1 Geom Plana - Aula 2 - Triângulos

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FUNDAMENTOS I 
Prof. Luciano Godinho 
TRIÂNGULOS 
AULA 2 
09/11/2024 
ELEMENTOS: 
Vértices: 𝐴, 𝐵 e 𝐶 
Lados: 𝐴𝐵, 𝐵𝐶 e 𝐴𝐶 
Ângulos internos: 𝐵Â𝐶, 𝐴𝐵 𝐶 e 𝐴𝐶 𝐵 
Medidas dos lados: 𝐴𝐵 = 𝑐, 𝐴𝐶 = 𝑏 e 
𝐵𝐶 = 𝑎 
∆𝑨𝑩𝑪 = AB ∪ AC ∪ BC 
Os lados BC, AC e AB e os ângulos 
 , 𝐵 e 𝐶 são, respectivamente, 
opostos. 
Dados os pontos distintos 𝐴, 𝐵 e 𝐶 não colineares, à 
reunião dos segmentos 𝐴𝐵 𝐵𝐶 e 𝐴𝐶 chama se triângulo 
𝑨𝑩𝑪. 
A reunião do triângulo 
com seu interior é uma 
superfície triangular. 
TRIÂNGULOS 
◦CLASSIFICAÇÃO QUANTO AOS LADOS: 
I. Equilátero: se, e somente se, têm os três lados 
congruentes; 
II. Isósceles: se, e somente se, tem dois lados 
congruentes (observações: base e ângulo de vértice); 
III.Escaleno: se, e somente se, dois quaisquer lados não 
são congruentes. 
◦CLASSIFICAÇÃO QUANTO AOS ÂNGULOS: 
I. Acutângulo: se, e somente se, tem os três ângulos 
agudos; 
II. Retângulo: se, e somente se, tem um ângulo reto 
(observações: nomes dos lados); 
III.Obtusângulo: se, e somente se, tem um ângulo 
obtuso. 
 
 
CONGRUÊNCIA DE TRIÂNGULOS 
Definição: Um triângulo é congruente (≡) a outro se, e 
somente se, é possível estabelecer uma 
correspondência entre seus vértices de modo que: 
◦Seus lados são ordenadamente congruentes aos lados 
do outro; 
◦Seus ângulos são ordenadamente congruentes ao 
ângulos do outro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ∆𝐴𝐵𝐶 ≡ ∆𝐷𝐸𝐹 ⇔
𝐴𝐵 ≡ 𝐷𝐸
𝐴𝐶 ≡ 𝐷𝐹
𝐵𝐶 ≡ 𝐸𝐹
 𝑒 
𝐴 ≡ 𝐷 
𝐵 ≡ 𝐸 
𝐶 ≡ 𝐹 
 
CONGRUÊNCIA DE TRIÂNGULOS 
 
 
◦Existem três propriedades para a congruência entre 
triângulos: reflexiva, simétrica e transitiva. 
 
◦Reflexiva: todo triângulo é congruente a ele mesmo. 
◦Simétrica: se o triângulo ABC é congruente ao triângulo 
A1B1C1, então, o triângulo A1B1C1 é congruente ao 
triângulo ABC. 
◦Transitiva: caso um triângulo ABC seja congruente a um 
triângulo DEF e o triângulo DEF for congruente ao triângulo 
GHI, então o triângulo ABC será côngruo ao triângulo GHI. 
 
 
PROPRIEDADES DOS TRIÂNGULOS 
1º Caso – Lado, Ângulo, Lado – LAL (postulado): 
Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes dois 
lados e o ângulo compreendido, então eles são 
congruentes. 
𝐴𝐵 ≡ 𝐴′𝐵′
𝐵 ≡ 𝐵′ 
𝐵𝐶 ≡ 𝐵′𝐶′
 
𝐿𝐴𝐿
∆𝐴𝐵𝐶 ≡ ∆𝐴′𝐵′𝐶′ ⇒ 
𝐴 ≡ 𝐴′ 
𝐴𝐶 ≡ 𝐴′𝐶′
𝐶 ≡ 𝐶′ 
 
CASOS DE CONGRUÊNCIA 
 
 
Se um triângulo é isósceles, os ângulos da base são 
congruentes. Também podemos dizer que “Todo 
triângulo isósceles é isoângulo”. 
 
 
 Hipótese Tese 
∆𝐴𝐵𝐶, 𝐴𝐶 ≡ 𝐴𝐵 ⇒ 𝐵 ≡ 𝐶 
Consideremos os triângulos 𝐴𝐵𝐶 e 𝐴𝐶𝐵 , isto é, 
associamos a A, B e C, respectivamente, A, C e B. 
Hipótese ⇒ AB ≡ AC 
 𝐵Â𝐶 ≡ 𝐶Â𝐵 ⇒ ∆𝑨𝑩𝑪,𝑨𝑪 ≡ 𝑨𝑩 ⇒ 𝑩 ≡ 𝑪 
Hipótese ⇒ AC ≡ AB 
 
 do ∆𝑨𝑩𝑪 do ∆𝑨𝑪𝑩 
TEOREMA DO TRIÂNGULO ISÓSCELES 
LAL 
2º Caso – Ângulo, Lado, Ângulo – ALA: 
Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes um 
lado e os dois ângulos a ele adjacentes, então esses 
triângulos são congruentes. 
𝐵 ≡ 𝐵′ 
𝐵𝐶 ≡ 𝐵′𝐶′
𝐶 ≡ 𝐶′ 
 
𝑳𝑨𝑳
∆𝐴𝐵𝐶 ≡ ∆𝐷𝐸𝐹 ⇒ 
𝐴𝐵 ≡ 𝐴′𝐵′
𝐴 ≡ 𝐴′ 
𝐴𝐶 ≡ 𝐴′𝐶′ 
 
 
 
Se ABC é um triângulo isósceles de base BC e possui dois 
ângulos congruentes, então esse triângulo é isósceles. 
∆𝐴𝐵𝐶, 𝐵 ≡ 𝐶 ⇒ 𝐴𝐵 ≡ 𝐴𝐶 
RECÍPROCA DO TEOREMA DO TRIÂNGULO 
ISÓSCELES 
3º Caso – Lado, Lado, Lado – LLL: 
Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes os 
três lados, então esses triângulos são congruentes. 
𝐴𝐵 ≡ 𝐴′𝐵′
𝐵𝐶 ≡ 𝐵′𝐶′
𝐴𝐶 ≡ 𝐴′𝐶′ 
 
𝑳𝑳𝑳
∆𝐴𝐵𝐶 ≡ ∆𝐴′𝐵′𝐶′ ⇒ 
𝐴 ≡ 𝐴′ 
𝐵 ≡ 𝐵′ 
𝐶 ≡ 𝐶′ 
 
◦Existência do ponto médio 
 
◦Existência da Bissetriz 
Dado um ângulo aÔb, obtemos A e A’ em Oa e B em B’ 
em Ob, tais que: 
OA ≡ OB (1) 
OA’≡ OB’(2), com OA’ > OA e OB’ > OB 
Vejamos uma sequência de congruência de triângulos: 
i. ∆𝐴𝑂𝐵′ ≡ ∆𝐵𝑂𝐴′ 𝐿𝐴𝐿 
ii. ∆𝐴𝐶𝐴′ ≡ ∆𝐵𝐶𝐵′ 𝐴𝐿𝐴 
iii. ∆𝑂𝐴𝐶 ≡ ∆𝑂𝐵𝐶 (𝐿𝐴𝐿) 
◦Mediana de um triângulo 
Mediana de um triângulo é um segmento com 
extremidades em um vértice e no ponto médio do lado 
oposto a este vértice. 
 
◦𝑀𝟏 é o ponto médio da base 𝐵𝐶, sendo assim 𝐵𝑀 ≡ 𝑀𝐶. 
◦𝐴𝑀𝟏 é a mediana relativa ao lado 𝐵𝐶, ou 
◦𝐴𝑀𝟏 é a mediana relativa ao vértice 𝐴. 
 
◦Bissetriz interna de um triângulo 
Bissetriz interna de um triângulo é o segmento com 
extremidades num vértice e lado oposto, que divide o 
ângulo desse vértice em dois ângulos congruentes. 
◦S1 ∈ BC, S1 ÂB ≡ S1 ÂC 
◦AS1 é a bissetriz relativa ao lado BC. 
◦AS1 é a bissetriz relativa ao vértice A. 
 
◦Teorema do ângulo externo 
Dado um triângulo ∆𝐴𝐵𝐶 e sendo 𝐶𝑋 a semirreta oposta 
à semirreta 𝐶𝐵, o ângulo ê = A𝐶 𝑋 é o ângulo externo do 
∆𝐴𝐵𝐶 adjacente a 𝐶 e não adjacente aos ângulos 𝐴 e 𝐵 . 
 
Teorema: Um ângulo externo 
de um triangulo é maior que 
qualquer um dos ângulos 
internos não adjacentes. 
4º Caso – Lado, Ângulo, Ângulo – LAA0: 
Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes um 
lado, um ângulo adjacente e o ângulo oposto a esse 
lado, então esses triângulos são congruentes. 
 
 
 
 
 
Se dois triângulos retângulos tem ordenadamente 
congruentes um cateto e a hipotenusa, então esses 
triângulos são congruentes. 
𝐴 ≡ 𝐴′ = 90°
𝐴𝐵 ≡ 𝐴′𝐵′
𝐵𝐶 ≡ 𝐵′𝐶′ 
 
⊿
⇒∆𝐴𝐵𝐶 ≡ ∆𝐴′𝐵′𝐶′ ⇒ 
𝐵𝐶 ≡ 𝐵′𝐶′
𝐵 ≡ 𝐵′ 
𝐶 ≡ 𝐶′ 
 
CASO ESPECIAL DE CONGRUÊNCIA DE 
TRIÂNGULOS RETÂNGULOS 
DESIGUALDADES NOS TRIÂNGULOS 
Ao maior lado opõe-se o maior ângulo 
 
Se dois lados de um triângulos não são congruentes, 
então os ângulos opostos a eles não são congruentes e 
o maior deles está oposto ao maior lado. 
Hipótese Tese 
𝐵Â𝐶 > 𝐴𝐵 𝐶 ⇒ 𝐵𝐶 > 𝐴𝐶′ 
ou 
 > 𝐵 ⇒ 𝑎 > 𝑏 
DESIGUALDADES NOS TRIÂNGULOS 
Ao maior ângulo opõe-se o maior lado 
 
Se dois ângulos de um triângulo não são congruentes, 
então os lados opostos a eles não são congruentes e o 
maior deles está oposto ao maior ângulo. 
DESIGUALDADES NOS TRIÂNGULOS 
A desigualdade triangular 
 
Em todo triângulo, cada lado é menor que a soma dos 
outros dois. 
 
 Hipótese Tese 
A, B e C não colineares ⇒ 𝐵𝐶