ALGEBRA LINEAR - Lista 6

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MAT 01355 – Álgebra Linear I-A 2020/1
Lista Adicional 6 - Independência linear, Bases e Sistemas de Co-
ordenadas
1. Considere a matriz A =

1 2 −5 11 −3
2 4 −5 15 2
1 2 0 4 5
3 6 −5 19 −2

(a) Determine uma base para o espaço Col A.
(b) Determine as coordenadas da segunda, da quarta e da quinta colunas de A em
relação a base que você obteve no item anterior.
(c) Determine uma base para o espaço Nul A.
2. Considere a base B = {(1, 2), (1, 3)} de R2.
(a) Se v = (1, 1), então determine o vetor [v]B de B-coordenadas de v.
(b) Se [u]B = (1, 1) é o vetor de B-coordenadas do vetor u ∈ R2, então determine
o vetor u.
3. Considere o conjunto B = {(−1, 2, 0), (3,−5, 2), (4,−7, 3)} ⊆ R3.
(a) Mostre que B é uma base de R 3.
(b) Determine o vetor de B-coordenadas dos seguintes vetores:
v1 = (−1, 2, 0),v2 = (1, 0, 1),v3 = (1, 1, 1) e v4 = (1, 2, 3)
Sugestão. Para minimizar cálculos, use a técnica de resolver vários sistemas line-
ares simultaneamente.
4. Este exerćıcio trata da construção de uma matriz que transforma as B1-coordenadas
em B2-coordenadas de um vetor de Rn (no exerćıcio, consideramos o caso n = 2
apenas), onde B1 e B2 são distintas bases de Rn. Este assunto é tratado na seção
4.7 do livro de David Lay (2ed.) e não faz parte do nosso programa. Se você achar
conveniente, pode comparar as duas abordagens.
Considere as seguintes bases de R2 dadas por B1 = {(3, 2), (4, 3)} e B2 = {(2, 7), (1, 3)}.
(a) Determine o vetor de B1-coordenadas de u = (−1, 2).
(b) Determine v ∈ R2, sabendo que [v]B1 é igual a (2,−3).
(c) Determine o vetor de B2-coordenadas de v, onde v ∈ R2 é o vetor do item
anterior.
(d) Defina o vetor w ∈ R2 por w = B−1A[v]B1 , onde A é a matriz cujas colunas
são os vetores da base B1, B é a matriz cujas colunas são os vetores da base
B2 e v é o vetor do item (b).
(e) Compare w com o vetor [v]B2 . Coincidência? O que você acha? Tente uma
explicação.
5. Consideremos W = {(a, b, c) ∈ R3 : a− 2b + 3c = 0} ⊆ R3. Determine uma base de
W . Verifique que w = (1, 2, 1) ∈ W e determine o vetor de coordenadas de w em
relação a base obtida.
6. Este exerćıcio pretende chamar a atenção para a importância de sabermos trabalhar
com coordenadas de vetores em um espaço vetorial abstrato, e está relacionado com
o Teorema 8 (pag. 225 - Seção 4.4 - D. Lay 2ed.) e com os exerćıcios 23 a 26 da
seção 4.4 (pg. 229 - D. Lay 2ed.).
Considere o espaço vetorial P3, dos polinômios com grau menor ou igual a três e
coeficientes reais. Vamos denotar por 1 = 1 + 0t + 0t2 + 0t3, t = 0 + 1t + 0t2 + 0t3,
t2 = 0 + 0t + 1t2 + 0t3 e t3 = 0 + 0t + 0t2 + 1t3, polinômios de P3.
(a)(a.1) Mostre que B = {1, t, t2, t3} é uma base de P3.
(a.2) Determine o vetor de B-coordenadas de cada um dos seguintes polinômios
p1(t) = 1− t + 2t2 + t3, p2(t) = t + 2t2 − t3 e p3(t) = 1− 2t + 3t2 + 2t3
(b) Mostre que a função TB : P3 → R4 definida por T (p(t)) = [p(t)]B,∀p(t) ∈ P3,
onde [p(t)]B ∈ R4 é o vetor de B-coordenadas de p(t), é uma transformação
linear bijetora. Esta transformação linear será chamada de transformação de
B-coordenadas.
(c) Considere novamente os vetores p1(t) = 1− t + 2t2 + t3, p2(t) = t + 2t2 − t3 e
p3(t) = 1− 2t + 3t2 + 2t3 em P3.
(i) Verifique se estes vetores são L. I. ou L. D. em P3.
(ii) Verifique se p(t) = 1 + 2t − 2t2 + t3 é uma combinação linear dos vetores
p1(t), p2(t) e p3(t).
(iii) Determine o subespaço de P3 gerado pelos polinômios p1(t), p2(t) e p3(t).
Sugestão. Use a transformação de coordenadas TB e trabalhe com vetores
[p(t)]B ∈ R4, em lugar de p(t) ∈ P3. Como TB é uma transformação linear
bijetora, podemos concluir o seguinte:
• Os vetores p1(t), p2(t) e p3(t) são L. I. em P3 se, e somente se, os vetores
[p1(t)]B, [p2(t)]B e [p3(t)]B são L. I. em R4 (pois TB preserva independência
linear).
• O polinômio p(t) = 1+2t−2t2+t3 é uma combinação linear dos polinômios
p1(t), p2(t) e p3(t) se, e somente se, o vetor [p(t)]B é uma combinação
linear dos vetores [p1(t)]B, [p2(t)]B e [p3(t)]B (pois TB preserva combinações
lineares).
• O subespaço vetorial Span {p1(t), p2(t), p3(t)} de P3 é uma cópia do su-
bespaço vetorial Span {[p1(t)]B, [p2(t)]B, [p3(t)]B} de R4 (pois TB determina
uma correspondência bijetiva, preservando a estrutura vetorial e inde-
pendência linear, entre estes espaços vetoriais).
7. Use as ideias sugeridas no exerćıcio anterior para determinar uma base para o su-
bespaço de M2×2 definido por
W =
{[
a− 2b + 6c a + b
−2a + b− 6c a− b + 4c
]
: a, b, c ∈ R
}