Trabalho Bimestral de Cálculo Numérico1

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Trabalho Bimestral de Cálculo Numérico 
Karoline Bueno Fernandes; RA 114785 
Kelly Cordeiro de Pinho; RA 116160 
Pedro Augusto de Andrade Guarniéri; RA 114801 
Túlio Gabriel Rós Marques de Oliveira; RA 115400 
 
1. Problema 1 
A eficiência (η) do ciclo Diesel ar padrão para o motor a combustão é 
dada por: 
 ]η = 1 − 1rk−1 * [
r −1ck
k(r −1c 
Em que r​c ​é a razão de corte, ​r​ é a razão de compressão e k a razão de 
calores específicos a pressão e volume constantes. 
Para k = 1,4 e dois valores de r, r = 10 e r = 20, determine r​c​ , que 
representam η = 30%, 40% e 50%. Quais as conclusões? 
 
1.1. Método de solução 
Primeiramente, como temos dois termos variáveis, “r” e “η”, tendo “r” 
dois valores possíveis e “η” três, teremos um total de 6 interações que serão 
feitas no programa “R” utilizando o método Newton Raphson Modificado. 
Para realização destas interações, precisamos fazer alguns jogos 
matemáticos para readequar a equação que nos foi dada, para isso, 
subtraímos “η” dos dois lados da equação, ficando da seguinte forma: 
-]0 = 1 − 1rk−1 * [
r −1ck
k(r −1c η 
Para a realização das interações, utilizamos um erro de 0,0001 e 
geramos um gráfico para cada interação no GeoGebra, que está 
representado nas Gráfico-03, Gráfico-04, Gráfico-05, Gráfico-06, Gráfico-07, 
Gráfico-08, juntamente com os respectivos intervalos que foram usados 
para realizar as interações. 
 
 
Imagem 01 ​- Elaboração das equações. 
 
 
 
 
 
 
 
Imagem 02 ​- Elaboração das equações. 
 
 
 
Gráfico 01​ - Interação 01 - Intervalo - (7,7 a 7,9). 
 
 
 
 
 
 
Gráfico 02​ - Interação 02 - Intervalo - (4,7 a 5). 
 
 
Gráfico 03​ - Interação 03 - Intervalo - (2,5 a 2,7). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gráfico 04​ - Interação 04 - Intervalo - (16,6 a 17,4). 
 
 
Gráfico 05​ - Interação 05 - Intervalo - (10,8 a 11,6). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gráfico 06​ - Interação 06 - Intervalo - (6,2 a 6,8). 
 
 
1.2. Resultados 
 
Imagem 03​ - Interação 01. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Imagem 04​ - Interação 02. 
 
 
Imagem 05​ - Interação 03. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Imagem 06​ - Interação 04. 
 
 
 
Imagem 07 -​ Interação 05. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Imagem 08 ​- Interação 06. 
 
 
 
Tabela 01 - Resultados 
 
 
1.3. Conclusão 
Conclui-se então que, dentre os valores de “r” e “η” dados para a 
realização das combinações, a interação que resultou na combinação com 
a menor razão de corte foi a de r = 10 e η = 50%, sendo esta a terceira 
combinação e a que resultou em um ciclo a diesel mais eficiente. Já a que 
 
Combinações R η Intervalo 
01 
Intervalo 
02 
Nº de 
interações 
x = r​c 
1 10 30% 7.7 7.9 3 7.800105 
2 10 40% 4.7 5.0 4 4.854825 
3 10 50% 2.5 2.7 5 2.610109 
4 20 30% 16.6 17.4 4 17.15461 
5 20 40% 10.8 11.6 4 11.15569 
6 20 50% 6.2 6.8 4 6.527612 
 
possuiu o maior número da razão de corte foi a quarta interação, com r = 
20 e η = 30%, sendo o ciclo menos eficiente. 
Um dos principais problemas encontrados pelo grupo para a realização 
deste exercício, foi a interpretação do exercício para sabermos a 
quantidade de interações necessárias. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Problema 2 
Há água escoando em um canal trapezoidal a uma vazão de Q = 
20m3/s. A profundidade crítica y para tal canal deve satisfazer a equação: 
 
1 − Q
2
g A* c3 * B = 0 
Onde g = 9,81m2/s, Ac é a área da seção transversal (m​2​) e B é a 
largura do canal na superfície (m). Para esse canal, a largura e a área 
transversal podem ser relacionadas com a profundidade y por: 
 
B = 3 + y 
e 
cA = 3 * y + 2
y2 
 
Encontre a profundidade crítica desse canal. 
 
2.1. Método de solução 
Para realização da solução deste problema, nós utilizamos o método da 
Secante. Antes de gerar as interações, precisávamos obter um intervalo 
aceitável para isso. Sendo assim, pegamos a equação principal que o 
enunciado nos deu e substituímos “B” e “A​c​” pelas suas respectivas 
expressões, como na imagem 09. Após isso, utilizamos o programa 
GeoGebra Calculator para gerar o gráfico da nossa função e obtivemos o 
gráfico presente no Gráfico 07 e 08. Com isso definimos o intervalo como 
sendo de 1,4 a 1,6. 
Com isso definido, utilizamos o código, do método da secante, fornecido 
pelo professor para calcular a raiz com e​r​ < 1*10​-4​. 
 
 
 
 
Imagem 09​ - Equação Principal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gráfico 07​ - Interação 01. 
 
 
Gráfico 08​ - Interação 01, visão aproximada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.2. Resultados 
Após definirmos os valores de intervalo, obtivemos o seguinte resultado. 
Chegando a uma profundidade crítica ​≅1,514055 m. Para ter mais certeza, 
conferimos o credibilidade do resultado usando outro método, o Newton 
Raphson Modificado encontrando o mesmo valor ≅1,5​14055 m. 
 
Imagem 10​ - Método da Secante. 
 
 
Imagem 11​ - Método de Newton Raphson Modificado. 
 
 
 
2.3. Conclusão 
Concluímos com isso que para o canal, apresentado no enunciado, 
tenha a referida vazão com as devidas dimensões, sua profundidade crítica 
deve ser de ​≅​1,514055 m. 
Para a realização deste problema, a principal dificuldade que nosso 
grupo encontrou, foi na manipulação da equação principal para gerar o 
gráfico.