Notações de Derivada

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Professora: Ana Rita Barbosa - 32 - 
18 – Notações de derivadas 
 
Notações 
 
Se usarmos a notação tradicional y = f(x) para indicar que a variável independente é x enquanto 
y é a variável independente, então podemos usar notações alternativas para a derivada, tais 
como: 
 
)(')´( xf
dx
d
dx
df
dx
dyyxf ==== 
 
 
Definição: Uma função é diferenciável em a se f´(a) existir. É diferençável em um intervalo se for 
diferenciável em todos os pontos do intervalo. 
 
Teorema: Se f for diferenciável em a, então f é contínua em a. 
 
Uma forma equivalente de descrever o teorema é: Se f não é continua em a, então f não é 
diferenciável em a. 
 
Em geral, se o gráfico de uma função f tiver uma “quina” ou uma “dobra”, então o gráfico de f não 
terá tangente nesse ponto. Ver figura a seguir: 
x
y
 
 
19 - Derivadas superiores: 
 
Seja f uma função derivável. A derivada f’ é chamada de derivada de primeira ordem da função f. 
A derivada de f’, denotada por f’’ é chamada de derivada de segunda ordem da função f. 
Seguindo o mesmo raciocínio poderíamos encontrar a derivada de terceira, quarta,..., n-ésima 
ordem da função f. 
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20 - Aplicações de Derivadas – Valores Máximos e Mínimos 
 
Algumas das aplicações mais importantes do cálculo diferencial são os problemas de otimização, 
em que devemos encontrar a maneira ótima (melhor maneira) de fazer alguma coisa. Por 
exemplo: 
 
• Quais as dimensões de uma lata de cerveja que minimiza o custo da manufatura? 
• Qual a quantidade de produtos uma determinada empresa deve produzir para maximizar 
os lucros? 
 
Definições: 
 
1 – Uma função f tem máximo local (ou máximo relativo) em c ∈ ]a, b[ , se )()( xfcf ≥ para 
todo x do intervalo. 
 
2 – Uma função f tem mínimo local (ou mínimo relativo) em c ∈ ]a, b[ , se )()( xfcf ≤ para 
todo x do intervalo. 
 
3 – Um número critico de uma função f é um número c no domínio de f onde ou f´(c) = 0 ou f’(c) 
não existe. 
 
Teorema: Todo máximo relativo e todo mínimo relativo é um ponto crítico da função. 
 
Note que o teorema anterior afirma que se um ponto é máximo ou mínimo relativo, então a 
derivada da função nesse ponto ou não existe ou é nula. No entanto, o contrário não é verdade, 
nem todos os pontos críticos são extremos relativos de uma determinada função. 
Vamos utilizar o teste da primeira derivada ou o teste da segunda derivada para determinar se 
um dado ponto crítico é um ponto de máximo ou de mínimo. Esses testes serão vistos mais 
adiante. 
 
21 – Determinação de intervalos de crescimento/decrescimento de uma função. 
 
Se f’(x) > 0 sobre um intervalo, então f é crescente nele. 
 
Se f´(x) < 0 sobre um intervalo, então f é decrescente nele 
 
Exemplo: 
01. Encontre o intervalo onde a função f(x) = 3x4-4x3-12x2+5 é decrescente. 
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Exercícios: 
 
 
 
Respostas: 
 
 
 
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22 – Teste da Primeira Derivada 
 
Suponha que c seja um número critico de uma função continua f. 
 
a) Se o sinal de f’ mudar de positivo para negativo em c, então f tem um máximo local em c. 
 
b) Se o sinal de f’ mudar de negativo para positivo em c, então f tem um mínimo local em c. 
 
c) Se f’ não mudar de sinal em c então f não tem máximo ou mínimo local em c. 
 
Exercícios: 
No exercício anterior, encontrar os máximos relativos e os mínimos relativos, se existirem. 
 
23 – Teste da Concavidade 
 
a) Se f’’(x) > 0 para todo x em um intervalo, então o gráfico de f é côncavo para cima nesse 
intervalo. 
 
b) Se f’’(x) < 0 para todo x em um intervalo, então o gráfico de f é côncavo para baixo nesse 
intervalo. 
 
 
Ponto de Inflexão: 
Um ponto P na curva y = f(x) é conhecido como ponto de inflexão se a função é contínua e a 
curva mudar a concavidade nesse ponto. 
 
24 – Teste da Segunda Derivada. 
 
Suponha que f’’ seja contínua na proximidade de c. 
a) Se f’’(c) ≠ 0 e f’’(c) > 0 então f tem um mínimo local em c. 
 
b) Se f’’(c) ≠ 0 e f’’(c) < 0 então f tem um máximo local em c. 
 
Exercícios: 
Nas funções a seguir, determinar os intervalos de crescimento/decrescimento, os máximos e 
mínimos locais, os intervalos onde a concavidade é voltada para cima ou para baixo. 
 
 
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Exercícios: 
 
01. Suponha que lhe foi dada uma fórmula para a função f. 
 
a) Como você determina onde f é crescente ou decrescente? 
 
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b) Como você determina se o gráfico de f é côncavo para cima ou para baixo? 
 
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c) Como você localiza os pontos de inflexão? 
 
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02. O gráfico da derivada f’ de uma função é mostrado. Determine os intervalos de crescimento e 
decrescimento da função f. 
 
 
 
 
 
 
03. Esboce o gráfico de uma função qualquer que tenha f’ e f’’ sempre negativas.