06 Teste de hipótese

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TESTE DE HIPÓTESE 
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1 Hipóteses estatísticas 
 
Muitos problemas em engenharia requerem que decidamos qual das duas 
afirmações competitivas acerca do valor de algum parâmetro é verdadeira. As afirmações 
são chamadas de hipóteses, e o procedimento de tomada de decisão sobre a hipótese é 
chamado de teste de hipóteses. Esse é um dos mais úteis aspectos da inferência estatística, 
uma vez que muitos tipos de problemas de tomada de decisão, teste, ou experimento no 
mundo da engenharia podem ser formulados como problemas de testes de hipóteses. 
Estimação de parâmetros com teste de hipóteses estatísticas e com intervalo de 
confiança é método fundamental usado no estágio de análise de dados de um experimento 
comparativo, em que o engenheiro está interessado, por exemplo, em comparar a média 
de uma população com um certo valor especificado. Esses experimentos comparativos 
simples são frequentemente encontrados na prática. 
 Uma hipótese estatística é uma afirmação sobre os parâmetros de uma ou mais 
populações. Uma hipótese estatística pode também ser pensada como uma afirmação 
acerca da distribuição de probabilidades de uma variável aleatória. A hipótese geralmente 
envolverá um ou mais parâmetros dessa distribuição. 
 
2 Teste de hipóteses estatísticas 
 Um teste de hipótese (ou teste de significância) é um procedimento para o teste de 
uma afirmativa sobre uma propriedade de uma população. 
 Para realizar um teste de hipótese, devemos identificar uma hipótese nula (H0) e 
uma hipótese alternativa (H1 ou HA). A hipótese nula é uma afirmativa de que o valor de 
um parâmetro populacional (como proporção, média ou desvio-padrão) é igual a algum 
valor especificado. Testamos a hipótese nula diretamente, no sentido de que assumimos 
que seja verdadeira e chegamos a uma conclusão de rejeitá-la ou aceitá-la. A hipótese 
alternativa é uma afirmativa de que o parâmetro tem um valor que, de alguma forma, 
difere da hipótese nula e será verdadeira caso a hipótese nula seja falsa. 
 Ao aceitar ou rejeitar a hipótese nula, pode-se estar cometendo um erro. Há dois 
tipos de erros possíveis: 
• Erro tipo I: Consiste em rejeitar uma hipótese nula sendo ela verdadeira 
• Erro tipo II: Consiste em deixar de rejeitar a hipótese nula quando ela é falsa. 
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O valor de α, chamado de nível de significância do teste, corresponde à 
probabilidade de vir a cometer um erro do tipo I. Ou seja, α é a probabilidade de vir a 
rejeitar a hipótese nula, H0, quando na verdade ela é verdadeira. 
O tamanho da região de rejeição em um problema estatística relacionado com um 
teste de hipóteses depende do valor atribuída a α, os valore de α habitualmente utilizados 
são: 0,01; 0,025; 0,05 e 0,10. De modo geral, o valor atribuído a α não excede a 0,10 (ou 
10%). 
β representa a probabilidade de cometer um erro do tipo II, ou seja, representa a 
probabilidade de que H0 não seja rejeitada quando H0 for efetivamente falsa. O valor de 
1-β é chamado de eficácia do teste. A eficácia do teste representa a probabilidade de não 
cometer um erro do tipo II. 
Os dois tipos de erro que ocorrem nos testes de hipóteses são dependentes entre 
si. Não podemos diminuir o valor de α e o valor de β simultaneamente, no que se refere 
a um teste de hipóteses com tamanho fixo de amostra. Diminuir o valor de α fará com que 
aumente o valor de β, enquanto diminuir o valor de β fará com que aumente o valor de α. 
Entretanto, podemos diminuir, simultaneamente, tanto α quanto β, por meio do aumento 
do tamanho da amostra. A Tabela 1 mostra as decisões possíveis para um teste de 
hipóteses. 
 
Tabela 1: Quatro decisões possíveis para um teste de hipóteses. 
 
Situação real 
H0 é verdadeira H0 é falsa 
Decisão 
Não rejeitar H0 Decisão correta Erro do tipo II, ou erro β 
Rejeitar H0 Erro do tipo I ou erro α Decisão correta 
 
2.1 Caudas de um teste 
Na estatística, a região de rejeição correspondente a um problema de teste de 
hipóteses pode estar em ambos os lados, com a região de não rejeição posicionada no 
meio; ou pode estar do lado esquerdo ou do lado direito da região de não rejeição. Um 
teste com duas regiões de rejeição é chamado de teste bicaudal, enquanto um teste com 
uma única região de rejeição é chamado unicaudal. O teste unicaudal é chamada de teste 
com cauda à esquerda caso a região de rejeição esteja na cauda esquerda da curva de 
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distribuição, e é chamado de teste com cauda à direita se a região de rejeição estiver na 
cauda direita da curva da distribuição. 
2.1.1 Teste bicaudal 
 De acordo com o U.S. Bureau of Labor Statistics, as pessoas nos EUA que tinham 
um grau de bacheral e estavam empregadas ganhavam uma média de US$ 1038 por 
semana, em 2010. Suponha que queremos verificar se essa média teria se modificado 
desde 2010. A média aritmética do rendimento semanal de norte-americanos empregados 
que tem um grau de bacharel terá se modificado caso a média aritmética tenha aumento 
ou diminuído ao longo do período desde 2010. Este é um exemplo de um teste bicaudal. 
As hipóteses nula e alternativa são: 
H0: µ = US$ 1038 
H1: µ ≠ US$ 1038 
 O fato de um teste ser bicaudal ou unicaudal é determinado pelo sinal apresentado 
na hipótese alternativa. Caso a hipótese alternativa apresente um sinal de diferente, como 
é o caso nesse exemplo, o teste é chamado de bicaudal. Um teste bicaudal possui duas 
regiões de rejeição, uma em cada uma das caudas da curva da distribuição, como mostra 
a Figura 1. 
 
Figura 1: Teste bicaudal 
2.1.2 Teste com cauda à esquerda 
 Considere uma empresa que produz refrigerantes. A empresa declara que as latas 
contêm, em média, 12 onças de refrigerante. Entretanto, se essas latas contiverem menos 
do que a quantidade declarada de refrigerante, a empresa poderá ser acusada pelo fato de 
não abastecer plenamente as altas. Suponha que uma agência de proteção ao consumidor 
deseje testar se a média aritmética da quantidade de refrigerante, por lata, é menor que 12 
onças. As hipóteses nula e alternativa são as seguintes: 
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H0: µ = 12 onças 
H1: µ US$ 459.204 
Quando a hipótese alternativa apresenta um sinal de maior que, o teste será sempre 
com cauda à direita. Conforme ilustrado na Figura 3, em um teste com cauda à direita, a 
região de rejeição se posiciona na cauda direita da curva de distribuição. A área que 
corresponde a essa região de rejeição é igual a α, o nível de significância. Do mesmo 
modo que um teste com cauda à esquerda, um teste com cauda à direita possui somente 
um único valor crítico. 
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Figura 3: Teste com cauda à direita 
A Tabela 2 resume a relação entre os sinais em H0 e H1 e as caudas de um teste. 
 
Tabela 2: Sinais em H0 e H1 e caudas de um teste hipótese. 
 Teste bicaudal 
Teste com cauda à 
esquerda 
Teste com cauda à 
direita 
Sinal na hipótese 
nula, H0 
= = ou ≥ = ou ≤ 
Sinal na hipótese 
alternativa, H1 
≠ 
Região de rejeição 
Em ambas as 
caudas 
Na cauda esquerda Na cauda direita 
 
2.2 Interpretação da estatística de teste: usando o valor pou o valor crítico 
 Depois de determinarmos se o teste hipótese é bilateral, unilateral à esquerda, ou 
unilateral à direita, podemos prosseguir com a abordagem do valor p, ou com a 
abordagem do valor crítico. 
 
2.2.1 Método do valor P 
 O valor P é a probabilidade de se obter um valor da estatísticas de teste que seja, 
pelo menos, tão extremo quanto aquele que representa os dados amostrais, supondo que 
a hipótese nula seja verdadeira. Para encontrar o valor P, primeiro encontre a área além 
da estatística de teste: 
Região crítica na cauda esquerda Valor P = área à esquerda da estatística de teste 
Região crítica na cauda direita Valor P = área à direita da estatística de teste 
Região crítica nas duas caudas Valor P = duas vezes a área na cauda além da 
estatística de teste 
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 Por exemplo, a estatística de teste de z=1,60 tem uma área de 0,0548 à sua direita, 
de modo que um teste unilateral à direita com estatística de teste z=1,60 tem um valor P 
de 0,0548. 
 
2.2.2 Método do valor crítico 
 Com o método do valor crítico, encontramos os valores críticos que separam a 
região crítica (na qual rejeitamos a hipótese nula) dos valores da estatística de teste que 
não levam à rejeição da hipótese nula. Os valores críticos dependem da natureza da 
hipótese nula, da distribuição amostral que se aplica e do nível de significância α. 
 
Procedimento geral para teste de hipóteses 
1. Parâmetro de interesse: A partir do contexto do problema, identifique o parâmetro 
de interesse. 
2. Hipótese nula, H0: Estabeleça a hipótese nula H0. 
3. Hipótese alternativa, H1: Especifique a hipótese alternativa apropriada, H1. 
4. Estatística de teste: Determine uma estatística apropriada de teste. 
5. Rejeita H0 se: estabeleça os critérios de rejeição para a hipótese nula. 
6. Cálculos: Calcule quais quaisquer grandezas amostrais necessárias, substitua-as 
na equação para a estatística de teste e calcule esse valor. 
 
Exemplo 01: Em cada uma das seguintes situações, estabeleça se esse é um problema 
corretamente posto de teste hipóteses e por quê. 
a) 𝐻0: 𝜇 = 25, 𝐻1: 𝜇 ≠ 25 
b) 𝐻0: 𝜎 > 10, 𝐻1: 𝜎 = 10 
c) 𝐻0: �̅� = 50, 𝐻1: �̅� ≠ 50 
d) 𝐻0: 𝑝 = 0,1, 𝐻1: 𝑝 = 0,5 
e) 𝐻0: 𝑠 = 30, 𝐻1: 𝑠 > 30 
 
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2.3 Testes para a média de uma distribuição normal, variância conhecida. 
 Suponha que desejamos testar as hipóteses: 
𝐻0: 𝜇 = 𝜇0 
𝐻1: 𝜇 ≠ 𝜇0 
sendo µ0 uma constante especificada. Temos uma amostra aleatória x1, x2, ..., xn 
proveniente de uma população normal. Visto que �̅� tem uma distribuição normal (isto é, 
a distribuição amostra de �̅� é normal) com média µ0 e desvio-padrão 𝜎/√𝑛, se a hipótese 
nula for verdadeira poderemos construir uma região crítica baseada no valor calculado da 
média amostral �̅�. 
É geralmente mais conveniente padronizar a média amostral e usar uma estatística 
de teste baseada na distribuição normal padrão. Ou seja, o procedimento de teste para 
𝐻0: 𝜇 = 𝜇0 usa a estatística de teste: 
𝑧0 =
�̅� − 𝜇0
𝜎/√𝑛
 
 
2.3.1 A abordagem do valor-p 
 Utilizando a abordagem do valor-p, rejeitamos a hipótese nula se 
𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 − 𝑝 ≤ 𝛼 ou 𝛼 ≥ 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 − 𝑝 
E não rejeitamos a hipótese nula se 
𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 − 𝑝 > 𝛼 ou 𝛼andar corresponde a 12,5 meses. Para verificar se essa afirmativa é verdadeira, 
uma amostra aleatória de 18 crianças foi extraída e descobriu-se que a média aritmética 
da idade na qual essas crianças começam a andar corresponde a 12,9 meses, com um 
desvio-padrão correspondente a 0,80 mês. É conhecido que as idades nas quais todas as 
crianças começam a andar tem uma distribuição aproximadamente normal. Encontre o 
valor-p para o teste de que a média aritmética da idade na qual as crianças começam a 
andar é diferente de 12,5 meses. Qual será a sua conclusão, se o nível de significância for 
1%? 
 
Exemplo 06: A Grand Auto Corporation produz baterias automotivas. A empresa afirma 
que as suas baterias de primeira linha funcionam em perfeitas condições, em média, 
durante no mínimo 65 meses. Uma agencia de proteção aos direitos do consumidor testou 
45 de tais baterias no sentido de verificar essa afirmativa. A agência descobriu que a 
média aritmética da vida útil dessas 45 baterias era de 63,4 meses, com um desvio-padrão 
de 3 meses. Encontre o valor-p para o teste de que a média aritmética da vida útil de todas 
essas baterias é menor do que 65 meses. Qual será sua conclusão se o nível de 
significância for 2,5%? 
 
2.4.2 A abordagem do valor crítico 
 Neste procedimento, temos um valor predeterminado para o nível de significância, 
α. O valor de α fornece a área total da região ou regiões de rejeição. Em primeiro lugar, 
encontramos os valores críticos de t na tabela de distribuição t para os graus de liberdade 
determinados e o nível de significância especificado. Depois, encontramos o valor da 
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estatística do teste, para o valor observado para a estatística da amostra, �̅�. Por fim, 
comparamos esses dois valores e tomamos uma decisão. 
 
Exemplo 07: A administração de um banco está sempre preocupada com a qualidade do 
serviço fornecido a seus clientes. Com o sistema informatizado antigo, um caixa nesse 
banco poderia atender, em média, a 22 clientes por hora. A administração observou que 
com essa taxa de atendimento o tempo de espera para os clientes era demasiadamente 
longo. Recentemente, a administração desse banco instalou um novo sistema 
informatizado, esperando que ele pudesse fazer crescer a taxa de atendimento e, 
consequentemente, tornar os clientes mais satisfeitos em função da redução do tempo de 
espera. Para verificar se o novo sistema informatizado é mais eficiente do que o sistema 
antigo, a administração do banco extraiu uma amostra aleatória de 70 horas e descobriu 
que, durante essas horas, a média aritmética do número de clientes atendidos pelos caixas 
correspondia a 27 por hora, com uma desvio-padrão correspondente a 2,5. Ao testar no 
nível de significância de 1%, você concluiria que o novo sistema informatizado é mais 
eficiente que o antigo sistema informatizado? 
 
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2.5 Teste de hipóteses em relação a variância 
Suponha que desejamos testar a hipótese de que a variância de uma população 
normal σ² seja igual a um valor especifico, como σ²0, ou equivalentemente que o desvio-
padrão σ seja igual a σ0. Seja x1, x2, ..., xn uma amostra aleatória de n observações, 
proveniente dessa população. Para testar: 
H0: σ² = σ²0 
H1: σ² ≠ σ²0 
Usaremos a estatística de teste: 
𝜒0
2 =
(𝑛 − 1)𝑠²
𝜎0
2 
Se a hipótese nula H0: σ² = σ²0 for verdadeira, então a estatística de teste 𝜒0
2 segue 
a distribuição qui-quadrado com n-1 graus de liberdade. Essa é uma distribuição de 
referência para esse procedimento de teste. De modo a executar um teste de nível de 
significância fixo, tomaríamos uma amostra aleatória proveniente da população de 
interesse, calcularíamos 𝜒0
2, o valor da estatística de teste 𝜒0
2, e a hipótese H0: σ² = σ²0 
seria rejeitada se: 
𝜒0
2 > 𝜒𝛼
2
,𝑛−1
2 ou se 𝜒0
2 σ²0 
rejeitaríamos H0, se 𝜒0
2 > 𝜒𝛼,𝑛−1
2 , enquanto para as outras hipóteses unilaterais 
H0: σ² = σ²0 
H1: σ²tanque, com uma 
velocidade média observada de �̅� = 102,2 metros por segundo. Considere que a 
velocidade seja normalmente distribuída, com desvio-padrão conhecido σ = 4 metros 
por segundo. Teste as hipóteses H0: µ =100 versus H1: µ