Aula8

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Ajuste de curvas 
Marcos Augusto dos Santos 
marcos@dcc.ufmg.br 
 AJUSTE DE CURVAS 
I 
Quando usar? 
1.Quando se quer aproximar um valor da função 
no intervalo de tabelamento. 
2.Quando os valores são medidas experimentais 
com erros. Neste caso a função deve passar pela 
barra de erros não pelos pontos. 
Can You Make Yourself 
Smarter? 
 
 
AJUSTE DE CURVAS 
6.1- INTRODUÇÃO 
Graficamente, a extrapolação e o ajuste por barras 
de erros são vistos abaixo: 
 
 
 
 
 
 
xexf )(
x
)(xf
x
 xf
Curva ajustada 
Curva extrapolada 
Barra de 
erros 
AJUSTE DE CURVAS 
 
 Temos que ajustar estas funções tabeladas por 
uma função que seja uma “boa aproximação” e 
que permita extrapolações com alguma margem 
de segurança. 
 Dado os pontos 
 num intervalo [a,b], devemos escolher funções 
 , e constantes 
 tais que a função 
 se aproxime de 
     )(,,......,)(,,)(, 2211 mm xfxxfxxfx
)(,.......,)(,)( 21 xgxgxg n
)(,.......,)(,)( 21 xxx n
)()()()( 2211 xgxgxgx nn ).(xf
AJUSTE DE CURVAS 
 Este modelo é dito linear pois os coeficientes a 
determinar aparecem 
linearmente. 
 Note que as funções 
 podem ser funções não-lineares, por exemplo: 
 
PROBLEMA 1 
Como escolher as funções ? 
 
 
)(,.......,)(,)( 21 xgxgxg n
)(,.......,)(,)( 21 xxx n
  .......,1)(,)( 221 xxgexg x 
)(,.......,)(,)( 21 xgxgxg n
AJUSTE DE CURVAS 
 Podemos escolher as funções 
 
 observando os pontos tabelados ou a 
partir de conhecimentos teóricos do 
experimento. 
)(,.......,)(,)( 21 xgxgxg n
AJUSTE DE CURVAS 
 
 
• Seja dada na tabela: 
 
 
 
 
 
• Devemos construir o diagrama de dispersão 
 
 
 
x -1.0 -0.75 -0.6 -0.5 -0.3 0 0.2 0.4 0.5 0.7 1.0 
f(x) 2.05 1.153 0.45 0.4 0.5 0 0.2 0.6 0.512 1.2 2.05 
Diagrama de dispersão 
0
0,5
1
1,5
2
2,5
-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5
x
f(
x) Série1
AJUSTE DE CURVAS 
 
• Escolhemos a partir da forma dos 
pontos no diagrama de dispersão. 
 
• Procuramos a função que se aproxime ao 
máximo de que tenha a forma 
 
 (parábola passando pela origem) 
 
• PROBLEMA : Qual o valor de que gera 
melhor ajuste da parábola? 
2
1 )( xxg 
2
11 )()( xxgx 
)(xf

AJUSTE DE CURVAS 
 
• Dada uma função contínua em [a,b] e 
escolhidas as funções 
 todas contínuas em [a,b], devemos determi-
nar as constantes de modo 
que a função 
 
 
 se aproxime ao máximo de . 
)(....)()()( 2211 xgxgxgx nn
)(xf
)(,......,)(,)( 21 xgxgxg n
n ,.....,, 21
)(xf
AJUSTE DE CURVAS 
 
 
• O que significa ficar mais próxima? 
 
• Idéia: A função é tal que o módulo da 
 área sob a curva seja 
 mínimo!!! 
 x
  )(xfx 
Método dos Mínimos 
Quadrados 
• Objetivo: encontrar os coeficientes j tais 
que a função 
 
 se aproxime ao máximo de f(x) 
 
• MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS 
Consiste em escolher os j’s de modo que 
a soma dos quadrados dos desvios seja 
mínima. 
)()()()()( 2211 xgxxgxgx nn 
 Método dos Mínimos Quadrados 
 
• Desvio em : 
• Se a soma dos quadrados dos desvios 
 
 
 é mínima, cada desvio 
 será pequeno. Assim, j’s devem ser tais 
que minimizem a função 
)()( kkk xxf d



m
k
kk
m
k
k xxf
1
2
1
2
))()((d
)()( kkk xxf d



m
k
kkn xxf
1
2
21 )]()([),,( F
kx
Método dos Mínimos Quadrados 
 
• Para obter um ponto mínimo devemos 
encontrar os números críticos, ou seja, j’s 
tais que 
 
 
 onde 
nj
n
j


2,1,0
),,( 21




F




m
k
knnkkk
n
xgxgxgxf
1
2
2211
21
)]()()()([
),,(

F
6.2 Método dos Mínimos 
Quadrados 
 
• Calculando as derivadas, temos 
 
 
 
 
 
• Igualando a zero, 
 
 







m
k
kjknnkkk
j
xgxgxgxgxf
n
1
2211
),,(
)]()][()()()([2
21


F
njxgxgxgxgxf
m
k
kjknnkkk ,,2,1,0)]()][()()()([
1
2211  

Método dos Mínimos Quadrados 
 
• Ou seja, temos um sistema linear a 
resolver 
 
 
0)()()()(
 
0)()()()(
0)()()()(
2211
11221111
00220110



mnnmmm
nn
nn
xgxgxgxf
xgxgxgxf
xgxgxgxf







Método dos Mínimos Quadrados 
 
• Reescrevendo o sistema, 
 
 
 
 
Sistema linear de n equações com n incógnitas 
Método dos Mínimos Quadrados 
 
• Exemplo 1: Encontre a reta de mínimos quadrados que 
melhor se ajusta aos pontos (2,1), (5,2), (7,3), (8,3). 
 Método dos Mínimos Quadrados 
 
• Logo, 




















57
9
14222
224
2
1









































14/5
7/2
57
9
422
22142
84
1
57
9
14222
224
1
2
1
xx
14
5
7
2
)( 