Lista de Limites

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Última atualização: 26/01/2012 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O conceito de Limite é o pilar do Cálculo Diferencial e Integral desenvolvido 
 por Isaac Newton(1642-1727) 
 e Gottfried Wilhelm Leibniz(1646-1716). 
 
ÁREA 1 - FACULDADE DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA 
Cursos de Engenharia 
Disciplina: Cálculo Instrumental 
Professor(a): _______________________________ Data: ___ / ___ / ______ 
Aluno(a): _______________________________________________________ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1ª Lista de Exercícios 
x
y
0
x
1
sen.xlim
0x







 
Cálculo Instrumental – Limites 
______________________________________________________________________________________ 
 2 
 
 Questão 1. Considere a função 
 xff 
 abaixo definida no domínio 





 

2
,
2
. 
 
 
 
Analisando o gráfico de 
f
, responda, justificando: 
 
(a) 
 xflim
0x
 

 (f) 
 xflim
x
 

 (k) 
 xflim
2
3
x
 


 (p) 
 xflim
x
 

 (u) f é contínua em 
 
0xo 
? 
(b) 
 xflim
2
x
 



 (g) 
 xflim
x
 

 (l) 
 xflim
x
 

 (q) 
 f
 (v) f é contínua em 
 
ox
? 
(c) 
 xflim
2
x
 



 (h) 
 xflim
2
x
 


 (m) 
 xflim
x
 

 (r) 
 0f
 (w) f é contínua em 
 
23xo 
? 
(d) 
 xflim
2
x
 


 (i) 
 xflim
2
3
x
 



 (n) 
 xflim
x
 

 (s) 
 f
 (x) f é contínua em 
 
ox
? 
(e) 
 xflim
x
 

 (j) 
 xflim
2
3
x
 



 (o) 
 xflim
x
 

 (t) 
 23f 
 (y) 
 xflim
2
x
 



 
 
Questão 2. Esboce o gráfico das funções abaixo e determine 
 xflim
ax
 

, 
 xflim
ax
 

 e, caso exista, 
 xflim
ax
 

: 
Obs.: Use o Winplot para visualizar os gráficos. 
 
(a) 
 
2 , 1
( 1)
2 1, 1
x x
f x a
x x

 
 
 
 
(b)  
2 , 0
2, 0 ( 0)
2 , 0
x
x
x
f x x a
x


  
 
 
 
 
(c)   )2a(
1x,3x
1x2,x
2x,12x4
xf
2
2 









 
 
 
 
 
 
 
(d) 
 
2
2 , 0
1 , 0 1
 ( 1)
1, 1
2 , 1
x x
x x
f x a
x x
x x


  
 
 
  
 
Cálculo Instrumental – Limites 
______________________________________________________________________________________ 
 3 
(e) 
 
 
)0a(
0x,x1
0x,21
xf
x






 
 
 
 
(f) 
  )a(
2x,xcos
x0,senx
xf 







 
 
 
Questão 3. Considere as funções do exercício 2. Verifique se 
f
 é contínua em 
ax 
. Justifique a sua resposta. 
 
Questão 4. Esboce o gráfico da função 
2
2 , se x -2
x , se -2 x < 0
( ) 2x , se 0 x 1
1
 , se 1 x
x
f x




   

 

e determine: 
 
(a) 
 
2
lim 
x
f x

 (d) 
 
2
lim 
x
f x

 (g) 
  2f 
 (j) f é contínua em 
2
o
x  
? 
(b) 
 
0
lim 
x
f x

 (e) 
 
0
lim 
x
f x

 (h) 
 0f
 (k) f é contínua em 
0
o
x 
? 
(c) 
 
1
lim 
x
f x

 (f) 
 
1
lim 
x
f x

 (i) 
  1f
 (l) f é contínua em 
1
o
x 
? 
 
Questão 5. Considere a função
2 1 ; se x -3
( ) -3n ; se x -3
3 3 ; se x -3 
mx
f x
x
 

 
  
. Encontre as constantes 
em n
 de modo que: 
 
(a) Exista 
 
3
lim 
x
f x

 (b) f seja contínua em 3x   
 
Questão 6. Determine, se possível, as constantes 
ba e 
 de modo que 
f
 seja contínua em 
ox
, sendo: 
 
(a) 
   1x
1x,2x
1x,2ax3
xf o
2






 
 
 (b) 
   1x
1x,b
1x,2bx
xf o2
2







 
 
 
 
(c)    3x
3x,1x
3x,ax
3x,3x3
xf o
2









 
 
 
 
 (d)  
 
 0x
0x,x2b
0x,a3x7
0x,1xcos.a2
xf o
2









 
 
 
 
 
 
Questão 7. Calcule os seguintes limites (do tipo 0/0 envolvendo fatorações): 
 
(a) 
x2x
4x
 lim
2
2
2x 


 (b) 
4x4x3
8x2
 lim
2
2
2x 


 (c) 2
31
2 1
1x
x x
lim 
x
 

 
(d) 
1x8
2x3x2
 lim
3
2
21x 


 
 
 
 
 
 
(e)  2
0
4 16
lim
x
x
x
  (f) 3 2
3 21
3 4 2
lim 
2 3 1x
x x x
x x
  
 
 
(g) 
27x
3x4x
lim
3
2
3x 


 
 (h) 








 2x
24x3
loglim
3
6
2x
 
 (i) 2
22
4
3 4 4x
x
lim 
x x

 
 
 
(j) 
   1
2x
2x.8xsenlim


3 
 
(k) 
  
1
316 8
2

 

4x x
x
lim 2
 (l) 3
25
2 250
6 5x
x
lim 
x x

 
 
Cálculo Instrumental – Limites 
______________________________________________________________________________________ 
 4 
 
Questão 8. Calcule os seguintes limites (do tipo 0/0 envolvendo conjugado de radicais): 
 
(a) 
1x
1x
lim
1x 


 
 (b) 
x3
x11x
lim
0x


 
 (c) 
x2x
x1
lim
2
1x 


 
 
 
(d) 
1x
32x
lim
31x 


 
 (e) 
4
3 5
1 5x
x
lim 
x
 
 
 (f) 
4x
2x
lim
4x 


 
 
 
(g) 
4
3 5
2x
x x
lim 
x
  

 (h) 
32x2
4x
lim
16x 


 
 (i) 
124
33
 lim
3 

 x
x
x
 
 
 
Questão 9. Calcule os seguintes limites (do tipo k/0, onde k é constante e k  0): 
 
(a) 
 24x 4x
5x
lim



 
 (b) 
 
 xsen.x
xcos
lim
0x
 

 (c) 
 2
2
5x 5x
3x2
lim



 
 
 
(d) 
4x5x
5x
lim
21x 


 
 (e) 
3x
11x3
lim
3x 


 
 (f) 
32x )2x(
x3
lim



 
 
 
(g) 
xsen
1x
 lim
2
0x


 (h) 
4x
4x5
 lim
22x 


 (i) 
x
x
x
3cos
 lim
0
 
 
 
Questão 10. Calcule os limites a seguir (do tipo 

): 
 
(a) 
23
2
x x9x18
25x4x2
lim



 
 (b)   
   x24x31x
5x23xx
lim
x 


 
 
 
(c) 
1x
4x3x2
lim
4
2
x 


 
 
(d) 
    1x23.1x
x
2lim



 
 
 
(e) 
x2x4
1xx3
lim
3
5
x 


 
 (f)     123 1x.x
x
lim



1 
 
(g) 
2n n
n321
lim



 
 (***) (h) 
3
2222
n n
n321
lim



 
 (***) 
 
(***)Sugestão: 
 A soma dos n primeiros números naturais é conhecida pela fórmula 
  21nn 
. 
 A soma dos quadrados dos n primeiros números naturais é conhecida pela fórmula 
   61n21nn 
. 
 
 
Questão 11. Calcule os limites a seguir (do tipo 

): 
 
(a) 
 36
x
lim x x

 
 (b
 2
x
lim x x

 
 (c) 
 22
x
lim x x

 
 (d) 
 42
x
lim x x x

 
 
 
 
 
 
 
Cálculo Instrumental – Limites 
______________________________________________________________________________________ 
 5 
.
axse,
x
1
ax0se,0
)x(E
2






 
 
 
Aplicações 
 
Questão 12. O departamento de capacitação de novos funcionários da empresa C&V Confecções estima-se que um 
novo funcionário com pouca experiência na confecção da sua linha de produção produzirá 
9
t
e1030)t(Q


novas 
unidades em 
t
dias após receber treinamento. Pergunta-se 
 
(a) Qual a produção do funcionário quando terminar o treinamento? 
(b) O que acontece com o nível de produção a longo prazo ? 
 
 
Questão 13. Uma determinada notícia numa cidade foi propagada de tal maneira que o número de pessoas que 
tomaram conhecimento é dado por
t5,0e241
600
)t(N


, onde 
t
representa o número de dias após ocorrer a notícia. 
Pergunta-se 
 
(a) Quantas pessoas souberam a notícia de imediato? 
(b) Determine 
)t(Nlim
t 
 e explique o seu resultado. 
 
 
Questão 14. A arrecadação mundial total pela exibição de um filme de grande sucesso de bilheteira é aproximado pela 
função
4x
x120
)x(A
2
2


, onde 
)x(T
 é medido em milhões de dólares e 
x
é o número de meses do filme em cartaz. 
Pergunta-se: 
 
(a) Qual é a arrecadação de bilheteria após o primeiro e o segundo mês? 
(b) Qual será a arrecadação do filme ao longo do prazo? 
 
 
Questão 15. Se uma esfera oca de raio 
cm2a 
é carregada com unidade de eletricidade estática, a intensidade de 
campo elétrico
E
 no ponto 
P
 depende da distância 
x
 do centro da esfera até 
P
 pela seguinte lei: 
 
 
 Estude a continuidadedo campo na superfície da esfera.
Cálculo Instrumental – Limites 
______________________________________________________________________________________ 
 6 
 
 
 
 
Questão 1. 
(a) 2 (f) 2 (k) 3 (p) 

 (u) não, pois (a) (r) 
(b) 

 (g) não existe (l) 2 (q) 1 (v) não, pois (n) (q) 
(c) 

 (h) 

 (m) 2 (r) 1 (w) sim, pois (k) = (t) 
(d) não existe (i) 3 (n) 2 (s) 2 (x) não por (g) 
(e) 3 (j) 3 (o) 1 (t) 3 (y) 

 
 
Questão 2. 
 
(a) 
       








y = joinx(x^2|1,2x+1)
 
 
   
1 1
lim 1, lim 3
x x
f x f x
  
 
, não existe 
 
1
lim 
x
f x

 
 
 
 
(b) 
        








y = joinx (2^x|0,2^-x)
 
 
     
00 0
lim lim lim 1
xx x
 f x f x f x
   
  
 
 
(c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
      4x flimx flimx flim
2x2x2x

 
 
 
 
(d) 
 
 
   




x
y
 
 
     
11 1
lim lim lim 0
xx x
f x f x f x
   
  
 
Respostas 
        








x
y
Cálculo Instrumental – Limites 
______________________________________________________________________________________ 
 7 
(e) 
 
    




x
y
 
 
    1xflim,xflim
0x0x

 
 
, não existe 
 xflim
0x
 

 
 (f) 
 
   


x
y
 
 
    1xflim,0xflim
xx

 
 

, não existe 
 xflim
x
 

 
 
 
Questão 3. 
(a) Não é contínua em 
1x 
 pois não existe 
 
1
lim 
x
f x

. 
(b) Não é contínua em 
0x 
 pois 
   
0
lim 0
x
f x f


. 
(c) É contínua em -2 pois 
    42fxflim
2x


 
. 
 
(d) Não é contínua em 
1x 
 pois 
   1fxflim
1x


 
. 
(e) Não é contínua em 
0x 
 pois não existe 
 xflim
0x
 

. 
(f) Não é contínua em 
x
 pois não existe 
 xflim
x
 

. 
 
Questão 4. 
        








y = joinx(2|-2,x^2|0,2x|1,1/x)
 
 
(a) 2 (d) 4 (g) 4 (j) não, pois (a) (d) 
(b) 0 (e) 0 (h) 0 (k) sim, pois (b) = (e) = (h) 
(c) 2 (f) 1 (i) 2 (l) não, pois (c) (f) 
 
Questão 5. 
(a) 13
9
m


 e 
n
 é qualquer real (b) 13
9
m


 e 
4n 
 
 
Questão 6. 
(a) 
1a 
 (b) 
2b1b  ou 
 
 
(c) Não é possível pois 
a
, o limite 
 xflim
3x
 

 
não existe. 
(d) 
3b1b  ou 
 
 
Questão 7. 
(a) 2 (b) 1 (c) 0 (d) 5/6 (e) 8 (f) 5/3 
(g) 2/27 (h) 2 
(i) 
2 2/
 
(j) 0 (k) 2
8/3
 (l) 75/2 
Cálculo Instrumental – Limites 
______________________________________________________________________________________ 
 8 
 
Questão 8. 
(a) ½ (b) 1/3 (c) 4/3 
(d) 
361
 
(e) -1/3 (f) 0 
(g) 4 (h) 1/16 (i) 1/8 
 
Questão 9. 
(a) 

 (b) 

 (c) 

 
 
(d) Não existe, pois 



 4x5x
5x
lim
2
1x
 
 e 



 4x5x
5x
lim
2
1x
 
. 
 
(e) Não existe, pois 



 3x
11x3
lim
3x
 
 e 



 3x
11x3
lim
3x
 
. 
 
(f) Não existe, pois 
 




3
2x 2x
x3
lim 
 e 
 




3
2x 2x
x3
lim 
. 
 
(g) Não existe, pois 2
0
1
lim 
senx
x
x

 
 e 2
0
1
lim 
senx
x
x

 
. 
(h) Não existe, pois 
22
5 4
lim
4x
x
x

 

 e 
22
5 4
lim
4x
x
x

 

. 
(i) 

 
 
Questão 10. 
(a) 0 (b) –2/3 (c) 0 (d) 502 , 
(e) 

 (f) 0 
(g) ½ (h) 1/3 
 
Questão 11. 
(a) 

 (b) 0 (c) 0 (d) 2 
 
Questão 12. 
(a) 20 unidades (b) se aproxima de 30 unidades 
 
Questão 13. 
(a) 24 unidades (b) 
600)t(Nlim
t


; 
Questão 14. 
(a) 24 e 60 milhões (b) 120 milhões; a arrecadação fica próxima desse valor. 
 
Questão 15. 
É descontínuo, pois 
)2(E)x(Elim
2x


.