIAS VARIÁVEIS
Como não há qualquer outra restrição, destacamos todo o plano e representamos a curva y = -x com
uma linha tracejada, para indicar que os pontos sobre ela não podem ser usados ao calcularmos f(x,y).
Algebricamente, temos que o domínio da função pode ser representado da seguinte forma:
D x y R y x= ∈ = −{ }( , ) /2 ou, simplesmente, D x y y x= = −{ }( , ) / .
b) Vamos, agora calcular f(1,-3):
temos que f x y
x y
x y
,( ) = +
+
3 2
; logo,
f 1 3
3 1 3
1 3
3 3
1 3
0
2
0
2
,−( ) = ( ) + −( )
+ −( ) = −
−
=
−
=
Exemplo 2
Determinar o domínio da função f x y y x,( ) = − e representá-lo graficamente.
Solução:
Sabemos que não existe raiz par de um número negativo2, raiz quadrada é uma raiz par; logo,
o resultado da conta dentro da raiz tem que ser positivo ou zero; isto é, a condição de existência
dessa função é y x− ≥ 0 ; portanto, seu domínio algebricamente é representado da seguinte forma:
D x y R y x= ∈ ≥{ }( , ) /2 ou, simplesmente, D x y y x= ≥{ }( , ) / .
Representação geométrica do domínio da função
y = x
y
x
D
Figura 22
Sabemos que y = x é a reta que coincide com a bissetriz do primeiro e terceiro quadrante do plano.
Essa reta irá dividir o plano em duas regiões. Uma acima da reta, e outra abaixo. A reta é contínua, uma
2 4 2= , mas não existe solução real para −4 . A solução é o número complexo 2i, o mesmo ocorre com
−81 , que não tem solução real; no campo dos complexos, a solução é o número 9i.
26
Unidade I
vez que o sinal de igual pertence ao domínio da função. Para saber que região do plano representa
o domínio, podemos avaliar um ponto fora da região que limita a divisão do plano, ou seja, fora da
reta y = x.
Escolhendo um ponto acima da reta, por exemplo, veja se (0,1) pertence ao domínio da função:
D: y ≥ x, substituindo o ponto x = 0 e y = 1 em nossa expressão y x≥ ⇒ 1 0≥ , esse fato constitui uma
verdade; logo, ( , )0 1 ∈D. Esse ponto é uma amostra do que vai ocorrer com qualquer ponto acima da reta. Isso
significa que o domínio a ser destacado na representação gráfica está acima da reta.
O que teria acontecido se tivéssemos escolhido um ponto no plano abaixo da reta? Testaremos, por
exemplo, o ponto; vamos substituí-lo: x = 0 e y = 1 (0,1) na expressão do domínio y x≥ . Veja o que
ocorre: y x≥ ⇒ ≥0 1, que é uma expressão falsa; logo, ( , )0 1 ∉D, isso significa que não posso destacar
essa região como parte do domínio da função.
Observação
Foram escolhidos pontos sobre os eixos ordenados; pois, por um lado,
eles são fáceis para verificação visual no plano e, por outro, sempre terão
uma coordenada igual a zero, o que facilitará nossos cálculos.
Exemplo 3
Determinar o domínio da função f x y y x( , ) = −3 e representá-lo graficamente.
Note que a raiz da função desse exemplo é ímpar, e sempre é possível determinar raiz de índice ímpar
de um número real; por exemplo: − = −8 23 .
Desse modo, não há restrição a essa função e, como o domínio deve ser o maior possível, este é todo
o plano R².
Representação gráfica do domínio da função:
y
x
D
D
D
D
Figura 23
27
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE VÁRIAS VARIÁVEIS
Algebricamente, temos D R= 2
.
Exemplo 4
Determinar o domínio da função f x y
x
x y
( , ) =
−
2
2
e representá-lo graficamente.
Sabemos que não existe divisão por zero.
Assim, devemos fazer 2x - y ≠ 0 => y ≠ 2x.
A representação gráfica do domínio será:
y
x
D
D
D
D
D
y = 2x
D
Figura 24
Poderíamos representar o domínio dessa função num gráfico, pois no espaço ele ficaria representado
da seguinte forma:
y
x
z
DD
D
y = 2x
Figura 25
Note que, no espaço, a equação y = 2x deve ser representada por um plano, como o domínio pede
y ≠ 2x, esse plano será vazado ou descontínuo.
28
Unidade I
Observe também que há grande diferença entre representações gráficas no plano e no espaço.
Por um lado, a função y = 2x, quando representada no plano, é uma reta; por outro, função
y = 2x, quando representada no espaço, é, como vimos, um plano. Mais adiante, após vermos a
representação gráfica de funções de duas variáveis, voltaremos a essa reflexão sobre representação
gráfica de modelos matemáticos.
Algebricamente, temos domínio D = {(x, y) ∈ R² / y ≠ 2x }.
Exemplos de aplicaçãoExemplos de aplicação
Exemplos que representam o domínio das funções D(f):
1: f x y x x( , ) = + +6 9 13 2 D(f) = 2
2: f x y
x
x y
( , ) = −
+ +
2
2 2
4
2 2 2
2 2 2 02 2x y+ + = , não tem solução; logo, D(f) = 2
Representação gráfica do domínio da função:
x0
y
Figura 26
Os exercícios 1 e 2 são representações de domínio de funções que não apresentam restrição quanto
à função.
3: f x y
x y
x y
( , ) = +
+
2
3 3
2
2 2
Domínio: 3 3 02 2x y� �
Assim 3 3 0 02 2x y x y� � � � �
Logo, D(f) = IR2 0 0�� �( , ) .
29
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE VÁRIAS VARIÁVEIS
Representação gráfica do domínio da função:
x0
y
Figura 27
O domínio da função é toda a parte que não está no ponto (0,0), que é o único ponto de restrição
da função.
4: f x y
y x
( , ) =
−
3
D f x y R x y( ) , /= ( ) ∈ − ≠{ }2 0 , quer dizer, o domínio é todo o plano, exceto a bissetriz dos quadrantes
ímpares, ou seja, primeiro e terceiro quadrantes.
Representação gráfica do domínio da função:
x0
y =
x
y
Figura 28
O domínio da função é toda a parte que não está no tracejado, pois ele representa a restrição do
domínio.
5: f xy
y
x y
( , ) =
−2 2
D f x y IR x y( ) {( , ) / }� � �2 22
30
Unidade I
x0
y = 2x2
y
Figura 29
O domínio da função é representado por toda área abaixo da curva y = 2x², que é a restrição da
função.
6: f x y
y x
y
( , ) ln( )= −
+1
D f x y IR
y x
y
� � � � �� �
�
�
�
�
�
�
�
�
, /2
1
0
Equivalente a y x e y− > + >0 1 0
ou y x e y− 0.
1ª etapa A: o traço no plano xy é obtido quando tomamos z = 0. Temos os valores x = 0 e y = 0, isto
é, o ponto (0,0), de fato, pois:
0 0 0 02 2 2 2= + ⇒ + = ⇒x y x y ( , )
Logo, o ponto (0, 0, 0) faz parte do gráfico de Z.
1ª etapa B: tomando z = 1, temos:
1 12 2 2 2 2= + ⇒ + =x y x y
A seguir, a representação gráfica dessa curva de nível:
33
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE VÁRIAS VARIÁVEIS
1
1
x^2 + y^2 = 1
Figura 34 – Representação gráfica da curva em nível z = 1 de z x y= +2 2
A imagem da figura ilustra o traço dessa curva, na altura z = 1 é uma circunferência3 de centro na
origem (0,0) e raio 1.
1ª etapa C: tomando z = 4, temos:
4 162 2 2 2= + ⇒ + =x y x y
O traço dessa curva na altura z = 4 é uma circunferência de centro na origem (0,0) e raio 4.
A seguir, a representação gráfica dessa curva de nível:
4
4
x^2 + y^2 = 16
Figura 35 – Representação gráfica da curva em nível z = 4 de z x y= +2 2
A imagem da figura ilustra o traço dessa curva, na altura z = 4 é uma circunferência4 de centro na
origem (0,0) e raio 4.
3 A equação geral da circunferência de centro (x0, y0) e raio (r) é: (x - x0)
2 + (y - y0)
2 = r2.
4 A equação geral da circunferência de centro (x0, y0) e raio (r) é : (x - x0)
2 + (y - y0)
2 = r2.
34
Unidade I
1ª etapa D
Tomando z = 5, temos:
5 252 2 2 2= + ⇒ + =x y x y
O traço dessa curva na altura z = 5 é uma circunferência de centro na origem (0,0) e raio 5.
5
5
x^2 + y^2 = 25
Figura 36 – Representação gráfica da curva em nível z = 5 de z x y= +2 2
Quando fazemos o “fatiamento” ou cortes no eixo z, estamos olhando para a curva da superfície
em uma determinada altura, temos consequentemente a curva de nível numa altura z = k, onde K é
uma constante.
Ao unirmos num mesmo sistema de coordenadas essas curvas de níveis, temos o mapa de contornos
ou as curvas de nível da função, como segue:
x
y
Figura 37 – Curvas de nível ou mapa de contorno da função z x y= +2 2
2ª etapa
Estabelecendo y = 0, obtemos o traço no plano xz.
35
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE VÁRIAS VARIÁVEIS
Como segue:
z x z x z x= + ⇒ = ⇒ =2 2 20 ; logo, o traço é reta.
z
x
4
3
2
1
1 2 3 4
Figura 38
3ª etapa
Estabelecendo x = 0, obtemos o traço no plano yz.
Como segue:
z y z y z y= + ⇒ = ⇒ =02 2 2 ; logo, o traço é reta.
z
y
4
3
2
1
1 2 3 4
Figura 39
Unindo os traços das três etapas, temos um esboço do gráfico da superfície cônica.
36
Unidade I
x
y
z
z x y= +2 2
Figura 40 – Esboço do gráfico da superfície z x y= +2 2
A seguir, a representação gráfica feita no Winplot:
y
x
z
Figura 41 – Gráfico da superfície z x y= +2 2 produzido no Winplot
Exemplo 2
Vamos traçar agora o gráfico do paraboloide z x y= +2 2.
Etapas para o esboço do gráfico da superfície: z x y= +2 2, note que z > 0.
1ª etapa A
O traço no plano xy é obtido quando tomamos z = 0, temos os valores x = 0 e y = 0, isto é, o ponto
(0,0), de fato, pois:
0 0 02 2= + ⇒x y ( , )
Logo, o ponto (0, 0, 0) faz parte do gráfico de Z.
37
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE VÁRIAS VARIÁVEIS
1ª etapa B
Tomando z = 1, temos:
x y2 2 1+ =
1
1
x^2 + y^2 = 1
Figura 42 – Representação gráfica da curva em nível z = 1 de z x y= +2 2
O traço dessa curva na altura z = 1 é uma circunferência5 de centro na origem (0,0) e raio 1.
1ª etapa C
Tomando z = 4, temos:
4 22 2 2 2 2= + ⇒ + =x y x y
O traço dessa curva na altura z = 4 é uma circunferência de centro na origem (0,0) e raio 2.
2
2
x^2 + y^2 = 4
Figura 43 – representação gráfica da curva em nível z = 4 de z x y= +2 2
5 A equação geral da circunferência de centro (x0, y0) e raio (r) é: (x - x0)
2 + (y - y0)
2 = r2.
38
Unidade I
1ª etapa D
Tomando z = 5, temos:
5 52 2 2 2 2= + ⇒ + =x y x y ( )
O traço dessa curva na altura z = 5 é uma circunferência de centro na origem (0,0) e raio 5 .
2
2
x^2 + y^2 = 5
Figura 44 – Representação gráfica da curva em nível z = 5 de z x y= +2 2
Quando estamos fazendo o “fatiamento” ou cortes no eixo z, estamos olhando para a curva da
superfície em uma determinada altura, temos, consequentemente, a curva de nível numa altura z = k,
onde K é uma constante.
Ao unirmos num mesmo sistema de coordenadas essas curvas de nível, temos o mapa de contornos
ou as curvas de nível da função, como segue:
y
x
K=2
K=0
Figura 45
2ª etapa
Estabelecendo y = 0, obtemos o traço no plano xz.
Como segue:
39
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE VÁRIAS VARIÁVEIS
z x z x= + ⇒ =2 2 20 ; logo, o traço é uma parábola.
x
z
Figura 46
3ª etapa
Estabelecendo x = 0, obtemos o traço no plano yz.
Como segue:
z y z y= + ⇒ =02 2 2 ; logo, o traço é uma parábola.
y
z
Figura 47
Unindo os traços das três etapas, temos um esboço do gráfico da superfície cônica, como ilustrado
a seguir.
y
x
z
z x y= +2 2
Figura 48 – Esboço do gráfico da função z x y= +2 2
A seguir, a representação da função z x y= +2 2 feita no Winplot.
40
Unidade I
z
x y
Figura 49 – Gráfico de z x y= +2 2 feito no Winplot
Note que a diferença gráfica mais marcante entre z x y= +2 2 e z x y= +2 2 encontra-se nos
cortes das superfícies, nos planos XZ e YZ. Na primeira superfície, temos retas e, na segunda, parábolas.
A primeira superfície é um cone e a segunda, um paraboloide.
A seguir, um estudo mais aprofundado de curvas de nível de algumas funções.
1.5 Aprofundando os estudos de funções de duas variáveis e das curvas
de níveis
Esboçando alguns gráficos de funções e o diagrama de contornos:
1) f x y x y( , ) = +2 29 (retirado do livro Cálculo, de James Stewart,exercício 44, p. 885).
0
1 432
y
x
x
y
z=1
z=2
z=3
z=4
z
Figura 50
41
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE VÁRIAS VARIÁVEIS
2) f x y x y( , ) = − −36 9 42 2 (retirado do livro Cálculo, de James Stewart, exercício 45, p. 885).
y
6 x
5
4 3
2
1 0
z=5
z=4
z=3
z=2
z=1
y
z
x
Figura 51
3) Esboçar algumas curvas de nível do elipsoide f x y x y( , ) = − −4 3 22 2 ; note que z > 0.
Observação
Antes, vamos lembrar a equação geral da elipse x
a
y
b
2
2
2
2 1+ = , estudo
gráfico da elipse.
Exemplos:
4 9 36 36
9 4
12 2
2 2
x y
x y+ = ÷ => + =( ) 5 3 15 15
3 5
12 2
2 2
x y
x y+ = ÷ => + =( )
-1
-2
-1-2-3 1 2 3
1
2
y
x
a e b= ± = ±3 2
2
y
x
1-1-2
-1
-2
1
2
a e b= ± = ±3 5
Interceptos ( +3, 0) e (0, +2) Interceptos ( , ) ( , )± ±3 0 0 5e
Figura 52 Figura 53
42
Unidade I
Etapas para o esboço das curvas de nível do elipsoide
1ª etapa
Fazemos f x y K( , ) = , temos:
K x y= − −4 3 22 2 , ajustando essa equação ao formato da equação geral da elipse.
K = − −4 3 22 2x y
Elevando os dois membros ao
quadrado.
K2 = − −( )4 3 22 2
2
x y
Simplificando a raiz com o
quadrado.
K2 = 4 - 3x2 - 2y2 Isolando as constantes.
K2 - 4 = -3x2 - 2y2 Multiplicando por (-1) a linha.
3x2 + 2y2 = 4 - K2 - (÷(4 - K2)
Dividindo os dois lados por
4 - K2.
3 3
4 3
2 2
4 2
2
2
2
2
x
k
y
k
( ) ÷
−( ) ÷
+
( ) ÷
−( ) ÷
=1
Dividindo em cima e embaixo
as frações do primeiro termo:
a primeira fração por 3 e a
segunda, por 2.
x
K
y
K
2
2
2
24
3
4
2
−
+
−
=1
Obtemos a equação na forma
padrão da elipse.
Comparando com a forma geral da equação da elipse, temos que:
a
K
a
K
b
K
b
K
2
2 2
2
2 2
4
3
4
3
4
2
4
2
= − ⇒ = ± −
= − ⇒ = ± −
Note que 4 - K2 > 0; logo, 4 > K2 ⇒ -2 =
= => = ≅
= => = ≅
1 0
2 75 8 66025
5 96 9 7
;
, ;
, 99796
10 99 9 94987
;
, .quandoK R= => = ≅
3ª etapa
Esboço das curvas de nível: representamos as curvas de nível da função tanto no plano XY como no
fatiamento da própria superfície.
46
Unidade I
y
-10
-10
10
10
Fatiamento da superfície 3D Curvas de nível no plano xy
x
z
Figura 57 – Gráficos das curvas de nível de V x y
x y
( , ) =
− −
10
100 2 2
Na representação das curvas de nível, não fica visível o que havíamos constatado numericamente
(pela determinação de K) – que as circunferências curvas de nível ficam cada vez mais próximas de 10
sem jamais alcançar tal valor.
Caro aluno, nem sempre conseguimos construir sem apoio computacional a representação de uma
superfície e de suas curvas de nível. Veja os exemplos das funções (a) e (b) a seguir, cujas superfícies no
espaço tridimensional e suas respectivas curvas de nível são mostradas na figura a seguir.
(a) f x y x y x y( , ) , ,= + − ≤ ≤ − ≤ ≤3 3 3 3 3 3
(b) f x y x seny x y( , ) cos , ,= + − ≤ ≤ − ≤ ≤2 2 π π π π
Resolução
(a) f x y x y x y( , ) , ,= + − ≤ ≤ − ≤ ≤3 3 3 3 3 3
47
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE VÁRIAS VARIÁVEIS
z
z
x
x
y
y
(I) (II)
Representação gráfica da
função f(x) = x3+ y3 vista de
dois pontos de vista
Representação gráfica das
curvas de nível da função
f(x) = x3+ y3
Figura 58 – (I) Gráfico da função (a) e (II) suas respectivas curvas de nível
(b) f x y x seny x y( , ) cos , ,= + − ≤ ≤ − ≤ ≤2 2 π π π π
Curvas de nível na superfície 3D Curvas de nível no plano xy
(III) (IV)
y
z
x
Figura 59 – (III) Gráfico da função com algumas de suas curvas de nível (b) e (IV) algumas curvas de nível no plano
48
Unidade I
Às vezes, fica difícil traçar algumas superfícies, bem como expressar graficamente as curvas de nível
dessas funções. Ao mapear um relevo, por exemplo, unem-se pontos de mesma elevação, o que resulta
em um mapa topográfico com um panorama claro a partir da representação bidimensional. Pode-se
fazer o mesmo com uma função z = f(x,y) de duas variáveis. Vale lembrar que as curvas resultantes
chamam-se curvas de nível e são mais usualmente representadas no domínio da função.
Saiba mais
Para saber mais sobre avaliação e construção de superfícies mais
complexas, bem como suas curvas de nível, estude a unidade IV deste livro-
texto.
1.6 Visualizando gráficos construídos no Winplot
x y
z
Elipsoide
z x y= − −4 3 22 2
Figura 60
x
y
z
Superfície de sela
z y x= −2 2
Figura 61
49
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE VÁRIAS VARIÁVEIS
Outros exemplos de superfícies de funções de duas variáveis:
x
y
z
3
x
y
z
A função é f(x,y) = 3.
A superfície é um plano infinito, paralelo a x,y e passando
por z = 3.
A função x = sen(u).cos(t),
z = cos(u) e y = sen(u) . sen(t) é a equação
paramétrica da esfera.
Figura 62
É muito importante você construir mentalmente a representação gráfica de modelos matemáticos.
Neste momento, vamos apresentar visualmente a diferença entre representar um modelo matemático
no plano e no espaço. Muitas vezes, para construirmos a representação gráfica da superfície (equação
no espaço), precisamos “fatiar” a superfície nos planos XY, YZ, XZ.
Gráfico no plano XY Gráfico no espaço ou superfícies
f(x) = x2
x
y
D = R²
z = x^2 + y^2 + 1
x y
z
D = R²
50
Unidade I
f(x) = 1/x
x
y
D = R
D=R²
z
x y
f(x,y) = 1/(x-y)
x = y2
x
y
D = R
Obs.: x = y² com D = R não é uma função. Acima, temos a
representação gráfica do modelo da equação.
z
y
x
D = R²; f(x,y) = y² - x²
x = 3
x
y
x = 3 não é função
D = R
y
x
z
D = R²
f(x,y) = 2x + 3y-6
51
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE VÁRIAS VARIÁVEIS
x
y
D = R
f x
sen x
x
( ) = 2
2
2
2
z
y
x
D = R²
f x y
sen x y
x y
( , )
( )= +
+
2 2
2 2
2 2
2 2
Figura 63
Observação
O programa Winplot pode ser baixado do AVA. Ele é de fácil instalação, e
você irá aprender a representar gráficos de quaisquerfunções ou equações
no Winplot, quando for estudar a unidade IV deste livro-texto.
1.7 Voltando às curvas de nível
Para visualizar funções de duas variáveis, pode-se também adotar um método semelhante ao de representar
uma paisagem tridimensional por meio de um mapa topográfico bidimensional. Suponhamos que a superfície
z = f(x,y) seja interceptada por um plano z = k e a curva da intersecção seja projetada no plano XY. Essa curva
tem equação z = f(x,y) = k, e é chamada de curva de nível (ou curva de contorno) da função f em k.
x y
z
Na figura ao lado, as curvas
de nível estão em azul.
Figura 64
52
Unidade I
As curvas de nível de uma função f de duas variáveis são gráficos no XY de equações da forma
f(x,y) = k. O conjunto de curvas de nível é chamado mapa de contorno. Todos os pontos (x,y) que estão
na mesma curva de nível têm a imagem z.
No caso de f(x,y) representar uma grandeza física, as curvas de nível ganham particular importância,
recebendo inclusive denominações específicas.
Se f(x,y) é a temperatura no ponto (x,y) de uma chapa plana, as curvas f(x,y) = k são chamadas de
isotérmicas ou isotermas.
Se f(x,y) é a pressão de um gás de volume x e temperatura y, as curvas são chamadas de isobáricas
ou isóbaras.
Se f(x,y) é o potencial (elétrico ou gravitacional) na região D do plano XY, então, as curvas
f(x,y) = k são chamadas equipotenciais.
Exemplo:
Seja a função dada por z x y= +2 2 .
As curvas de nível para z= 0, z = 1, z = 2 e z = 4 são:
z x y
x y
= ⇒ + =
= =( )
0 0
0
2 2
x y
z
z x y= ⇒ + =1 12 2
(circunferência de centro C(0,0) e
raio 1)
z x y= ⇒ + =2 22 2
(circunferência de centro C(0,0) e
raio 2 )
z x y= ⇒ + =4 42 2
(circunferência de centro C(0,0) e
raio 2)
E assim continua.
Figura 65 – Gráfico da superfície z =x2 + y2
53
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE VÁRIAS VARIÁVEIS
Observação
As curvas de nível nunca se interceptam. As funções de três ou mais
variáveis não podem ser representadas graficamente.
1.8 Limite e continuidade de funções de duas variáveis
Se o limite da função f(x,y), quando (x,y), tende para um valor qualquer, que chamaremos de (x0,y0),
dizemos que a função é contínua nesse ponto. Caso contrário, será descontínua no ponto. O mesmo é
válido para um intervalo, isto é, a função é contínua no intervalo quando o limite existe em todos os
pontos desse intervalo.
Para estimar o limite de uma função de duas variáveis f no ponto (x0,y0), é necessário calcular esse
valor por todas as trajetórias que passem por (x0,y0). Se em todos os pontos o resultado for sempre o
mesmo, por exemplo, L, diz-se que o limite existe e vale L.
x y x y
f x y L
, ,
lim ,
( )→( )
( ) =
0 0
Retomando, quando existe o limite da função f(x,y), quando (x,y) tende para um valor (x0,y0),
significa que a função é contínua nesse ponto. Caso contrário, será descontínua no ponto. O mesmo
é válido para um intervalo, isto é, a função é contínua num intervalo quando o limite existe em todos
os pontos desse intervalo. Geralmente, a verificação da continuidade da função é fácil, por simples
inspeção dela.
Nas funções a seguir, o limite existirá sempre, com exceção nas restrições.
Exemplo 1: f x y x y xy,( ) = + −2 2 é contínua para todo par (x,y).
Exemplo 2: f x y x y xy y,( ) = − − +3 2 3 6 é contínua para ∀(x,y).
Exemplo 3: f x y
x y
xy
,( ) = +
−
3 2
1
é contínua para ∀ ≠ ≠x y ou y
x
. 1
1
.
Exemplo 4: f x y
x y
x y
,( ) = +
−
é contínua para ∀ ≠x y .
Exemplo 5: f x y x y, ln( ) = −( ) é contínua para ∀x,y, tal que x - y > 0 ou x > y.
Exemplo 6: f x y x y,( ) = − −1 2 2 é contínua se 1 - x² -y² > 0 ou x² + y²0,61 0,35 0,01 -0,21 -0,11 0,11 0,03
1 -0,05 0,12 0,03 -0,18 -0,19 0,01 0,24 0,40 0,45 0,40 0,24 0,01 -0,19 -0,18 0,03 0,12 -0,05
1,25 -0,09 0,02 0,13 -0,01 -018 -0,21 -0,13 -0,03 -0,01 -0,03 -0,13 -0,21 -018 -0,01 0,13 0,02 -0,09
1,5 -0,01 -0,09 0,05 0,13 -0,03 -0,11 -0,19 -022 -022 -022 -0,19 -0,11 -0,03 0,13 0,05 -0,09 -0,01
1,75 0,07 -0,03 -0,09 0,02 0,12 0,11 0,05 -0,01 -0,03 -0,01 0,05 0,11 0,12 0,02 -0,09 -0,03 0,07
2 -0,02 0,07 -0,01 -0,09 -0,05 0,03 0,09 0,12 0,12 0,12 0,09 0,03 -0,05 -0,09 -0,01 0,07 -0,02
O entorno do ponto (0,0), o limite da região em vermelho, na tabela, aproxima-se de um mesmo
valor, ou seja, de 1.
Analisando a tabela, ficamos tentados a afirmar que, embora (0,0) não pertença ao domínio da
função, lim
( )
( , ) ( , )x y
sen x y
x y→
+
+
=
0 0
2 2
2 2
2 2
2 2
1.
Vamos focar nosso olhar aproximando do ponto (0,0).
Tabela 3 – Aproximação numérica do limite de f(x,y) quando tendem a (0,0)
0,35 0,61 0,76 0,80 0,76 0,61 0,35
0,61 0,84 0,94 0,96 0,94 0,84 0,61
0,76 0,94 0,99 1,00 0,99 0,94 0,76
0,80 0,96 1,00 1,00 0,96 0,80
0,76 0,94 0,99 1,00 0,99 0,94 0,76
0,61 0,84 0,94 0,96 0,94 0,84 0,61
0,35 0,61 0,76 0,80 0,76 0,61 0,35
C4
C1 C1
C3
C2
C2
C3
C4
0,35 0,61 0,76 0,80 0,76 0,61 0,35
0,61 0,84 0,94 0,96 0,94 0,84 0,61
0,76 0,94 0,99 1,00 0,99 0,94 0,76
0,80 0,96 1,00 1,00 0,96 0,80
0,76 0,94 0,99 1,00 0,99 0,94 0,76
0,61 0,84 0,94 0,96 0,94 0,84 0,61
0,35 0,61 0,76 0,80 0,76 0,61 0,35
Pela tabela anterior, podemos perceber que, qualquer que seja o percurso escolhido para caminharmos
com f(x,y), no sentido do ponto(0,0) pelas direções c1, c2, c3, c4 (note: cada direção nos fornece dois
57
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE VÁRIAS VARIÁVEIS
caminhos), estamos caminhando no limite para o resultado 1, isto é, lim ( , )
( , ) ( , )
f x y
x y
=
→
1
0 0
. Em outras palavras,
podemos tomar valores de f(x,y) tão próximos quanto desejarmos de 1 que encontraremos pontos (x,y)
suficientemente próximos de (0,0), mas ainda diferentes de (0,0).
Observação
Não é porque alguns caminhos resultam num mesmo valor “L” que
podemos dizer que o limite é L.
A título de referência conceitual, apresentaremos a definição de limite de uma função de duas
variáveis.
Seja f uma função de duas variáveis, na qual o domínio D contém pontos aleatoriamente próximos
do ponto ao qual desejamos calcular o limite, digamos, (a,b). O limite de f(x,y) é L quando (x,y) tende
a (a,b) é L ( lim ( , )
( , ) ( , )
f x y L
x y ab
=
→
), se para todo número ε > 0 existe um número correspondente δ > 0, tal que
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- Determine a derivada da função g(x)=(x2- 5x)4. Clique na sua resposta abaixo g' (x)=4(x2-5x) 3 . (2x-5) g' (x)=8(x2-5x)2 . (2x-5) g' (x)= 4 (2x-5)2 .
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