Aula 8 - Integrais em Coordenadas Polares

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Profa. Me. Alessandra Azzolini 
 
 
 
CÁLCULO APLICADO – VÁRIAS VARIÁVEIS 
 
 
 
Aula 8 
INTEGRAIS EM COORDENADAS POLARES 
 
▪ Definir coordenadas polares. 
▪ Identificar regiões em coordenadas polares. 
▪ Calcular integrais sobre regiões dadas por equações polares. 
 
 
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM 
 
➢ Aplicar os conceitos de Cálculo Integral na resolução de problemas em engenharia 
e áreas afins. 
➢ Analisar os principais conceitos e resultados sobre funções de mais de uma variável 
no que diz respeito ao cálculo diferencial e integral 
➢ Utilizar os conceitos e ferramentas associados às integrais duplas na resolução de 
problemas aplicados. 
 
 
 
 
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Profa. Me. Alessandra Azzolini 
Integrais Duplas em Coordenadas Polares 
Vamos estudar como calcular uma integral dupla sobre região delimitadas por gráficos de 
equações polares. O objetivo é simplificar o cálculo de algumas integrais. Por exemplo, é 
mais cômodo representar analiticamente cada região abaixo, em coordenadas polares do 
que em coordenadas cartesianas. 
 
 
 
𝑟𝑎𝑖𝑜 → 𝑟 
 
â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑒𝑚 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑜𝑠 → 𝜃 
 
 
sen 𝜃 =
𝑦
𝑟
→ 𝑦 = 𝑟 sen 𝜃 
 
cos 𝜃 =
𝑥
𝑟
→ 𝑥 = 𝑟 cos 𝜃 
 
(𝑟, 𝜃) → 𝑐𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑝𝑜𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠 
 
𝑑𝑥 𝑑𝑦 => 𝑟. 𝑑𝑟. 𝑑𝜃 
∬ 𝑓(𝑥𝑦) dA 
 
 
 
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Exemplo 1 
 
 
𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2 => 𝑟 = √𝑥2 + 𝑦2 
 
∬ √𝑥2 + 𝑦2 𝒅𝒙 𝒅𝒚 = 
 
= ∫ ∫ 𝑟 . 𝒓. 𝒅𝒓. 𝒅𝜽
 1
0
2𝜋
0
= 
= ∫ ∫ 𝑟². 𝒅𝒓. 𝒅𝜽
 1
0
2𝜋
0
= 
 
= ∫
𝑟3
3
 𝒅𝜽 
2𝜋
0
= ∫
13
3
 𝒅𝜽 
2𝜋
0
= 
= ∫
1
3
 𝒅𝜽 
2𝜋
0
= 
 
=
1
3
𝜽 =
1
3
2𝜋 −
1
3
. 𝟎 =
2𝜋
3
𝒖. 𝒗. 
 
 
 
 
 
 
 
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Exemplo 2 
Calcule ∬ y dA, onde R é a região do primeiro quadrante compreendida entre os 
x2 + y2 = 9, 𝑝𝑒𝑙𝑎𝑠 𝑟𝑒𝑡𝑎 𝑦 = 𝑥 𝑒 𝑦 = 0. 
 
∬ 𝑦 𝑑𝐴 = ∫ ∫ 𝑟 sen 𝜃 . 𝑟. 𝑑𝑟. 𝑑𝜃
3
0
𝜋
4
0
= 
= ∫ ∫ 𝑟² sen 𝜃 𝑑𝑟. 𝑑𝜃
3
0
𝜋
4
0
= 
 
= ∫ sen 𝜃 ∫ 𝑟²𝑑𝑟. 𝑑𝜃
3
0
𝜋
4
0
= 
= ∫ sen 𝜃 [
𝑟3
3
]
𝜋
4
0
 𝑑𝜃 = ∫ sen 𝜃 [
𝑟3
3
]
𝜋
4
0
 𝑑𝜃 = 
 
= ∫ sen 𝜃 [
33
3
]
𝜋
4
0
 𝑑𝜃 = ∫ sen 𝜃 [9]
𝜋
4
0
 𝑑𝜃 = 
 
= 9 ∫ sen 𝜃
𝜋
4
0
 𝑑𝜃 = 9(−𝑐𝑜𝑠𝜃) 
 
= −9 (𝑐𝑜𝑠
𝜋
4
− 𝑐𝑜𝑠0) = 
 
= −9 (
√2
2
− 1) = −9
√2
2
+ 9 ≅ 2,6360 𝑢. 𝑣. 
 
 
 
 
 
 
 
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Exemplo 3 
 
 
∫ ∫(3𝑥 + 4𝑦2)𝑟. 𝑑𝑟. 𝑑𝜃 =
2
1
𝜋
0
 
 
= ∫ ∫(3(𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 + 4(𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃)²) 𝑟. 𝑑𝑟. 𝑑𝜃 =
2
1
𝜋
0
∫ ∫(3(𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 + 4(𝑟2𝑠𝑒𝑛²𝜃)) 𝑟. 𝑑𝑟. 𝑑𝜃 =
2
1
𝜋
0
 
 
= ∫ ∫(3(𝑟²𝑐𝑜𝑠𝜃 + 4(𝑟3𝑠𝑒𝑛²𝜃)) 𝑑𝑟. 𝑑𝜃 =
2
1
𝜋
0
 
 
= ∫[3. 𝑐𝑜𝑠𝜃 ∫ 𝑟2𝑑𝑟 + 4𝑠𝑒𝑛²𝜃 ∫ 𝑟³ 𝑑𝑟] 𝑑𝜃 =
2
1
2
1
𝜋
0
 
 
= ∫[3. 𝑐𝑜𝑠𝜃 (
𝑟3
3
) 
𝜋
0
+ 4𝑠𝑒𝑛2𝜃. (
𝑟4
4
) ] 𝑑𝜃 = 
 
= ∫[𝑐𝑜𝑠𝜃 [(2³) − (1³)]
𝜋
0
+ 𝑠𝑒𝑛2𝜃. [24 − 14] ] 𝑑𝜃 = 
 
= ∫[𝑐𝑜𝑠𝜃 [(8) − (1)]
𝜋
0
+ 𝑠𝑒𝑛2𝜃. [16 − 1] ] 𝑑𝜃 = 
 
 
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= ∫[𝑐𝑜𝑠𝜃 [7]
𝜋
0
+ 𝑠𝑒𝑛2𝜃. 15 ] 𝑑𝜃 = 
 
= ∫[7𝑐𝑜𝑠𝜃
𝜋
0
+ 15𝑠𝑒𝑛2𝜃 ] 𝑑𝜃 = 
 
 
= ∫[7𝑐𝑜𝑠𝜃
𝜋
0
+ 15 (
1
2
(1 − cos 2𝜃) ] 𝑑𝜃 = 
 
= ∫[7𝑐𝑜𝑠𝜃
𝜋
0
+
15
2
 (1 − cos 2𝜃) ] 𝑑𝜃 = 
 
 
= 7 ∫ 𝑐𝑜𝑠𝜃
𝜋
0
 𝑑𝜃 +
15
2
∫(1 − cos 2𝜃)
𝜋
0
 𝑑𝜃 = 
 
= 7 ∫ 𝑐𝑜𝑠𝜃
𝜋
0
 𝑑𝜃 +
15
2
∫(1 − cos 2𝜃)
𝜋
0
 𝑑𝜃 = 
 
= 7𝑠𝑒𝑛 𝜃 +
15
2
(𝜃 −
1
2
sen 2𝜃) = 
 
= 7𝑠𝑒𝑛 𝜃 +
15
2
𝜃 −
15
4
sen 2𝜃 = 
 
 
= 7(𝑠𝑒𝑛 𝜋 − 𝑠𝑒𝑛 0) +
15
2
(𝜋 − 0) −
15
4
(sen 2𝜋 − 𝑠𝑒𝑛 0) = 
 
= 7(0 − 0) +
15𝜋
2
−
15
4
(0 − 0) = 
= 7.0 +
15𝜋
2
−
15
4
. 0 =
15𝜋
2
𝑢. 𝑣. 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 
 
1. Calcule ∬ 𝑥 𝑑𝐴, onde R é a região do primeiro quadrante compreendida entre os 
x2 + y2 = 25, 𝑝𝑒𝑙𝑎𝑠 𝑟𝑒𝑡𝑎 𝑦 = 𝑥 𝑒 𝑦 = 0. 
 
 
 
2. Determine o volume do solido abaixo. 
 
 
 
 
3. Determine o volume do solido limitado pelo plano z = 0 e pelo paraboloide 
 𝑧 = 1 − 𝑥2 − 𝑦2. 
𝐿𝑒𝑚𝑏𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟² 
 
 
 
 
 
 
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Profa. Me. Alessandra Azzolini 
 
Observação: 
 
 
 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
STEWART, James. Cálculo, volume I. 5ª edição. São Paulo - SP: Pioneira Thomson 
Learning, 2006. 
 
GUIDORIZZI, Hamilton L. Um Curso de Cálculo: Volume 1. Rio de Janeiro: Editora 
LTC, 2001. 
Disponível em http://www.lapolli.pro.br/escolas/unicid/CalDifIntII/teoria/3_3-
VolSolRevo.pdf acesso em 20 de março de 2020. 
 
http://www.lapolli.pro.br/escolas/unicid/CalDifIntII/teoria/3_3-VolSolRevo.pdf
http://www.lapolli.pro.br/escolas/unicid/CalDifIntII/teoria/3_3-VolSolRevo.pdf