Aplicações de derivadas-9

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18/06/2020 Aplicações de derivadas
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Lição 09
Aplicações de derivadas
Matemática
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1. Introdução
Já estudamos algumas das aplicações das derivadas; agora, porém, com o auxílio das regras de
derivação, estamos em posição de estudar as aplicações da derivação com maior profundidade.
Aprenderemos como as derivadas afetam o formato do gráfico de uma função e, em particular,
como nos ajudam a localizar os valores máximos e mínimos de funções. Muitos problemas práticos
requerem minimizar um custo ou maximizar uma área, ou, de alguma forma, encontrar a melhor
saída de uma situação (STEWART, 2013).
Para entendermos como isso se dá, inicialmente, vamos “definir” funções implícitas e, em seguida,
iniciaremos o conceito de derivadas implícitas.
2. Máximo e mínimo de uma função
Iniciaremos nossos estudos com algumas definições:
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Definição 01:
Seja c um número no domínio D de uma função f. Então, f (c) é o
valor máximo absoluto de f em D sef(c)≥f(x) para todo x em D.
valor mínimo absoluto de f em D se sef(c)≤f(x) para todo x em D.
Um máximo ou mínimo absoluto, em muitos casos, é denominado de máximo ou mínimo global. Os
valores máximos e mínimos de f também podem ser chamados de valores extremos de f.
Definição 02:
O número f (c) é um valor máximo local de fse f(c)≥f(x) quando x está próxima de c e será valor
mínimo local de f se f(c)≤f(x)quando x está próximo de c.
Teorema do Valor Extremo:
Seja f : [a, b] → R uma função.
Se f é contínua no intervalo fechado [a;b], então, f assume um valor máximo f( c) e um valor mínimo
absoluto f(d) em certos números c e d em [a, b].
Representação gráfica dos valores extremos de uma função.
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Exemplo 02:
Seja f: [-1,2] → R uma função definida por f(x)=x +2x.
Determine o número c do Teorema do Valor Médio.
Solução
Pelo teorema do valor médio, temos:
3
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Observe que x=-1 não pertence ao [-1;2] e x=1 pertence ao [-1;2] Logo, o c procurado é x=1.
Vamos usar a derivada primeira para determinar se um PONTO CRÍTICO é máximo ou de mínimo
de uma função.
Teste da Derivada Primeira:
Suponha que c seja um número crítico (candidato a valor extremo) de uma função contínua f.
1. Se o sinal de f ′ mudar de positivo para negativo em c, então, f tem um Máximo local em c.
2. Se o sinal de f ′ mudar de negativo para positivo em c, então, f tem um Mínimo local em c.
3. Se f ′ não mudar de sinal em c (ambos positivo ou negativo), então, f não tem máximo ou
mínimo locais em c.
Exemplo 03:
Seja função f(x) = 3x – 12x definida em (-2;2).
Verifique se c=0 é um máximo relativo de f(x).
Solução:
Basta verificar se a derivada primeira função muda de sinal em x=0.
f ′ (x)=12x -24x 
observe que f ′ (0)=0 
mas, se x<0 f ′ (x)>0 e se x>0 f ′ (x)<0
Pelo teste da derivada primeira, temos que f(x) possui um máximo local em x=0.
Outro caminho para calcular o ponto de máximo ou de mínimo de uma dada função é por meio da
derivada segunda.
Teorema Derivada Segunda e Valores Extremos:
Seja f uma função duas vezes derivável e c um ponto crítico de f. Se:
1. f ′′ (c)>0, então, c é um ponto de mínimo relativo de f.
2. f ′′ (c)<0 , então, c é um ponto de máximo relativo de f.
Exemplo 04:
Seja função f(x) = 3x – 12x definida em (2;2), verifique se c=0 é um máximo relativo de f(x). Para
tal, use a derivada segunda.
Solução:
f ′ (x)=12x -24x
f ′′ (x)=36x -24
Observe que, em c=0, tem-se f ′′ (0)<0
4 2
3
4 2
3
2
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Logo, de acordo com a derivada segunda, a função tem um máximo local em c=0.
Exemplo 05:
Um banco oferece juros anual I(t), em %, dependendo do tempo t, em anos, que o investidor esteja
disposto a manter o investimento.
Assim, determine por quantos anos deve manter o investimento para ter lucro máximo.
Solução:
Como I(t) é diferenciável em todo ponto, calculemos os pontos críticos de t:
teremos: I’(t) = 0 
se, e somente, se: t = 4 ou t = 4, que são os pontos críticos de I.
Como t > 0, t = 4 é o único ponto crítico.
Vamos definir se o ponto dado é máximo ou mínimo.
Logo, t = 4 o valor máximo relativo de I e I(4) = 20.
O Investimento recebe lucro máximo de 20 % em 4 anos.
3. Construção de gráficos
Já aprendemos que a derivada pode ser entendida como a inclinação da reta tangente ao gráfico de
uma dada função em um ponto. Este fato nos leva a concluir que é possível aplicar derivada como
um instrumento auxiliar na construção de um gráfico. Neste subtópico, discutiremos, de forma
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sucinta, a técnica para construção de gráficos com o auxílio das derivadas.
Para facilitar o entendimento, dividimos a tarefa de construção de gráficos em 7 passos, os quais
estão descritos abaixo:
1º Passo: Determine o domínio da função;
2º Passo: Determine os pontos de interseção com os eixos de coordenadas. Para determinar
a interseção com o eixo x, basta fazer y=o e, para determinar a interseção com o eixo y , devemos
fazer x=0. Desta forma, encontraremos, caso existam, os pontos A(x,0) e B(0,y);
3º Passo: Encontre as assíntotas do gráfico;
Assíntota Vertical: a reta x = a é uma assíntota vertical se, pelo menos, uma das seguintes
afirmativas for verdadeira:
4º Passo: Intervalos de Crescimento ou Decrescimento;
Use o teste da derivada primeira. Calcule f ′ (x) e encontre os intervalos nos quais f ′ (x)>0 , isto é,
positiva (nesta situação, a função é crescente) e os intervalos nos quais f ′ (x) <0, ou seja, é negativa
(nesta situação, a função é decrescente);
5º Passo: Valores Máximos e Mínimos Locais;
Encontre os números c nos quais f ′ (c)=0 ou f ′ (c) não existe. Use, então, o Teste da Primeira
Derivada e considere a seguinte situação:
1. Se f ′ (x) muda de positiva para negativa em um número crítico c, então, f (c) é um máximo
local.
Se f ′ (x) muda de negativa para positiva em c, então, f (c) é um mínimo local. Caso você prefira,
também pode usar o Teste da derivada segunda; para tal, basta observar o seguinte:
1. Se f ′ (c)=0 e f ′′ (c)≠0 , então, se f ′′ (c)>0 implica que f (c) é um mínimo local;
2. Se f ′ (c)=0 e f ′′ (c)≠0 , então, se f ′′ (c)<0 implica que f (c) é um máximo local;
6º Passo: Concavidade e Pontos de Inflexão;
Calcule f ′′ (x) e use o Teste da Concavidade, isto é , observe que:
1. A curva é côncava para cima se f ′′ (x)>0
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2. A curva é côncava para baixo se f ′′ (x)<0
3. Se 0, os pontos de inflexão ( isto é, o pontos em que f ′′ (x)=0 ) ocorrem quando muda a direção
da concavidade; 
7º Passo: Esboço da Curva;
Usando as informações obtidas nos 6 passos, faça o gráfico.
Exemplo 01:
4º Passo: Intervalo de Crescimento ou Decrescimento;
Neste passo, vamos calcular a derivada primeira:
Estudando o sinal da derivada primeira, concluímos que:
(-∞; -4) e (-4;0) a função é crescente
(0; 4) e (4;+∞) a função é decrescente
5º Passo: Máximos e Mínimos;
Pelo teste da derivada primeira, concluímos que a função possui um máximo relativo em x=0 (0; ½
); pois f(x) é crescente para x<0 e decrescente para x>0
7º Passo: Esboço do Gráfico; 
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Exemplo 02: Esboce o gráfico da função f(x)=x -3x
1º Passo: Definir o domínio da função. Esta é uma função polinomial sem variáveis no
denominador e sem radicais de ordem par, por isso, afirmamos que 
Dom[f(x)] = R, isto é, o domínio da função não possui restrições.
2º Passo: Pontos de Interseção de f(x) com eixos coordenados
Interseção com o eixo x, isto é, y=0.
f(x)=x -3x →x -3x=0→x(x -3 )=0, assim, temos: A(0;0) ,B(-√3;0) e C(√3;0)
Interseção com o eixo y, isto é, x=0 f(0)=0 -3*0 D(0; 0 )
3º Passo: Determinando as assíntotas
Como o domínio da função não possui restrições, concluímos que a função não tem assíntotas.
4º Passo: Intervalo de Crescimento ou Decrescimento
Vamos aplicar o teste da derivada primeira.
f (x)=x -3x →f ′ (x) = 3x -3 
f ′ (x)=0 → 3x -3 = 0 → 3(x -1 )= 0 → x = ±1
Analisando os sinais de f ′ (x) nos intervalos: (-∞;-1); (-1;1) e (1;∞)
para -∞ < x < -1, temos f ′ (x) > 0 → a função é crescente. 
para -1 < x < 1, temos f ′ (x) < 0 → a função é decrescente. 
para 1 < x < ∞, temos f ′ (x) > 0 → a função é crescente.
5º Passo: Valores Máximos e Mínimos Locais
Vamos aplicar o teste da derivada segunda.
f ′ (x) = 3x -3 → f ′′ (x)=6x
1. Para c=-1, temos: f ′ (-1) = 0 e f ′′ (-1)=-6≠0, como f ′′ (-1) < 0. Concluímos, então, que a função
possui um máximo local em c=-1; a saber (-1;2)
2. Para c=1, temos: f ′ (1)=0 e f ′′ (1)=6≠0 , como f ′′ (1) > 0 .
Concluímos, então, que a função possui um mínimo local em c=-1; 
a saber (1;-2) .
6º Passo: Concavidade e Pontos de Inflexão
Vamos usar o teste da derivada segunda para concavidade.
f ′′ (x) = 6x
1. Para x > 0 f ′′ (x)> 0 , portanto, a curva é côncava para cima se f ′′ (x)>0.
3
3 3 2
3
3 2
2 2
2
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2. Para x < 0 f ′′(x) < 0 , portanto, a curva é côncava para baixo .
3. Se x=0 Para x > 0 f ′′ (x) = 0 , portanto, a curva tem um ponto de inflexão em x=0.
7º Passo: Esboço da Curva
Usando as informações obtidas nos 6 passos, faça o gráfico.
4. Problemas de otimização
Nesta seção do tópico, estudaremos problemas otimização, isto é, estaremos interessados em
calcular o valor máximo e o mínimo de uma dada função. O primeiro passo para resolver este tipo
de problema é determinar, de forma precisa, a função a ser otimizada. Em geral, obtemos uma
expressão de duas variáveis, mas usando as condições adicionais do problema. Esta expressão pode
ser reescrita como uma função de uma variável derivável e, assim, poderemos aplicar os conceitos
estudados na seção anterior deste mesmo tópico.
Vamos analisar alguns exemplos:
Exemplo 01 (adaptado de HOFFMANN e BRADLE, 2010)
Um fabricante estima que, quando q milhares de unidades de uma certa mercadoria são produzidas
por mês, o custo total é C(q)=0,4q + 3q + 40 milhares de reais e as q milhares de unidades podem
ser vendidas por um preço unitário p(q)= 22,2 – 1,2q reais. Determine o nível de produção para o
qual o lucro é máximo. Qual é o lucro máximo?
Solução:
Sabemos que o lucro de uma dada operação de venda é obtido por meio da seguinte expressão
(lembrando que Venda= quantidade vendida x preço de venda por unidade:
Lucro= Venda – Custo
(seja L=lucro; V= venda; C= custo e q= quantidade de produtos)
V(q)=q*p(q); V(q)=q(22,2 – 1,2q)=22,2q – 1,2q
Função a ser otimizada:
L(q) = 22,2q – 1,2q – (0,4q + 3q + 40)= 22,2q – 1,2q –0,4q - 3q - 40
L(q) = - 1,6q + 19,2q – 40
Calculando o lucro máximo:
2
2
2 2 2 2
2
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Confirmando que a quantidade que dá o lucro máximo é 6.
L″ (q)=-3,2 como L″ (q)<0 para todo q, em particular, para q=6, concluímos, pelo teste da derivada
segunda, que o lucro será máximo quando q=6 unidades e o lucro máximo será: L(6)=-1,6(6) : +
19,2(6) – 40= 17,6
Resposta: a quantidade que dá o lucro máximo é 6 e o lucro máximo é 17,6 milhares de reais (R$
17600,00).
Exemplo 02:
Uma rede de água potável ligava uma central de abastecimento situada à margem de um rio de 500
m de largura a um conjunto habitacional situado na outra margem do rio, a 2000 m abaixo da
central. O custo da obra através do rio é de R$640,00 por metro, enquanto, em terra, custa
R$312,00 por metro. Qual é a forma mais econômica de se instalar a rede de agua potável?
Solução
Construindo a função de custo total:
Como (2000 - x) não pode ser negativo, temos que a região de interesse do problema é (0; 2000).
Agora, basta calcular a derivada da função custo.
2
Desenho representando o problema proposto.
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Exemplo 03 (adaptado de STEWART, 2013)
Uma caixa sem tampa, de base quadrada, deve ser construída de forma que o seu volume seja 2500
m . O material da base vai custar R$1200,00 por m e o material dos lados, R$980,00 por m .
Encontre as dimensões da caixa de modo que o custo do material seja mínimo.
3 2 2
Desenho representando o problema proposto.
5. Conclusão
Neste tópico, estudamos sobre as aplicações de derivadas entre as quais destacamos: máximos e
mínimos de uma função, construção de gráficos e problemas de otimização. Foi possível perceber
que podemos aplicar os conceitos estudados em derivadas em várias áreas do
conhecimento.Aprendemos que a primeira derivada pode ser usada para nos revelar os intervalos
de crescimento e decrescimento de uma função e ainda nos ajudar a calcular o valor máximo e/ou
mínimo de uma função, tornando-se, desta forma, um instrumento muito valioso na construção de
gráficos.
6. Referências
HOFFMANN, Laurence; BRADLEY, Gerald. Cálculo: um curso moderno e suas aplicações.
Rio de Janeiro: LTC, 2010.
STEWART, James. Cálculo, volume I. 7ª edição. São Paulo: Cengage Learning, 2013.
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18/06/2020 Aplicações de derivadas
https://cead.uvv.br/graduacao/conteudo.php?aula=aplicacoes-de-derivadas&dcp=matematica&topico=912/12
YouTube. (2016, Agosto, 16). Khan Academy Brasil. Matemática / Khan Academy. 8min15.
Disponível em: <https://pt.khanacademy.org/math/ap-calculus-ab/ab-diff-analytical-applications-
new/ab-5-4/v/testing-critical-points-for-local-extrema>.
YouTube. (2016, Agosto, 16). Khan Academy Brasil.A relação gráfica entre uma função e sua
derivada (parte 1)5min09. Disponível em: <https://pt.khanacademy.org/math/calculus-
home/taking-derivatives-calc/derivative-as-a-function-calc/v/intuitively-drawing-the-derivative-
of-a-function>
YouTube. (2016, Agosto, 16). Khan Academy Brasil. Derivada de segunda ordem /
Matemática / Khan Academy. 2min28. Disponível em:
<https://pt.khanacademy.org/math/calculus-home/taking-derivatives-calc/higher-order-
derivatives-calc/v/second-derivatives?modal=1>.
YouTube. (2016, Agosto, 16). Khan Academy Brasil. cf / Matemática / Khan Academy.
2min.28. Disponível em: <https://pt.khanacademy.org/math/ap-calculus-ab/ab-diff-analytical-
applications-new/ab-5-11/v/minimizing-the-cost-of-a-storage-container>.