Implementação dos Métodos Numéricos para Resolução de Equações

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ROTEIRO DE PRÁTICA
	Tema 
	Implementação dos Métodos Numéricos para Resolução de Equações
	Unidade
	01
	Disciplina (s)
	Cálculo Numérico Computacional
	Data da última atualização
	03/02/2020
	I. Instruções e observações
	
LEIA COM ATENÇÃO AS SEGUINTES INSTRUÇÕES E OBSERVAÇÕES
1. É importante o conhecimento prévio de métodos numéricos para obtenção de raízes de equações (Métodos Gráfico, Bisseção, Newton, Iteração Linear).
2. É imprescindível ter o roteiro da prática em mãos.
3. Consulte o material de apoio (e-book unidade 1).
	II. Equipamentos, materiais, reagentes ou produtos
	Descrição
	Quantidade
	Roteiro da prática
	1
	Calculadora científica
	1
	Computador ou Notebook
	1
	III. Introdução
	Existem alguns métodos numéricos para a obtenção de raízes de equações. As técnicas numéricas nos fornecem soluções próximas da solução exata. De modo geral, esses métodos geram uma sequência de números reais, que se aproximam de uma raiz exata da equação. Para a aplicação dos métodos, podemos utilizar recursos computacionais acessíveis e de fácil manuseio, como Excel e o software GeoGebra.
	IV. Objetivos de Aprendizagem
	
· Aplicar o método da iteração linear para determinar uma aproximação refinada para uma raiz de uma função. (Capstone)
· Realizar o refinamento da raiz através dos métodos da bisseção, de Newton e da iteração linear.
· Avaliar as vantagens e desvantagens dos métodos da bisseção, de Newton e da iteração linear.
	 V. Experimento
	ETAPA 1: Método Gráfico
1. Utilizando o Método Gráfico, determine a quantidade e os sinais das raízes da função:
.
	
Considerando h(x) = x³ e g(x) = 2x² + 20x – 30 temos que f(x) = g(x) – h(x). 
Pelo método gráfico, vamos analisar as raízes e gráficos de h(x) e g(x). 
Analisando a função g(x) = x³ temos g(x) = 0 se e somente se x³ = 0, portanto se, isto implica que a única raiz é o 
zero. Além disso o seu gráfico é dado por: 
Analisando o gráfico da função h(x) = 2x²+20x-30: 
Observamos que h(x) é uma equação de 2º grau, que pode ser simplificada para h(x) = x²+10x-15, e tem a 
concavidade voltada para cima e corta o eixo das ordenadas em y = -15.
2. Compare as respostas obtidas no item anterior a partir da utilização do Software GeoGebra (https://www.geogebra.org/). Use as mesmas funções escolhidas para e .
	
	
	
	f(x)=x²-2x²-20+30
	g(x)=
	h(x)=2x²+20x+30
Analisando as funções g(x) e h(x) no software Geogebra, determinamos os pontos A,B e C como interseções entre 
as duas funções, os quais correspondem aos intervalos obtidos pela análise gráfica do item 1.
ETAPA 2: Método da Bisseção
3. No Excel, sem utilizar a função “SE”, aplique o Método da Bisseção para calcular a quinta aproximação da raiz positiva da função . Para tanto, isole a raiz num intervalo ( e naturais) de comprimento 1, isto é, . 
	
	
	
	3,15625
	-0,038086
	0,031250
4. Agora, fazendo uso da função “SE”, calcule a trigésima aproximação da raiz. 
	
	
	
	
	
	
5. Calcule com uma calculadora científica e compare o valor encontrado com .
	
ETAPA 3: Método de Newton
6. No Excel, isolando a raiz de num intervalo ( e inteiros) de comprimento 1, isto é, e utilizando o Método de Newton, complete o quadro abaixo:
7. Use o GeoGebra para esboçar o gráfico da função e determinar sua raiz. Em seguida, compare suas respostas para a raiz encontrada no caso em que a tolerância é . 
	
ETAPA 4: Método da Iteração Linear
8. Em relação ao Método da Iteração Linear, considere a função e . Justificando sua resposta, quais as possibilidades para a função de iteração ?
	
9. Sejam , e uma função de iteração convenientemente escolhida. No Excel, levando em consideração a sequência de raízes , complete a tabela abaixo:
	
	Raiz aproximada
	
	Erro ()
	
	0,866753875
	0,865039927
	0,0050688
	
	0,865474059
	0,865474024
	0,00000010095
	
	0,865474032
	0,865474033
	0,00000000393
	
	0,865474033
	0,865474033
	0
10. Use o GeoGebra para esboçar o gráfico da função determinar sua raiz. Por fim, compare suas respostas para a raiz encontrada ().
	
	VI. Avaliação do experimento
	
	VII. Referências
	BARROSO, L. C; BARROSO, M. M. A.; FILHO, F. F. C.; CARVALHO, M. L. B.; MAIA, M. L. Cálculo Numérico com aplicações; 2ª Edição. São Paulo; Harbra, 1987
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