AVA2 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II - JORGE LUIZ BRAZIEL

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UNIVERSIDADE VEIGA DE ALMEIDA 
GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA DE PRODUÇÃO 
 
 
 
 
 
 
DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
TRABALHO DA DISCIPLINA (AVA 2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aluno: JORGE LUIZ OLIVEIRA BRAZIEL FERREIRA 
 
Matrícula: 1210303732 
 
 
 
 
RIO DE JANEIRO, SETEMBRO DE 2023. 
 
 
 
 
 
 
JORGE LUIZ OLIVEIRA BRAZIEL FERREIRA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
INTEGRAIS TRIPLAS 
 
 
 
 
 
 
Resolução dos exercícios da 
Avaliação 2 (AVA 2) referente disciplina: 
 Cálculo Diferencial Integral II. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RIO DE JANEIRO, SETEMBRO DE 2023 
 
 
 
 
SUMÁRIO 
 
1) Enunciado .................................................................................................... 4 
2) Desenvolvimento ......................................................................................... 5 
3) Referência bibliográfica ............................................................................. 6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Integrais triplas 
Nas questões abaixo, vamos exercitar os conceitos aprendidos nesta unidade. 
 
1ª questão 
Calcular a integral tripla 
(𝑦 + 𝑥 )𝑧𝑑𝑉 
sobre a região de integração definida pelo paralelepípedo 
 1 ≤ 𝑥 ≤ 2; 0 ≤ 𝑦 ≤ 1, −3 ≤ 𝑧 ≤ 5. 
 
2ª questão 
Calcular a integral 
∭(𝑥 + 𝑦 )𝑑𝑉, em que T é a região de integração interior ao cilindro 𝑥 + 𝑦 = 1 e à 
esfera 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 4 (fazer a transformação para o sistema de coordenadas que 
mais simplifica a resolução). 
(𝑥𝑦, 𝑧) → (𝑟, 𝑂, 𝑧) 𝑑𝑣 = 𝑟𝑑𝑧 𝑑𝑟 𝑑0 
𝑋 + 𝑦 + 𝑧 = 4 𝑥 = 𝑟 cos 𝑂 
𝑍 = 4 − 𝑥2 − 𝑦 𝑦 = 𝑟 sec 𝑂 
0 ≤ 𝑟 ≤ 1 𝑟 = 𝑥 = 𝑦 
0 ≤ 𝑂 ≤ 2¶ 𝑟 = 𝑥 + 𝑦 
 0 ≤ 𝑧 ≤ 2𝑟 
 𝑋 = 𝑟 cos 𝑂 
𝐷𝑣 = 𝑟𝑑𝑧 𝑑𝑟 𝑑𝑂 
 
(𝑟 cos 𝑂) + (𝑟 𝑠𝑒𝑛𝑂) . 𝑟 𝑑𝑧 𝑑𝑂 𝑑𝑟
¶
 
𝑟 + 𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝑂. 𝑟 𝑑𝑧 𝑑𝑂 𝑑𝑟
¶
 
2𝑟 𝑑𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝑂 + 𝑠𝑒𝑛 𝑂 𝑑𝑂 𝑑𝑧
¶
 
𝑑𝑧 = [𝑧} 
[−2𝑟 − 0] 
2𝑟 𝑑𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝑂 + 𝑠𝑒𝑛 𝑂 𝑑𝑂[−2𝑟 − 0]
¶
 
−𝑠 𝑟 𝑑𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝑂 + 𝑠𝑒𝑛 𝑂 𝑑𝑂
¶
 
 
 
𝑐𝑜𝑠 𝑂 = 𝑠𝑒𝑛 𝑂 = 
 
1 + 𝑐𝑜𝑠2𝑂
2
+
¶
 𝑒𝑛 𝑂 =
1 + 𝑐𝑜𝑠2𝑂
2
 
1
2
¶
+
1
2
= 1 
1𝑑𝑂
𝑐𝑜𝑠2𝑂
2
¶¶
−
𝑐𝑜𝑠2𝑂
2
 𝑑𝑂 
1
2
+
1
2
= 1 𝑑𝑂 + 1 cos(2𝑂) − cos(2𝑂) 𝑑𝑂
¶¶
 
𝑑𝑂 + 1]
¶
= 1(2¶) − 1(0) = 2¶ 
−2.2¶ 𝑟 𝑑𝑟 = 
−2.2¶𝑟
4 + 1
] = 
−2.2¶𝑟
5
= 
−4¶𝑟
5
] = 
1
5
−
(0)
5
= 
1
5
−
0
5
=
1
5
 
 
 
3ª questão 
Calcular o volume do tetraedro mostrado na figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1ª questão 
Resolução: 
 
𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧(𝑦 + 𝑥 ) 𝑧𝑑𝑣 
𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧(𝑦 + 𝑥 )𝑧𝑑𝑣 
 
𝑧
2
 ] =
5
2
−
(−3)
2
=
25
2
−
(9)
2
= 8 
𝑑𝑥 (𝑦 + 𝑥 ) = (8)𝑑𝑦 
(8) ∗ (𝑦 + 𝑥 ) 
8𝑦 + 8𝑥 = 
8𝑥²𝑑𝑥 8𝑦 𝑑𝑦 
8𝑦
2
 ]
1²
2
=
(0)²
2
=
1
2
 
8𝑥 𝑑𝑥
1
2
 
(8).
1
2
8𝑥 𝑑𝑥 = 
8
2
=
4𝑥
3
] = 
4[
2
3
−
1
3
= 
4
8
3
−
1
3
= 
4
7
3
=
28
3
= 9,33 
 
 
 
 
2ª questão 
Resolução: 
 
3ª questão 
Resolução: Equação do plano (2,0,0), (0,1,0), (0,0,3) 
 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑧 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 
0 = 𝑎(2) + 𝑏(0) + 𝑐 → 𝑎 = −
𝑐
2
 
0 = 𝑎(0) + 𝑏(1) + 𝑐 → 𝑏 = −𝑐 𝑧 = − 𝑥 − 3𝑦 + 3 
0 = 𝑎(0) + 𝑏(0) + 𝑐 → 𝑐 = 3 
 
Equação das retas: 
𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 
(2,0) → 0 = 2𝑎 + 𝑏 → 𝑎 = − , 
 𝑦 = − + 1 
(0,1) → 1 = 2(0) + 𝑏 → 𝑏 = 1 
 
 
Sem necessidade de transformação das coordenadas polares. Volume é dado pela 
integral: 
𝑉 = (−
3
2
𝑥 − 3𝑦 + 3)𝑑𝑦𝑑𝑥 = 
[( −
3
2
𝑥𝑦 −
3
2
𝑦 + 3𝑦) ] 𝑑𝑥 = 
[( −
3
2
𝑥 −
𝑥
2
+ 1 −
3
2
−
𝑥
2
+ 1 + 3 −
𝑥
2
+ 1 ]𝑑𝑥 = 
(
3
8
𝑥 −
3
8
𝑥 +
3
2
)𝑑𝑥 = 
𝑥 − 𝑥 + 𝑥 ⎢ = 1 unidade de volume 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
REFERÊNCIAS 
 
STEWART, J. Cálculo. v.2. São Paulo: Thomson, 2009 
 
THOMAS, George B. Cálculo. v.2. São Paulo: Pearson, 2008 
 
HIMONAS, Alex. Cálculo: Conceitos e aplicações. Rio de Janeiro: LTC, 2005