MATEMÁTICA 2-4

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10 Coleção Estudo
PRoPRiEDADE
Dados a, b ∈	*+ , com a ≥ b, valem as seguintes 
desigualdades:
b
a b
ab
a b
a≤ ≤ ≤ ≤
2
1 1 2+
+
Essa propriedade também é verifi cada para três ou mais 
números reais positivos. As médias estão no intervalo que 
vai do menor até o maior número tomado. Quando elas são 
diferentes, a maior entre elas é a aritmética, e a menor, 
a harmônica.
MÉDiA PonDERADA
A média ponderada dos números reais positivos 
x1, x2, x3, ..., xn com pesos m1, m2, m3, ..., mn (também 
números reais positivos), respectivamente, é defi nida por:
P = 
x m x m x m x m
m m m m
n n
n
1 1 2 2 3 3
1 2 3
+ + + +
+ + + +


exemplos
1º) Calcular a média ponderada dos números 15, 20 e 
40 com pesos 6, 3 e 1, respectivamente.
 M = 
15 6 20 3 40
6 3 1
90 60 40
10
190
10
19
. .+ +
+ +
= + + = =
2º) No processo seletivo de uma empresa, os 
candidatos são submetidos a testes de Português 
e Matemática, além de uma entrevista. A cada 
um desses é atribuída uma nota que varia de zero 
a dez. Porém, a entrevista tem peso três vezes 
maior que os testes de Matemática e Português. 
A nota fi nal do candidato é a média das notas de cada 
etapa, considerando-se o peso de cada uma delas. 
Essa empresa só seleciona candidatos que obtiverem 
uma nota fi nal igual ou superior a oito. Maria obteve 
nota 6 no teste de Português e 7 em Matemática. 
Qual é a nota mínima que ela deve obter na entrevista 
para ser selecionada?
 Considere que as notas no teste de Português, no de 
Matemática e na entrevista sejam, respectivamente, 
np, nm e ne. Dessa forma, a nota fi nal N de um 
candidato é dada por:
 N = 
n n n
p m e
+ +
+ +
3
1 1 3
 Assim, para Maria obter nota 8, devemos ter:
 
6 7 3
5
8
+ +
=
n
e ⇒ 13 + 3ne = 40 ⇒ 3ne = 27 ⇒ ne = 9
ExERCíCioS DE FixAção
01. (UFJF-MG–2008) Uma empresa com 20 funcionários torna 
públicos os salários de seus funcionários, ocultando o 
salário de seu diretor, conforme a tabela a seguir:
Função salário N° de 
funcionários
Auxiliar R$ 1 000,00 10
Secretária R$ 1 500,00 5
Consultor R$ 2 000,00 4
Diretor * 1
A empresa promoveu um aumento salarial de 10% sobre 
os valores da tabela para todas as funções. Foi divulgado 
que a nova média salarial da empresa passou a ser de 
R$ 1 952,50. Qual é o novo salário de diretor?
A) R$ 2 500,00 D) R$ 11 000,00
B) R$ 4 500,00 E) R$ 25 500,00
C) R$ 10 000,00
02. (UFMG) Um carro, que pode utilizar como combustível 
álcool e gasolina misturados em qualquer proporção, 
é abastecido com 20 litros de gasolina e 10 litros de 
álcool. Sabe-se que o preço do litro de gasolina e o do 
litro de álcool são, respectivamente, R$ 1,80 e R$ 1,20. 
Nessa situação, o preço médio do litro do combustível 
que foi utilizado é de
A) R$ 1,50. C) R$ 1,60.
B) R$ 1,55. D) R$ 1,40.
03. (PUC-Campinas-SP) A análise do biotipo de cada um 
dos atletas que integraram a delegação brasileira na 
última Olimpíada permitiu que se calculasse, certo dia, 
a média de pesos das 122 mulheres participantes: 62 kg. 
Supondo-se que uma dessas atletas fosse excluída do 
grupo, a média de pesos das 121 restantes passaria a 
ser 61,9 kg. Nessas condições, o peso, em quilogramas, 
da atleta excluída seria
A) 75,5 C) 74,6 E) 73,8
B) 75,2 D) 74,1 
04. (UEL-PR) Um automóvel subiu uma ladeira a uma 
velocidade média de 60 km/h e, em seguida, desceu 
a mesma ladeira à velocidade média de 100 km/h. 
A velocidade média desse veículo no percurso inteiro foi de
A) 72 km/h. D) 80 km/h.
B) 75 km/h. E) 84 km/h.
C) 78 km/h.
05. (UFG–2007) A média das notas dos alunos de um 
professor é igual a 5,5. Ele observou que 60% dos alunos 
obtiveram nota de 5,5 a 10 e que a média das notas 
desse grupo de alunos foi 6,5. Nesse caso, considerando 
o grupo de alunos que tiveram notas inferiores a 5,5, 
a média de suas notas foi de
A) 2,5 C) 3,5 E) 4,5
B) 3,0 D) 4,0 
Frente A Módulo 04
M
A
TE
M
á
Ti
C
A
11Editora Bernoulli
ExERCíCioS PRoPoSToS
01. (PUC Minas–2007) De acordo com os dados de uma 
pesquisa, os brasileiros de 12 a 17 anos navegam em 
média 42 minutos em cada acesso à Internet, ao passo 
que, na França, o tempo médio de navegação dos jovens é 
25% a menos que no Brasil e, nos Estados Unidos, é 20% 
a menos que na França. Com base nesses dados, pode-se 
estimar que a média aritmética dos tempos de navegação, 
por acesso, nesses três países, em minutos, é igual a
A) 30,6 C) 34,3
B) 32,9 D) 36,4
02. (FUVEST-SP) Numa classe de um colégio, existem 
estudantes de ambos os sexos. Numa prova, as médias 
aritméticas das notas dos meninos e das meninas foram, 
respectivamente, iguais a 6,2 e 7,0. A média aritmética 
das notas de toda a classe foi igual a 6,5.
A) A maior parte dos estudantes dessa classe é composta 
de meninos ou meninas? JUsTiFiQUe sua resposta.
B) Que porcentagem do total de alunos da classe é do 
sexo masculino?
03. (FUVEST-SP) Sabe-se que a média aritmética de 
5 números inteiros distintos, estritamente positivos, é 16. 
O MAioR valor que um desses inteiros pode assumir é
A) 16 D) 70
B) 20 E) 100
C) 50
04. (PUC-Campinas-SP) Sabe-se que os números x e y 
fazem parte de um conjunto de 100 números cuja média 
aritmética é 9,83. Retirando-se x e y desse conjunto, 
a média aritmética dos números restantes será 8,5. 
Se 3x – 2y = 125, então
A) x = 75 D) y = 65
B) y = 55 E) x = 95
C) x = 80
05. (UERJ) Seis caixas-d’água cilíndricas iguais estão 
assentadas no mesmo piso plano e ligadas por registros 
R situados nas suas bases, como sugere a figura a seguir:
R
T
8 dm
R
T
3 dm
R
T
5 dm
R
T
10 dm
R
T
9 dm 7 dm
Após a abertura de todos os registros, as caixas ficaram 
com os níveis de água no mesmo plano. A altura desses 
níveis, em dm, equivale a
A) 6,0 C) 7,0 
B) 6,5 D) 7,5
06. (UFMG) No início de uma partida de futebol, a altura 
média dos 11 jogadores de um dos times era 1,72 m. 
Ainda no primeiro tempo, um desses jogadores, com 
1,77 m de altura, foi substituído. Em seu lugar, entrou um 
outro que media 1,68 m de altura. No segundo tempo, 
outro jogador do mesmo time, com 1,73 m de altura, 
foi expulso. Ao terminar a partida, a altura média dos 
10 jogadores desse time era
A) 1,69 m. C) 1,71 m. 
B) 1,70 m. D) 1,72 m.
07. (UFMG–2006) Os 40 alunos de uma turma fizeram uma 
prova de Matemática valendo 100 pontos. A nota média 
da turma foi de 70 pontos e apenas 15 dos alunos 
conseguiram a nota máxima. Seja M a nota média 
dos alunos que não obtiveram a nota máxima. Então, 
é CoRReTo afirmar que o valor de M é
A) 53 B) 50 C) 51 D) 52
08. (FUVEST-SP) Uma prova continha cinco questões, cada uma 
valendo 2 pontos. Em sua correção, foram atribuídas a cada 
questão apenas as notas 0 ou 2, caso a resposta estivesse, 
respectivamente, errada ou certa. A soma dos pontos 
obtidos em cada questão forneceu a nota da prova de cada 
aluno. Ao final da correção, produziu-se a seguinte tabela, 
contendo a porcentagem de acertos em cada questão.
Questão 1 2 3 4 5
% de acerto 30% 10% 60% 80% 40%
Logo, a média das notas da prova foi
A) 3,8 B) 4,0 C) 4,2 D) 4,4 E) 4,6
09. (UNIFESP) Para ser aprovado num curso, um estudante 
precisa submeter-se a três provas parciais durante o 
período letivo e a uma prova final, com pesos 1, 1, 2 e 3, 
respectivamente, e obter média no mínimo igual a 7. 
Se um estudante obteve nas provas parciais as notas 
5, 7 e 5, respectivamente, a nota MíNiMA que necessita 
obter na prova final para ser aprovado é
A) 9 B) 8 C) 7 D) 6 E) 5
10. (UFPE) Uma pesquisa sobre o consumo de bebida alcoólica 
de um grupo de 20 estudantes, em um período de 30 dias, 
produziu o seguinte resultado.
Número de unidades 
de bebida alcoólica
Número de estudantes 
que consumiram
0 a 10 12
De 11 a 20 8
Acima de 20 0
Qual o valor máximo que a média do número de unidades 
alcoólicas consumidas pelos estudantes no período 
pode atingir? 
Médias
12 Coleção Estudo
11.(FUVEST-SP) A distribuição das idades dos alunos de uma 
classe é dada pelo gráfico adiante. Qual das alternativas 
representa MelhoR a média de idades dos alunos?
2
16 17 18 19 20
Idade
(anos)
N
ú
m
er
o
 d
e 
al
u
n
o
s
5
20
23
10
A) 16 anos e 10 meses 
B) 17 anos e 1 mês 
C) 17 anos e 5 meses
D) 18 anos e 6 meses
E) 19 anos e 2 meses
12. (UFMG) Define-se a média aritmética de n números 
dados como o resultado da divisão por n da soma dos n 
números dados. Sabe-se que 3,6 é a média aritmética 
de 2,7; 1,4; 5,2 e x. O número x é igual a 
A) 2,325 
B) 3,1 
C) 3,6
D) 5,1
13. (VUNESP) O gráfico representa, em milhares de 
toneladas, a produção no estado de São Paulo de 
um determinado produto agrícola entre os anos de 
1990 e 1998.
 90 91
0
10
20
30
40
50
60
70
mil t
92 93 94 95 96 97 98
ano
Analisando o gráfico, observa-se que a produção
A) foi crescente entre 1992 e 1995.
B) teve média de 40 mil toneladas ao ano.
C) em 1993 teve acréscimo de 30% em relação ao 
ano anterior.
D) a partir de 1995 foi decrescente.
E) teve média de 50 mil toneladas ao ano.
14. (FUVEST-SP) Para que fosse feito um levantamento sobre 
o número de infrações de trânsito, foram escolhidos 
50 motoristas. O número de infrações cometidas por 
esses motoristas, nos últimos cinco anos, produziu a 
seguinte tabela.
Número de infrações Número de motoristas
De 1 a 3 7
De 4 a 6 10
De 7 a 9 15
De 10 a 12 13
De 13 a 15 5
Maior ou igual a 16 0
Pode-se, então, afirmar que a média do número de 
infrações, por motorista, nos últimos cinco anos, para 
esse grupo, está entre
A) 6,9 e 9,0 C) 7,5 e 9,6 E) 8,1 e 10,2
B) 7,2 e 9,3 D) 7,8 e 9,9 
15. (Unicamp-SP) O gráfico a seguir, em forma de pizza, 
representa as notas obtidas em uma questão pelos 32 000 
candidatos presentes à primeira fase de uma prova de 
vestibular. Ele mostra, por exemplo, que 32% desses 
candidatos tiveram nota 2 nessa questão. 
4 (12%)
5 (10%)
0 (10%)
1 (20%)
2 (32%)
3 (16%)
Pergunta-se:
A) Quantos candidatos tiveram nota 3?
B) É possível afirmar que a nota média, nessa questão, 
foi