Provas de Matemática - Colégio Naval

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Prof João Alvaro 
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Coletâneas de Provas Colégio Naval. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof João Alvaro 
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Colégio Naval 1975 
 
01 
Achar o valor de: )32...777,1375,3(6 5 13 −++⋅ 
(A) 233 + (B) 20 (C) 32 + 
(D) 517+ (E) 
7
48 (F) N.R.A. 
 
02 
A que taxa mensal deve ser colocado um capital durante certo tempo, para que o juro 
recebido seja o triplo do que receberá na taxa anual de %2 ? 
(A) %5,2 (B) %5,1 (C) %3 
(D) %1 (E) %5,0 (F) N.R.A 
 
03 
Uma engrenagem é constituída por duas rodas de raios iguais a cm4 e cm3 que se 
tangenciam exteriormente. Qual o ângulo descrito pela roda menor enquanto a roda maior 
gira de um ângulo de ´48º12 ? 
(A) ´36º9 (B) ´04º17 (C) ´10º20 
(D) ´25º18 (E) ´40º10 (F) N.R.A. 
 
04 
Calcular a soma dos termos da maior fração própria irredutível, para que o produto de seus 
termos seja 60 . 
(A) 17 (B) 23 (C) 32 
(D) 61 (E) 19 (F) N.R.A. 
 
05 
Em um pátio retangular de dm	
  500 por hm	
  4,0 estão crianças em recreio. Havendo duas 
crianças por centiare, quantas crianças estão no pátio ? 
(A) 500.2 (B) 000.3 (C) 3500 
(D) 000.4 (E) 000.5 (F) N.R.A. 
 
06 
Dois números inteiros positivos tem soma 96 e o máximo divisor comum igual a 12. Dar o 
maior dos dois números sabendo que o produto deles deve ser o maior possível 
(A) 48 (B) 84 (C) 60 
(D) 72 (E) 36 (E) N.R.A 
 
 
 
07 
Em um concurso foi concedido um tempo T , para a realização da prova de MATEMÁTICA. 
Um candidato gastou 
3
1 deste tempo para resolver a parte de aritmética e %25 do tempo 
restante para resolver a parte de ebralgá , como ele só gastou 
3
2 do tempo de que ainda 
dispunha para resolver a parte de geometria, entregou a prova faltando minutos	
  35 para o 
término da mesma. Qual foi o tempo T concedido ? 
(A) 10min	
  h3 (B) h3 (C) 50min	
  h2 
(D) 30min	
  h3 (E) h4 (F) N.R.A 
 
 
 
 
 
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08 
Um composto A leva %20 de álcool e %80 de gasolina e um composto B leva %30 de 
álcool e %70 de gasolina. Quantos litros devemos tomar do composto A para, 
complementando com o composto B , preparar 5 litros de um composto com %22 álcool e 
%78 de gasolina ? 
(A) litros	
  2 (B) litros	
  3 (C) litros	
  5,2 
(D) litros	
  5,3 (E) litros	
  4 (F) N.R.A 
 
09 
Achar a área de um triângulo equilátero de lado cm	
  4= 
(A) 2cm	
  36 (B) 2cm	
  38 (C) 2cm	
  16 
(D) 2cm	
  34 (E) 2cm	
  3 (F) N.R.A. 
 
10 
Qual é o nome do ponto de interseção das mediatrizes de um triângulo? 
(A) ortocentro (B) baricentro (C) incentro 
(D) paricentro (E) rocircuncent (F) N.R.A. 
 
11 
Achar a razão do apótema para o lado do hexágono regular. 
(A) 3 (B) 
2
3 (C)
3
32 
(D) 
2
1 (E) 
6
3 (F) N.R.A. 
 
12 
Qual o perímetro do quadrado que tem a diagonal igual a m	
  63 ? 
(A) m	
  312 (B) m	
  612 (C) m	
  36 
(D) m	
  38 (E) m	
  212 (F) N.R.A. 
 
13 
Os pontos 	
  D	
  C,	
  B,	
  ,A e E são cinco vértices consecutivos de um decágono regular. Achar o 
ângulo BAE∠ . 
(A) º60 (B) º36 (C) º45 
(D) º108 (E) º54 (F) N.R.A. 
 
14 
O lado de um triângulo equilátero é igual ao lado de um hexágono regular e ambos medem 
cm	
  36 . Se colocarmos, sobre um plano, o triângulo ao lado do hexágono, de maneira que 
dois lados fiquem em coincidência, qual será a distância entre os centros das duas figuras. 
(A) cm	
  312 (B) cm	
  12 (C) cm	
  18 
(D) cm	
  5,7 (E) cm	
  5,12 (E) N.R.A. 
 
15 
Um trapézio de cm	
  22 de altura tem, para uma de suas bases, a diagonal de um quadrado 
de cm	
  6 de lado. Achar a área do trapézio, sabendo que a outra base tem as extremidades 
sobre os lados do quadrado . 
(A) 2cm	
  16 (B) 2cm	
  20 (C) 2cm	
  220 
(D) 2cm	
  216 (E) 2cm	
  32 (F) N.R.A. 
 
 
 
 
 
 
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16 
Uma circunferência de cm	
  4 de raio está dentro de um ângulo de º120 tangenciando os 
lados do ângulo nos pontos A e B . Achar a área do retângulo inscrito na circunferência que 
tem, para um dos lados a corda 
___
AB . 
(A) 2cm	
  16 (B) 2cm	
  38 (C) 2cm	
  312 
(D) 2cm	
  316 (E) 2cm	
  24 (F) N.R.A. 
 
17 
Cinco círculos de cm	
  1 de raio são interiores ao quadrado. Um deles tem o mesmo centro que 
o quadrado e cada um dos demais tangencia o primeiro círculo e dois lados consecutivos do 
quadrado. Achar a área do quadrado. 
(A) 2cm	
  18 (B) ( ) 2cm	
  2412+ (C) ( ) 2cm	
  2812+ 
(D) 2cm	
  5,12 (E) ( ) 2cm	
  61210+ (F) N.R.A. 
 
18 
Achar a área do círculo inscrito triângulo de lados cm	
  5	
  	
  ,cm	
  9 e cm	
  6 . 
(A) 2cm	
  
2
π (B) 2cm	
  π (C) 2cm	
  4π 
(D) 2cm	
  2π (E) 2cm	
  5π (F) N.R.A. 
 
19 
Na figura abaixo , temos 55AB
___
= cm e 5AC
___
= cm . Calcule a razão entre a área do 
triângulo ABC e a área do triângulo BDC . 
(A) 
5
6 
(B) 1 
(C) 
6
5 
(D) 
6
11 
(E) 2 
(F) N.R.A. 
 
 
	
  A	
  
	
  D	
  
	
  C	
  
	
  B	
  
 
 
20 
Três círculos de raio igual a cm	
  2 , são tangentes 2 a 2 , nos pontos B	
  	
  ,A e C . Calcular a 
área da figura plana limitada pelo menores arcos BC	
  	
  ,AB e CA . 
(A) ( ) 2cm	
  423 π− (B) ( ) 2cm	
  432 π− (C) ( ) 2cm	
  232 π− 
(D) ( ) 2cm	
  434 π− (E) ( ) 2cm	
  234 π− (F) N.R.A. 
 
 
21 
Simplificar a expressão 
3A
33AA
−
− 
(A) 3A9A +− (B) A33A ++ (C) A3A +− 
(D) 3A3 +− (E) A9 + (F) N.R.A. 
 
 
 
 
 
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22 
Achar o produto dos valores inteiros de M que fazem com que a equação em x , 
0
4
MMx
M
x4 2
=+− não tenha raízes reais 
(A) 0 (B) 1 (C) 1− 
(D) 4− (E) 4 (F) N.R.A 
 
23 
Resolver a inequação ( ) ( )
0
1xx
4x4x1x
2
23
≥
−+−
+−⋅− 
(A) 1x ≤ (B) 2x > (C) 2x −≥ 
(D) 2xº15 (B) º25 (C) º20 
(D) º40 (E) º50 
 
21 
A roda de um veículo tem cm50 de diâmetro. Este móvel, em velocidade constante, completa 10 
voltas em cada segundo, com um gasto de um litro de combustível por km10 rodados. Sabendo-se que 
o veículo fez uma viagem de h6 , o número que mais se aproxima da quantidade de litros gastos na 
viagem é : 
(A) 52 (B) 40 (C) 30 
(D) 34 (E) 20 
 
 
22 
Num triângulo ABC de lado AC de medida 6 cm , traça-se a ceviana AD que divide internamente 
o lado BC nos segmentos BD de medida 5 cm e DC de medida 4 cm . Se o ângulo B∠ mede 20º 
e o angulo C∠ mede 85º , então o ângulo BAD∠ mede : 
(A) º65 (A) º55 (C) º75 
(D) º45 (E) º35 
 
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23 
As retas PA e PB são tangentes à circunferência de raio R nos pontos A e B respectivamente. Se 
x3PA = e x é a distância do ponto A à reta PB , então R é 
(A) ( ) x	
  	
  	
  223 − (B) ( )	
  	
  x2233 + (C) x3 
(D) ( )	
  	
  x3322 + (E) x 
 
24 
Num triângulo ABC , a medida do lado 
___
AB é o dobro da medida do lado 
___
AC . Traça-se a mediana 
___
AM e a bissetriz 
___
AD ( M e D pertencentes a 
___
BC ). Se a área do triângulo ABC é S , então a área 
do triângulo AMD é : 
(A) 
3
S
 (B) 
4
S
 (C) 
6
S
 
(D) 
8
S3
 (E) 
12
S
 
 
25 
Na figura, o diâmetro 
___
AB mede 38 e a corda 
___
CD forma um ângulo de º30 com 
___
AB . Se E é 
ponto médio de 
___
AO , onde O é o centro do círculo, a área da região hachurada mede : 
(A) ( )338 −π 
(B) ( )1310 +π 
(C) ( )3218 +π 
(D) ( )2327 −π 
(E) ( )338 +π 
 
A 
C 
D 
B 
E 
O 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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COLÉGIO NAVAL 1985 
01 
Dado dois conjuntos de A e B tais que : 
- O número de subconjuntos de A está compreendido entre 120 e 250 . 
- B tem 15 subconjuntos não vazios 
O produto cartesiano de A por B tem 
(A) 8 elementos (B) 12elementos (C) 16 elementos 
(D) 28 elementos (E) 32 elementos 
 
02 
O valor da expressão 
2
1
03
...333,1
1
3
2
...666,0
6
1
−
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛+⋅⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ é : 
(A) 
5
2
 (B) 
5
2
 (C) 
2
5
 
(D) 
2
25
 (E) 
5
52
 
 
03 
Antônio constrói 20 cadeiras em 3 dias de 4 horas de trabalho por dia . 
Severino constrói 15 cadeiras do mesmo tipo em 8 dias de 2 horas de 
trabalhando por dia. Trabalhando juntos, no ritmo de 6 horas por dia, 
produzirão 250 cadeiras em : 
(A) 15dias (B) 16 dias (C) 18 dias 
(D) 20 dias (e) 24 dias 
 
04 
A soma de todas as raízes da equação 
( )( )( ) ( )( )6x12x32x2x12x3 +−−=−+− é : 
(A) 3− (B) 1− (C) 0 
(D) 1 (E) 3 
 
05 
Um polígono regular possui 70 diagonais que não passam pelo seu centro. O valor da medida do 
ângulo interno do referido polígono está, em graus, compreendidos entre 
(A) 80º	
  	
  e	
  	
  º70 (B) 120º	
  	
  e	
  	
  º100 (C) 130º	
  	
  e	
  	
  º120 
(D) 150º	
  	
  e	
  	
  º140 (E) 160º	
  	
  e	
  	
  º150 
 
06 
Uma empresa possui uma matriz M e duas filiais A e B . %45 dos empregados da empresa 
trabalham na matriz M e %25 dos empregados trabalham na filial A . De todos os empregados dessa 
empresa, %40 optaram por associarem-se a um clube classista, sendo que %25 dos empregados da 
matriz M e %45 dos empregados da filial A se associaram ao clube. O percentual dos empregados 
da filial B que se associaram ao clube é de : 
(A) %5,17 (B) %5,18 (C) %30 
(D) %
3
1
58 (E) %
3
2
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07 
Dois lados de um triângulo são iguais a cm	
  4 e cm	
  6 . O terceiro lado é um número inteiro expresso 
por 1x2 + . O seu perímetro é : 
(A) cm	
  13 (B) cm	
  14 (C) cm	
  15 
(D) cm	
  16 (E) cm	
  20 
 
08 
Se 3
2
1
x
2
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ + , então 3
3
x
1
x + é igual a 
(A) 0 (B) 1 (C) 2 
(D) 3 (E) 4 
 
09 
O sistema 
⎩
⎨
⎧
=+
=−
4kyx3
3y5mx
 é equivalente ao sistema 
⎩
⎨
⎧
=+
=−
1yx3
4yx2
 . Logo, pode-se afirmar que : 
(A) 8km −=− (B) 1km −= (C) 
7
1
mk = 
(D) 
2
7
km =⋅ (E) 8km =+ 
 
10 
Considere a soma de n parcelas 151515 nnnS +⋅⋅⋅++= . Sobre as raízes da equação 
36n13S 24 −= podemos afirmar que 
(A) seu produto é 36− . (B) sua soma é nula (C) sua soma é 5 
(D) seu produto é 18 (E) seu produto é 36 
 
11 
José e Pedro constituíram uma sociedade, onde José entrou com 00,000.000.2$R e Pedro com 
00,000.500.2$R . Após 8 meses, José aumentou seu capital para 00,000.500.3$R e Pedro 
diminui seu capital para 00,000.500.1$R . No fim de meses	
  6	
  	
  e	
  	
  ano	
  1 houve um lucro de 
00,000.344$R . A parte do lucro que coube a José foi : 
(A) 00,000.140$R (B) 00,000.144$R (C) 00,000.186$R 
(D ) 00,000.204$R (E) 00,000.240$R 
 
12 
Num triângulo eqüilátero de altura h , seu perímetro é dado por 
(A) 
3
3h2
 (B) 3h (C) 3h2 
(D) h6 (E) 3h6 
 
13 
O menor valor inteiro da expressão 1n195n5 2 +− 5 ocorre para n igual a : 
(A) 10 (B) 15 (C) 20 
(D) 25 (E) 30 
 
14 
O círculo de centro O da figura abaixo tem cm	
  6 de raio . Sabendo que 
___
PA é tangente à 
circunferência e que a medida do segmento PC é igual a cm	
  6 , a área hachurada é, em 2cm , 
aproximadamente, igual a 
(A) 10 
(B) 5,10 
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(C) 11 
(D) 5,11 
(E) 12 
 
15 
Sendo 343x2 = , 23 49y = e 56 7z = , o algarismo das unidades simples do resultado de 
24
z
xy
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ é 
(A) 1 (B) 3 (C) 5 
(D) 7 (E) 9 
 
 
 
 
16 
O pentágono ABCDE da figura abaixo é regular e de lado  . Sabendo que o segmento AF tem 
medida igual a  , pode-se afirmar que o ângulo BFE∠ mede 
(A) º36 
(B) º45 
(C) º54 
(D) º60 
(E) º72 
 
A 
B 
 F 
E 
C D 
 
17 
Sejam r e s as raízes da equação 07x33x2 =−+ . O valor numérico da expressão 
( )( )1sr1sr −+++ é 
(A) 
7
2
 (B) 
7
3
 (C) 
7
9
 
(D) 
3
4
 (E) 2 
 
18 
Considere os conjuntos {}{ }2	
  	
  ,1	
  	
  ,1A = e { }{ }2	
  	
  2,	
  	
  ,1B = e as cinco afirmações : 
I) {}1BA =− 
II) { } ( )AB2 −⊂ 
III) {} A1 ⊂ 
IV) { }{ }2	
  	
  1,	
  	
  2,	
  	
  ,1BA = 
V) { }{ }2AB =− 
Logo, 
(A) todas as afirmações estão erradas. 
(B) só existe uma afirmação correta. 
(C) as afirmações ímpares estão corretas. 
(D) as afirmações III e V estão corretas. 
(E) as afirmações I e IV são as únicas incorretas. 
 
19 
O coeficiente do termo de 2º grau do produto entre o quociente e o resto, resultantes da divisão de 
7xx3x 43 ++− por 2x2 − é : 
(A) 22− (B) 11− (C) 10− 
(D) 1− (E) 1 
20 
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Dois lados de um triângulo medem cm	
  4 e cm	
  6 e a altura relativa ao terceiro lado mede cm	
  3 . O 
perímetro do círculo circunscrito ao triângulo mede 
(A) cm	
  4π (B) cm	
  6π (C) cm	
  8π 
(D) cm	
  12π (E) cm	
  16π 
 
21 
Unindo-se os pontos médios dos quatro lados de um quadrilátero L , obtém-se um losango . Pode-se 
afirmar que L 
(A) é um retângulo 
(B) tem diagonais perpendiculares 
(C) é um trapézio isósceles . 
(D) é um losango 
(E) tem diagonais congruentes 
 
22 
Considere os conjuntos M dos pares ordenados ( )y,x que satisfazem à equação 
( ) ( )0cybxacbxa 222111 =++⋅++ e N dos pares ordenados ( )y,x que satisfazem o sistema 
⎩
⎨
⎧
=++
=++
0cybxa
0cybxa
222
111 . 
Sendo 0cbacba 222111 ≠⋅⋅⋅⋅⋅, pode-se afirmar que : 
(A) NM= (B) MNM = (C) ∅=NM 
(D) NNM = (E) ∅=NM 
 
23 
A figura abaixo representa a planta de uma sala e foi desenhada na escala 100:1 . A área real da sala 
é : 
(A) 2cm	
  20 
(B) 2cm	
  5,28 
(C) 2cm	
  2850 
(D) 2m	
  5,28 
(E) 2m	
  4,80 
 
 
 
6 
cm
 0,
4 
dm
 
0,
01
 m
 
70 mm 
4 cm 
 
24 
Os hexágonos regulares da figura são congruentes e os segmentos CD e GH são congruentes e os 
segmentos são colineares. A razão entre a área de um deles e a área do triânguloEMN é igual a : 
(A) 6 
(B) 9 
(C) 12 
(D) 16 
(E) 18 
 
A L J 
N 
M 
E 
C D G H 
B I 
 
 
25 
Sabendo-se que a média aritmética e a harmônica entre dois números naturais valem, 
respectivamente, 10e 
5
32
, pode-se dizer que a média geométrica entre esses números será igual a 
: 
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(A) 6,3 (B) 6 (C) 4,6 
(D) 8 (E) 9 
Colégio Naval 1986 
01 
Representando-se por ( )Xn o número de elementos de um conjunto X , considere dois conjuntos A e 
B tais que ( ) 4BAn = , ( ) 5BAn =− e ( ) 36BAn =× . Podemos afirmar que ( )BAn  é igual a : 
(A) 4 (B) 6 (C) 7 
(D) 9 (E) 10 
 
02 
Considere os conjuntos { }4	
  	
  x|	
  	
  NxX ≤∈= e Y , XY ⊂ . O número de conjuntos Y tais que Y4 ∈ e 
Y0 ∉ é : 
(A) 6 (B) 7 (C) 8 
(D) 15 (E) 16 
 
03 
A média harmônica entre as raízes da equação 091x13x340 2 =−− é : 
(A) 7 (B) 7− (C) 
7
340
 
(D) 
7
1
 (E) 14− 
 
04 
O número máximo de divisores do número natural x2x2248 +−⋅ , ∈	
  	
  x N, é: 
(A) 12 (B) 10 (C) 24 
(D) 6 (E) 18 
 
05 
O valor de x no sistema 
⎩
⎨
⎧
=+−+
=−
133y2x
1yx16
4
 é : 
(A) 21415+ (B) 21215+ (C) 21015+ 
(D) 2815+ (E) 2615+ 
 
06 
Uma mercadoria foi comprada por 00,20$R . Para que haja um lucro de %60 sobre o preço de venda 
, esta mercadoria deve ser vendida por : 
(A) 00,32$R (B) 00,50$R (C) 00,48$R 
(D) 00,45$R (E) 00,58$R 
 
 
 
 
07 
O valor da expressão a3a9E 3 −= , para 
( )( )
( ) ( )
2
1
3
3231
5...333,0
2335
...2666,0a ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−⋅
−⋅+⋅
+=
−
−
 é : 
(A) 3 (B) 2 (C) 
5
5
 
(D) 0 (E) 1 
 
 
 
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08 
O resto da divisão de ( )8x9xx5xx 2345 −+−−+ por ( )3xx2 −+ é : 
(A) independente de x e não nulo 
(B) positivo para 
2
5
x −++ é : 
(A) ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −∞−
3
5
	
  , (B) ( )1	
  ,−−∞ (C) ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −−
3
5
	
  ,2 
(D) ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ∞+− 	
  ,
3
5
 (E) ( )2	
  ,1− 
 
22 
Em um triângulo os lados de medidas m e n são opostos, respectivamente, aos ângulos de º60 e 
º40 . O segmento da bissetriz do maior ângulo interno do triângulo é dado por: 
(A) 
n
nm
m
+
⋅ (B) 
m
nm
n
+
⋅ (C) 
nm
n
m
+
⋅ 
(D) 
nm
m
n
+
⋅ (D) 
n
m
 
 
23 
Considere um ponto P interno a um hexágono regular de lado igual a cm	
  6 . A soma das distâncias de 
P a cada uma das retas suportes dos lados deste hexágono 
(A) depende da localização de P 
(B) é igual a cm	
  36 
(C) é igual a cm	
  18 
(D) é igual a cm	
  12 
(E) é igual a cm	
  18 
 
24 
Na figura abaixo tem-se QB e QA são tangentes ao círculo de raio 2 ; a medida do segmento PA é 
32 e a potência do ponto P em relação ao círculo é igual a 24 . A área hachurada da figura é igual 
a 
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(A) ( )π−32
3
4
 
(B) ( )π−33
3
4
 
(C) ( )π−3
3
4
 
(D) ( )π−34
3
4
 
(E) ( )π−36
3
4
 
 Q	
  
B A P 
 
 
 
25 
Num triângulo ABC de lado 12AC = , a reta AD divide internamente o lado BC em dois segmentos :
18BD = e 6DC = . Se xABD =∠ e yACD =∠ , o ângulo BDA∠ é dado por 
(A) xy − (B) yx+ (C) yx2 − 
(D) xy2 − (E) yx2 + 
 
COLÉGIO NAVAL 1987 
01 
Sendo a e b números inteiros quaisquer, 
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧ ≠== 0b	
  ,
b
a
	
  	
  x|	
  	
  xR e { }2	
  0,444...;	
  1,3;	
  ;2S = então : 
(A) RS ⊂ (D) elementos	
  dois	
  	
  temRS  
(B) ∅=RS  (E) unitário	
  é	
  RS − 
(C) unitário	
  é	
  RS  
 
02 
a e b são números reais diferentes de zero e 0ba >− , então, necessariamente 
(A) 22 ba > (B) 1
b
a
> (C) 2
a
b
b
a
≥+ 
(D) 2b2a −: 
(A) 16 (B) 13 (C) n13 
(D) n3n3 + (E) 1n2n 36 ++ 
 
04 
Dois capitais são empregados a uma mesma taxa de %3 ao ano. A soma dos capitais é igual a 
00,50000$R . Cada capital produz 00,600$R de juros. O primeiro permaneceu empregado 
meses	
  4 mais que o segundo. O segundo capital foi empregado durante 
(A) meses	
  6 (B) meses	
  8 (C) meses	
  10 
(D) anos	
  2 (E) anos	
  3 
 
05 
Dados os conjuntos M , N e P tais que MN⊂ , ( ) ( )Mn%60NMn ⋅= , ( ) ( )Nn%50PNn ⋅= , 
( ) ( )Pn%40PNMn ⋅= e ( ) ( )Mn%xPn ⋅= . O valor de x é : 
OBS : ( )An indica o número de elementos do conjunto A. 
(A) 80 (B) 75 (C) 60 
(D) 50 (E) 45 
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06 
O denominador racionalizado de 
1123
1
4 ++
 é : 
(A) 10 (B) 8 (C) 4 
(D) 3 (E) 2 
 
07 
Simplificando-se a expressão 
( )
( ) ( )10016128498141062
30018126
×⋅⋅⋅××××××⋅⋅⋅××××
×⋅⋅⋅×××
 
obtém-se : 
(A) 503 (B) 
2
3
 (C) 
25
2
3
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ 
(D) 
4
3
 (E) 252 
08 
O conjunto dos valores de m para os quais as equações 0m2x8x3 2 =+− e 0mx5x2 2 =+− 
possuem uma e apenas uma raiz real comum é 
(A) unitário, de elemento positivo. 
(B) unitário, de elemento não negativo. 
(C) composto de dois elementos não positivos. 
(D) composto de dois elementos não negativos. 
(E) vazio. 
 
09 
O sistema 
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=−
=−
5000yx001,0
8000y5x2
 : 
(A) tem apenas uma solução ( )y,x , 0x e 0y . 
(D) tem duas soluções. 
(E) não tem soluções. 
 
10 
Num sistema S de duas equações do º1 grau com duas incógnitas, x e y , os coeficientes de x e y 
de uma das equações são, respectivamente, proporcionais aos coeficientes de x e de y da outra. 
Logo, o conjunto solução de S : 
(A) é unitário (B) é infinito (C) é vazio 
(D) pode ser vazio (E) pode ser unitário 
 
11 
A equação do º2 grau 0mx2x2 =+− , 0m . O valor da expressão 
3223
44
rrssrr
sr
+++
−
, 
é 
(A) 
2
129
 (B) 
2
127
 (C) 
4
127
 
(D) 
4
129
 (E) impossível calcular. 
 
08 
Uma mercadoria que teve dois aumentos sucessivos de %30 e %20 deverá ter um único desconto de 
%x para voltar ao preço inicial. Logo 
(A) 35x30 
 
 
 
09 
Cláudio comprou dólares	
  10 com australes	
  125 e Marta comprou australes	
  5 com chilenos	
  pesos	
  120
. Assim João pode comprar : 
(A) dólares	
  3 com chilenos	
  pesos	
  100 
(B) chilenos	
  pesos	
  3000 com dólares	
  10 
(C) chilenos	
  pesos	
  1200 com dólares	
  5 
(D) chilenos	
  pesos	
  800 com dólares	
  2 
(E) dólares	
  50 com chilenos	
  pesos	
  1000 
 
10 
Se 0cba =++ , onde a , b e c são números reais diferentes de zero , qual a opção que é uma 
identidade ? 
(A) abc3cba 333 =+− 
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www.matemaniacos.com(B) abc3cba 333 −=++ 
(C) abc3cba 333 =++ 
(D) abc3cba 333 −=−− 
(E) abc2cba 222 −=++ 
 
11 
O valor da expressão 
1099
1
23
1
32
1
21
1
+
+⋅⋅⋅+
+
+
+
+
+
 é : 
(A) 10− (B) 9− (C) 
9
1
 
(D) 9 (E) 10 
 
12 
A solução da equação 41x31x32 33 =−+−+ é : 
(A) divisor de 30 (B) múltiplo de 5 (C) fator de 40 
(D) múltiplo de 7 (E) divisível por 9 
 
 
13 
Considere as 5 afirmações abaixo. A seguir, coloque (V) ou (F) nos parêntesis, conforme sejam 
verdadeiras ou falsas: 
1. ( ) 	
  40minh2h4,2 = 
2. ( ) dm1200Km
5
6
= 
3. ( ) 22 m2dm2,0 = 
4. ( ) 3cm50005 = 
5. ( ) 223 cm2000m008,0 = 
Pode-se concluir que são verdadeiras apenas as afirmações : 
(A) 1 e 4 (B) 3 e 4 (C) 2, 4 e 5 
(D) 4 e 5 (E) 1 e 2 
 
14 
Num grupo de 142pessoas foi feita uma pesquisa sobre três programas de televisão A , B e C e 
constatou-se que : 
I - 40 não assistem a nenhum dos três programas. 
II - 103 não assistem ao programa C . 
III - 25 só assistem ao programa B . 
IV - 13 assistem aos programas A e B . 
V - O número de pessoas que assistem somente aos programas B e C é a metade dos que assistem 
somente a A e B . 
VI - 25 só assistem a 2 programas ; e 
VII - 72 só assistem a um dos programas. 
Pode-se concluir que o número de pessoas que assistem 
(A) ao programa A é 30 
(B) ao programa C é 39 
(C) aos 3 programas é 6 
(D) aos programas A e C é 13 
(E) aos programas A ou B é 63 . 
 
15 
Dado o sistema 
⎩
⎨
⎧
+=+
+=+
q3p2qypx
n3m2nymx
 onde 0qpnm ≠⋅⋅⋅ , 
(A) se 0npmq =− , então o sistema pode ser impossível. 
(B) se 0npmq =− , então o sistema não é indeterminado. 
(C) se 0npmq ≠− , então o sistema não é determinado. 
(D) o sistema não é impossível 
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(E) se 0npmq ≠− , então o sistema é impossível. 
 
16 
Sobre os lados AB e AC de um triângulo ABC tomam-se os pontos D e E , respectivamente, de 
modo que os triângulos ABC e ADE sejam semelhantes. 
Considere as 4 afirmações abaixo : 
(I) 
AC
AE
AB
AD
= 
(II) DB ∠=∠ e CE ∠=∠ 
(III) 
BC
DE
AB
AD
= 
(IV) Se a razão entre as áreas dos triângulos ABC e ADE é 16 , então a razão de semelhança é 4 . 
Pode-se concluir que o número de afirmações corretas é : 
(A) 0 (B) 1 (C) 2 
(D) 3 (E) 4 
 
 
 
 
 
17 
Considere as seguintes afirmações sobre o trinômio 
1987x1988x497y 2 −+−= 
(I) Seu valor máximo é 1. 
(II) Tem duas raízes de mesmo sinal. 
(III) Os valores numéricos para 103x −= e 107x = são iguais. 
(IV) O gráfico intersecta o eixo das ordenadas em 1987− . 
Pode-se concluir que o número de afirmações verdadeiras é : 
(A) 4 (B) 3 (C) 2 
(D) 1 (E) 0 
 
18 
Um polígono regular convexo de 18 vértices 18321 A...AAA está inscrito em uma circunferência de raio 
R . Traçam-se as diagonais 71AA e 52AA . A área da parte do círculo compreendida entre essas 
diagonais é : 
(A) ( )334
12
R 2
−π (B) 
3
R 2π
 (C) ( )3R2 −π 
(D) ( )332
12
R 2
−π (E) 
6
R 2π
 
 
19 
Considere as cordas 13AP = e 12BD = de uma circunferência, que se intersectam no ponto Q ; e um 
ponto C da corda AP , tal que ABCD seja um paralelogramo. Determinado este ponto C , AC mede 
(A) 8 (B) 9 (C) 10 
(D) 12 (E) 18 
 
20 
Um subconjunto do conjunto solução da inequação 0
1x
xx41
2
2
>
+
−+
 é : 
(A) { }5	
  	
  x|	
  	
  Rx >∈ (B) { }2	
  	
  x|	
  	
  Rx(E) 00,445.1$R 
 
17 
No quadrado ABCD de áreas S da figura acima, os pontos E e F são médios. A área da parte 
hachurada é: 
 
(A) 
15
S2 
(B)
15
S
 
(C) 
15
S4 
(D) 
3
S
 
(E) 
5
S2 
 B 
C 
E 
A 
F 
D 
 
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18 
No trinômio cbxaxy 2 ++= , 0a (B) 0b (E) 0c > , pode-se afirmar que ba + vale: 
(A) 204 (B) 228 (C) 288 
(D) 302 (E) 372 
 
05 
O valor de 
128
128128
4
44
+−
−−−−+
 é : 
(A) 1 (B) 2 (C) 2 
(D) 22 (E) 23 
 
 
 
 
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06 
Considere os conjuntos A , B , C e U no diagrama abaixo. A região hachurada corresponde ao 
conjunto: 
(A) ( )[ ] ( )[ ]ACBCBA −−  
(B) ( ) ( )[ ]CBAC CBA
− 
(C) ( ) ( ) ( )[ ]CABAC CBA
 
(D) ( ) ( ) ( )[ ]CA	
  	
  BABA  − 
(E) ( )[ ] ( )B-­‐A	
  	
  ACB  − 
	
  
A	
   B	
  
C	
  
U	
  
 
 
07. 
A representação decimal do número ( ) 1cba 532 −
⋅⋅ sendo a , b e c números naturais, é uma 
dízima periódica composta. Sendo assim que, necessariamente : 
(A) 0c	
  	
  e	
  	
  0b	
  ,0a ≠≠= 
(B) 0c	
  	
  e	
  	
  0b	
  ,0a =≠≠ 
(C) 0c	
  	
  e	
  	
  0b	
  ,0a ≠=≠ 
(D) 0b	
  	
  0c	
  	
  ou	
  	
  0a ≠≠≠ 
(E) 0c	
  	
  e	
  	
  0b	
  ,0a ≠≠≠ 
 
08 
Sejam os conjuntos 
	
  0
5x
3x
	
  	
  |	
  	
  RxA
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧ ≥
+
−
∈= 
( )( ){ }05x3x	
  	
  |RxB ≥+−∈= 
{ }05	
  	
  xe	
  	
  	
  03x	
  	
  |	
  	
  RxC ≥+≥−∈= 
Pode-se afirmar que: 
(A) CBA == (B) CBA ⊂⊂ (C) BCA ⊂⊂ 
(D) BAC ⊂⊂ (E) BAC =⊂ 
 
09 
 Os ponteiros das horas, dos minutos e dos segundos de um relógio indicam zero hora. Até as horas	
  9 
horas do mesmo dia, os ponteiros dos minutos e dos segundos terão se encontrado um número de 
vezes igual a : 
(A) 524 (B) 531 (C) 540 
(D) 573 (E) 590 
 
 
10 
Considere um losango de lado L e área S . A área do quadrado inscrito no losango, em função de L e 
S é: 
(A) 
S2L
S4
2
2
+
 (B) 
SL4
S16
2
2
+
 (C)
SL
S
2
2
+
 
(D) 
SL4
S4
2
2
+
 (E) 
S2L
S
2
2
+
 
 
11 
O total de polígonos cujo número n de lados é expresso por dois algarismos iguais e que seu número 
d de diagonais é tal que n26d > , é: 
(A) 4 (B) 5 (C) 6 
(D) 7 (E) 8 
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12 
No triângulo ABC , tem-se aBC = e a altura hAH = . O lado do triângulo eqüiláteroDEF inscrito em 
ABC tal que DE é paralelo a BC , é dado a expressão: 
 
a) 
h23a
ah2
+
 
b) 
3ah
ah
+
 
c) 
a3h
h2
+
 
d) 
h3a
a2
+
 
e)
h3a2
ah2
+
 
 
 
h 
a 
D 
B 
E 
C 
A 
 
13 
 Qual a solução do sistema abaixo ? 
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
>+
 
(B) 50	
  	
  x	
  30 e b qualquer 
b) ,0a 0c 0c . 
(C) O menor valor de ( )xQ ocorre para 
4
3
x −= . 
(D) A média geométrica dos zeros ( )xQ é 
4
22
. 
(E) O valor mínimo de ( )xQ é 
32
35
. 
Colegio Naval 1991 
01 
Considere a seguinte questão já resolvida por um aluno: 
Numere a segunda coluna de acordo com a 1ª 
1ª COLUNA 2ª COLUNA 
(1) A soma dos quadradosde três e 
cinco. 
(2) Menos três ao quadrado. 
(3) O quadrado da soma de três é 
cinco. 
(4) O quadrado do oposto de três. 
(5) O oposto de sete menos cinco. 
(6) O oposto da diferença entre sete 
e cinco. 
(7) A diferença entre o quadrado e o 
triplo de um número. 
(8) O quadrado de um número 
menos três, vezes o mesmo 
número. 
( ) ( )23	
  	
  	
  2 − 
 
( ) ( )575 −− 
 
( ) ( )253	
  	
  	
  1 + 
 
( ) x3x	
  	
  	
  8 2 − 
Logo, o número de acertos do aluno é: 
(A) 4 (B) 3 (C) 2 
(D) 1 (E) 0 
 
02 
 A área hachurada na figura abaixo onde ABCD é um quadrado de área S , AB.
2
1AF = e AB.
3
1AE = 
é igual a: 
(A) 
12
S
 
(B) 
14
S 
(C) 
18
S 
(D) 
70
S11 
(E) 
420
S31 
 A E F B 
C D 
G 
 
 
 
 
 
 
03 
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Sobre uma circunferência, marcam-se os n pontos n321 A	
  ,	
  ...	
  ,A	
  ,A	
  ,A de tal maneira que os 
segmentos n1-­‐n3221 AA	
  ,	
  ...	
  ,AA	
  ,AA e 1nAA têm medidas iguais a da corda do arco de ´30º157 dessa 
mesma circunferência. Logo o número n é: 
(A) primo (B) múltiplo de 3 (C) múltiplo de 6 
(D) potência de 2 (E) múltiplo de 5 
 
04 
Sejam U o conjunto das brasileiras, A o conjunto das cariocas, B o conjunto das morenas e C o 
conjunto das mulheres de olhos azuis. 
O diagrama que representa o conjunto de mulheres morenas ou de olhos azuis, e não cariocas; ou 
mulheres cariocas e não morenas e nem de olhos azuis é: 
 
(A) 
 
A	
   B 
C 	
  
U 	
  
 
(D) 
 
A	
   B	
  
C 	
  
U 	
  
 
 
(B) 
 
A	
   B	
  
C 	
  
U 	
  
 
(E) 
 
A	
   B	
  
C 	
  
U 	
  
 
 
(C) 
 
A	
   B	
  
C 	
  
U 	
  
 
 
 
 
05 
Um cofre é equipado com sistema automático que o destranca por um minuto e volta a trancá-lo se não 
for aberto. Tal sistema tem dois dispositivos independentes: um que dispara de minutos	
  46 em 
minutos	
  46 , após ser ligado o sistema, e o outro de minutos	
  34 em minutos	
  34 . Sabendo-se que o 
cofre pode ser aberto tanto por um, quanto pelo outro dispositivo, e que um não anula o outro, quantas 
vezes por dia, pode-se dispor do cofre para abertura, sendo o sistema ligado a zero hora? 
(A) 74 (B) 73 (C) 72 
(D) 71 (E) 70 
 
06 
Um livro de 200 páginas vai ser reenumerado no sistema de numeração de base 8 . O número na 
base 10de algarismos que serão utilizados é: 
(A) 520 (B) 525 (C) 530 
(D) 535 (E) 540 
 
07 
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Para a construção com a régua e compasso do número r , r primo, um aluno determinou a altura 
relativa a hipotenusa de um triângulo retângulo, cujas proteções dos catetos sobre a hipotenusa são 
números. 
(A) primos (B) cujo quociente pode ser 1r − 
(C) cuja diferença é 1r − (D) múltiplo de r 
(E) cuja soma é r 
 
08 
O valor numérico da expressão 4224 bba2a +− para 
17
8a = e 
17
9b = é um número N tal que : 
(A) 0N 
 
17 
Um sistema de três equações do grau	
  1o com duas incógnitas é determinado. Logo um sistema 
formado por apenas duas dessas equações 
(A) é determinado. 
(B) é indeterminado. 
(C) é impossível. 
(D) pode ser impossível ou determinado. 
(E) pode ser indeterminado ou determinado. 
 
18 
Se a equação ( ) 0mx2m4x 224 =++− admite quatro raízes reais, então 
(A) o maior valor inteiro de m é 3− . 
(B) a soma dos três menores valores inteiros de m é zero . 
(C) a soma dos três maiores valores inteiros de m é 12− . 
(D) só existem valores inteiros e positivos para m. 
(E) só existem valores negativos para m. 
 
19 
Num triângulo ABC as medidas dos lados AB , AC e BC , são respectivamente iguais a 4 , 6 e 8 . 
Da extremidade D da bissetriz AD traça-se o segmento DE , E pertencente ao lado AB , de tal forma 
que o triângulo BDE é semelhante ao triângulo ABD . A medida do segmento BE é igual a : 
(A) 56,2 (B) 64,1 (C) 32,1 
(D) 28,1 (E) 1 
 
20 
A eleição para o diretor de um colégio é feita por voto de qualidade dos votos válidos. Os votos dos 
professores valem %50 , os votos dos alunos %45 e os votos dos funcionários %5 . Apurados os votos 
válidos, obteve-se a seguinte tabela: 
 Votaram em A Votaram em B 
ALUNOS 600 480 
PROFESSORES 15 180 
FUNCIONÁRIOS 240 40 
Sabendo-se que o resultado é homologado se, e somente se, o vencedor tiver %10 mais que o 
oponente, pode-se concluir que: 
(A) não houve vencedor 
(B) o candidato A venceu por uma margem aproximada de %20 dos votos válidos. 
(C) o candidato A venceu por uma margem aproximada de %30 dos votos válidos. 
(D) o candidato B venceu por uma margem aproximada de %20 dos votos válidos. 
(E) o candidato B venceu por uma margem aproximada de %30 dos votos válidos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Colegio Naval 1992 
01 
Considere a seguinte subtração, onde 	
  b	
  	
  	
  x, e z são algarismos: 
bxbz	
  	
  	
  	
  
684x
x684	
  	
  	
  
− 
 
Logo, zyx ++ é igual a: 
(A) 11 (B) 12 (C) 13 
(D) 14 (E) 15 
 
02 
Uma fábrica de fósforo usa as seguintes definições: 
Caixa : conjunto de 45 fósforos 
Maço : conjunto com 10 caixas 
Pacote : conjunto com 12maços 
Dividindo-se 13pacotes, 5 maços, 8 caixas e 22 fósforos por 8 , obtém-se um número p de pacotes, 
m de maços, c de caixas e f de fósforos, tais que fcmp +++ é igual a: 
(A) 25 (B) 26 (C) 27 
(D) 28 (E) 29 
 
03 
Considere os diagramas onde 	
  C	
  B,	
  ,A e U são conjuntos. A região hachurada pode ser representada 
por: 
 
(A) ( ) ( ) ( )CB	
  CA	
  	
  	
  	
  BA  − 
(B) ( ) ( ) ( )CBCA	
  	
  	
  	
  BA  − 
(C) ( ) ( ) ( )CB	
  	
  	
  	
  CA	
  	
  BA  
(D) ( ) ( ) ( )CB	
  	
  	
  	
  	
  	
  CABA  − 
(E) ( ) ( ) ( )CB	
  	
  	
  	
  CA	
  	
  	
  	
  BA −−−  
U	
   A	
   B	
  
C	
  
 
04 
Considere as afirmativas: 
I - O número 1147não é primo. 
II - Todo o número da forma abba , onde a eb são algarismos, é divisível por 11. 
III - Todo número múltiplo de 5 e 15é múltiplo de 75 
IV - O número de divisores naturais de 576 é divisor de 63 
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O número de afirmativas verdadeiras é 
(A) 0 (B)1 (C) 2 
(D) 3 (E) 4 
 
05 
A expressão ( )
( ) 3
3...333,02
125,0
16	
  	
  2	
  5,0
−
− ⋅⋅ escrita como potência de base 2 , tem como expoente: 
(A) 
3
14
− (B) 
3
16
− (C) 6− 
(D) 
3
22
− (E) 8− 
 
 
 
06 
O conjunto P é formado pro três elementos respectivamente proporcionais a 3	
  	
  ,2 e 7 . Sabendo que 
o menor mais o triplo do maior menos o dobro do outro é igual a 34 , a soma destes três elementos é 
igual a: 
(A) 20 (B) 21 (C) 22 
(D) 23 (E) 24 
 
07 
Uma aplicação do mercado financeiro que rende 0,3% ao dia, exige um mínimo de 00,000.50$R para 
ser efetuada. Uma pessoa que dispõe de 00,000.45$R , toma 00,000.5$R a taxa de 1% dia, para 
fazer tal aplicação. Durante quantos dias, no mínimo, deverá aplicar para pagar o empréstimo e 
continuar aplicando ? 
Observação : Considerar os juros simples 
(A) 40 (B) 43 (C) 45 
(D) 47 (E) 50 
 
08 
O conjunto solução da equação 24x	
  	
  	
  x =+− , é : 
(A) Unitário de elemento par. 
(B) Unitário de elemento ímpar e primo. 
(C) Unitário de elemento ímpar não primo. 
(D) Binário. 
(E) Vazio. 
09 
A soma dos valores de y que pertencem ao conjunto solução do sistema 
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=+
=−
5x2y
x8xxy 22
 é 
(A) 
2
1
− (B) 
2
13 (C) 
2
23 
(D) 
2
9
 (E) Infinita 
 
10 
O resultado mais simples para a expressão ( ) ( )4 24 2
748748 −++ é: 
(A) 32 (B) 4 34 (C) 4 
(D) 72 (E) 734734 −++ 
 
11 
O conjunto verdade da inequação 
2x3x
2x
xx
1
22 +−
−
≤
−
 é: R 
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(A) { }1	
  	
  xou	
  	
  0	
  x	
  	
  |Rx >∈ 
(E) { }2	
  	
  xe	
  	
  1	
  	
  	
  x,0x ≠≠> 
 
12 
Sendom e n as raízes da equação 01x10x2 =+− , o valor da expressão 33 n
1
m
1
+ é: 
(A) 970 (B) 950 (C) 920 
(D) 900 (E) 870 
 
 
13 
Um aluno encontrou zero para o valor numérico da expressão y45x2yx 22 ++−+ . Pode-se concluir 
que os valores pelos quais substituiu as variáveis x e y são tais que sua soma é: 
(A) 2− (B) 1− (C) 0 
(D) 1 (E) 2 
 
14 
Um polígono regular admite para medida de suas diagonais apenas os números 27321 n,...,n,n,n tais 
que .n...nnn 27321 ∈
2
3	
  	
  x\RX 
(C) R 
(D) { }2x\RX −>∈ 
(E) 
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧20k == (B) 6p	
  	
  e	
  	
  10k == (C) 3p	
  	
  e	
  	
  10k == 
(D) 20p	
  	
  e	
  	
  3k == (E) 10p	
  	
  e	
  	
  3k == 
 
13 
Considere que, ao congelar-se, a água aumenta de 
15
1
 do seu volume . Quantos litros de água obtém-
se quando se descongela um bloco de gelo de m50,0 de comprimento, m30,0 de largura e m40,0 
de altura ? 
(A) 56 (B) 25,56 (C) 5,56 
(D) 60 (E) 64 
 
14 
Considere a equação do primeiro grau em "x" : m x m x2 3 9+ = + .Pode-se afirmar que a equação 
tem conjunto verdade unitário se : 
(A) 3m= (B) 3m −= (C) 3m −≠ 
(D) 3m≠ (E) 3m	
  	
  e	
  	
  3m −≠≠ 
 
15 
A soma das raízes da equação de raízes reais mx nx p4 2 0+ + = , 0m≠ é : 
(A) 0 (B) 
m
n
− (C)
m
n2
− 
(D) 
m
p
 (E) 
m
p
− 
 
16 
Num certo país, o governo resolveu substituir todos os impostos por um imposto único, que seria, no 
caso dos salários, de %20 sobre os mesmos. Para que um trabalhador receba, após o desconto, o 
mesmo salário que recebia antes, deverá ter um aumento sobre o mesmo de: 
(A) %15 (B) %20 (C) %25 
(D) %40 (E) %50 
 
17 
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Os raios de dois círculos medem m	
  15 e m	
  20 e a distância dos seus centros tem m	
  35 . O 
segmento da tangente comum, compreendido entre os pontos de contato , mede em metros : 
(A) 5 3 (B) 10 3 (C) 12 3 
(D) 15 3 (E) 20 3 
 
 
 
18 
 Se 
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
−>
+
− 
 
 
 
19 
Efetuando-se 
y2
x2:
4y4y
xx44
y2
x
2
2
+
−
++
+−
+
+
 , encontra-se 
(A) 
y2
x
+
 (B) 
x
y
+
+
2
2
 (C) 
2y
2
+
 
 (D) 
2y
x2
+
 (E)
2y
x2
+
−
 
 
20. 
A área esquematizada abaixo representa um pátio para estacionamento de veículos. Reservando-se 
um espaço retangular mínimo de 2 veículos . Reservando-se um espaço retangular mínimo de 2 
metros por 3 metros para cada um , quantos veículos no máximo pode-se ali estacionar ? 
 
(A) 1150 
 
(B) 1155 
 
(C) 1160 
 
(D) 1166 
 
(E) 1170 
 
 
100m 
70
 m
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Colegio Naval 1994 
 
01 
Um retângulo é obtido unindo-se os pontos médios dos lados de um trapézio retângulo ABCD de 
bases 32AB = e 8CD = . A altura BC é igual a : 
(A) 8 (B) 10 (C) 12 
(D) 16 (E) 20 
 
02 
 O trinômio kx14xy 2 +−= , onde k é uma constante real positiva, tem duas raízes reais distintas. A 
maior dessas raízes pode ser : 
(A) 4 (B) 6 (C) 11 
(D) 14 (E) 17 
 
03 
Seja P o produto de 3 números positivos. Se aumentarmos dois deles de %20 e diminuirmos o 
outro de %40 , teremos que P : 
(A) não se altera (B) aumenta de %6,13 (C) aumenta de %10 
(D) diminui de %10 (E) diminui de %6,13 
 
04 
Sabendo-se que a seguinte identidade 
x
b
y
a
y.x
ybxa
+=
⋅
⋅+⋅
 é verdadeira para quaisquer número reais a
, b , 0x ≠ e 0y ≠ , o valor de 
5250
13
86
13
64
13
42
13
⋅
+⋅⋅⋅+
⋅
+
⋅
+
⋅
 
é igual a : 
(A) 
16
25
 (B) 
12
25
 (C) 
8
25
 
(D) 
4
25
 (E) 
2
25
 
 
05 
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A que distância do vértice de um triângulo eqüilátero de lado igual cm	
  6 
deve-se traçar uma reta paralela à base, de forma que o quadrilátero assim 
obtido seja circunscritível ? 
(A) cm	
  3 (B) cm	
  32 (C) cm	
  33 
(D) cm	
  34 (E) cm	
  35 
 
 
 
 
06 
Um triângulo de vértices A , B e C , retângulo em A , os catetos AB e AC medem respectivamente 
cm	
  36 e cm	
  6 . Traça-se o segmento AN , com M pertencente e interno ao segmento BC . 
Sabendo-se que ângulo MAC∠ mede º15 , a razão entre as áreas dos triângulos AMC e ABC é : 
(A)
2
13 +
 (B) 
2
13 −
 (C)
2
32 +
 (D)
2
32 −
 
 (E) impossível de se determinar com apenas esses 
 dados . 
07 
Sobre o conjunto solução em R da equação ( ) 3x1x2 2 −=+ , podemos afirmar que : 
(A) é unitário cujo elemento é positivo . 
(B) possui dois elementos em que é racional e outro irracional . 
(C) é vazio. 
(D) é unitário cujo elemento é negativo . 
(E) possui dois elementos irracionais . 
 
08 
Um capital C foi aplicado a uma taxa mensal numericamente igual ao capital. Quantos meses são 
necessários para que os juros simples sejam iguais ao quadrado do capital ? 
(A) 20 (B) 50 (C) 100 
(D) 200 (E) 400 
 
09 
Analise as afirmativas abaixo : 
( I ) se xx4x2 >− , então 5x > . 
(II) se 01x2 >− então 1x > . 
(III) se 1x3x +=− , então x só pode ser igual a 1. 
(IV) 6x
6x
36x2
+=
−
−
 para todo x real . 
Assinale a alternativa correta : 
(A) Todas as afirmativas são corretas. . 
(B) Apenas as afirmativas I, II e III são corretas. 
(C) Apenas as afirmativas III e IV são corretas. 
(D) Somente a afirmativa I é correta. 
(E) Nenhuma das afirmativas é correta . 
10 
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Um polígono regular convexo tem seu número de diagonais expresso por 8n10n2 +− , onde n é o 
seu número de lados . O seu ângulo interno x é tal que : 
(A) º120x 
 
11 
Os números a , b e c são inteiros não nulos , tais que : 
⎩
⎨
⎧
=++
=++
0cb16a256
0cb12a144
, logo c.a4b2 ⋅⋅− pode ser 
(A) 151 (B) 152 (C) 153 
(D) 154 (E) 155 
 
12 
Resolvendo-se a expressão 
2
1
5,092
3...666,0
49
1
9248
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−+
, encontra-se 
(A) 1 (B) 2 (C) 3 
(D) 4 (E) 5 
 
13 
Na figura abaixo, 
___
PA é uma secante ao círculo, 
___
PT é uma tangente ao círculo e 
___
BC é uma corda do 
círculo. Qual das relações abaixo sempre será válida ? 
(A) 
___
____
____
___
PA
PT
PT
PD
= 
(B) 
___
____
____
___
AD
PT
PT
PD
= 
(C) 
___
___
___
___
DI
AI
BI
CI
= 
(D) 
___
___
___
____
PI
IG
CI
PT
= 
(E) 
___
___
___
___
PA
CI
BI
PD
= 
14 
Sejam 
yx
yx
M
+
⋅
= , onde x e y são reais positivos, logo M é : 
(A) o quociente entre a média geométrica e a média aritmética de x e y . 
(B) a metade do quociente entra média geométrica e a média aritmética de x e y 
(C) a média aritmética dos inventos de x e y . 
(D) a média harmônica de x e y . 
(E) a metade da média harmônica de x e y . 
 
15 
Calcule a soma dos cubos das raízes da equação 01xx2 =−+ . 
(A) 1 (B) 4− (C) 3− 
(D) 8− (E) 6− 
 
16 
 
C 	
   T	
  
A	
   B	
  
I
 A 
D
D
 A 
P
 A 
 
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 A fração 
455
312
 é equivalente à fração irredutível 
b
a
, logo ba + é igual a (A) 53 (B) 
55 (C) 57 
(D) 59 (E) 61 
 
17 
A equação 05kx8x 224 =−+− , onde k é um número inteiro, tem 4 raízes reais . A soma dos 
valores absolutos de k é : 
(A) 13 (B) 14 (C) 15 
(D) 16 (E) 17 
 
18 
Num concurso, cada candidato fez uma prova de Português e uma de Matemática. Para ser aprovado, 
o aluno tem que passar nas duas provas. Sabe-se que o número de candidatos que passaram em 
Português é o quádruplo do número de aprovados no concurso: dos que passaram em Matemática é o 
triplo do número de candidatos aprovados no concurso: dos que não passaram nas duas provas é a 
metade do número de aprovados no concurso: e dos que fizeram o concurso é 260 . Quantos 
candidatos foram reprovados no concurso? 
(A) 140 (B) 160 (C) 180 
(D) 200(E) 220 
 
 
 
 
19 
Qual deverá ser o menor número inteiro que somado a cada um dos números 6 , 8 e 14 , obtém-se 
as medidas dos lados de um triângulo em que o ortocentro está no seu interior ? 
(A) 9 (B) 10 (C) 11 
(D) 12 (E) 13 
 
20. O quociente entre a maior e a menor raiz da equação 
4
17
x
x
x
9 8
9 =+ é : 
(A) 272 (B) 322 (C) 362 
(D) 452 (E) 542 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Colégio Naval 1995 
01 
Sejam os triângulos ABC e MPQ , tais que: 
 I - º90ACDMPQ == 
 II - º70PQM= 
 III - º50BAC = 
 IV - MPAC = 
Se xPQ = e yBC = ,então AB é igual a: 
(A) yx + (B) 22 yx + (C) 
( )2yx
xy2
+
 
(D) 
yx
xy2
+
 (E) yx2 + 
 
02 
No triângulo ABC , retângulo em A , da figura, cAB = , bAC = , 2AM= e AH e a altura relativa ao 
lado BC . Qual é a área do triângulo AHM ? 
(A) 22 cb
bc
+
 
(B) 22
22
cb
cb
+
 
(C) 22
2
cb
bc
+
 
 
(D)
22
22
cb
cb
+
 
(E)
22 cb
bc
+
 
 
 
A 
M 
H 
C B 
 
 
03 
O quociente da divisão de 
( ) 3333 cbacba −−−++ por ( ) ( )[ ]abbaccba 2 ++++ é: 
(A) 1 (B) 2 (C) 3 
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(D) 4 (E) 5 
 
 
 
 
 
04 
Considere a equação do grau	
  2o em x tal que 0cbxax2 =++ , onde a , b e c são números reais 
com "a" diferente de zero. Sabendo que 2 e 3 são as raízes dessa equação, podemos afirmar que: 
(A) 0c2b5a13 =++ (B) 0cb3a9 =−+ (C) 0b2a4 =− 
(D) 0ba5 =− (E) 0cb6a36 =++ 
 
05 
Sejam KLABCDEFGHIJ os vértices consecutivos de um regular	
  dodecágono num círculo de raio 6 . 
O perímetro do triângulo de vértices AEH é igual a: 
 
(A) [ ]3233 ++ (B) [ ]3213 ++ (C) [ ]32213 ++ 
 
(D) [ ]33223 ++ (E) [ ]32213 +− 
 
06 
Sabendo-se que a velocidade para rebobinar uma fita de vídeo é 
3
52
 da normal, qual o tempo gasto 
para rebobinar uma fita de um filme de 156 minutos? 
(A) 5 (B) 6 (C) 7 
(D) 8 (E) 9 
 
07 
Considere as afirmativas sobre o triângulo ABC : 
I - Os vértices B e C são eqüidistantes da mediana M	
  	
  .AM é o ponto médio do segmento BC ; 
II - A distância do baricentro G ao vértice B é o dobro da distância de G ao ponto N , médio do 
segmento AC ; 
III - O incentro 1 é eqüidistante dos lados do triângulo ABC ; 
IV - O circuncentro S é eqüidistante dos vértices 	
  B	
  	
  ,A e C . 
O número de afirmativas verdadeiras é: 
(A) 0 (B) 1 (C) 2 
(D) 3 (E) 4 
 
08 
Na figura, AT é tangente ao círculo, TC e BD são as cordas que interceptam no ponto E . Sabe-se 
que existe a relação ( )2222 dc4c4ab2dc +=+++ . O valor de x é: 
(A) 
2
dc +
 
(B) 
3
dc +
 
(C) 
4
dc2 +
 
 
(D) 
8
d2c +
 
 
(E) 
6
d4c3 +
 
 
 
T 
A 
D 
E 
C B 
a 
x 
c 
b d 
 
 
09 
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Na figura, o triângulo ABC é retângulo em A , o ponto O é o centro do semi-círculo de raio r , 
tangente aos lados AB e AC . Sabendo-se que 3rOB = , a área do triângulo ABC é dada por: 
(A) ( )422
3
r2
+ 
(B) ( )432
4
r 2
+ 
(C) ( )223
4
r 2
+ 
(D) ( )423
4
r2
+ 
(E) ( )434
3
r2
+ 
 
 
C B 
O 
 A 
 
 
 
 
 
 
 
 
10 
Num depósito estão guardadas 300 folhas de compensado de espessura mm0,5 e cm5,1 , 
respectivamente, formando uma pilha com m35,2 de altura. Qual é a soma dos algarismos do número 
que expressa a quantidade de folhas mm0,5 ? 
(A) 5 (B) 6 (C) 7 
(D) 8 (E) 9 
 
11 
Quantos valores do K ∈Z existem, tais que, 
1K
7K113
+
+⋅
é um número inteiro? 
(A) 4 (B) 5 (C) 6 
(D) 7 (E) 8 
 
12 
Um comerciante aumentou o preço de uma mercadoria em %25 . Contudo a procura por essa 
mercadoria continuou grande. Então ele fez um novo aumento de %10 . Como o preço ficou muito alto, 
a mercadoria encalhou e, além disso, o prazo de validade estava vencendo. Finalmente fez um 
desconto para que o preço voltasse no valor inicial. Esse último desconto: 
(A) foi de %35 
(B) ficou entre 35%	
  	
  	
  e	
  	
  %30 
(C) ficou entre 28%	
  	
  e	
  	
  %27 
(D) foi de %25 
(E) ficou entre 25%	
  	
  e	
  	
  22% 
 
13 
Sejam 1C e 2C dois círculos ortogonais de raios 1R e 2R . A distância entre os centros é π . A soma 
das áreas dos círculos é igual a: 
(A) 
2
3 2π
 (B) 
4
2π
 (C) 2π 
(D) 3π (E) 
4
5 2π
 
14 
Dadas as operações : yxy#x	
  	
  	
  ,yxy*x −=+= e yxyx =Δ ; o valor da expressão 
( )[ ] ( )[ ] ( )( )[ ]{ }24#2*105#2*3*12#8*2 ΔΔ 
(A) não é real (B) é igual a 1− (C) é igual a 2− 
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(D) é igual a 3− (E) é igual a 4− 
 
 
15 
Dadas as afirmativas a seguir: 
1- ( )( )( )1x1x1x1x 25 −+−≡− 
2- ( ) ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
+⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
−
+−≡− 1x
2
51
x1x
2
51
x1x1x 225 
3- ( )( )1xxxx1x1x 2345 ++++−≡− 
4- ( )( )1x1x1x 235 −+≡− 
5- ( )( )( )( )( )1x1x1x1x1x1x5 −+−+−≡− 
Quantas são verdadeiras ? 
(A) 1 (B) 2 (C) 3 
(D) 4 (E) 5 
 
16 
Se abelhas	
  K , trabalhando ano	
  do	
  meses	
  K , durante mês	
  do	
  dias	
  K e durante diapor	
  	
  horas	
  K , 
produzem mel	
  de	
  litros	
  K ; então o número de litros de mel produzidos por abelhas	
  W , trabalhando 
diapor	
  	
  horas	
  W , em dias	
  W e em ano	
  do	
  meses	
  W será : 
(A) 2
3
W
K
 (B) 3
5
K
W
 (C) 3
4
W
K
 
(D) 3
3
K
W
 (E) 3
4
K
W
 
 
17 
Os raios das rodas dos carros A , B e C , inscritos em uma corrida, são respectivamente iguais a 
x2	
  	
  ,x e x3 . Quantos quilômetros, respectivamente, percorrerão os três carros, se desenvolverem uma 
velocidade de h
km80 durante 4 horas? 
(A) 960	
  	
  e	
  	
  640	
  320, (B) 960	
  	
  e6,4	
  	
  	
  240, (C) 80	
  	
  e	
  	
  160	
  320, 
(D) 320	
  	
  e	
  	
  320	
  ,320 (E) 100	
  	
  e	
  	
  320	
  ,640 
 
18 
Sabendo-se que o resultado de 14123...101112 +×××××× e divisível por 13 , qual o resto da divisão 
do número 123...1213 ××××× por 169 ? 
(A) 143 (B) 149 (C) 153 
(D) 156 (E) 162 
 
 
19 
Sobre o número 
8192
1937
 podemos afirmar que é: 
(A) uma dízima periódica simples 
(B) uma dízima periódica composta 
(C) um decimal exato com 12 casas decimais 
(D) um decimal exato com 13 casas decimais 
(E) um decimal exato com 14 casas decimais 
 
20 
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Sejam D	
  	
  e	
  	
  C	
  	
  B,	
  	
  ,A números naturais maiores que 1. Para que a igualdade 
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
D
C
A
B
D
C
B
A
, seja 
verdadeira, é necessário que : 
(A) 
D
CB
A
3
2 = (B) ADCB 2 = (C) 444 CBA = 
(D) 
C
B
D
A
2
2
= (E) 23 CB = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Colégio Naval 1996 
01 
Três pessoas resolveram percorrer um trajeto da seguinte maneira: a primeira andaria a metade do 
percurso mais km	
  1 , a segunda a metade do que falta mais km	
  2 e finalmente a terceira que andaria a 
metade do que resta mais km	
  3 . O número de quilômetros desse trajeto é: 
(A) menor que 20 
(B) Maior que 19e menor que 25 
(C) Maior que 24 e menor que 30 
(D) Maior que 29 e menor que 35 
(E) Maior que 34 
 
02 
Numa cidade, %28 das pessoas têm cabelos pretos e %24 possuem olhos azuis. Sabendo que 65%
da população de cabelos pretos têm olhos castanhos e que a população de olhos verdes que têm 
cabelos pretos é %10 do total de pessoas de olhos castanhos e cabelos pretos, qual a porcentagem, do 
total de pessoas de olhos azuis, que tem os cabelos pretos? 
Obs.: Nesta cidade só existem pessoas de olhos azuis, verdes ou castanhos. 
(A) %25,30 (B) %25,31 (C) %25,32 
(D) %25,33 (E) %25,34 
 
03 
Os números naturais M e N são formados por dois algarismos não nulos. Se os algarismos de M são 
os mesmos algarismos de N , na ordem inversa, então NM+ é necessariamente múltiplo de: 
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(A) 2 (B) 3 (C) 5 
(D) 7 (E) 11 
 
04 
Uma pessoa comprou uma geladeirapara pagamento à vista, obtendo um desconto de %10 . Como a 
balconista não aceitou o seu cheque, ele pagou com 565.119 moedas de um centavo. O preço da 
geladeira sem desconto é: 
(A) 20,284.1$R (B) 50,284.1$R 
(C) 25,328.1$R (D) 50,328.1$R 
(E) 25,385.1$R 
 
05 
Foram usados os números naturais de 26 até 575 inclusive para numerar as casas de uma rua. 
Convencionou-se colocar uma lixeira na casa que tivesse 7 no seu número. Foram compradas 55 
lixeiras, assim sendo, podemos afirmar que : 
(A) O número de lixeiras compradas foi igual ao número de lixeiras necessárias 
(B) Sobraram duas lixeiras 
(C) O número de lixeiras compradas deveria ser 100 
(D) Deveriam ser compradas mais 51lixeiras 
(E) Ficaram faltando 6 lixeiras 
06 
Um aluno declarou o seguinte, a respeito de um polígono convexo P de n lados: “Partindo da premissa 
de que eu posso traçar ( )3n− diagonais de cada vértice de P , então, em primeiro lugar, o total de 
diagonais de P é dado por ( )3n.n − ; e, em segundo lugar, a soma dos ângulos internos de P é dada por 
( )3n− º180. . Logo o aluno: 
(A) Errou na premissa e nas conclusões 
(B) Acertou na premissa e na primeira conclusão, mas errou na segunda conclusão. 
(C) Acertou na premissa e na segunda conclusão, mas errou na primeira conclusão. 
(D) Acertou na premissa e nas conclusões 
(E) Acertou na premissa e errou nas conclusões 
 
07 
A solução da equação 
x4
1x1x =−+ é: 
(A) Uma dízima periódica 
(B) Um nº natural, quadrado perfeito. 
(C) Um nº racional cujo inverso tem 4 divisores positivos 
(D) Um nº irracional 
(E) Inexistente 
 
08 
As quatro circunferências da figura abaixo têm raios 5,0r = . O comprimento da linha que as 
envolve é aproximadamente igual a : 
 
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(A) 96,6 
 
(B) 96,7 
 
(C) 96,8 
 
(D) 96,9 
 
(E) 96,10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
09 
Considere a figura abaixo, o triângulo ABC de lados 8AB = , 10AC = e 12BC = e seja H o seu 
ortocentro. As retas que passam por A e H , B e H , C e H intersectam o círculo circunscrito ao 
triângulo nos pontos D	
  	
  e	
  	
  E	
  	
  ,F , respectivamente. A área do hexágono de vértices E	
  	
  e	
  	
  C	
  F,	
  B,	
  D,	
  A, é 
igual a: 
(A) 730 
 
(B) 718 
 
(C) 80 
 
(D) 70 
 
(E) 65 
 
 
F 
B 
D 
A 
E 
C 
H 
 
10 
O número de troncos de árvore de 3m3 de volume cada, que foram necessários derrubar para fazer os 
palitos de fósforos, que estão em 200.1 containeres, cada um com 000.12 pacotes com 10caixas de 
40 palitos cada, é: 
Dado: Considerar cada palito com 3mm200 de volume. 
(A) 152.1 (B) 876 (C) 576 
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(D) 498 (E) 384 
 
11 
Dados os números: 
51273849,0A = 
27384951,0B = 
49512738,0C = 
38495127,0D = 
95127384,0E = 
...9897128882738495127,0F = 
Podemos afirmar que: 
(A) BDCEFA >>>>> 
(B) ECDBFA >>>>> 
(C) EABDCF >>>>> 
(D) DEFACB >>>>> 
(E) BFDCAE >>>>> 
 
 
12 
Considere as seguintes inequações e suas respectivas resoluções, nos reais : 
 
1a) .7x6x31 +>+ 
 Solução : 2x	
  	
  	
  ;3/6x	
  	
  ;6x3	
  	
  ;6x3	
  	
  ;17x6x3 −>−>−>−>−−>− 
2ª) 1x	
  	
  ;3/3x	
  	
  ;3x3	
  	
  ;3x2x5	
  	
  ;x23x5	
  	
  ;2x/35 >>>>−+>+> 
3ª) 2x	
  	
  ;4x	
  	
  ;4x	
  	
  ;04x 22 ±>±>>>− 
Logo a respeito das soluções, pode-se afirmar que: 
(A) As três estão corretas 
(B) As três estão erradas 
(C) Apenas a 1 a e 2 a estão erradas 
(D) Apenas a 1 a e 3 a estão erradas 
(E) Apenas duas estão corretas 
 
13 
O ponto P interno ao triângulo ABC é eqüidistante de dois de seus lados e dois de seus vértices. 
Certamente P é a interseção de: 
(A) Uma bissetriz interna e uma altura desse triângulo 
(B) Uma bissetriz interna e uma mediatriz dos lados desse triângulo 
(C) Uma mediatriz de um lado e uma mediana desse triângulo 
(D) Uma altura e uma mediana desse triângulo 
(E) Uma mediana e uma bissetriz interna desse triângulo 
 
 
14 
A soma e o produto das raízes reais da equação ( ) ( ) 066x5x56x5x 222 =++−−+− , são 
respectivamente: 
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(A) 8	
  	
  e	
  	
  6 (B) 10	
  	
  e	
  	
  7 (C) 12	
  	
  e	
  	
  10 
(D) 16	
  	
  e	
  	
  15 (E) 20	
  	
  e	
  	
  15 
 
15 
O valor da expressão 
( )
( )[ ] 12
5,0
1,013
2
92
1
15
3
117612
2
16
1
−
−
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡ ++−
++⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ é: 
(A) 10 (B) 11 (C) 12 
(D) 13 (E) 14 
 
16 
Na figura abaixo, tem-se um semicírculo de centro O e diâmetro AD e os semicírculos de diâmetros 
CD,BC,AB e os centros 21 O,O e 3O , respectivamente. Sabendo-se que CDBCAB == e que 
RAO = , a área hachurada é igual a : 
(A) 
( )
4
33R2 π−
 
(B) ( )π+π
32
16
R2
 
 
(C) ( )π−36
8
R 2
 
(D) 
( )
24
235R2 π−
 
 
(E) 
4
R 2π
 
 
 
B C 
D A 
O1 
O3 
O2 
 
17 
Considere o sistema linear S , de incógnita x e y : 
⎩
⎨
⎧
=+
=+
222
111
cybxa
cybxa
:S 
 Se os pares ordenados ( ) ( )5,3y,x −= e ( ) ( )3,2y,x −= são soluções de S , então: 
(A) ( )7,3− também é solução de S 
(B) ( )7,3 − também é solução de S 
(C) S só tem as duas soluções apresentadas 
(D) S só tem mais uma solução além das apresentadas 
(E) Qualquer par ordenado de números reais é solução de S 
 
18 
O valor de 
( )
( )[ ] 532
1
115322
25323
2 ++
−
−+++
+++
 é: 
 
(A) 
12
15243 −+
 (B)
12
532 ++
 (C)
24
302332 −+
 
(D) 
24
302332 −+
 (E) 
24
3042332 ++ 
19 
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Quantos triângulos obtusângulos existem, cujos lados são expressos por números inteiros 
consecutivos? 
(A) um (B) dois (C) três 
(D) quatro (E) cinco 
 
20 
Um quadrilátero de bases paralelas B e b , é dividido em dois outros semelhantes pela sua base 
média, caso seja, necessariamente, um: 
(A) paralelogramo (B) trapézio retângulo 
(C) trapézio isósceles (D) trapézio qualquer 
(E) losango 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Colégio Naval 1997 
01 
Dois segmentos de uma reta, AB e CD , interceptam-se interiormente no ponto O . Sabe-se que as 
medidas de AO e CB são respectivamente, cm3 e cm4 , e que as medidas de CO e OD são, 
respectivamente, cm2 e cm6 . Qual o número de pontos do plano, determinado por AB e CD , que 
eqüidistam dos pontos C,B,A e D ? 
(A) zero (B) um (C) dois 
(D) três (E) initoinf 
 
02 
Na figura abaixo os segmentos AB e DA são tangentes à circunferência determinada pelos pontos 
C	
  	
  ,B e D . Sabendo-se que os segmentos AB e CD são paralelos, pode-se afirmar que o lado BC é: 
(A) a média aritmética entre AB e 
CD . 
(B) a média geométrica entre AB 
e CD . 
(C) a média harmônica entre AB 
e CD . 
(D) o inverso da média aritmética 
entre AB e CD . 
(E) o inverso da média harmônica 
entre AB e CD . 
 
C 	
  
B	
  
D 	
  
A	
  
 
 
03 
Duas raízes da equação biquadrada 0cbxx 24 =++ são ...2333,0 e 7
30 . O valor de c é: 
(A) 1 (B) 3 (C) 5 
(D) 7 (E) 11 
 
04 
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Um baleiro vende dois tipos de balas : 1b e 2b . Três balas do tipo 1b custam 10,0$R e a unidade de 
bala 2b custa 15,0$R . No final de um dia de trabalho, ele vendeu 127balas e arrecadou 75,5$R . O 
número de balas do tipo 1b vendidas foi: 
(A) 114 (B) 113 (C) 112 
(D) 111 (E) 110 
 
 
05 
Define-se potência de um ponto P em relação a um círculo C , dentro O e raio r , como sendo o 
quadrado da distância de P a O , menos o quadrado de r . Qual é a potência de um dos vértices do 
hexágono regular circunscrito a um círculo de raio r , em relação a este círculo? 
(A) 3
r2 2
 (B) 2
r 2 (C) 3
r 2 
(D) 4
r 2 (E) 6
r 2 
 
06 
Um vendedor comprou 50 camisetas por 00,425$R . Quantas camisetas, no mínimo, deverá vender 
a 00,11$R cada, para obter lucro ? 
(A) 37 (B) 38 (C) 39 
(D) 40 (E) 41 
 
 
 
 
 
07 
Uma cafeteira elétrica tem, no recipiente onde se coloca a água, um mostrador indicando de 
cafezinhos	
  20	
  	
  a	
  	
  1 . O tempo%62 
 
06 
Marcar a frase certa: 
(A) O ortocentro de qualquer triângulo é o ponto de interseção de suas medianas. 
(B) O baricentro de qualquer triângulo é eqüidistantes dos seus vértices. 
(C) Os ângulos opostos de qualquer quadrilátero inscritível são complementares. 
(D) As diagonais de todo retângulo são iguais e perpendiculares. 
(E) O incentro de qualquer triângulo é eqüidistante dos três lados do triângulo. 
 
07 
Duas retas paralelas são cortadas por uma terceira reta de modo que dois ângulos 
colaterais internos são dados, em graus, pelas expressões ( )20x10A +=∠ e ( )20x6B −=∠ . 
Calcular B∠ . 
(A) 20'	
  º62 (B) 12'	
  º52 (C) 30'	
  º47 
(D) 30'	
  º67 (E) 15'	
  º72 
 
08 
A razão entre o raio do círculo inscrito para o raio do círculo circunscrito ao mesmo triângulo 
equilátero é: 
(A) 
3
3 (B) 
3
1 (C) 
3
2 
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(D) 
2
1 (E) 
2
3 
 
08 
Em um triângulo retângulo a projeção de um cateto de cm	
  18 sobre a hipotenusa mede 
cm	
  8,10 . Calcular o comprimento da circunferência circunscrita a esse triângulo. 
(A) cm	
  30 π (B) cm	
  18π (C) cm	
  26 π 
(D) cm	
  4,32 π (E) cm	
  60 π 
 
09 
Achar a área do trapézio retângulo que tem um ângulo interno de º45 e bases cm	
  10 e cm	
  8 
(A) 2cm	
  36 (B) 2cm	
  16 (C) 2cm	
  220 
(D) 2cm	
  218 (E) 2cm	
  39 
 
10 
Calcular o ângulo interno do polígono regular em que o número de diagonais excede de 3
unidades o número de lados 
(A) º60 (B) º72 (C) º108 
(D) º150 (E) º120 
 
11 
A área de um losango é 2cm	
  120 . Calcular o seu perímetro, sabendo que uma das diagonais 
vale cm	
  10 . 
(A) cm	
  48 (B) cm	
  52 (C) cm	
  60 
(D) cm	
  40 (E) cm	
  76 
 
12 
Dividindo-se um círculo de cm	
  8 de raio em duas partes equivalentes, por meio de uma 
circunferência interior ao círculo, qual será o raio do círculo inferior ? 
(A) cm	
  4 (B) cm	
  2 (C) cm	
  24 
(D) cm	
  22 (E) cm	
  8,4 
 
13 
Sobe os lados de um hexágono regular de cm	
  4 de lado, e exteriormente a ele, 
constroem-se quadrados, de modo que cada quadrado tenha um lado em comum com o 
hexágono. Calcular a área do dodecágono cujos vértices são os vértices dos quadrados que 
não são vértices do hexágono: 
(A) ( ) 2cm	
  2348 + (B) ( ) 2cm	
  2350 + (C) ( ) 2cm	
  4324 + 
(D) 2cm	
  192 (E) 2cm	
  36 
 
14 
O valor numérico de ( )( )
20x5
6x34x2
2 −
+− : 
(A) depende do valor dado x 
(B) é maior que 5 , para x maior que 3 
(C) é menor que 2 , para x menor que 1 
(D) é nulo para 0x = 
(E) é sempre o mesmo, para 2x ≠ 
 
15 
O resto da divisão de 1xx 23 +− por 2x − é: 
(A) 4 (B) 5 (C) 3 
(D) 2− (E) 5− 
 
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16 
O M.D.C. dos polinômios x6x5x 23 +− e x2x3x 23 +− é : 
(A) x3x2 − (B) x2x2 − (C) x2x2 + 
(D) 2x − (E) x 
 
17 
O número 38 é dividido em duas parcelas. A maior parcela dividida pela menor dá 
quociente 4 e resto 3 . Achar o produto dessas duas partes : 
(A) 240 (B) 136 (C) 217 
(D) 105 (E) 380 
 
18 
Sabendo que na equação 017Bxx2 =−+ é positivo e que as raízes são inteiras, achar a 
soma das raízes : 
(A) 17 (B) 16 (C) 17− 
(D) 10− (E) 16− 
 
19 
Dar a soma das raízes da equação 24x234x2 4 −=−−− 
(A) 5,12 (B) 5,11 (C) 7 
(D) 5,7 (E) 0 
 
20 
Resolver a inequação 0
4x5x
16x5x
2
2
>
−+
++ 
(A) impossível (B) qualquer x real 
(C) 2x 
 
21 
O valor mínimo do trinômio pbxx2y 2 ++= ocorre para 3x = . Sabendo que um dos valores 
de x que anulam esse trinômio é o dobro do outro, dar o valor de p . 
(A) 32 (B) 64 (C) 16 
(D) 128 (E) 8 
22 
A equação 1
1x
3x
1x
2
2 −=
+
+
−
−
 : 
(A) tem duas raízes de sinais contrários 
(B) tem só uma raiz positiva 
(C) tem uma raiz nula 
(D) é impossível 
(E) tem só uma raiz negativa 
23 
Dar os valores de m, na equação 04mx2mx2 =+− , para que as suas raízes tenham o 
mesmo sinal 
(A) 0m≤ (B) 3m≥ (C) 7m≥ 
(D) 5m≤ (E) 4m≤ 
 
24 
Um recipiente é dotado de duas torneiras. A primeira torneira esvazia-o em um tempo 
inferior a outra de minutos	
  30 . Sabendo que as duas torneiras juntas esvaziam o recipiente 
em minutos	
  20 , determine em quanto tempo a primeira torneira esvazia %60 do recipiente. 
(A) minutos	
  18 (B) minutos	
  30 (C) minutos	
  15 
(D) minutos	
  20 (E) minutos	
  12 
 
 
 
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25 
Dois inteiros positivos, primos entre si x e y , satisfazem a equação 0x7xy6y 22 =−− . 
Achar a soma yx + . 
(A) 6 (B) 8 (C) 4 
(D) 10 (E) 13 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Colégio Naval 1977 
01 
O valor de 63 125,0816 ⋅ é : 
(A) 82 (B) 3 44 (C) 24 
(D) 3 22 (E) 6 24 
 
02 
Os números y	
  ,x e z são diretamente proporcionais a 9	
  ,3 e 15respectivamente. Sabendo 
que o produto desses 3 números é 960xyz = , a soma será : 
(A) 45 (B) 48 (C) 36 
(D) 72 (E) 24 
 
03 
Em uma prova realizada em uma escola, foram reprovados %25 dos alunos que a fizeram. 
Na a2 chamada, para os 8 alunos que faltaram, foram reprovados 2 alunos. A 
porcentagem de aprovação da turma toda foi de: 
(A) %23 (B) %27 (C) %63 
(D) %50 (E) %75 
 
04 
O MMC de dois números é 300 e o MDC desses números é 6 . O quociente entre o maior 
e o menor desses números : 
(A) pode ser 2 
(B) tem 4 divisores positivos 
(C) é um número primo 
(D) tem 6 divisores positivos 
(E) nada se pode afirmar 
 
05 
Um terreno regular tem o comprimento igual a 
2
3 da largura e o seu perímetro é de m	
  100 . O 
terreno foi vendido à razão de 00,000.3$R o acre e ficou combinado que a metade do preço 
seria paga na hora e a outra metade seria paga meses	
  18 depois com um juros de %8 ao 
ano. O custo total do terreno ficou em 
(A) 00,080.19$R (B) 00,800.21$R (C) 00,640.23$R 
(D) 00,800.25$R (E) 00,440.19$R 
 
06 
Assinale a frase falsa 
(A) Dois ângulos de lados respectivamente paralelos são iguais ou suplementares 
(B) O triângulo retângulo de catetos m	
  6 e m	
  8 tem a altura relativa à hipotenusa igual a 
m	
  8,4 . 
(C) Se os ângulos opostos de um quadrilátero são iguais, o quadrilátero é um paralelogramo. 
(D) A diferença entre o ângulo interno e o ângulo central de um pentágono regular é de º60 . 
(E) O hexágono regular tem 9 diagonais . 
 
07 
A medida da distância entre os centros de 2 circunferências é dada pelo número 13 e os 
raios são representados pelos números 3x4 − e 1x2 − . A soma dos valores de x inteiros 
que tornam as circunferências secantes, sendo o o1 raio maior que o o2 , é : 
(A) 6 (B) 25 (C) 13 
(D) 20 (E) 22 
 
 
 
 
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08 
Um resultado está a cm	
  23 e cm	
  3 , respectivamente, de 2 duas retas de seu plano que se 
cortam em um outro ponto que está a cm	
  6 do primeiro. O ângulo entre as retas mede: 
(A) º60 (B) º90 (C) º75 
(D) º80 (E) º83 
 
09 
Um triângulo ABC tem 2m	
  96 de área. 
___
AM e 
___
BN são duas medianas e P é o ponto de 
inserção dessas medianas. A área do triângulo PMN é de : 
(A) 2m	
  10 (B) 2m	
  8 (C) 2m	
  5,12 
(D) 2m	
  6,9 (E) 2m	
  4,6 
 
10 
A área do segmento circular determinado por uma corda de cm	
  34 em um círculo de cm	
  4 
de raio é : 
(A) 2cm	
  33
3
8
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
π (B) 2cm	
  36
3
9
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
π (C) ( ) 2cm	
  334 −π 
(D) 2cm	
  34
3
16
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
π (E) 2cm	
  32
9
16
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
π 
 
11 
A área de um triângulo equilátero inscrito em uma circunferência tem 2cm	
  600 . A área do 
hexágono regular inscrito na mesma circunferência medirá : 
(A) 2cm	
  1200 (B) 2cm	
  450 (C) 2cm	
  3600 
(D) 2cm	
  3800 (E) 2cm	
  31000gasto para fazer cafezinhos	
  18 é de minutos	
  10 , dos quais minuto	
  1 é o 
tempo gasto para aquecer a resistência. Qual o tempo gasto por essa mesma cafeteira para fazer 
cafezinhos	
  5 ? 
(A) min3 
(B) 3min	
  	
  de	
  	
  menos 
(C) 3,5min	
  	
  e	
  	
  3min	
  entre 
(D) min5,3 
(E) 3,5min	
  de	
  mais 
 
08 
O aluno Mauro, da a8 série de um certo colégio, para resolver a equação 01x2xx 24 =−+− , no 
conjunto dos números reais, observou-se que 1x2xx 24 +−= e que o segundo membro da equação é 
um produto notável. Desse modo, conclui que ( )21x2 + é igual a: 
(A) 3 (B) 4 (C) 5 
(D) 6 (E) 7 
 
09 
Dados os conjuntos A , B e C , tais que : ( ) 20CBn = , ( ) 5BAn = ( ) 4CAn = , ( ) 1CBAn = 
e ( ) 22CBAn = , o valor de ( )[ ]CBAn − é 
(A) 10 (B) 9 (C) 8 
(D) 7 (E) 6 
10 
Sejam 
( ) ( )
2
3232
x
19971997
−++
= e 
( ) ( )
3
3232
y
19971997
−−+
= , 
o valor de 22 y3x4 − é : 
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(A) 1 (B) 2 (C) 3 
(D) 4 (E) 5 
 
11 
Considere as afirmativas abaixo sobre um polígono regular de n lados, onde o número de diagonais é 
múltiplo de n . 
I - O polígono não pode ter diagonal que passa pelo seu centro. 
II - n pode ser múltiplo de 17 
III - n pode ser um cubo perfeito. 
IV - n pode ser primo 
Assinale a alternativa correta. 
(A) Todas as afirmativas são falsas. 
(B) Apenas a afirmativa II é verdadeira. 
(C) Apenas as afirmativas II e III são verdadeiras. 
(D) Apenas as afirmativas II, III e IV são verdadeiras. 
(E) Todas as afirmativas são verdadeiras. 
 
12 
O número de trapézios distintos que se obter dispondo-se de 4 , e apenas 4 , segmentos de reta 
medindo, respectivamente, cm1 , cm2 , cm4 e cm5 é : 
(A) nenhum (B) um (C) dois 
(D) três (E) quatro 
 
13 
Num triângulo ABC , retângulo em A , os lados AB e AC valem, respectivamente c e b . Seja o 
ponto G o baricentro do triângulo ABC . A área do triângulo AGC é: 
(A) 2
bc (B) 3
bc (C) 4
bc 
(D) 6
bc (E) 9
bc 
14 
A expressão 
( ) ( )
33
23332333
zy
zyxzyx
+
−−−++
, é equivalente a: 
(A) 3x4 (B) 3yx4 (C) 3zx4 
(D) 3yzx4 (E) xyz4 
 
15 
Uma roda gigante tem uma engrenagem que é composta de duas catracas, que funcionam em sentidos 
contrários. Em um minuto, a menor dá três voltas completas enquanto a maior dá uma volta. Após 
dezoito minutos de funcionamento da menor, o número de voltas da maior é: 
(A) 54 (B) 36 (C) 24 
(D) 18 (E) 9 
 
16 
Resolvendo-se a expressão 
( )
3023333333333
2,70
5
12
3
2
1
88888
1331,1
×
++++
−
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
−
 
encontra-se : 
(A) 4 (B) 3 (C) 2 
(D) 1 (E) 0 
 
17 
Considere o conjunto A dos números primos positivos menores do que 20 e o conjunto B dos 
diversos positivos de 36 . O número de subconjuntos do conjunto diferença AB − é: 
(A) 32 (B) 64 (C) 128 
(D) 256 (E) 512 
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18 
O número de soluções inteiras da inequação abaixo é: 0
1x
10x6x
2
2
 , pode-se 
afirmar que a soma dos valores possíveis para ( )BAn − é: 
(A) 10 (B) 11 (C) 12 
(D) 13 (E) 14 
 
05 
Coloque ( ) Falsa	
  	
  F ou ( ) Verdadeira	
  	
  V nas afirmativas e assinale a opção correta. 
( ) Se 4x2 = então 64x6 = 
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( ) Se 64x6 = então 2x = 
( ) ( ) 3232 22 
 
(II) 0y	
  	
  ,
y
x
y
x
≠= 
 
(III) ,yx2 > então yx > 
(A) Apenas I é falsa (B) Apenas II é falsa (C) Apenas III é falsa 
(D) I, II, III são falsas (E) Apenas I e II são falsas 
 
11 
Dois sistemas de equações lineares são equivalentes quanto toda solução de um é solução do outro e 
vice-versa. Qual é a soma dos valores de a e b , tais que os sistemas 
⎩
⎨
⎧
=+
=−
2yx
0yx
 e 
⎩
⎨
⎧
=−
=+
1aybx
1byax
 sejam equivalentes ? 
(A) 1 (B) 2 (C) 1− 
(D) 2− (E) zero 
 
 
 
 
 
12 
Se 2mnp	
  	
  	
  ,6pnm ==++ e 11npmpmn =++ , podemos dizer o valor de 
mn
p
mp
n
np
m
++ é : 
(A) 1 (B) 3 (C) 7 
(D) 18 (E) 22 
 
13 
A distância entre os centros de dois círculos de raios iguais a 5 e 4 é 41. Assinale a opção que 
apresenta a medida de um dos segmentos tangentes aos dois círculos. 
(A) 5,38 (B) 39 (C) 5,39 
(D) 40 (E) 5,40 
 
14 
Um hexágono regular ABCDEF tem lado cm3 . Considere os pontos : M, pertencente a AB , tal que 
MB é igual a cm1 ; N , pertencente a CD , tal que ND é igual a cm1 ; e P pertencente a EF , tal que 
PF é igual a cm1 ,. O perímetro, em centímetros, do triângulo MNP é igual a: 
(A) 153 (B) 173 (C) 193 
(D) 213 (E) 233 
 
15 
Dos números 
(I) ...4333,0 
(II) ...101101110,0 
(III) 2 
(IV) O quociente entre o comprimento e o diâmetro de uma mesma circunferência. 
São racionais: 
(A) Todos (B) Nenhum (C) Apenas 1 deles 
(D) Apenas 2 deles (E) Apenas 3 deles16 
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Uma cidade B encontra-se km600 a leste de uma cidade A ; e uma cidade C encontra-se km500 
ao norte da mesma cidade A . Um ônibus parte de B , com velocidade constante, em linha reta e na 
direção da cidade A . No mesmo instante e com velocidade constante igual à do ônibus, um carro, 
também em linha reta, parte de C para interceptá-lo. Aproximadamente a quantos quilômetros de A , o 
carro alcançará o ônibus ? 
(A) 92 (B) 94 (C) 96 
(D) 98 (E) 100 
 
17 
Um grupo de alunos faz prova numa sala. Se saírem do recinto rapazes	
  10 , o número de rapazes e 
moças será igual. Se em seguida, saírem moças	
  10 o número de rapazes se tornará o dobro do 
número de moças . Sendo r o número de rapazes e m o número de moças podemos afirmar que 
mr2 + é igual a: 
(A) 60 (B) 70 (C) 80 
(D) 90 (E) 100 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
18 
Considerando o gráfico abaixo referente ao trinômio do grau	
  2o cbxaxy 2 ++= , pode-se afirmar 
que: 
(A) 0c;0b;0a > 
 
(B) 0c;0b;0a > 
 
(C) 0c;0b;0a >> 0y > e )0z > ; o valor de 
( ) 3
1
zyx −⋅⋅ é: 
(A) 91999 (B) 61999 (C) 9
1
1999 
(D) 61999 − (E) 91999 − 
 
12 
Dados os casos clássicos de congruência de triângulos 0A.L.A	
  	
  LLL,	
  	
  ,A.L.A onde LadoL = , Ângulo	
  A = 
e oposto	
  ÂnguloA0 = ao lado dado, complete corretamente as lacunas das sentenças abaixo e 
assinale a alternativa correta. 
1- Para se mostrar que a mediatriz de um segmento AB é o lugar geométrico dos pontos eqüidistantes 
dos extremos B	
  	
  e	
  	
  A , usa-se o caso _______ de congruência de triângulos. 
2- Para se mostrar que a bissetriz de um ângulo ABC∠ tem seus pontos eqüidistantes dos lados 
BC	
  e	
  BA desse ângulo, sem usar o teorema da soma dos ângulos internos de um triângulo, usa-se o 
caso ______ de congruência de triângulos. 
(A) A.L.A	
  /	
  L.A.L (B) 0L.A.A	
  /	
  L.A.L (C) 0L.A.A	
  /	
  L.L.L 
(D) L.A.L	
  	
  /	
  A.A.L 0 (E) L.L.L.	
  /	
  .A.L.A 
 
13 
Em uma circunferência de raio R está escrito um regular	
  onopentadecág P . Coloque ( )V verdadeiro 
ou ( )F falso nas afirmativas abaixo: 
( ) P tem diagonal que mede R2 
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( ) P tem diagonal que mede 2R 
( ) P tem diagonal que mede 3R 
( ) P tem diagonal que mede 5210
2
R
− 
Assinale a alternativa correta: 
(A) ( ) ( ) ( ) ( )F	
  ,F	
  ,V	
  ,V . (B) ( ) ( ) ( ) ( )F	
  ,V	
  ,V	
  ,F . (C) ( ) ( ) ( ) ( )V	
  ,V	
  ,F	
  ,F(D) ( ) ( ) ( ) ( )F	
  ,V	
  ,V	
  ,V . (E) ( ) ( ) ( ) ( )V	
  ,V	
  ,V	
  ,V . 
 
14 
Uma pizza circular de raio cm30 foi dividida em 6 partes iguais para seis pessoas. Contudo, uma das 
pessoas resolveu repartir ao meio o seu pedaço, como mostra a figura acima. O valor de x é: 
a) 
3
2
10
π
 
 
b) 
3
3
10
π
 
 
c) 
3
10
π
 
d)
3
3
10
π
 
 
e)
3
5
10
π
 
 
 
X 
X 
 
 
 
 
15 
Sobre a equação 02001x2000x1999 2 =−− , a afirmação correta é: 
(A) tem duas raízes reais de sinais contrários, mas não simétricas . 
(B) tem duas raízes simétricas. 
(C)não tem raízes reais. 
(D) tem duas raízes positivas. 
(E) Tem duas raízes negativas. 
 
16 
Se 0zy3x2 =−− e 014z3yx =−+ , com 0z ≠ , o valor da expressão 22
2
zy
xy3x
+
+
 é : 
(A) 7 (B) 2 (C) 0 
(D) 
17
20
− (E) 2− 
 
17 
Uma equação biquadrada de coeficientes inteiros, cuja soma desses coeficientes é zero, tem uma das 
raízes igual a 3 . O produto das raízes dessa equação é: 
(A) 2 (B) 3 (C) 4 
(D) 5 (E) 6 
 
18 
Num círculo, duas cordas 	
  CD	
  	
  e	
  	
  AB se interceptam no ponto I interno ao círculo. O ângulo DAI∠ 
mede º40 e o ângulo CBI∠ mede º60 . Os prolongamentos de CB	
  e	
  	
  AD encontram-se num ponto 
P externo ao círculo. O ângulo APC∠ mede: 
(A) º10 (B) °20 (C) º30 
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(D) º40 (E) º50 
 
19 
As vendas de uma empresa foram, em 1998 , %60 superior às vendas de 1997 . Em relação a 1998
, as vendas de 1997 foram inferiores em : 
(A) %5,62 (B) %60 (C) %5,57 
(D) %5,44 (E) %5,37 
 
20 
O número de triângulos que podemos construir com lados medindo 	
  	
  8	
  	
  	
  ,5 e x 
 de tal forma de que o seu ortocentro seja interno ao triângulo é: 
(A) 3 (B) 4 (C) 5 
(D) 6 (E) 7 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Colégio Naval 2000 
01 
Numa prova de vinte questões, valendo meio ponto cada uma, três questões erradas anulam uma certa. Qual é a 
nota de um aluno que errou nove questões em toda essa prova? 
(A) Quatro (B) Cinco 
(C) Quatro e meio (D) Cindo e meio 
(E) Seis e meio 
 
02 
C	
  	
  B,	
  	
  ,A e D são vértices consecutivos de um quadrado e PAB é um triângulo equilátero, sendo P 
interno ao quadrado ABCD . Qual é a medida do ângulo PCB ? 
(A) º30 (B) º45 (C) º60 
(D) º75 (E) º90 
 
03 
Dois sinais luminosos fecham juntos num determinado instante. Um deles permanece segundos	
  10 
fechado e segundos	
  50 aberto, enquanto outro permanece segundos	
  10 fechado e segundos	
  40 
aberto. O número mínimo de segundos necessários, a partir daquele instante, para que os dois sinais 
voltem a fechar juntos outra vez é de: 
(A) 110 (B) 120 (C) 150 
(D) 200 (E) 300 
 
04 
Considere as afirmativas abaixo: 
(I) ( ) 68686868686868686868 2054522522102 =×=×+=×+=+ 
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(II) ( ) 6813668686868686868 52522522102 ×=×+=×+=+ 
(III) 
( ) ( )
( ) ( )23172317
2323171723172317
5322
52325232106
×+×
=×+×=×+×=+
 
Pode-se afirmar que: 
(A) apenas a afirmativa I é verdadeira 
(B) apenas as afirmativas I e III são verdadeiras 
(C) apenas a afirmativa II é verdadeira 
(D) apenas as afirmativas II e III são verdadeiras 
(E) as afirmativas I, II e III são falsas 
 
 
 
 
 
05 
Um bebedouro que usa garrafão de água tem 5,2 metros de serpentina por onde a água passa para 
gelar. Sabe-se que tal serpentina gasta 12 segundos para ficar totalmente gelada. Colocando-se um 
garrafão de 10 litros e ligando-se o bebedouro, leva-se 5 minutos para que tida a água saia gelada. 
Se nas mesmas condições fosse colocado um garrafão de 20 litros no lugar do de 10 litros, o tempo 
gasto para que toda a água saísse gelada seria de: 
(A) seg	
  36	
  	
  min	
  9 (B) seg	
  	
  48min	
  9 (C) min	
  10 
(D) seg	
  12	
  min	
  10 (E) min	
  11 
 
06 
Para se demarcar o estacionamento de todo o lado direito de uma reta, foram pintados 20 retângulos de 5,4 
metros de comprimento e 5,2 metros de largura. Sabendo-se que os carros estacionam no sentido do 
comprimento dos retângulos e da rua, e à frente e atrás de cada um dos retângulos e da rua, e a frente e atrás de 
cada um dos retângulos tem 50 centímetros de folga, qual é o comprimento, em metros, da rua? 
(A) 90 (B) 5,90 (C) 95 
(D) 100 (E) 5,100 
 
07 
O valor de
2
1
3
4
3
2
2
2
1
3
2
3
4
2 babbaa
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+ é 
(A) 
3
2
2
3
3
2
ba
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+ (B) 
2
3
2
3
3
2
ba
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+ (C) 
3
2
3
2
2
3
ba
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+ 
(D) 
2
3
3
2
2
3
ba
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+ (E) 
2
3
3
2
3
2
ba
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+ 
 
08 
Uma massa fermentada ao ser colocada para descansar ocupou uma área circular S de raio r . Após 
um certo tempo t , ela passou a ocupar uma área %21 maior que S . Qual o valor de r , em 
centímetros, para descansar durante o tempo t , em um tabuleiro circular de raio 22 centímetros? 
(A) 38,17 (B) 
11
218 (C) 20 
(D) 38,20 (E) 21 
09 
Um aluno calculou a média aritmética entre os cem primeiros números inteiros positivos, encontrando 
2
150 . Retirando um desses números encontrou como nova média aritmética 
99
2750 . O número 
retirado está entre: 
Dado: A média aritmética de n números é igual à soma desses n 
números dividida por n. 
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(A) 	
  	
  40e	
  	
  30 (B) 50	
  	
  e	
  	
  40 (C) 60	
  	
  e	
  	
  50 
(D) 70	
  	
  e	
  	
  60 (E) 80	
  	
  e	
  	
  70 
 
10 
Os pontos 	
  	
  Ye	
  	
  O	
  	
  	
  ,X são vértices de um polígono regular de n lados. Se o ângulo XOY mede 
30'	
  	
  º22 , considere as afirmativas: 
(I) 	
  n pode ser igual a 8 
(II) n pode ser igual a 12 
(III) n pode ser igual a 24 
Podemos afirmar que: 
(A) apenas I e II são verdadeiras 
(B) apenas I e III são verdadeiras 
(C) apenas uma delas é verdadeira 
(D) I, II e III são verdadeiras 
 
11 
Um comerciante comprou kobjetos idênticos por t reais, onde t é um número inteiro positivo. Ele 
contribuiu para um bazar de caridade, vendendo dois objetos pela metade do preço de custo. Os 
objetos restantes foram vendidos com um lucro de seis reais por unidade. Se o seu lucro total foi de 
setenta e dois reais, o menor valor possível para ké: 
(A) 11 (B) 12 (C) 15 
(D) 16 (E) 18 
 
12 
Suponha que 1(um) naval (símbolo n ) seja a medida de um ângulo convexo, menor que um ângulo 
reto, inscrito em um círculo de raio r , cujos lados determinam, nesse círculo, um arco de comprimento 
r . Assim sendo, a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é igual a 
(A) n
4
π (B) n
2
π (C) nπ 
(D) n2π (E) n4π 
 
 
13 
Dividindo-se o cubo de um número pelos 
3
2
do seu quadrado, acha-se 18para quociente. A raiz 
quadrada da terça parte desse número é: 
(A) 2 (B) 3 (C) 4 
(D) 5 (E) 6 
 
14 
O valor da expressão ( )
3
2
25
3
2
4
31...333,0
9
16
27
16
+
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−−+⋅+− , é 
(A) 3
3
1
− (B) 3
3
2
 (C) 0 
(D) 1 (E) 1− 
 
15 
Sejam os conjuntos A={ }Zn,3n6	
  	
  x|	
  	
  Zx ∈+=∈ e B={ }Zn,n3	
  	
  x|	
  	
  Zx ∈=∈ . Então BA ∩ é igual a: 
(A) {x � Z| x é par múltiplo de 3} 
(B) {x � Z| x é ímpar e múltiplo de 3} 
(C) {x � Z| é múltiplo de 3} 
(D) {x � Z| é múltiplo de 6} 
(E) {x � Z| é ímpar} 
 
16 
Dado:	
  Z	
  conjunto	
  dos	
  números	
  inteiros	
  
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A ligação entre as cidades A e B pode ser feitas por dois caminhos 1C e 2C . O caminho 1C é mais 
curto, porém com mais tráfegos e o caminho 2C é %14 mais longo do que o 1C mais possui tráfego 
menor, o que permite um aumento na velocidade de %20 . De quantos porcento diminuirá o tempo de 
viagem para ir de A até B usando o caminho 2C ? 
 
 
(A) 5 (B) 6 (C) 7 
(D) 8 (E) 9 
 
17 
Seja ABCD um quadrilátero qualquer onde os lados opostos NÃO são paralelos.Se as medidas dos 
lados opostos AB e DC são, respectivamente, iguais a 12e 16 , um valor possível para o segmento de 
extremos M(ponto médio do lado AD ) e N (ponto médio do lado BC ) é 
(A) 5,12 (B) 14 (C) 5,14 
(D) 16 (E) 17 
 
18 
Num gibi, um ser de outro planeta capturou em uma de suas viagens três tipos de animais. O primeiro 
tinha patas	
  4 e chifres	
  2 , o segundo tinha patas	
  2 e chifre	
  	
  	
  nenhum e o terceiro patas	
  4 e chifre	
  1 . 
Quantos animais do terceiro tipo ele capturou, sabendo que existiam cabeças	
  227 , patas	
  782 e 
chifres	
  303 ? 
(A) 24 (B) 25 (C) 26 
(D) 27 (E) 30 
 
19 
Seja xyzzyxN = um número natural escrito na base dez, onde z	
  	
  	
  ey	
  	
  	
  	
  ,x são algarismos distintos. Se 
1N e 2N são os dois maiores números divisíveis por 3 e 25 , obtidos a partir de N pela substituição 
de x , y e z , então 21 NN + é igual a 
(A) 1008800 (B) 1108800 (C) 1106650 
(D) 1157000 (E) 1209800 
 
20 
Considere três quadrados de bases AB , CD e EF , respectivamente. Unindo-se o vértice A com F , 
B com C e D com E , observa-se que fica formado um triângulo retângulo. Pode-se afirmar que: 
I - O perímetro do quadrado de maior lado é igual à soma dos perímetros dos outros dois quadrados. 
II - A área do quadrado de maior lado é igual à soma das áreas dos outros dois quadrados. 
III - A diagonal do quadrado maior é igual à soma das diagonais dos outros dois quadrados. 
Logo, apenas: 
(A) A afirmativa I é verdadeira. 
(B) A afirmativa II é verdadeira. 
(C) A afirmativa III é verdadeira. 
(D) As afirmativas I e II são verdadeiras. 
(E) As afirmativas II e III são verdadeiras. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dados:	
  considere	
  as	
  velocidades	
  sempre	
  constantes	
  e	
  as	
  maiores	
  possíveis.	
  
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Colégio Naval 2001 
01 
Considere um retângulo inscrito em um losango, conforme a figura abaixo.Se as diagonais do losango 
medem, respectivamente, cm	
  8 e cm	
  12 e a área do retângulo é 2cm	
  24 , então o perímetro deste 
retângulo, em cm , é igual a : 
(A) 28 
 
(B) 24 
 
(C) 22 
 
(D) 20 
 
(E) 18 
 
 
 
02 
Um pedaço de doce de leite tem a forma de um paralelepípedo, com seis faces retangulares, como 
indica a figura abaixo. O doce deve ser dividido totalmente em cubos iguais, cada um com mm	
  x de 
aresta. O maior valor inteiro de x é : 
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(A) 16 
 
(B) 18 
 
(C) 24 
 
(D) 30 
 
(E) 32 
 
256 mm 
96 mm 
192 mm 
 
 
03 
Marta comprou petecas, bolas e bonecas, pagando por cada unidade, respectivamente, 1,00	
  $R , 
10,00	
  $R e 20,00	
  $R . Gastou 220,00	
  $R em um total de 101 unidades desses brinquedos. Quantas 
petecas ela comprou ? 
(A) 95 (B) 93 (C) 92 
(D) 91 (E) 90 
 
 
 
04 
A mínimo múltiplo comum entre dois números naturais a e b é 360 e 3600ab = . Qual o menor 
valor que ba + pode assumir ? 
(A) 120 (B) 130 (C) 150 
(D) 200 (E) 370 
 
05 
Se 3x2 . Se o percentual de aumento que a área do hexágono 
'F'E'D'C'B'A apresenta em relação à área do hexágono original é %75 , então o valor de P é : 
(A) 25 
 
(B) 30 
 
(C) 45 
 
(D) 50 
 
(E) 75 
 
 C’ 
 E’ 
A 
 B 
 C 
 D 
 E 
 F 
 A’ 
 B’ 
 D’ 
 F’ 
 
11 
Se a é um número natural, a4a5a 35 +− é sempre divisível por : 
(A) 41 (B) 48 (C) 50 
(D) 60 (E) 72 
 
 
12 
Considere um quadrado ABCD e dois triângulos eqüiláteros ABP e BCQ , respectivamente, interno e 
externo ao quadrado. A soma das medidas dos ângulos ADP∠ , BQP∠ e DPQ∠ é igual a : 
(A) º270 (B) º300 (C) º330 
(D) º360 (E) º390 
 
 
13 
Observe a figura abaixo que representa três semi-circunferências de centros M, N e P , tangentes 
duas a duas, respectivamente, nos pontos A , B e C . Os segmentos 'MM , 'NN , 'BB e 'PP são 
perpendiculares à reta r . Se a medida do segmento 'BB é cm	
  6 , a área do triângulo 'P'N'M , em 
2cm , é igual a : 
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(A) 9 
 
(B) 10 
 
(C) 12 
 
(D) 18 
 
(E) 36 
 
B A C P M N 
M’ 
P’ 
N’ B’ 
 
 
14 
Um torneio de judô é disputado por 10 atletas e deve ter apenas um campeão. Em cada luta não pode 
haver empate e aquele que perder três vezes deve ser eliminado da competição. Qual o número 
máximo de lutas necessário para se conhecer o campeão ? 
(A) 27 (B) 28 (C) 29 
(D) 30 (E) 31 
 
15 
A soma de dois números reais distintos é igual ao produto desses números. O menor valor natural 
desse produto é igual a : 
(A) 8 (B) 7 (C) 6 
(D) 5 (E) 4 
 
16 
As dimensões de um retângulo são, em metros, indicadas por x e y . Sua área aumenta 2m	
  52 
quando acrescenta-se m	
  2 a x e m	
  4 a y . Sua superfície diminui 2m	
  52 quando subtrai-se m	
  2 de 
x e m	
  8 de y . Qual o valor de x ? 
(A) 5 (B) 6 (C) 7 
(D) 8 (E) 9 
 
 
 
17 
O conjunto solução da equação 1
1x
2
1x
2
1x
1x
1x
1x
=
−
+
+
+
−
−
−
+
 é igual a : 
(A) ∅ (B) R (C) { }1,0,1 	
  	
  R −− 
(D) { }1,1−−R (E) { }0 
 
 
 
 
18 
Quatro corredores, João, Pedro, André, e Fábio combinaram que, ao final de cada corrida, o que 
ficasse em último lugar dobraria o dinheiro que cada um dos outros possuía. Competiram 4 vezes e 
ficaram em último lugar na a1 , a2 , a3 e a4 corridas respectivamente, João, Pedro, André, e Fábio. 
Se no final da a4 competição, cada um ficou com 16,00	
  $R , então, inicialmente João possuía : 
(A) 5,00	
  $R (B) 9,00	
  $R (C) 16,00	
  $R 
(D) 17,00	
  $R (E) 33,00	
  $R 
 
19 
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A equação ( ) ( ) 0a9x6ax 24 =−+−− , na variável x , tem quatro raízes reais e distintas, se e 
somente se : 
(A) 8a > (B) 8a6 
 
20 
Na figura abaixo, o ponto P do menor arco AB dista cm	
  6 e cm	
  10 , respectivamente, das tangentes 
AQ e BQ . A distância, em cm , do ponto P á corda AB é igual a : 
(A) 30 
 
(B) 152 
 
(C) 16 
 
(D) 18 
 
(E) 106 
 
Q 
P 
A 
B 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Colégio Naval 2003 
 
01 
Justaponto-se os números naturais conforme a representação abaixo, onde o sinal ∗ indica o último 
algarismo, forma-se um número de 1002 algarismos. 
123456789101112131415161718192021................∗ 
o resto da divisão do número formado por 16 é igual a: 
a) 2 
b) 4 
c) 6 
d) 8 
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e) 10 
 
02 
Considere um triângulo eqüilátero ABC , inscritoem um círculo de raio R . Os pontos M e N são, 
respectivamente, os pontos médios do arco menor AC e do segmento BC . Se a reta MN também 
intercepta a circunferência desse círculo no ponto ,P P M≠ , então o segmento NP mede: 
a) 7
2
R 
b) 3 3
2
R 
c) 3 7
14
R 
d) 5
7
R 
e) 5
3
R 
 
03 
Considere um triangulo retângulo e uma circunferência que passa pelos pontos médios dos seus três 
lados. Se x , y e z , ( )x y z − + é igual a: 
a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) 3 
e) 4 
 
05 
Se a , b e c são algarismos distintos, no sistema de numeração decimal existe um único número de 
dois algarismo ( )ab tal que ( ) ( ) ( )2 2 2ab b a c c− = . 
O valor de ( )a b c+ + é igual a: 
a) 11 
b) 12 
c) 13 
d) 14 
e) 15 
 
06 
Em um trapézio, cujas bases medem a e b , os pontos M e N pertencem aos lados não-paralelos. Se 
MN divide esse trapézio em dois outros trapézios equivalentes, então a medida do segmento MN 
corresponde a: 
a) média aritmética de a e b 
b) média geométrica das bases 
c) raiz quadrada da média aritmética de 2a e 2b . 
d) raiz quadrada da média harmônica de 2a e 2b . 
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e) média harmônica de a e b 
 
07 
João vendeu dois carros de modelos SL e SR, sendo o preço de custo do primeiro 20% mais caros 
que o do segundo. Em cada carro teve um lucro de 20% sobre os seus respectivos preços de venda. 
Se o total dessa venda foi $88 000 ,00R , o preço de custo do segmento modelo era, em reais, igual a: 
a) 30 000 ,00 
b) 32 000 ,00 
c) 34 000 ,00 
d) 35 000 ,00 
e) 36 000 ,00 
 
08 
Se x e y são números inteiros e positivos, representa-se o máximo divisor comum de x e y por 
( ),mdc x y ; assim, o número de pares ordenados ( ),x y que são soluções do sistema 
( )
810
, 45
x y
m dc x y
+ =⎧
⎨ =⎩
 
é igual a: 
a) 6 
b) 8 
c) 10 
d) 16 
e) 18 
 
09 
Se 4 10 2 5a = − + e 4 10 2 5b = + + , então a b+ é igual a: 
a) 10 
b) 4 
c) 2 2 
d) 5 1+ 
e) 3 2+ 
 
10 
Se um segmento AB tem 2c m de comprimento, então a flecha do arco capaz de 135 o desse 
segmento mede: 
a) 2 1+ 
b) 2 
c) 2 1− 
d) 3 
e) 2 2− 
 
 
 
 
 
 
 
 
11 
Considere a equação 2 26 1 0x x m− + − = com parâmetro m inteiro não nulo. Se essa equação tem 
duas raízes reais e distintas com o número 4 compreendido entre essas raízes, então o produto de 
todos os possíveis valores de m é igual a 
a) 2− 
b) 1− 
c) 2 
d) 4 
e) 6 
 
 
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12 
Se x é um número inteiro tal que 22 3 5 1x x x+ − ≤ + , o número de elementos do conjunto solução 
dessa inequação é igual a: 
a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) 3 
e) 4 
 
13 
Considere os triângulos ABC e MNP . Se as medidas dos lados do segundo triangulo são, 
respectivamente, iguais às medidas das medianas do primeiro, então a razão da área de MNP para a 
área de ABC é igual a: 
a) 1
3
 
b) 1
2
 
c) 2
3
 
d) 3
4
 
e) 5
6
 
 
14 
Se os lados de um triângulo medem, respectivamente 3 x , 4 x e 5 x , em que x é um número inteiro 
positivo, então a distancia entre os centros dos círculos inscritos e circunscritos a esse triangulo 
corresponde a: 
a) 5
4
x 
b) 
( )1 2
2
x+
 
c) 2x 
d) 5
2
x 
e) 5
6
x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15 
Dois ciclistas, com velocidade constante, porém diferentes, deslocando-se em uma estrada retilínea 
que liga os pontos A e B . Partem de A no mesmo instante e quando alcançam B , retornam a A , 
perfazendo o movimento A B A B− − − , uma única vez. Quando o mais veloz alcança o ponto B , pela 
primeira vez, retorna no sentido de A encontrando o outro a 4 km de B . Quando o mais lento atinge o 
ponto B , retorna imediatamente e reencontra, no meio do percurso, o outro que está vindo de A . 
Desprezando-se o tempo gasto em cada mudança no sentido de percurso,, a distancia entre os pontos 
A e B , em km, é igual a: 
a) 10 
b) 12 
c) 14 
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d) 16 
e) 18 
 
16 
Um relógio indica dois minutos menos do que a hora certa e adianta t minutos por dia. Se estivesse 
atrasado três minutos e adiantasse 1
2
t⎛ ⎞+⎜ ⎟
⎝ ⎠
 minutos por dia, então marcaria a hora certa exatamente 
um dia antes do que vai marcar. O tempo t , em minutos, que esse relógio adianta por dia está 
compreendido entre: 
a) 1
9
 e 2
9
 
b) 2
9
 e 3
9
 
c) 4
9
 e 5
9
 
d) 6
9
 e 7
9
 
e) 8
9
 e 9
9
 
 
17 
Observe o quadrado acima em que as letras representam números naturais distintos desde 1 até 9 . 
Se a adição de três números de cada linha, de cada coluna ou de cada diagonal, desse quadrado, tem 
sempre o mesmo resultado, então a letra e representa o número: 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) 5 
 
18 
O número de múltiplos de 12 compreendidos entre 357 e 3578 é igual a: 
a) 268 
b) 269 
c) 270 
d) 271 
e) 272 
 
19 
Se o conjunto solução da inequação 2
2
1 18 10 0x x
x x
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − + + ≤⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
 é S , então o número de elementos 
da interseção do conjunto S com o conjunto dos números inteiros é igual a: 
a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) 3 
e) 4 
 
 
 
20 
Se 2 1x y+ = , com x e y reais, então o maior valor da expressão 2 23x xy y+ + é igual. 
a) 5
4
 
b) 7
4
 
c) 13
8
 
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d) 17
8
 
e) 31
16
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Colégio Naval – 2003/2004 
 
 
1. Um certo líquido aumenta o seu volume em 15% , ao ser congelado. Quantos mililitros desse 
líquido deve-se colocar, no máximo, em um recipiente de 230 mililitros, sabendo-se que este 
não sofre qualquer alteração da sua capacidade nesse processo? 
a) 195,5 b) 200 c) 205 d) 210 e) 215 
 
2. Analise as afirmativas abaixo, onde a e b são números reais. 
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I - ( )22 2a b a b+ = + 
II - ( )22 2a b ab⋅ = 
III - ( )22 2/ / , 0a b a b b= ≠ 
Assinale a alternativa correta. 
a) As afirmativas I, II e III são sempre verdadeiras. 
b) Apenas a afirmativa I é sempre verdadeira. 
c) Apenas as afirmativas I e II são sempre verdadeiras. 
d) Apenas as afirmativas I e III são sempre verdadeiras. 
e) Apenas as afirmativas II e III são sempre verdadeiras. 
 
3. Analise as seguintes afirmativas sobre um sistema s de duas equações do primeiro grau com 
duas incógnitas x e y . 
I - s sempre terá ao menos uma solução, se os seus termos independentes são iguais a 
zero. 
II - Se a razão entre, os coeficientes de x for igual a dos de y , s terá infinitas soluções. 
III - Se a razão entre os coeficientes de x for diferente da dos de y , s terá apenas uma 
solução. 
Assinale a alternativa correta. 
a) Apenas a afirmativa I é verdadeira. 
b) Apenas a afirmativa II é verdadeira. 
c) Apenas a afirmativa III é verdadeira. 
d) Apenas as afirmativas I e III são verdadeiras. 
e) Apenas as afirmativas I, II e III são verdadeiras. 
 
4. Quantas raízes reais tem a equação 20x x+ = ? 
a) Nenhuma. 
 b) Uma. 
 c) Duas, as quais são positivas. 
 d) Duas, as quais são negativas. 
 e) Duas, as quais têm sinais opostos. 
 
5. Considere uma circunferência λ de raio R e diâmetros perpendiculares AB e CD . O raio da 
menor circunferência tangente interiormente à λ e a corda AC , no seu ponto médio, é dado 
por 
a) 
4
R 
b) 2
4
R 
c) 
( )2 2
4
R −
 
d) 
( )2 1
4
R +
 
e) 
6
R 
 
6. O conjunto dos trinta talheres de uma certa casa é constituído de garfos, facas e colheres, de 
aço inoxidável e aço comum. Sabe-se que: 
- existem cinco facas, seis garfos e sete colheres, todas de aço comum. 
- o númerototal de garfos é o dobro do número de facas de aço inoxidável. 
- o número de facas de aço inoxidável excede o número de colheres desse mesmo tipo de aço 
em duas unidades. 
Quantas colheres têm esse conjunto de talheres. 
a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14 
 
7. O resultado da divisão de 127 por 6 , é um número 
a) inteiro. 
b) com parte decimal finita. 
c) com parte decimal infinita periódica simples. 
d) com parte decimal infinita periódica composta. 
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e) com parte decimal infinita e não periódica. 
 
8. Dada a equação: ( ) ( )2 22 21 3 17 0x x x+ + + − = , pode-se afirmar que, no universo dos números 
reais, o seu conjunto solução 
a) é vazio. 
b) tem apenas um elemento. 
c) tem apenas dois elementos. 
d) tem apenas três elementos. 
e) tem apenas quatro elementos. 
 
9. Num quadrilátero ABCD tem-se: 42AB = , 48BC = , 64CD = , 49DA = e P é o ponto de 
interseção entre as diagonais AC e BD . Qual é a razão entre os segmentos PA e PC , 
sabendo-se que a diagonal BD é igual a 56 ? 
a) 7 /8 b) 8 /7 c) 7 /6 d) 6 /7 e) 49 /64 
 
10. Dada a equação do 2° grau na incógnita 2: 4 3 0x x kx+ + = . Quantos são os valores inteiros 
possíveis do parâmetro k , tais que essa equação só admita raízes racionais. 
a) 2 b) 3 c) 4 d) 6 e) 8 
 
11. Num triângulo acutângulo isósceles ABC , o segmento BP , P interno ao segmento AC , 
forma com o lado BA um ângulo de 15° . Quanto mede o maior ângulo de PBC , sabendo que 
os triângulos ABP e ABC são semelhantes? 
a) 65,5° b) 82,5° c) 97,5° d) 135° e) 150° 
 
12. Se ( ) 3 3 2. . . , 2 3 5 7m m c x y = ⋅ ⋅ ⋅ e ( ) 3 2. . . , 2 3 5m d c x y = ⋅ ⋅ , x e y números naturais, quantos são 
os valores possíveis para x ? 
a) 16 b) 8 c) 6 d) 4 e) 2 
 
13. 
 
 
 
 
 
 
 Num quadrado ABCD tem-se os pontos: P , pertencente ao lado AB ; Q , pertencente ao lado 
CD ; R , médio de DA ; e S , médio de BC. Se PB é o dobro de DQ e E é o ponto de 
interseção entre PQ e RS , quantos trapézios retângulos semelhantes sempre existirão na 
figura, sabendo-se que PB DQ AB+12 
Em um círculo de centro em P e cm	
  20 de raio está inscrito um ângulo de º30 formado por 
duas cordas iguais 
___
MA e 
___
MB . A área do quadrilátero MAPB é de: 
(A) 2cm	
  3150 (B) 2cm	
  200 (C) ( ) 2cm	
  13200 + 
(D) 2cm	
  3100 (E) ( ) 2cm	
  13100 + 
 
13 
Uma corda de uma circunferência divide um diâmetro da mesma circunferência em partes 
proporcionais a 1 e 3 . Sabendo que a corda é perpendicular ao diâmetro, vamos ter que a 
razão do arco maior para o arco menor determinados pela referida corda é : 
(A) 5 (B) 4 (C) 
2
3 
(D) 3 (E) 2 
 
14 
No triângulo isósceles ABC , o ângulo em A , oposto à base, tem º36 e a bissetriz do ângulo 
em B intercepta o lado AC em um ponto D , podemos afirmar que é igual a : 
(A) 
___
2AB (B) 
______
BCAC+ (C) 
______
DC.AC 
(D) 
______
BC.DC (E) 
______
DC.DB 
 
15 
As tangentes tiradas de um ponto P a um círculo de centro O e cm	
  4 de raio formam um 
ângulo de º60 e tocam o circulo nos pontos Q e T . A área do equilátero PQOT é de: 
(A) 2cm	
  38 (B) 2cm	
  316 (C) 2cm	
  324 
(D) 2cm	
  312 (E) 2cm	
  332 
 
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16 
A soma da média aritmética coma média geométrica das raízes da equação 
0ax8ax 32 =+− dá : 
(A) 
a
a4 2− (B) 
a
a4 2+− (C) 
a
a8 2+ 
(D) 
a
a4 2+ (E) 5 
 
17 
Um retângulo é tal que se aumentarmos de cm	
  1 a menor de suas dimensões, a sua área 
aumentará de %20 , mas se tivéssemos aumentado cada uma das dimensões de cm	
  2 , a 
área seria aumentada de %75 . O perímetro do retângulo é de: 
(A) cm	
  32 (B) cm	
  24 (C) cm	
  26 
(D) cm	
  20 (E) cm	
  28 
 
18 
Uma expressão do o1 grau em x se anula para 2x = e tem valor numérico 
82− para 1x = . O valor numérico dessa expressão para 8x = é : 
(A) 1 (B) 24 (C) 2 
(D) 23 (E) 22 
 
19 
Se as equações do o2 grau 
( ) 03qx6xqp2 2 =−−+ e ( ) ( ) 09x2p3xq3p6 2 =−−−− 
possuem as mesmas raízes, então : 
(A) 2q6p += (B) 7qp =+ (C) 2pq3 += 
(D) 02p =− (E) 8q3p2 =+ 
 
20 
Simplificando 
( )( ) 222222
44
ba
ab2
ab2baab2ba
ba
−
−
−+++
− 
 para ab ±≠ obtém-se : 
(A) 11 (B) 
ba
ba
−
+ (C) 
a
b 
(D) 
ba
ba
+
− (E) 
b
a 
 
 
21 
Uma liga ouro e cobre contém 9 partes de ouro para 12 de cobre. Outra liga, também de 
ouro e cobre tem %60 de ouro. Para se obter uma liga com 36 gramas e partes iguais de 
ouro e cobre, devemos tomar das ligas iniciais : 
(A) a1	
  da	
  gramas	
  12 e a2	
  da	
  gramas	
  24 . 
(B) a1	
  da	
  gramas	
  24 e a2	
  da	
  gramas	
  12 . 
(C) uma	
  cada	
  de	
  gramas	
  18 . 
(D) a1	
  da	
  gramas	
  21 e a2	
  da	
  gramas	
  15 . 
(E) a1	
  da	
  gramas	
  16 e a2	
  da	
  gramas	
  20 . 
 
 
 
 
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22 
Uma das raízes da equação 2x2x2 =−−+ 
(A) 2 (B) 5− (C) 3− 
(D) 2− (E) 6 
 
23 
O sistema 
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
=−
16xy
8
3
y
1
x
1
 admite para x e y valores positivos cuja soma é : 
 
(A) 6 (B) 10 (C) 12 
(D) 14 (E) 16 
 
24 
Se 0abc ≠ e 0cba =++ , o trinômio cbxaxy 2 ++= : 
(A) pode ter raízes nulas 
(B) não tem raízes reais 
(C) tem uma raiz positiva 
(D) só tem raízes negativas 
(E) tem as raízes simétricas 
 
25 
A razão entre as áreas dos quadrados inscritos em um semicírculo e num círculo de mesmo 
raio é igual é iguala : 
(A) 2:1 (B) 3:2 (C) 5:2 
(D) 4:3 (E) 5:3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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COLÉGIO NAVAL 1978 - ANULADA 
01 
A área do quadrilátero circunscrito a um círculo de cm	
  4 de raio e que tem para soma dos 
comprimentos de dois de seus dois lados opostos cm	
  17 , é: 
(A) 2cm	
  68 (B) 2cm	
  34 (C) 2cm	
  136 
(D) 2cm	
  51 (E) 2cm	
  40 
 
 
02 
A hipotenusa do triângulo retângulo, em que as medianas dos catetos medem cm	
  17 e cm	
  8 , tem 
: 
(A) cm	
  25 (B) cm	
  52 (C) cm	
  5 
(D) cm	
  	
  8 (E) cm	
  24 
 
03 
A área de um círculo inscrito em um setor circular de º90 , de um círculo de ( ) cm	
  	
  233 + de raio, é : 
(A) ( ) 2cm	
  234 π+ (B) ( ) 2cm	
  243 π− (C)
( ) 2cm	
  
4
21827
π
+ 
(D) ( ) 2cm	
  234 π− (E) 2cm	
  9π 
 
04 
Um triângulo eqüilátero ABC tem 2cm	
  316 de área. Do ponto Q sobre 
___
BC , traçamos paralelas aos 
outros dois lados, determinando os pontos P e R sobre estes lados. O perímetro do paralelogramo 
APQR mede: 
(A) cm	
  24 (B) cm	
  16 (C) cm	
  12 
(D) cm	
  38 (E) cm	
  316 
 
05 
A diferença entre o número de diagonais de dois polígonos convexos é 29 , e a diferença entre as 
somas dos ângulos internos destes polígonos é de º360 . A soma dos números de lados dos dois 
polígonos é : 
(A) 22 (B) 28 (C) 32 
(D) 36 (E) 35 
 
 
06 
O perímetro de um triângulo retângulo isósceles é cm	
  2 . A área deste triângulo é igual a: 
(A) ( ) 2cm	
  31+ (B) ( ) 2cm	
  22 − (C) 2cm	
  3 
(D) 2cm
2
3
 (E) ( ) 2cm	
  223 − 
 
07 
O máximo divisor comum dos polinômios x6x5x 23 +− e 3x4x2 +− é : 
(A) 1x− (B) 2x− (C) 3x− 
(D) 1x+ (E) 3x+ 
 
08 
Para que o trinômio kx4xy 2 +−= tenha seu valor mínimo igual a 9− , o maior valor de x , que anula 
este trinômio, é: 
(A) 2 (B) 4 (C) 1 
(D) 5 (E) 3 
 
 
 
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09 
A soma dos cubos das raízes da equação 09x3x 332 =+− é : 
(A) 3− (B) 12− (C) 9− 
(D) 12 (E) 6− 
 
10 
ABC é um triangulo retângulo em A , de hipotenusa igual a cm	
  8 . O ângulo C∠ mede º30 . Ligando 
o vértice C a um ponto M do cateto oposto 
___
AB , e sendo P o pé da perpendicular baixada de M 
sobre a hipotenusa 
___
CB , obtém-se os triângulos AMC e MBP de mesma área. O valor de 
___
MB é : 
(A) ( )cm	
  123 + (B) ( )cm	
  12 + (C) cm	
  53 
(D) ( )cm	
  128 − (E) cm	
  32 
 
 
11 
Na figura abaixo temos que a medida do ângulo A∠ é igual a º30 , o menor arco QS é dobro do 
menor arco PR e as cordas 
___
PQ e 
___
RS são iguais. A razão da corda 
___
QS para a corda 
___
PR é : 
(A) 
2
3
 
(B) 2 
(C) 2 
(D) 3 
(E) faltam dados 
 
A	
  
S	
  
Q 	
  
R 	
  
P	
  
 
12 
Na figura abaixo, temos cm2GBEGAEFCDFAD
__________________
====== e 26BC
___
= . A área do trapézio DEGF 
é igual a : 
(A) 2cm	
  22 
(B) 2cm	
  6 
(C) 2cm	
  3 
(D) 2cm	
  24 
(E) 2cm	
  4 
 	
  	
  	
  	
  A 	
  
	
  	
  	
  	
  G 	
  
	
  	
  	
  	
  E 	
  
	
  F	
  
	
  	
  	
  	
  D 	
  
	
  	
  	
  C 	
  	
  	
  B	
  
 
 
13 
O produto do mínimo múltiplo comum pelo máximo divisor comum de dois múltiplos de um número 
inteiro N é 4235 . O número N é: 
(A) 385 (B) 77 (C) 55 
(D) 11 (E) 35 
 
 
 
 
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14 
Se, ao efetuarmos o produto do número 13por um número inteiro Nde dois algarismos e, por engano, 
invertemos a ordem dos algarismos desse número N , o resultado poderá aumentar de 
(A) 130 (B) 260 (C) 65 
(D) 167 (E) 234 
 
 
15 
Os ângulos internos de um quadrilátero convexo são proporcionais aos números 10	
  7,	
  ,3 e 12. O 
menor dos ângulos mede: 
(A) 30"	
  52'	
  º16 (B) 15'	
  º11 (C) '20	
  º27 
(D) 	
  45'º33 (E) 17"	
  12'	
  º31 
 
16 
Se operários	
  30 gastaram dias	
  18 , trabalhando horas	
  10 por dia, para abrir um canal de metros	
  25 , 
quantos dias de horas	
  12 de trabalho opeários	
  10 , que têm o triplo da eficiência dos primeiros, 
gastarão para abrir um canal de metros	
  20 , sabendo-se que a dificuldade do primeiro está para a do 
segundo do como 3 está para 5 ? 
(A) dias	
  20 (B) dias24	
   (C) dias	
  60 
(D) dias	
  25 (E) dias	
  13 
 
17 
Certa pessoa pesava 65 quilos no dia primeiro de setembro. Durante este mês, seu peso diminuiu de 
%20 .Todavia, durante o mês de outubro, seu novo peso aumentou de %20 . Esta pessoa pesará, no 
dia primeiro de novembro: 
(A) quilos	
  78 (B) quilos	
  65 (C) quilos	
  4,62 
(D) quilos	
  95,54 (E) quilos	
  4,63 
 
18 
O resto da divisão por 5 do número 93195743 é : 
(A) 0 (B) 2 (C) 1 
(D) 4 (E) 3 
 
19 
Seja R o conjunto dos números reais e Z o conjunto dos números inteiros. Seja 
{ }0xx	
  	
  |	
  	
  R	
  	
  xA 3 =+∈= 
{ }22x22	
  	
  |	
  	
  Z	
  	
  xB ∈ 3	
  	
  x|	
  	
  YX	
  	
  x  
(B) ( ){ } { }1	
  0,	
  ,14	
  	
  x|	
  	
  YX	
  	
  x −=∈ 
(B) ( ) ∅≠
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧ =+−∈ 0
2
1x
2
3x	
  	
  |	
  	
  QZ	
  	
  x 2 
(C) { } Z052x	
  	
  |Q	
  	
  	
  	
  x ⊂=−∈ 
(D) { } N04	
  	
  x|Q	
  	
  	
  	
  x 2 ⊂=−∈ 
(E) N ZQ = ∅ 
 
18 
Dois ângulos internos e opostos de um quadrilátero inscrito em um circunferência são proporcionais 
aos números 2 e 5 . O menor desses ângulos mede : 
(A) 
7
"423	
  '22	
  º24 (B) 
7
"335	
  '22	
  º35 (C) 
7
"62	
  4'25	
  º51 
(D) 
7
"632	
  '27	
  º37 (D) 
7
"535	
  '23	
  º52 
 
19 
A soma dos valores inteiros e positivos de x que satisfazem a inequação : 
1
4x3x
7x4x
2
2
≥
++−
++−
 dá : 
(A) 8 (B) 10 (C) 6 
(D) 9 (E) 14 
 
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20 
Um losango é inteiro a uma circunferência de cm	
  	
  6 de raio, de maneira que a diagonal maior do 
losango coincide com umdiâmetro da circunferência. Sabendo que um dos ângulos internos do 
losango tem º60 podemos afirmar que a área deste losango é : 
(A) 2cm	
  312 (B) 2cm	
  324 (C) 2cm	
  348 
(D) 2cm	
  36 (E) 2cm	
  336 
 
21 
Se ( ) cbxaxxP 2 ++= e ( )kP é o seu valor numérico para kx = e sabendo que ( ) ( ) 02P3P =−= e 
que ( ) 61P = , podemos afirmar que ( )xP 
(A) tem valor negativo para 2x = 
(B) tem valor máximo igual a 
4
27 
(C) tem valor máximo igual a 
4
11
 
(D) tem valor máximo igual a 
4
25 
(E) tem valor mínimo igual a 
4
25
− 
 
22 
Um ponto P dista d de uma circunferência de raio R . Do ponto P traçam-se as tangentes PA e PB 
à circunferência. A expressão da flecha menor da corda AB é : 
(A) 
Rd
Rd
+
− (B) ( )( )RdRd −+ (C) 
Rd
dR
+
 
(D) 22 dR
dR
−
 (E) 22 Rd
dR
+
 
 
23 
Num triângulo de vértices C,	
  B,	
  ,A os lados opostos medem respectivamente cm	
  13a = , cm	
  12b = e 
cm	
  5c = . O círculo inscrito tem centro em O e tangencia os lados a e b respectivamente nos pontos 
T e P . A área do quadrilátero CTOP mede : 
(A) 2cm	
  6 (B) 2cm	
  20 (C) 2cm	
  4 
(D) 2cm	
  10 (E) 2cm	
  8 
 
24 
O quociente de dois números inteiros dá 
4
7
 e o mínimo múltiplo comum entre esses dois números é 
1680 , o máximo divisor comum terá 
(A) divisores	
  12 (B) divisores	
  16 (C) divisores	
  8 
(D) divisores	
  10 (E) divisores	
  20 
 
25 
A soma de todos os valores inteiros e positivos de P que fazem com que 2x3PPxy −−−= seja 
negativo para qualquer valor de x é : 
(A) 21 (B) 28 (C) 10 
(D) 14 (E) 15 
 
 
 
 
 
 
 
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01 
Um quadrilátero é circunscritível a um círculo e tem os lados proporcionais aos números 24	
  	
  18,	
  	
  ,6 e 
36 e a soma das medidas de dois lados opostos dá 14 . Podemos dizer que o produto dos dois lados 
maiores dá : 
(A) 24 (B) 96 (C) 72 
(D) 60 (E) 100 
 
02 
Um paralelogramo está inscrito em uma circunferência e um de seus ângulos internos mede em graus 
º20x7 − . O valor de x é : 
(A) 
7
"3
51´42º15 (B) 
7
"1
17´43º15 (C) 
7
"1
32´40º15 
(D) 
7
"2
35´45º15 (E) O problema é impossível 
 
03 
O valor de p para que o trinômio do º2 grau p24xp4px 22 +− tenha máximo igual a K4 , quando 
Kx = é : 
(A) 2 (B) 2− (C) 3 
(D) 3− (E) 1 
 
04 
Um polígono regular convexo tem o ângulo interno medindo º150 . O número das diagonais deste 
polígono que não passam pelo seu centro é: 
(A) 48 (B) 42 (C) 54 
(D) 65 (E) 30 
 
05 
O lado de um losango é igual ao lado de um quadrado. Tendo áreas diferentes, a soma de suas áreas 
dá 2cm	
  18 . A soma das duas diagonais do losango dá : 
(A) cm	
  26 (B) cm	
  28 (C) cm	
  29 
(D) cm	
  212 (E) cm	
  210 
 
06 
Se a distância do ponto P ao centro de um círculo aumentar de 
5
2
 de sua medida ( )x a potência do 
ponto P em relação ao círculo aumentará de : 
(A) 2	
  xde	
  %20 (B) 2	
  xde	
  %42 (C) 2	
  xde	
  %96 
(D) 2	
  xde	
  %86 (E) 2	
  xde	
  %92 
 
07 
O valor de K na equação 0KMxx2 =++ , para que uma de suas raízes seja o dobro da outra e o seu 
discriminante seja igual a 9 é : 
(A) 20 (B) 10 (C) 12 
(D) 15 (E) 18 
 
08 
Dois círculos se tangenciam extremamente e ambos tangenciam os lados de um ângulo de º60 que 
os contém. A razão da área do menor círculo para a área do maior é : 
(A) 4
1 (B) 9
1 (C) 25
2 
(D) 16
1 (E) 16
9 
 
 
 
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09 
Um trapézio retângulo tem a base maior medindo cm	
  9 e uma diagonal medindo cm	
  6 é perpendicular 
ao lado não paralelo. A área do trapézio é de: 
(A) 2cm	
  518 (B) 2cm	
  515 (C) 2cm	
  513 
(D) 2cm	
  527 (E) 2cm	
  516 
 
10 
Em um círculo as cordas 
___
AB e 
___
CD são perpendiculares e se cortam no ponto I . Sabendo que
cm	
  6AI
___
= , cm	
  4IB
___
= ; cm	
  2CI
___
= , podemos dizer que a área do círculo é de : 
(A) 2cm	
  144π (B) 2cm	
  100π (C) 2cm	
  120π 
(D) 2cm	
  60 π (E) 2cm	
  50 π 
 
11 
O número de divisores de 225 632X ⋅⋅= é : 
(A) 54 (B) 28 (C) 20 
(D) 9 (E) 40 
 
12 
No triângulo ABC , 12AB
___
= e 8AC
___
= . A bissetriz interna do ângulo em A corta o lado 
___
BC em D e a 
bissetriz externa do mesmo ângulo corta o prolongamento do lado 
___
BC em E . A razão da área do 
triângulo ACE para a para a área do triângulo ABD é : 
(A) 3
8 (B) 2
3 (C) 9
4 
(D) 3
10 (E) 2
5 
 
13 
Sejam os conjuntos: 
 X = conjunto dos números ímpares positivos que têm um algarismo. 
Y = conjunto dos divisores ímpares e positivos de 10 . 
Z = conjunto dos múltiplos não negativos de 3 , que têm um algarismo . 
∅ = conjunto vazio. 
Assinale a afirmativa correta 
(A) { }9	
  7,	
  6,	
  ,3YX =− 
(B) { }9	
  7,	
  ,3XY =− 
(C) ( ) ( ) { }0	
  9,	
  7,	
  6,	
  ,3ZXYX =−  
(D) ( ) { }9	
  7,	
  5,	
  3,	
  ,1XZY = 
(E) ∅=− YZ 
 
14 
Em um círculo uma corda AB de cm	
  24 forma com uma tangente ao círculo no ponto A um ângulo 
de º45 . O menor arco tem comprimento medindo : 
(A) cm	
  6π (B) cm	
  4π (C) cm	
  2π 
(D) cm	
  8π (E) cm	
  34 π 
 
15 
Simplificando 
( )( )
128x2
4x.8x4x2
3
22
+⋅
−+−
 vamos encontrar: 
(A) ( )2x2 + (B) ( )2x2 − (C) ( )4x2 2 − 
(D) 2 (E) 2
2 
 
 
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16 
O sistema 
⎩
⎨
⎧
=−
+=+
myy3x2
x31ymx
 
(A) é possível e determinado para todo m 
(B) é impossível para 2m≠ e 1m≠ . 
(C) é possível e indeterminado para 2m= e 1m− . 
(D) não é indeterminado, qualquer que seja o valor de m. 
(E) não é impossível, seja qual for o valor de m . 
 
17 
As divisões, do número x por 4 e do número y por 3 , têm resultado exatos e iguais. Sabendo que o 
menor múltiplo comum multiplicado pelo maior divisor comum desses dois números x e y , dá 588 , 
podemos dizer que a soma yx+ dá : 
(A) 36 (B) 52 (C) 49 
(D) 42 (E) 64 
 
18 
Sejam os conjuntos : 
N = conjunto dos inteiros não negativos 
Z = conjunto dos inteiros 
Q = conjunto dos racionais 
R = conjunto dos reais 
Assinale a afirmativa falsa 
(A) { }04	
  	
  x|	
  	
  N	
  	
  x 2 =−∈ é um conjunto com um elemento. 
(B) { }03	
  	
  x|Q	
  	
  	
  	
  x 2 =−∈ é um conjunto vazio. 
(C) { }04	
  	
  x|	
  	
  R	
  	
  x 2 =+∈ é um conjunto que tem dois elementos. 
(D) { }04	
  	
  x|	
  	
  Z	
  	
  x 2 =−∈ é um conjunto que tem dois elementos. 
(E) { }N	
  	
  	
  	
  x|	
  	
  Z	
  	
  x ∉∈ é um conjunto não vazio. 
 
19 
O valor de y no sistema : 
⎩
⎨
⎧
+−=+
=+
1m4myx3
3yx2
2 
quando x assume o seu valor mínimo é : 
(A) 11 (B) 1 (C) 7 
(D) 15 (E) 9 
20 
O maior divisor comum dos 3 polinômios: 4x4x2 +− ; 8x2 2 − ; pmx+ é 2x− . Então: 
(A) 0mp =− (B) 0mp2 =− (C) 0mp2 =+ 
(D) 0m2p =+ (E) 0m2p =− 
 
21 
Com uma produção diária constante, uma máquina produz peças	
  200 em dias	
  D . Se a produção 
diária fosse de mais peças	
  15 , levaria menos dias	
  12 para produzir as peças	
  200 . O número D é um 
número : 
(A) múltiplo de 6 (B) primo (C) menor que 17 
(D) maior que 24 (E) entre 17 e 24 
 
 
 
 
 
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22 
Sendo x e y números positivos e x maior do que y , que satisfazem o sistema 
6yx
5yxyx
22 =−
=−++
 
vamos ter 22 yx + igual a : 
(A) 5,48 (B) 42 (C) 5,40 
(D) 45 (E) 5,45 
 
23 
Um comerciante vendeu 
10
3
 de uma peça de fazenda com um lucro de %30 e a parte restante com 
um prejuízo de %10 . No total da operação, o comerciante: 
(A) teve um lucro de %20. 
(B) teve um lucro de %2 . 
(C) teve um prejuízo de %20 . 
(D) teve um prejuízo de %20 . 
(E) não teve lucro nem prejuízo 
 
24 
A expressão 
3
33
2
225,0 −
 é equivalente a: 
(A) 3 2− (B) 
4
23
 (C) 1− 
(D) 2
1− (E) 3 5,0 
25 
A soma dos quadrados dos inversos das raízes da equação 0pWxKx2 =+− , sendo 0Kp ≠ , é : 
(A) 2
2
p
Kp2W −
 (B) 2
2
p
Kp4W −
 (C) 2
2
p
WKp2 −
 
(D) 2
2
p
WKp4 −
 (E) 
W
Kp
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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01 
PQ é a corda comum de duas circunferências secantes de centros em A e B . A corda PQ , igual a 
cm	
  34 , determina, nas circunferências, arcos de º60 e º120 . A área do quadrilátero convexo 
APBQ é : 
(A) ( ) 2cm	
  36 (B) ( ) 2cm	
  1233 + (C) ( ) 2cm	
  3612+ 
(D) 2cm	
  12 (E) ( ) 2cm	
  316 
 
02 
A razão entre as áreas de dois círculos tangentes exteriores dá 9 e a soma dos comprimentos de 
suas circunferências cm	
  8π . Uma tangente comum aos dois círculos corta a reta que contém os dois 
centros em um ponto exteriorP que está a uma distância do centro do círculo maior de: 
(A) cm	
  5 (B) cm	
  7 (C) cm	
  4 
(D) cm	
  3 (E) cm	
  6 
 
03 
Uma figura de 6 pontas é obtida pela arrumação de 2 triângulos equiláteros circunscrito ao círculo 
de cm	
  4 de raio, de maneira que os lados fiquem 2 a 2 , paralelos. A área dessa figura : 
(A) 2cm	
  332 (B) 2cm	
  364 (C) 2cm	
  396 
(D) 2cm	
  336 (E) 2cm	
  372 
 
04 
Na base AB de um triângulo isósceles de vértice C , toma-se o ponto P . A base mede cm	
  3 e o 
perímetro cm	
  17 . Do ponto P tomam-se paralelas aos lados iguais, obtendo um paralelogramo que terá 
de perímetro : 
(A) cm	
  20 (B) cm	
  23 (C) cm	
  14 
(D) cm	
  18 (E) cm	
  16 
 
05 
Um quadrilátero convexo inscrito em um círculo de cm	
  3 de raio tem dois ângulos internos iguais. Um 
o3 ângulo interno mede º150 . A soma das diagonais dá : 
(A) ( )cm	
  33 + (B) cm	
  9 (C) cm	
  6 
(D) ( )cm	
  332 + (E) ( )cm	
  333 + 
 
 
 
 
06 
A área do círculo inscrito no trapézio que tem 2cm	
  332 de área, e cm	
  16 para soma dos lados não 
paralelos é de : 
(A) 2cm	
  18π (B) 2cm	
  12π (C) 2cm	
  27π 
(D) 2cm	
  16π (E) 2cm	
  9π 
 
07 
A área do losango que tem um ângulo interno de º120 e que circunscreve um círculo de 2cm	
  16π de 
área é de : 
(A) 2cm	
  364 (B) 2cm	
  3128 (C) 2cm	
  
3
3132
 
(D) 2cm	
  3
3
80 (E) 2cm	
  3
3
128 
 
 
 
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08 
Em uma circunferência de cm	
  6 de raio estão os arcos º60AB = e º120BC = . A altura do triângulo 
ABC relativamente ao maior lado mede : 
(A) cm	
  32 (B) cm	
  2 (C) cm	
  35 
(D) cm	
  33 (E) cm	
  34 
 
09 
Um triângulo isósceles tem o ângulo de º30 formado pelos lados iguais, que mede cm	
  8 cada um . A 
área desse triângulo é de : 
(A) 2cm	
  316 (B) 2cm	
  38 (C) 2cm	
  12 
(D) 2cm	
  16 (E) 2cm	
  64 
 
10 
Um paralelogramo tem cm	
  24 de perímetro, 2cm	
  24 de área e uma altura é o dobro da outra . A soma 
dessas alturas dá : 
(A) cm	
  5 (B) cm	
  7 (C) cm	
  9 
(D) cm	
  11 (E) cm	
  13 
 
 
11 
Um exercício sobre inequações tem como resposta{ }5x0	
  	
  ou	
  	
  1x/R	
  	
  x 
−
−−
 
(B) ( ) 0x5x4x3 ≥++− 
(C) ( ) 0x5x4x 23 >−− 
(D) 0
x5x4x
1
23 ≥
++−
 
(E) 0
5x4x
x
2 ≥
−−
−
 
12 
Sendo { }1	
  ,1	
  2,	
  ,2	
  ,3 −−−− será vazio o conjunto : 
(A) 
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=−∈ 21x2	
  	
  |	
  	
  Xx 2 
(B) { }2	
  	
  xe	
  	
  1x	
  	
  |	
  	
  Xx 2 −∈ 
(C) { }xxxx	
  	
  |	
  	
  Xx 32 +=+∈ 
(D) { }02xx	
  	
  |	
  	
  Xx =+−∈ 
(E) 
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
>
+−
+
∈ 0
2x
5x
	
  	
  |	
  	
  Xx
2
 
 
13 
Se ( ) cbxaxxP 2 ++= e ( ) ( ) 01P1PColégio Naval 1981 
01 
Em um triângulo cm	
  5	
  	
  AC	
  	
  AB == e cm	
  4	
  	
  BC = . Tomando-se sobre AB e AC os pontos D e E , 
respectivamente, de maneira que DE seja paralela a BC e que o quadrilátero BCED seja 
circunscritível a um círculo, a distância AEAD = mede : 
(A) cm	
  75,0 (B) cm	
  2,1 (C) cm	
  
7
15
 
(D) cm	
  
3
4
 (E) cm	
  
3
5
 
 
02 
Do ponto P exterior a uma circunferência tiramos uma secante que corta a circunferência nos pontos 
M e N de maneira que x3PN
___
= e 1xPM
___
−= . Do mesmo ponto P tiramos outra secante que corta 
a mesma circunferência em R e S , de maneira que x2PR
___
= e 1xPS
___
+= . O comprimento do 
segmento da tangente à circunferência tirada do mesmo ponto P , se todos os segmentos estão 
medidos em cm é : 
(A) cm	
  40 (B) cm	
  60 (C) cm	
  34 
(D) cm	
  10 (E) cm	
  8 
 
03 
O triângulo ABC tem 2cm	
  60 de área . Dividindo-se o lado 
___
BC em 3 partes proporcionais aos 
números 2 , 3 e 7 e tomando-se esses segmentos para bases de 3 triângulos que têm para vértice 
o ponto A , a área do maior dos três triângulos é : 
(A) 2cm	
  30 (B) 2cm	
  21 (C) 2cm	
  35 
(D) 2cm	
  42 (E) 2cm	
  28 
 
04 
O triângulo ABC é retângulo em A . A hipotenusa BC mede cm	
  6 e o ângulo em C é de º30 . 
Tomando-se sobre AB o ponto M e sobre BC o ponto P , de maneira que PM seja perpendicular a 
BC e as áreas dos triângulos CAM e PMB sejam iguais, a distância BM será: 
(A) cm	
  4 (B) ( )cm	
  236 − (C) ( )cm	
  236 − 
(D) ( )cm	
  126 + (E) ( )cm	
  126 − 
 
05 
X é o lado do quadrado de 2mm	
  4820 de área; Y é o lado do hexágono regular de cm	
  3
2
7
 de 
apótema e Z é o lado do triângulo equilátero inscrito no círculo de cm	
  4 de raio. Escrevendo em ordem 
crescente esses três números teremos : 
(A) 	
  Y	
  X,,Z (B) 	
  X	
  Y,,Z (C) 	
  XZ,	
  ,Y 
(D) Z	
  	
  X,,Y (E) Z	
  	
  Y,,X 
 
06 
Um triângulo retângulo tem os catetos com cm	
  2 e cm	
  6 . A área do círculo que tem o centro sobre a 
hipotenusa e tangencia os dois catetos é de : 
 (A) 2cm	
  
4
9π
 (B) 2cm	
  
9
25π
 (C) 2cm	
  
9
16π
 
(D) 2cm	
  20π (E) 2cm	
  18π 
 
07 
A área máxima do retângulo que se pode inscrever no triângulo retângulo de catetos com cm	
  3 e 
cm	
  4 de maneira que dois lados do retângulo estejam sobre os catetos e um vértice do retângulo 
sobre a hipotenusa é : 
(A) 2cm	
  3 (B) 2cm	
  4 (C) 2cm	
  5 
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(D) 2cm	
  5,4 (E) 2cm	
  5,3 
 
08 
Um hexágono regular tem 2cm	
  324 de área . Se ligarmos, alternadamente, os pontos médios dos 
lados desse hexágono, vamos encontrar um triângulo equilátero de área : 
(A) 2cm	
  312 (B) 2cm	
  38 (C) 2cm	
  39 
(D) 2cm	
  36 (E) 2cm	
  318 
 
09 
Duas circunferências são tangentes exteriores em P . Uma reta tangencia essas circunferências nos 
pontos M e N respectivamente. Se cm4PM
___
= e cm2PN
___
= , o produto dos raios desses 
circunferências dá : 
(A) 2cm	
  8 (B) 2cm	
  4 (C) 2cm	
  5 
(D) 2cm	
  10 (E) 2cm	
  9 
 
10 
O ângulo interno de º150 de um triângulo é formado por lados que medem cm	
  10 e cm	
  6 . A área 
desse triângulo é : 
(A) 2cm	
  30 (B) 2cm	
  330 (C) 2cm	
  312 
(D) 2cm	
  315 (E) 2cm	
  15 
 
11 
Em um círculo de cm	
  3 de raio, a corda AB tem cm	
  8,1 . A distância do ponto B à tangente ao círculo 
em A mede : 
(A) cm	
  54,0 (B) cm	
  08,1 (C) cm	
  5,1 
(D) cm	
  4,2 (E) cm	
  8,1 
 
12 
Um capital foi empregado da seguinte maneira: seus dois quintos rendendo %40 ao ano e a parte 
restante rendendo %30 ao ano. No fim de um ano, a diferença entre os juros das duas partes foi de 
00,700.2$R . Qual era o capital inicial ? 
(A) 00,500.94$R (B) 00,000.27$R (C) 00,000.140$R 
(D) 00,000.120$R (E) 00,000.135$R 
 
13 
Um número natural de 6 algarismos começa, à esquerda, pelo algarismo 1. Levando-se este 
algarismo 1, para o último lugar, à direita, conservando a seqüência dos demais algarismos, o novo 
número é o triplo do número primitivo. O número primitivo é : 
(A) 006.100 (B) múltiplo de 11 (C) múltiplo de 4 
(D) múltiplo de 000.180 (E) divisível por 5 
 
14 
3 3610+ é igual a : 
(A) 71+ (B) 61+ (C) 51+ 
(D) 31+ (E) 21+ 
 
15 
Sendo X e Y conjuntos em que : { }b	
  a,	
  YX =− e { }c	
  YX = o conjunto X pode ser : 
(A) { }φ (B) { }a (C) { }b	
  ,a 
(D) { }d	
  c,	
  ,a (E) { }d	
  c,	
  b,	
  ,a 
 
 
 
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16 
Uma bicicleta tem uma roda de cm	
  40 de raio e outra de cm	
  50 de raio. Sabendo que a roda maior 
dá 120 voltas para fazer certos percursos, quantas voltas dará a roda menor, para fazer %80 do 
mesmo percurso ? 
(A) 8,78 (B) 5,187 (C) 120 
(D) 96 (E) 130 
 
17 
Se g	
  	
  ,h e a são, respectivamente, as médias : harmônica , geométrica e aritmética entre dois 
números, então : 
(A) g2ah = (B) gah = (C) 2g2ah= 
(D) 2gah= (E) g2ah = 
 
18 
Sobre o sistema 
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=+
=+
ayx
1yax2
 podemos afirmar : 
(A) para 1a = , o sistema é indeterminado 
(B) para 1a −= , o sistema é determinado 
(C) para 1a ≠ , o sistema é impossível 
(D) para 0a = , 2yx == 
(E) para 1a −= , 3yx == 
 
19 
Se 2
yx
yx
22
22
=
+
, 3
zx
zx
22
22
=
+
 e x
zy
zy
22
22
=
+
. O produto dos valores de x nesse sistema é : 
(A) 5,1− (B) 4,2− (C) 2,3− 
(D) 5,2 (E) 4,3 
 
20 
Na equação 09mxx2 =−− , a soma dos valores de m , que fazem com que as suas raízes a e b 
satisfaçam a relação 7ba2 =+ dá : 
(A) 5,3 (B) 20 (C) 5,10 
(D) 10 (E) 9 
 
21 
Para valores de x inteiros e 2x ≥ , os inteiros P e Q têm para expressões: 3x2xP 2 −+= e 
cbxaxQ 2 ++= e o produto do máximo divisor comum pelo mínimo múltiplo comum desses números, 
P e Q dá 12x17xx5x 234 +−−+ . A soma de b	
  	
  ,a e c é : 
(A) 0 (B) 8 (C) 6 
(D) 2 (E) 1 
 
22 
Relativamente ao trinômio : 5bxxy 2 +−= , com b constante inteira, podemos afirmar que ele pode : 
(A) se anular para um valor par de x 
(B) se anular para dois valores reais de x cuja soma seja 4 
(C) se anular para dois valores reais de x de sinais contrários 
(D) ter valor mínimo igual a 1 
(E) ter máximo para 3b = 
 
 
 
 
 
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23 
Os valores de K que fazem com que a equação : 0Kx4Kx2 =+− tenha raízes reais e que seja 
satisfeita a inequação 0K1 ≤− são os mesmos que satisfazem a inequação : 
(A) 04x2 ≤− (B) 0x4 2 ≤− (C) 01x2 ≥− 
(D) 02x3x2 ≤+− (E) 02x3x2 ≥+− 
 
24 
A equação 11x21x3 =−−+ tem duas raízes cuja soma é : 
(A) 10 (B) 4 (C) 8 
(D) 5 (E) 6 
 
25 
 
3x
x4
x2
−
− dividido por 
3x2x
x4x4
x 2
2
−−
+
+ para 3x ≠ e 1x −≠ dá : 
(A) 1x+ 1x+ (B) 4x− (C) 4x+ 
(D) 3x2 − (E) 1x− 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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01 
Na expressão 
( )
191a
a
b
21
8
125,0 b
0
ba
ab
=+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛+
−
−
, a e b são números inteiros e positivos, ba + vale : 
(A) 15 (B) 14 (C) 13 
(D) 12 (E) 11 
 
02 
201zyx =++ . x é diretamente proporcional a 2 e inversamente proporcional a 5 ; y é diretamente 
proporcional a 
2
1
 e z é inversamente proporcional a 
4
3
. O menor desses números é : 
(A) 30 (B) 45 (C) 36 
(D) 20 (E) 15 
 
03 
Um número natural N é formado por dois algarismos. Colocando-se um zero entre esses dois 
algarismos, N aumenta de 270 unidades. O inverso de N dáuma dízima periódica com 2 
algarismos na parte não periódica. A soma dos algarismos de N é : 
(A) 5 (B) 7 (C) 8 
(D) 9 (E) 11 
 
04 
Seja 654 532N ⋅⋅= . O número de divisores de N que são múltiplos de 10 , é : 
(A) 24 (B) 35 (C) 120 
(D) 144 (E) 210 
 
05 
Efetuando 
32
32
32
32
+
−
+
−
+
 , obtém-se 
(A) 4 (B) 3 (C) 2 
(D) 3
2 (E) 1 
 
06 
Os minérios de ferro de duas minas X e Y possuem, respectivamente, %72 e %58 de ferro. Uma 
mistura desses dois minérios deu um terceiro minério possuindo %62 de ferro. A razão entre as 
quantidades do minério da mina X para o da mina Y , nessa mistura, é: 
(A) 4,1 (B) 2,1 (C) 5,0 
(D) 2,0 (E) 4,0 
 
07 
Se { }6	
  	
  4,,2PM = e { }7	
  	
  4,,2QM = , logo ( )QPM  , é: 
(A) { }	
  4,2 (B) { }7	
  6,	
  	
  4,,2 (C) { }6 
(D) { }7 (E) { }7	
  ,6 
 
08 
Um terreno deve ser dividido em lotes iguais por certo número de herdeiros. Se houvessem três 
herdeiros a mais, cada lote diminuiria de 2m	
  20 e se houvessem quatro herdeiros a menos, cada lote 
aumentaria de 2m	
  50 . O número de metros quadrados da área do terreno todo é: 
(A) 1600 (B) 1400 (C) 1200 
(D) 1100 (E) 900 
 
 
 
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09 
No sistema 
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=+
=−
x
13
x
y
y
x
2yx
 a soma de todos os valores de x e y que satisfazem ao sistema é : 
(A) 9 (B) 20 (C) 11 
(D) 14 (E) 13 
 
10 
Ao extrairmos a raiz cúbica do número natural N , verificamos que o resto era o maior possível e igual 
a 126 . A soma dos algarismos de N é: 
(A) 11 (B) 9 (C) 8 
(D) 7 (E) 6 
 
 
11 
O valor da expressão 
( ) ( )
5xx
10x)1c(x1bx2a
2
23
+−
+−+−+−
 independente de x. A soma dos valores de 
a , b e c é: 
(A) 4 (B) 2 (C) 3− 
(D) 0 (E) 1 
 
12 
O sistema 
⎩
⎨
⎧
=+
=+
4ayx3
by2x2
 é indeterminado . O produto ab é: 
(A) 12 (B) 24 (C) 8 
(D) 6 (E) 18 
 
13 
A inequação 0pxpx2 2 >++ , é satisfeita para qualquer valor real de x , se, e somente se: 
(A) 
4
2
p − 
(D) 
4
2
p	
  	
  ou	
  	
  
4
2
p >− 
 
14 
O valor de m que torna mínima a soma dos quadrados das raízes da equação 
01mmxx2 =−+− , é: 
(A) 2− (B) 1− (C) 0 
(D) 1 (E) 2 
 
15 
( )( )
3223
2222
yxy3yx3x
yxxyz2zyzx
+++
−++
 é igual a: 
(A) ( )yxz + (B) ( )yxz − (C) yzx + 
(D) yzx − (E) yz + 
 
16 
O polinômio qxpxx 23 +++ é divisível por 1x+ . Logo qp+ é igual a: 
(A) 2 (B) 1 (C) 0 
(D) 1− (E) 2− 
 
 
 
 
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17 
As bases de um trapézio isósceles medem cm8 e cm4 e a altura cm6 . As diagonais desse trapézio 
dividem-no em quatro triângulos. A área, em 2cm , de um dos triângulos que não contêm nenhum das 
bases é: 
(A) 8 (B) 6 (C) 9 
(D) 10 (E) 12 
 
18 
Duas retas tangenciam uma circunferência, de centro P e cm8 de raio, nos pontos R e S . O ângulo 
entre essas tangentes é de º120 . A área do triângulo PRS em 2cm , é: 
(A) 16 (B) 316 (C) 216 
(D) 38 (E) 28 
 
19 
Um quadrilátero ABCD está inscrito em um círculo. O lado AB é o lado do triângulo equilátero 
inscrito nesse círculo. O lado CD é o lado do hexágono regular inscrito nesse círculo. O ângulo 
formado pelas diagonais do quadrilátero é de: 
(A) º30 (B) º45 (C) º60 
(D) º90 (E) º108 
 
20 
Um polígono ...ABCD é regular. As bissetrizes internas dos ângulos dos vértices A e C formam um 
ângulo de º72 . O número de lados desse polígono é: 
(A) 7 (B) 10 (C) 12 
(D) 15 (E) 20 
 
21 
O segmento da bissetriz do ângulo reto de um triângulo vale cm24 . Um dos catetos vale cm5 . A 
hipotenusa vale, em cm : 
(A) 173 (B) 174 (C) 175 
(D) 176 (E) 177 
 
22 
Pela extremidade A de um diâmetro AB de uma circunferência de raio R , traça-se uma tangente. 
Com centro na extremidade B, descreve-se um arco de raio R4 , que intercepta a tangente no ponto C
. Traça-se BC que encontra a circunferência dada em E . O valor de BE é : 
(A) R25,0 (B) R5,0 (C) R75,0 
(D) R8,0 (E) R 
 
23 
Num círculo de cm2 de raio traçam-se dois diâmetros perpendiculares, 'AA e 'BB . Sobre o arco AB 
marca-se o ponto P de modo que PQPB = , sendo PQ perpendicular a 'AA e Q situado em 'AA . A 
medida de PB , em cm , vale : 
(A) 3 (B) 232 − (C) 13 + 
(D) 1 (E) 32 
 
24 
Duas circunferências têm centros, respectivamente, em R e S . Seus raios medem cm3 e cm4 . 
Essas circunferências se cortam em P e Q . Sabendo que a maior passa no centro da menor, a área 
do quadrilátero convexo RPSQ , em 2cm , é : 
(A) 553 (B) 552 (C) 55 
(D) 
2
553
 (E) 
2
55
 
 
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25 
A diagonal de um pentágono regular convexo de lado igual a cm	
  2 , mede, em cm : 
(A) 25 + (B) 25 − (C) 5 
(D) 15 − (E) 15 + 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Colégio Naval 1983 
01 
O total de diagonais de dois polígonos regulares é 41. Um desses polígonos tem dois lados a mais que 
o outro. O ângulo interno do polígono que tem o ângulo central menor, mede: 
(A) º120 (B) º135 (C) º140 
(D) º144 (E) º150 
 
02 
A área do segmento circular determinado por uma corda de cm36 e sua fecha de cm3 é : 
(A) ( ) 2cm3912 +π (B) ( ) 2cm3912 −π (C) ( ) 2cm3312 +π 
(D) ( ) 2cm3312 −π (E) ( ) 2cm3612 −π 
 
03 
Um triângulo ABC circunscreve um círculo de raio R . O segmento da tangente ao círculo tirado do 
veículo do vértice A mede cm4 . Se o lado oposto a esse vértice mede cm5 , a área do triângulo 
ABC , é : 
(A) 2cm	
  R20 (B) 2cm	
  R10 (C) 2cm	
  R5 
(D) 2cm	
  R9 (E) 2cm	
  R4 
 
04 
Um triângulo de cm30 de altura é dividido por duas paralelas perpendiculares a essa altura, em altura 
em três partes equivalentes. O maior dos segmentos em que ficou dividida essa altura por essas 
paralelas é : 
(A) cm35 (B) cm36 (C) cm310 
(D) cm315 (E) cm320 
 
 
05 
A área da coroa circular determinada pelos círculos inscritos e circunscrito a um hexágono regular de 
área 2cm	
  354 , é : 
(A) 2cm	
  6π (B) 2cm	
  9π (C) 2cm	
  12π 
(D) 2cm	
  18π (E) 2cm	
  27π 
 
06 
Na figura : AF3AC = e CE3BC = , sendo S a área do triângulo ABC , a área do triângulo AGF é : 
(A) 
3
S
 
(B) 
7
S
 
(C) 
9
S
 
(D) 
21
S
 
(E) 
18
S
 
 
 	
  A	
  
	
  F	
  
G 	
  
E	
  
	
  C 	
  B	
  
 
 
 
07 
De um pedaço quadrado de metal corta-se uma peça circular de diâmetro máximo e desta peça 
circular corta-se outro quadrado de lado máximo. A quantidade de material desperdiçada é : 
(A) 
4
1
 da área do quadrado primitivo 
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(B) 
2
1
 da área do círculo 
(C) 
3
1
 da área do quadrado primitivo 
(D) 
4
1
 da área do círculo 
(E) 
2
1
 da área do quadrado primitivo 
 
08 
O número de triângulos diferentes cujos lados têm medidas representados por números inteiros e de 
perímetro cm12 , é : 
(A) 3 (B) 4 (C) 5 
(D) 6 (E) 7 
 
09 
Seja P um ponto exterior a um círculo de centro O e raio R e tal que 3ROP = . Traça-se por P a 
secante PAB o círculo se RPA = , AB é igual a : 
(A) R (B) 
2
R
 (C) 3R 
(D) R2 (E) 2R 
 
10 
Em um triângulo ABC , o ângulo A∠ é o dobro do ângulo B∠ , cm9AB = e cm4AC = . O lado BC 
mede : 
(A) cm139 (B) cm133 (C) cm134 
(D) cm136 (E) cm132 
 
11 
Se a divisão 
( )
4x4x
K1x8x2812x6x
2
21623
+−
++−+−+−
 é exata, o valor de K é : 
(A) 3 (B) 5 (C) 6 
(D) 7 (E) 8 
 
12 
Se 
3
8
xy
z
xz
y
yz
x
z
2
y
2
x
2
=+++++ e 16zyx =++ , o produto zyx ⋅⋅ é : 
(A) 192 (B) 48 (C) 32 
(D) 108 (E) 96 
 
13 
O maior valor de y , na solução do sistema 
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=+
=+
5yx
3yx
5 2
54
 é : 
(A) 1 (B) 16 (C) 32(D) 64 (E) 128 
 
14 
33 22232223 −−+ , é igual a : 
(A) 1 (B) 2 (C) 3 
(D) 4 (E) 5 
 
 
 
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15 
22 bab2a −− , onde a e b são números positivos é um número real se, e somente se : 
(A) 21
b
a
+≥ (B) 2
b
a
≥ (C) 2
b
a
≥ 
(D) 0
b
a
≥ (E) 1
b
a
≥ 
 
16 
A soma dos cubos das raízes da equação 03xx2 =−+ , é : 
(A) 10− (B) 8− (C) 12− 
(D) 6− (E) 18− 
 
17 
A soma dos valores inteiros que satisfazem a inequação : 
( )
( ) ( ) ( )
0
8x2x52xx
3x
10112
3
≤
−⋅−⋅−+
+−
 é : 
 
(A) 11 (B) 4 (C) 6 
(D) 8 (E) 2 
 
18 
O número de divisores inteiros de N , sendo N igual ao produto de K números primos distintos, é : 
(A) 2K (B) K2 (C) K 
(D) K2 (E) 2K + 
 
19 
A diferença entre dois números naturais que têm para produto 2304 e para máximo divisor comum 
12, é : 
(A) 180 (B) 72 (C) 0 
(D) 192 (E) 168 
 
20 
Numa cidade constatou-se que as famílias que consomem arroz não consomem macarrão. Sabe-se 
que : %40 consomem arroz; %30 consomem macarrão; %15 consomem feijão e arroz; %20 
consomem feijão e macarrão; %60 consomem feijão. A porcentagem correspondente às famílias que 
não consomem esses três produtos é : 
(A) %10 (B) %3 (C) %15 
(D) %5 (E) %12 
 
 
21 
O valor de 
( )
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛
−−
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ −
− 3
2
3
5
2
52
1
10
123
3
2 5
5
3
...333,0
2
2
5
1 
(A) 139 (B) 120 (C) 92 
(D) 121 (E) 100 
 
22 
Duas estradas de iguais dimensões começam simultaneamente a ser construídas por operários	
  15
cada uma delas. Mas, exclusivamente devido a dificuldades no terreno , percebe-se que enquanto uma 
turma avançou 3
2 na sua obra, a outra avançou 5
4 da sua . Quantos operários deve-se retirar de 
uma por na outra, para que as duas obras fiquem prontas ao mesmo tempo ? 
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(A) 4 (B) 5 (C) 6 
(D) 8 (E) 10 
 
23 
Se o lado de um quadrado aumentar de %30 de seu comprimento, a sua área aumentará de : 
(A) %55 (B) %47 (C) %30 
(D) %69 (E) %90 
 
24 
Um reservatório contém 23 dam	
  064,0 de água, e seu esvaziamento é feito por uma torneira, à razão 
de 17000 d’água por hora. O tempo mais aproximado para que ele se esvazie é de : 
(A) 35min	
  h23 (B) 	
  48minh23 (C) 10s	
  12min	
  h23 
(D) 12s	
  05min	
  h23 (E) 	
  45s31min	
  h23 
 
25. Sendo : 
 { }04x	
  	
  |	
  	
  NxA 2 =−∈= 
 
 { }5x2	
  	
  |	
  	
  ZxB , podemos a firmar que o trinômio Px6x2y 2 −−= : 
(A) se anula para dois valores positivos de x ; 
(B) se anula para valores de x de sinais contrários 
(C) se anula para dois valores negativos de x : 
(D) não se anula para valores de x real ; 
(E) tem extremo positivo 
 
09 
No sistema ( )( )⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=+−−
=−+−
12yxy2x.yx
8yxy3yx3x
2222
3223
 a soma dos valores de x e y é : 
(A) 1 (B) 4
3 (C) 3
2 
(D) 3
4 (E) 2
3 
 
10 
O valor de a , para que a soma dos quadrados das raízes da equação ( ) 03axa2x2 =−−−+ seja 
mínima, é : 
(A) 1 (B) 9 (C) 2 
(D) 1− (E) 9− 
 
11 
A soma das raízes da equação 6x6x49x6x 22 +−=+− , é : 
(A) 6 (B) 12− (C) 12 
(D) 0 (E) 6− 
 
12 
Efetuando o produto 
( )( )1xxxxxx1x 2979899100 +−+⋅⋅⋅+−+−+ , 
encontramos : 
(A) 1x100 − (B) 1x200 + (C) 1xx 50101 −+ 
(D) 2x2 100 + (E) 1x101+ 
 
13 
Seja ( ) 2x3x5x2xP 24 −+−= e ( ) 1x3xxQ 2 +−= ; se ( ) ( )xQxP ÷ determina um quociente ( )x´Q e 
um resto ( )xR , o valor de ( ) ( )1R0´Q + é : 
(A) 0 (B) 28 (C) 25 
(D) 17 (E) 18 
 
14 
Sabendo que 0z10yx3 =−− e que 0zy2x =−+ , o valor de 
32
23
zxy
yxx
−
+
 sendo 0z ≠ , é : 
(A) 18 (B) 9 (C) 6 
(D) 1 (E) 0 
 
15 
Simplificando a expressão n
2n22n 525
600
++ −
 para 	
  	
  	
  n ∈ N { }1	
  	
  0;	
  − , temos : 
(A) 5 (B) 15 − (C) 25 − 
(D) 25 (E) 05 
 
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16 
A equação x128k2kkxxk 22 +−−=− é impossível para : 
(A) um valor positivo de k 
(B) um valor negativo de k 
(C) 3 valores distintos de k ; 
(D) dois valores distintos de k ; 
(E) nenhum valor de k 
 
 
 
17 
A soma dos valores inteiros de x , no intervalo 10x10