Grandezas Vetoriais

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Grandeza Vetorial
Algumas vezes necessitamos mais que um número e uma unidade para representar uma grandeza física.
Sendo assim, surgiu uma representação matemática que expressa outras característica de uma grandeza... O VETOR
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O que é um Vetor?
É um ente matemático representado por um segmento de reta orientado. E tem algumas características básicas.
Possuí módulo. (Que é o comprimento da reta)
Tem uma direção.(horizontal, diagonal,vertical)
E um sentido. (Que é pra onde a “flecha” está apontando).
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Representação de uma Grandeza Vetorial
As grandezas vetorial são representadas da seguinte forma: a letra que representa a grandeza, e uma a “flechinha” sobre a letra. Da seguinte forma...
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Comparação entre vetores
Vetores Iguais
Mesmo Módulo
Mesma Direção
Mesmo Sentido
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Comparação entre vetores
Vetores Opostos
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Soma Vetorial
Através da soma vetorial encontramos o vetor resultante.
O vetor resultante seria como se todos os vetores envolvidos na soma fossem substituídos por um, e este tivesse o mesmo efeito.
Existem duas regras para fazer a soma vetores.
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Adição de Vetores
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Dados 
a) Vetores de mesma direção e sentido.
Temos dois métodos para efetuar a soma:
Método algébrico e Método gráfico
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Método Algébrico
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SOMA DE VETORES
b) Vetores de mesma direção e sentidos 
opostos.
Dados: 
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Método algébrico
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Método gráfico
	
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ATENÇÃO
O vetor soma S ( ou vetor Resultante R ) apresenta o mesmo sentido do vetor de maior módulo.
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Fazendo a Soma através da Regra do Polígono
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c) Vetores que formam um ângulo qualquer.
SOMA DE VETORES
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Observações Importantes:
I. O vetor resultante sempre “sai” da origem do sistema.
II. O vetor BA possui sentido oposto ao do vetor AB, pode-se também representar BA = - AB.
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Ex: Dados dois vetores AB e AC obtenha AB + AC. 
AD = AB + AC
 II. Quando os dois vetores possuem a mesma origem:
A soma é obtida utilizando a
 REGRA DO PARALELOGRAMO. 
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Regra do Paralelogramo
É utilizada para realizar a adição de apenas dois vetores.
Exemplo:
Para isto devemos posicionar a origem dos dois vetores no mesmo ponto e traçar uma reta paralela a cada um passando pela extremidade do outro.
E o vetor soma, ou também chamado vetor resultante, será o vetor que une a origem dos dois vetores com o cruzamento das duas retas paralelas a cada vetor, formando assim um paralelogramo.
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Fazendo a Soma através da Regra do Paralelogramo
E o módulo, ou seja, o valor desse vetor resultante será dado por:
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Quaisquer direções: 
 Regra do Paralelogramo
Módulo:     S² = a² + b² + 2 · a · b · cos 60º                   S² = 3² + 4² + 2 · 3 · 4 · 0,5                   S² = 9 + 16 + 12                  S = 6,1 cm
60°
 S
60°
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Subtração de vetores
Considere os dois vetores a seguir:
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Fazendo a Subtração de Vetores
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Subtração de Vetores 
Para subtrair dois vetores adicionamos um deles ao oposto do outro. 
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VETOR OPOSTO
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A SOMA DESSES VETORES SERÁ:
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PRODUTO DE UM NÚMERO REAL POR UM VETOR
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EXEMPLO 1
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EXEMPLO 2
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DECOMPOSIÇÃO DE VETORES
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Um vetor v = (x1, y1) é representado no plano (R2) conforme a figura abaixo.
Basta marcar os pontos dados no plano e traçar o vetor v, partindo da origem do sistema. 
1.6 Representação de um Vetor no Plano
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u + v = (1, 1) + (3, 1) =
Obs: Quando a origem do vetor não é indicada o ponto (0, 0) do plano é utilizado como ponto inicial.
1.6.1 Operações com Vetores no Plano
Ex: Dados vetores u = (1, 1) e v = (3, 1) determine u + v.
A idéia é somar coordenada com coordenada, isto é, “x com x” e “y com y”.
(1 + 3, 1 + 1) = (4, 2) 
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Exemplo: 
Em termos de suas coordenadas, a soma se dá componente a componente:
Definição:Sejam e dois vetores no plano. A soma dos vetores e é o vetor .
Exemplo:
Sejam e então, 
1.ª coordenada
2.ª coordenada
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Módulo de um Vetor
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Use o teorema de Pitágoras para calcular o módulo da resultante.
S² = a² + b²  S² = 3² + 4²      S = 5 cm       
3
4
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Versor ou Vetor unitário
Um vetor unitário é um vetor de comprimento 1. Se é um vetor não-nulo, então o vetor:
é um vetor unitário com a mesma direção e sentido que
 . 
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EXEMPLO
Exemplo
Seja x = (-3,4). Então:
Logo, o vetor 
 
É um vetor unitário, pois:
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Produto vetorial
Diferentemente do produto escalar, que dá como resultado um número, o produto vetorial tem como resultado, um outro vetor. 
Definição: Sejam = a1î + b1ĵ + c1k e = a2î + b2ĵ + c2k dois vetores em 3. Seu produto vetorial é o vetor x definido por:
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Produto vetorial
A igualdade anterior também pode ser escrita da seguinte forma:
Exemplo:
Sejam =2î + j + 2k e = 3î –j – 3k, então:
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Norma do produto vetorial
Vimos que o produto de dois vetores resulta num terceiro vetor ortogonal ao plano que contém os vetores originais. O comprimento desse terceiro vetor, ou seja, sua norma, é numericamente igual à área do paralelogramo formado por esses vetores.
 
u x v
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Exemplo
Calcule a área do paralelogramo ABCD, sendo AB=(1,1,-1) e AD=(2,1,4). 
	
Área = || AB x AD ||
 AB x AD = 
B
C
D
A
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Exemplo- continuação
|| AB x AD || = 
Exemplo-2
A medida em radianos do ângulo entre e é . 
Sendo || ||=1 e || ||=7, calcule || x ||. 
 || x || = || ||.|| ||. sen
 = 1 . 7 . sen
 = 1 . 7 . 0,5
 = 3,5
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Produto misto
 Considere os vetores , e . O produto misto é o número real obtido como resultado da seguinte operação:
	
  
O volume do paralelepípedo é dado por :
 
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Exemplo
Calcule o volume de um paralelepípedo definido pelos seguintes vetores: 
 = (2,2,0); = (0,1,0) e = (-2,-1,-1)
 
 mas, h=||proj || 
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Propriedades
I) u.v = |u||v|cos 
II) Se u.v = 0  uv 
1.10 Produto Escalar de Vetores
 Geometricamente, utilizamos o produto escalar entre dois vetores quando o interesse é:
Determinar o ângulo  entre esses vetores.
vetores u = (a1, b1, c1) e v = (a2, b2, c2) é:
u.v = a1.a2 + b1.b2 + c1.c2
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Vetores paralelos, colineares 
1.4 Vetores Colineares
Dois ou mais vetores são colineares se tiverem a mesma direção.
Ex: Dados os vetores u, v , com u // v abaixo:
Vetores coincidentes, colineares, “ mesma linha” 
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Vetores Colineares
Dois vetores e são colineares se tiverem a mesma direção. Em outras palavras: são colineares se tiverem representantes pertencentes a uma mesma reta ou a retas paralelas.
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Vetores Coplanares
Se vetores não nulos (não importa o número de vetores) possuem representantes pertencentes a um mesmo plano p, diz-se que eles são coplanares.
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1.5 Vetores Coplanares
São vetores presentes no mesmo plano.
Observações
 2 vetores são sempre coplanares
 3 vetores são sempre coplanares no R2
 4 vetores são sempre coplanares no R3
 n (n  Z) vetores são sempre coplanares no Rn - 1
Nº de vetores maior que a dimensão do espaço
Pelo menos um vetor é COMBINAÇÃO LINEAR dos outros vetores.
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Vamos mostrar dois exemplos com relação a observação anterior:
I) Dados u e v vetores no R2
Combinação linear nada mais é que a soma dos vetores ponderados por coeficientes.
w é combinação linear de u e v
w = u + v 
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Vetor u = (a, b) 
2u = (2a, 2b), 
½u = (½a, ½b)
Intuitivamente um vetor só depende do outro se esse “outro” existir.
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	Dados 3 vetores u, v e w dizemos que estes vetores são L.D se u = a1v + a2w, caso não exista a1 e a2 os vetores são L.I.
	Geometricamente vetores colineares (ou paralelos) são linearmente dependentes (L.D.), caso contrário são L.I.
	Algebricamente vetores colineares são múltiplos , ou seja, 
Caso o vetor u = kv dizemos que u e v são L.D, caso contrário são L.I.