os numeros VS

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A) \( \frac{1}{3} \) 
 B) \( \frac{1}{2} \) 
 C) \( 1 \) 
 D) \( \frac{2}{3} \) 
 Resposta: C) \( 1 \). Explicação: Integrando, obtemos \( \left[x^3 - x^2 + x\right]_0^1 = 1 - 
1 + 1 = 1 \). 
 
8. Qual é o ponto de máximo global da função \( f(x) = -x^2 + 4x - 3 \)? 
 A) \( (1, 2) \) 
 B) \( (2, 1) \) 
 C) \( (2, 1) \) 
 D) \( (3, 0) \) 
 Resposta: C) \( (2, 1) \). Explicação: O vértice da parábola dada por \( x = -\frac{b}{2a} \) 
nos dá \( x = 2 \). Avaliando \( f(2) = -2^2 + 4 \cdot 2 - 3 = 1 \). 
 
9. Qual é o valor de \( \lim_{x \to \infty} \frac{3x^3 - 2x + 1}{5x^3 + 4x^2 + 3} \)? 
 A) \( \frac{3}{5} \) 
 B) \( 1 \) 
 C) \( 0 \) 
 D) \( \infty \) 
 Resposta: A) \( \frac{3}{5} \). Explicação: Dividindo todos os termos pelo maior grau \( x^3 
\), o limite se reduz a \( \frac{3}{5} \). 
 
10. Qual é a condição necessária para que a série \( \sum_{n=1}^{\infty} a_n \) converja? 
 A) Os termos \( a_n \) devem ser positivos. 
 B) \( a_n \to 0 \) conforme \( n \to \infty \). 
 C) \( a_n \) deve ser crescente. 
 D) A soma dos primeiros \( n \) termos deve ser limitada. 
 Resposta: B) \( a_n \to 0 \) conforme \( n \to \infty \). Explicação: Uma condição 
necessária para a convergência de uma série infinita é que os termos tendem a zero. 
 
11. Determine a integral \( \int (4x^3 - 2x^2 + 7) \, dx \). 
 A) \( x^4 - \frac{2}{3}x^3 + 7x + C \) 
 B) \( x^4 - x^3 + 7x + C \) 
 C) \( x^4 - \frac{2}{3}x^3 + 7 + C \) 
 D) \( 4x^4 - 2x^3 + 7 + C \) 
 Resposta: A) \( x^4 - \frac{2}{3}x^3 + 7x + C \). Explicação: A integral é calculada termo a 
termo. 
 
12. Para a função \( f(x) = \sqrt{x^2 + 1} \), qual é o valor da derivada em \( x = 0 \)? 
 A) 0 
 B) 1 
 C) \( \frac{1}{\sqrt{1}} \) 
 D) \( \frac{1}{2} \) 
 Resposta: B) 1. Explicação: Usando a regra da cadeia, \( f'(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \). 
Avaliando em \( x = 0 \), temos \( f'(0) = 0 \). 
 
13. Qual o valor de \( \int_0^{\pi} \sin(x) \, dx \)? 
 A) \( 0 \) 
 B) \( 1 \) 
 C) \( 2 \) 
 D) \( 3 \) 
 Resposta: C) \( 2 \). Explicação: A integral \( \int \sin(x) \, dx = -\cos(x) \). Avaliando entre 
0 e \( \pi \), resulta em \( -\cos(\pi) + \cos(0) = 2 \). 
 
14. Qual é o resultado do limite \( \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} \)? 
 A) 0 
 B) 2 
 C) 4 
 D) Não existe 
 Resposta: B) 4. Explicação: O limite é uma indeterminação \( \frac{0}{0} \). Fatorando, 
obtemos \( \lim_{x \to 2} (x + 2) = 4 \). 
 
15. Se \( g(x) = \cos(x^2) \), qual é a segunda derivada \( g''(x) \) em \( x = 0 \)? 
 A) 0 
 B) -1 
 C) 1 
 D) Não existe 
 Resposta: B) -1. Explicação: A primeira derivada \( g'(x) = -2x\sin(x^2) \). A segunda 
derivada \( g''(x) = -2\sin(x^2) - 4x^2\cos(x^2) \). Avaliando em \( x = 0 \), temos \( g''(0) = -2 
\cdot 0 = -1 \). 
 
16. Qual é o valor da integral \( \int e^{3x} \, dx \)? 
 A) \( \frac{1}{3} e^{3x} + C \) 
 B) \( 3e^{3x} + C \) 
 C) \( e^{3x} + C \) 
 D) \( e^{3x} + 3C \) 
 Resposta: A) \( \frac{1}{3} e^{3x} + C \). Explicação: A integral de \( e^{kx} \) é \( \frac{1}{k} 
e^{kx} \). 
 
17. Determine o intervalo de convergência da série \( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} \). 
 A) \( (-\infty, \infty) \) 
 B) \( [0, \infty) \) 
 C) \( (-1, 1) \) 
 D) Não converge 
 Resposta: A) \( (-\infty, \infty) \). Explicação: Esta é a série de Taylor para \( e^x \), que 
converge para todos os números reais. 
 
18. Qual é a derivada da função \( f(x) = \tan^{-1}(x) \)? 
 A) \( \frac{1}{1+x^2} \) 
 B) \( \frac{1}{x^2} \) 
 C) \( \frac{1}{\tan^2(x)} \) 
 D) \( \frac{1}{\sin^2(x)} \) 
 Resposta: A) \( \frac{1}{1+x^2} \). Explicação: A derivada da função arco-tangente é bem 
conhecida. 
 
19. Qual é a equação da reta normal à curva \( y = x^2 \) no ponto \( (2, 4) \)?