Apostila llllll Matematicas

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DEMONSTRAÇÕES MATEMÁTICAS - (DERIVADAS) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
JÚLIO CORGOZINHO 
LUCIENE LOPES BORGES MIRANDA 
BRUNO RODRIGUES LIMA 
 Prof. Júlio Corgozinho 
 
2 
 
 
 
2020 
 Prof. Júlio Corgozinho 
 
3 
 
SUMÁRIO 
Demonstração de derivadas básicas ....................................................... 04 
Demonstração 01 .................................................................................... 05 
Demonstração 02 .................................................................................... 06 
Demonstração 03 .................................................................................... 06 
Demonstração 04 .................................................................................... 07 
Identidade trigonométrica ...................................................................... 08 
Demonstração 05 .................................................................................... 09 
Demonstração 06 .................................................................................... 10 
Demonstração 07 .................................................................................... 11 
Demonstração 08 .................................................................................... 12 
Demonstração 09 .................................................................................... 13 
Demonstração 10 .................................................................................... 14 
Funções circulares inversas ..................................................................... 15 
Função arco seno ..................................................................................... 15 
Função arco cosseno ................................................................................ 16 
Função arco tangente ............................................................................... 17 
Função arco cotangente ........................................................................... 18 
Função arco secante ................................................................................. 19 
Função arco cossecante ............................................................................ 21 
Referências ................................................................................................ 22 
 
 
 Prof. Júlio Corgozinho 
 
4 
 
DEMONSTRAÇÃO DE DERIVADAS BÁSICAS USANDO O CONCEITO DE LIMITE. 
 
Este pequeno compêndio, representa uma modesta contribuição aos queridos amigos 
professores em jornada neste universo maravilhoso que é o universo do cálculo diferencial e integral. 
Este trabalho surgiu através de uma brincadeira feita comigo mesmo face ao descanso forçado 
às segundas feiras da sala de aula. Isso se deu de modo preguiçoso a priori, mas foi tomando forma de 
tal maneira que me fez buscar nos recônditos da mente, os passos daquelas demonstrações que ora 
eu sentia que dominava para tão logo, sentir que era dominado por esquecer este ou aquele passo. 
Isto incomodava consideravelmente, pois, sentia o ego ferido me agredindo: “como pode um 
professor universitário, se esquecer de demonstrações ditas tão triviais? como Pode? Que absurdo! 
Você está velho!”. Foi aí que “caiu a ficha”. Pensei: “Que bobagem! Se há passos que não lembro, vou 
buscar nos livros, na internet, em qualquer lugar que tenha”. Sou livre. Posso buscar onde quiser. 
De qualquer forma fui na onda do Professor Mário Sérgio Cortella. “Estou ficando idoso (diz 
respeito à idade) mas não estou velho por querer aprender sempre”. 
Sendo assim, nos organizamos, buscando sempre nas bases da matemática, os pré-requisitos 
necessários para edificação e execução das demonstrações. 
Embora singelo, foi feito com o princípio de se fazer algo do que realmente se gosta de fazer. 
Pode parecer um pouco paradoxal, mas é algo racional pensado pelo coração. Em uma frase mais 
intimista. Representa a exposição da beleza áurea da matemática. 
Ressaltamos, que todas as demonstrações aqui apresentadas são aquelas que se encontram 
alojadas em nosso pensamento, ciente de que existem outras não menos belas e iluminadas. Todos os 
gráficos e figuras foram confeccionados através do software Winplot. 
Pedimos desculpas antecipadas por ter diminuído o formato “das letras” em algum momento. 
Foi exatamente para que coubesse no espaço desejado. 
Não custa lembrar que sempre havendo uma enorme distância entre o anseio do autor e o 
valor da sua obra, gostaria de receber dos colegas professores uma apreciação sobre esta compilação, 
especificamente os comentários críticos, os quais agradecemos com limite tendendo ao infinito. 
Neste contexto, vai nossos sinceros agradecimentos aos professores e amigos Anderson 
Siqueira, José Leonardo Giovanini (Zéleo), Luciene Borges, Marcio Cometti e Wadson coelho. (os 
nomes foram colocados em ordem alfabética). 
Feito o prefácio, vamos ao trabalho!! 
Grande abraço a todos!! 
 Prof.: Júlio Corgozinho 
 
 
 
 Prof. Júlio Corgozinho 
 
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Demonstração 1 – Derivada da função potência. 
𝒇(𝒙) = 𝒙𝒏  
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝒇′(𝒙) = 𝒏𝒙𝒏−𝟏 
 
 
 
 
 
 
 
𝒇′(𝒙) = 𝒍𝒊𝒎
𝒉→𝟎
 
𝒇(𝒙 + 𝒉) − 𝒇(𝒙)
𝒉⏟ 
𝑭ó𝒓𝒎𝒖𝒍𝒂 𝒅𝒐 𝒍𝒊𝒎𝒊𝒕𝒆
= 𝒍𝒊𝒎
𝒉→𝟎
 
(𝒙 + 𝒉)𝒏⏞ 
①
− 𝒙𝒏
𝒉
 
 
①  (𝒙 + 𝒉)𝒏 = (
𝒏
𝟎
)𝒙𝒏−𝟎𝒉𝟎 + (
𝒏
𝟏
) 𝒙𝒏−𝟏𝒉𝟏 + (
𝒏
𝟐
)𝒙𝒏−𝟐𝒉𝟐 +⋯+ (
𝒏
𝒏 − 𝟏
) 𝒙𝟏𝒉𝒏−𝟏 + (
𝒏
𝒏
)𝒙𝟎𝒉𝒏 
  (𝒙 + 𝒉)𝒏 = 𝒙𝒏 + 𝒏𝒙𝒏−𝟏𝒉𝟏 +
𝒏(𝒏 − 𝟏)
𝟐
𝒙𝒏−𝟐𝒉𝟐 +⋯+ 𝒏𝒙𝟏𝒉𝒏−𝟏 + 𝒉𝒏
⏟ 
①
 
 
Assim: 
𝐥𝐢𝐦
𝒉→𝟎
𝒙𝒏 + 𝒏𝒙𝒏−𝟏𝒉𝟏 +
𝒏(𝒏 − 𝟏)
𝟐 𝒙𝒏−𝟐𝒉𝟐 +⋯+ 𝒏𝒙𝟏𝒉𝒏−𝟏 + 𝒉𝒏 − 𝒙𝒏
𝒉
 
Colocando h em evidência: 
𝒍𝒊𝒎 
𝒉→𝟎
𝒉(𝒏𝒙𝒏−𝟏 +
𝒏(𝒏 − 𝟏)
𝟐 𝒙𝒏−𝟐𝒉𝟏 +⋯+ 𝒏𝒙𝟏𝒉𝒏−𝟐 + 𝒉𝒏−𝟏)
𝒉
 
 
lim
ℎ→0
 𝒏𝒙𝒏−𝟏 +
𝒏(𝒏 − 𝟏)
𝟐
𝒙𝒏−𝟐𝒉𝟏 +⋯+ 𝒏𝒙𝟏𝒉𝒏−𝟐 + 𝒉𝒏−𝟏 = 𝒏𝒙𝒏−𝟏 
 
 
 
 
Pré-requisito 
  Noções básicas de fatorial. 
𝒏! = 𝒏(𝒏 − 𝟏)(𝒏 − 𝟐)…𝟏 
 Número binomial. 
(
𝒏
𝒑
) =
𝒏!
𝒑! (𝒏 − 𝒑)!
 
 Binômio de Newton 
(𝒂 + 𝒃)𝒏 =∑(
𝒏
𝒑
)𝒂𝒏−𝒑𝒃𝒑
𝒏
𝒑=𝟎
 
 
 
 
 
0 0 0 0 
𝒙𝟎 
𝒇(𝒙) = 𝒙𝒏 
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6 
 
 
𝒇′(𝒙) = 𝒍𝒊𝒎
𝒉→𝟎
 
𝒇(𝒙 + 𝒉) − 𝒇(𝒙)
𝒉
 𝒍𝒊𝒎 
𝒉→𝟎
 
𝑪 − 𝑪
𝒉
 = 
𝟎
𝒉
 = 𝟎 
Demonstração 2 – Derivada da função logarítmica 
𝒇(𝒙) = 𝐥𝐧𝒙  
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝒇′(𝒙) =
𝟏
𝒙
 (𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒙 > 0) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝒇′(𝒙) = 𝒍𝒊𝒎
𝒉→𝟎
 
𝒍𝒏(𝒙 + 𝒉) − 𝒍𝒏(𝒙)
𝒉
 𝒍𝒊𝒎
𝒉→𝟎
 
𝒍𝒏 (
𝒙 + 𝒉
𝒙
)
𝒉
 
 𝒍𝒊𝒎
𝒉→𝟎
 
𝟏
𝒉
𝒍𝒏 (
𝒙 + 𝒉
𝒙
) = 𝒍𝒊𝒎
𝒉→𝟎
 𝒍𝒏 (
𝒙 + 𝒉
𝒙
)
𝟏
𝒉
 
 𝒍𝒊𝒎
𝒉→𝟎
 𝒍𝒏 (
𝒙 + 𝒉
𝒙
)
𝟏
𝒉
 𝒍𝒊𝒎
𝒉→𝟎
 𝒍𝒏(𝟏 +
𝒉
𝒙⏟
①
)
𝟏
𝒉
 
① 𝑴𝒖𝒅𝒂𝒏ç𝒂 𝒅𝒆 𝒗𝒂𝒓𝒊á𝒗𝒆𝒍  
𝒉
𝒙
= 𝒕  𝒉 = 𝒕𝒙, 𝑠𝑒 ℎ → 0, 𝑡 → 0 𝑡𝑎𝑚𝑏é𝑚. 𝑆𝑢𝑏𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑛𝑑𝑜, 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠: 
 𝒍𝒊𝒎
𝒉→𝟎
 𝒍𝒏 (
𝒙 + 𝒉
𝒙
)
𝟏
𝒉
 𝒍𝒊𝒎
𝒕→𝟎
 𝒍𝒏(𝟏 + 𝒕)
𝟏
𝒕𝒙 𝒍𝒊𝒎
𝒕→𝟎
 𝒍𝒏 [(𝟏 + 𝒕)
𝟏
𝒕]
𝟏
𝒙
 
𝟏
𝒙
 𝒍𝒊𝒎
𝒕→𝟎
 𝒍𝒏(𝟏 + 𝒕)
𝟏𝒕 
𝟏
𝒙
 𝒍𝒊𝒎
𝒕→𝟎
 𝒍𝒏(𝟏 + 𝒕)
𝟏
𝒕 
𝟏
𝒙
 𝐥𝐧 𝒍𝒊𝒎
𝒕→𝟎
 (𝟏 + 𝒕)
𝟏
𝒕 
⏟ 
𝒆
 
𝟏
𝒙
 𝐥𝐧 𝒆 = 
𝟏
𝒙
 
Demonstração 3 – Derivada da função constante 
𝒇(𝒙) = 𝑪  
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝒇′(𝒙) = 𝟎 
 
 
 
 
 
Pré-requisito 
  Propriedades logarítmicas 
𝐥𝐧 (
𝒃
𝒄
) = 𝐥𝐧𝒃 − 𝐥𝐧 𝒄 
𝐥𝐧 𝒃𝒏 = 𝐧 ∙ 𝐥𝐧 𝒃 
𝐥𝐧 𝒆 = 𝟏 
 Limite exponencial fundamental. 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
(𝟏 + 𝒙)
𝟏
𝒙 = 𝒆 
 Mudança de variável 
 
 
 
 
 
𝒇(𝒙) = 𝒍𝒏 |𝒙| 
Pré-requisito 
 𝑪⏟
𝒏º 𝒓𝒆𝒂𝒍
∈ ℝ. 
 
 
 
 
 
 
 
𝒇(𝒙) = 𝑪 
𝒙𝟎 
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Demonstração 4 – Derivada da função exponencial. 
 
𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙 
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝒇′(𝒙) = 𝒂𝒙 𝐥𝐧𝒂 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝒇′(𝒙) = 𝒍𝒊𝒎
𝒉→𝟎
 𝒂(𝒙+𝒉) − 𝒂𝒙
𝒉
  𝒍𝒊𝒎
𝒉→𝟎
𝒂𝒙 ∙ 𝒂𝒉 − 𝒂𝒙
𝒉
  𝒍𝒊𝒎
𝒉→𝟎
 
𝒂𝒙(𝒂𝒉 − 𝟏)
𝒉
  𝒂𝒙 ∙ 𝒍𝒊𝒎
𝒉→𝟎
 
(𝒂𝒉 − 𝟏)⏞ 
①
𝒉
 
 
①  𝑭𝒂𝒛𝒆𝒏𝒅𝒐 𝒎𝒖𝒅𝒂𝒏ç𝒂 𝒅𝒆 𝒗𝒂𝒓𝒊á𝒗𝒆𝒍 𝒂𝒉 − 𝟏 = 𝒕, 𝒉 → 𝟎, 𝒕 → 𝟎 𝒕𝒂𝒎𝒃é𝒎. 𝑻𝒆𝒎𝒐𝒔: 
𝒂𝒉 − 𝟏 = 𝒕  𝒂𝒉 = 𝟏 + 𝒕  𝐥𝐧 𝒂𝒉 = 𝐥𝐧(𝟏 + 𝒕) 𝒉 ∙ 𝒍𝒏 𝒂 = 𝒍𝒏(𝟏 + 𝒕) 𝒉 =
𝒍𝒏(𝟏 + 𝒕)
𝒍𝒏 𝒂
 
 
Substituindo na expressão acima, temos: 
 𝒂𝒙𝒍𝒊𝒎
𝒕→𝟎
 
𝒕
𝒍𝒏(𝟏 + 𝒕)
𝒍𝒏 𝒂
 𝒂𝒙 ∙ 𝒍𝒊𝒎 
𝒕→𝟎
𝒕 𝒍𝒏 𝒂
𝒍𝒏(𝟏 + 𝒕)
 (𝒅𝒊𝒗𝒊𝒅𝒊𝒏𝒅𝒐 𝒑𝒐𝒓 𝒕), 𝒕𝒆𝒎𝒐𝒔: 
 
 𝒂𝒙 ∙ 𝒍𝒊𝒎 
𝒕→𝟎
 𝒍𝒏 𝒂
𝒍𝒏(𝟏 + 𝒕)
𝒕
  𝒂𝒙 ∙ 𝒍𝒊𝒎 
𝒕→𝟎
 𝒍𝒏 𝒂
𝒍𝒏(𝟏 + 𝒕)
𝟏
𝒕
  𝒂𝒙 ∙
𝒍𝒊𝒎 
𝒕→𝟎
 𝐥𝐧 𝒂
𝒍𝒊𝒎 
𝒕→𝟎
𝒍𝒏(𝟏 + 𝒕)
𝟏
𝒕
= 𝒂𝒙 ∙
𝒍𝒏 𝒂
𝒍𝒏 𝐥𝐢𝐦
𝒕→𝟎
(𝟏 + 𝒕)
𝟏
𝒕
⏟ 
𝒆
 
  
 
 𝒂𝒙 ∙
𝒍𝒏 𝒂
𝒍𝒏 𝒆⏟
𝟏
 
 = 𝒂𝒙 ∙ 𝒍𝒏 𝒂 
Pré-requisito 
  𝒂 ℝ (𝒂 > 0 𝑒 𝑎 ≠ 1) 
 Propriedade da potênciação 
𝒂𝒎 ∙ 𝒂𝒏 = 𝒂𝒎+𝒏 
 Propriedade logarítmica 
𝐥𝐧 𝒆 = 𝟏 
 Limite exponencial fundamental. 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
(𝟏 + 𝒙)
𝟏
𝒙 = 𝒆 𝒆 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
 
𝒂𝒙 − 𝟏
𝒙
= 𝒍𝒏 𝒂 
 
 
 
 
 
𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙 
 𝒙𝟎 
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Para a demonstração das derivadas das funções trigonométricas, faremos uma pequena revisão: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS. 
𝒔𝒆𝒏𝟐 + 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽 = 𝟏 ① 
De ① podemos obter as seguintes identidades: 
𝒕𝒈𝟐𝜽 + 𝟏 = 𝒔𝒆𝒄𝟐𝜽 / 𝒄𝒐𝒕𝒈𝟐𝜽 + 𝟏 = 𝒄𝒐𝒔𝒔𝒆𝒄𝟐𝜽 
Fórmulas de adição. 
𝐬𝐞𝐧(𝒂 + 𝒃) = 𝒔𝒆𝒏 𝒂 𝒄𝒐𝒔 𝒃 + 𝒔𝒆𝒏 𝒃 𝒄𝒐𝒔 𝒂 ③ / 𝐜𝐨𝐬(𝒂 + 𝒃) = 𝒄𝒐𝒔 𝒂 𝒄𝒐𝒔 𝒃 − 𝒔𝒆𝒏 𝒂 𝒔𝒆𝒏 𝒃 ④ 
De ③ e ④ podemos obter as seguintes identidades: 
𝐬𝐞𝐧(𝒂 − 𝒃) = 𝒔𝒆𝒏 𝒂 𝒄𝒐𝒔 𝒃 − 𝒔𝒆𝒏 𝒃 𝒄𝒐𝒔 𝒂 ⑤ / 𝐜𝐨𝐬(𝒂 − 𝒃) = 𝒄𝒐𝒔 𝒂 𝒄𝒐𝒔 𝒃 + 𝒔𝒆𝒏 𝒂 𝒔𝒆𝒏 𝒃 ⑥ 
𝐭𝐠(𝒂 + 𝒃) =
𝒕𝒈 𝒂 + 𝒕𝒈 𝒃
𝟏 − 𝒕𝒈 𝒂 𝒕𝒈 𝒃
 ⑦ 
De ⑤ e ⑥ podemos obter a identidade: 
𝐭𝐠(𝒂 − 𝒃) =
𝒕𝒈 𝒂 − 𝒕𝒈 𝒃
𝟏 + 𝒕𝒈 𝒂 𝒕𝒈 𝒃
 
No caso especial em que a = b, as identidades ③, ④ e ⑦ dão lugar às fórmulas do ângulo duplo. 
𝐬𝐞𝐧(𝟐𝒂) = 𝟐𝒔𝒆𝒏 𝒂 𝒄𝒐𝒔 𝒂 / 𝐜𝐨𝐬(𝟐𝒂) = 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒂 − 𝒔𝒆𝒏𝟐𝒂 ⑧ / 𝐭𝐠(𝟐𝒂) =
𝟐 𝒕𝒈𝒂
𝟏 − 𝒕𝒈𝟐𝒂
 
Se usarmos ① em ⑧, podemos reescrevê-la como: 
𝐜𝐨𝐬(𝟐𝒂) = 𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐𝒂 − 𝟏 𝒆 𝐜𝐨𝐬(𝟐𝒂) = 𝟏 − 𝟐𝒔𝒆𝒏𝟐𝒂 
 
𝜽 
𝒓 𝒚 
𝒙 
𝐬𝐞𝐧 𝛉 =
𝐲
𝐫
 𝐜𝐨𝐬𝐬𝐞𝐜 𝛉 =
𝐫
𝐲
 
 
𝒄𝒐𝒔 𝜽 =
𝒙
𝒓
 𝒔𝒆𝒄 𝜽 =
𝒓
𝒙
 
 
𝒕𝒈𝜽 =
𝒚
𝒙
 𝒄𝒐𝒕𝒈 𝜽 =
𝒙
𝒚
 
𝟏 
 𝜽 
𝒙 
𝒚 
𝒕𝒈𝜽 =
𝒔𝒆𝒏𝜽
𝐜𝐨𝐬 𝜽
 𝒄𝒐𝒕𝒈 𝜽 =
𝐜𝐨𝐬 𝜽
𝒔𝒆𝒏𝜽
 
𝒔𝒆𝒄 𝜽 =
𝟏
𝐜𝐨𝐬 𝜽
 𝒄𝒐𝒔𝒔𝒆𝒄 𝜽 =
𝟏
𝒔𝒆𝒏𝜽
 
 
 
 
 
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Demonstração 5 – Derivada da função Seno. 
𝒇(𝒙) = 𝐬𝐞𝐧(𝒙) 
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝒇′(𝒙) = 𝐜𝐨𝐬(𝒙) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝒇′(𝒙) = 𝒍𝒊𝒎
𝒉→𝟎
 
𝒔𝒆𝒏(𝒙 + 𝒉) − 𝐬𝐞𝐧(𝒙)
𝒉
 𝒍𝒊𝒎
𝒉→𝟎
 
[𝒔𝒆𝒏(𝒙)𝒄𝒐𝒔(𝒉) + 𝒔𝒆𝒏(𝒉)𝒄𝒐𝒔(𝒙)] − 𝐬𝐞𝐧(𝒙)
𝒉
 
 
 𝒍𝒊𝒎
𝒉→𝟎
 [ 
𝒔𝒆𝒏(𝒙)[𝒄𝒐𝒔(𝒉) − 𝟏]
𝒉
+
𝒔𝒆𝒏(𝒉) 𝒄𝒐𝒔(𝒙)
𝒉
] 𝒍𝒊𝒎
𝒉→𝟎
 
[
 
 
 
 
𝒔𝒆𝒏(𝒙)[𝒄𝒐𝒔(𝒉) − 𝟏]
𝒉
[𝒄𝒐𝒔(𝒉) + 𝟏]
[𝒄𝒐𝒔(𝒉) + 𝟏]
⏞ 
𝒄𝒐𝒏𝒋𝒖𝒈𝒂𝒅𝒐
+ (𝟏)𝒄𝒐𝒔 𝒙
]
 
 
 
 
  
 
 𝒍𝒊𝒎
𝒉→𝟎
 
[
 
 
 
 
𝒔𝒆𝒏(𝒙) [𝒄𝒐𝒔𝟐(𝒉) − 𝟏]⏞ 
①
𝒉[𝒄𝒐𝒔(𝒉) + 𝟏]
+ 𝒄𝒐𝒔 (𝒙)
]
 
 
 
 
 𝒍𝒊𝒎
𝒉→𝟎
 [
𝒔𝒆𝒏(𝒙)(−𝒔𝒆𝒏𝟐𝒉)
𝒉[𝒄𝒐𝒔(𝒉) + 𝟏]
+ 𝒄𝒐𝒔 (𝒙)]  
 
 
 𝒍𝒊𝒎
𝒉→𝟎
 [
𝒔𝒆𝒏(𝒙)(−𝒔𝒆𝒏 (𝒉))(𝒔𝒆𝒏 (𝒉))
𝒉[𝒄𝒐𝒔(𝒉) + 𝟏]
+ 𝒄𝒐𝒔 𝒙] 𝒍𝒊𝒎
𝒉→𝟎
 [
𝒔𝒆𝒏(𝒙)(−𝒔𝒆𝒏(𝒉)
[𝒄𝒐𝒔(𝒉) + 𝟏]
∙
𝒔𝒆𝒏 (𝒉)
𝒉
+ 𝒄𝒐𝒔 𝒙] 
 
 
 𝒍𝒊𝒎
𝒉→𝟎
 [
𝒔𝒆𝒏(𝒙)(𝟎)
[𝟏 + 𝟏]
∙ (𝟏) + 𝒄𝒐𝒔 (𝒙)] 𝒍𝒊𝒎
𝒉→𝟎
 [
𝟎
𝟐
+ 𝒄𝒐𝒔 (𝒙)] = 𝟎 + 𝒄𝒐𝒔 (𝒙) = 𝒄𝒐𝒔 (𝒙) 
 
Pré-requisito 
 Valores no ciclo trigonométrico. 
𝒄𝒐𝒔 (𝟎) = 𝟏 
𝒔𝒆𝒏(𝟎) = 𝟎 
 Identidade trigonométrica. 
𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 + 𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙 = 𝟏 ① 
 Soma de dois ângulos. 
𝒔𝒆𝒏(𝒂 + 𝒃) = 𝒔𝒆𝒏(𝒂)𝒄𝒐𝒔(𝒃) + 𝒔𝒆𝒏(𝒃) 𝒄𝒐𝒔(𝒂) 
 Limite trigonométrico fundamental. 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
𝒔𝒆𝒏 𝒙
𝒙
= 𝟏 𝒆 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
 
𝟏 − 𝒄𝒐𝒔(𝒙)
𝒙
= 𝟎 
 Conjugado trigonométrico. De ①, temos: 
𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙 = 𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 = (𝟏 − 𝒄𝒐𝒔 𝒙)(𝟏 + 𝒄𝒐𝒔 𝒙) 
 
 
 
𝒇(𝒙) = 𝐬𝐞𝐧𝒙 
 𝒙𝟎 
 Prof. Júlio Corgozinho 
 
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Demonstração 6 – Derivada da função cosseno. 
 𝒇(𝒙) = 𝐜𝐨𝐬(𝒙) 
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝒇′(𝒙) = −𝐬𝐞𝐧(𝒙) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝒇′(𝒙) = 𝒍𝒊𝒎
𝒉→𝟎
 
𝒄𝒐𝒔(𝒙 + 𝒉) − 𝐜𝐨𝐬 𝒙
𝒉
 𝒍𝒊𝒎
𝒉→𝟎
 
[𝒄𝒐𝒔(𝒙)𝒄𝒐𝒔(𝒉) − 𝒔𝒆𝒏(𝒙)𝒔𝒆𝒏(𝒉)] − 𝐜𝐨𝐬 𝒙
𝒉
 
 
 𝒍𝒊𝒎
𝒉→𝟎
 
𝒄𝒐𝒔(𝒙)[𝒄𝒐𝒔(𝒉) − 𝟏)] − 𝒔𝒆𝒏(𝒙)𝒔𝒆𝒏(𝒉)
𝒉
 𝒍𝒊𝒎
𝒉→𝟎
 [
𝒄𝒐𝒔(𝒙)[𝒄𝒐𝒔(𝒉) − 𝟏)]
𝒉
− 
𝒔𝒆𝒏(𝒙)𝒔𝒆𝒏(𝒉)
𝒉
 ] 
 
 𝒍𝒊𝒎
𝒉→𝟎
 [
𝒄𝒐𝒔(𝒙)[𝒄𝒐𝒔(𝒉) − 𝟏)][𝒄𝒐𝒔(𝒉) + 𝟏)]
𝒉[𝒄𝒐𝒔(𝒉) + 𝟏)]
− 𝒔𝒆𝒏(𝒙)(𝟏)] 𝒍𝒊𝒎
𝒉→𝟎
 [
𝒄𝒐𝒔(𝒙)(−𝒔𝒆𝒏𝟐𝒉)
𝒉[𝒄𝒐𝒔(𝒉) + 𝟏)]
− 𝒔𝒆𝒏(𝒙) ] 
 
 
 𝒍𝒊𝒎
𝒉→𝟎
 [
𝒄𝒐𝒔(𝒙)(−𝒔𝒆𝒏(𝒉))(𝒔𝒆𝒏(𝒉))
𝒉[𝒄𝒐𝒔(𝒉) + 𝟏)]
− 𝒔𝒆𝒏(𝒙)] 𝒍𝒊𝒎
𝒉→𝟎
 [
𝒄𝒐𝒔(𝒙)(−𝒔𝒆𝒏(𝒉))(𝟏)
[𝒄𝒐𝒔(𝒉) + 𝟏)]
− 𝒔𝒆𝒏(𝒙)] 
 
 
 𝒍𝒊𝒎
𝒉→𝟎
 [
𝒄𝒐𝒔(𝒙)(−𝒔𝒆𝒏(𝟎))
[𝒄𝒐𝒔(𝟎) + 𝟏)]
− 𝒔𝒆𝒏(𝒙)] 𝒍𝒊𝒎
𝒉→𝟎
 [
𝒄𝒐𝒔(𝒙)(𝟎)
[𝟏 + 𝟏)]
− 𝒔𝒆𝒏(𝒙)] 𝒍𝒊𝒎
𝒉→𝟎
 𝟎 − 𝒔𝒆𝒏(𝒙) = −𝒔𝒆𝒏(𝒙) 
 
 
 
 
Pré-requisito 
 Valores no ciclo trigonométrico. 
𝒄𝒐𝒔 (𝟎) = 𝟏 
𝒔𝒆𝒏(𝟎) = 𝟎 
 Identidade trigonométrica. 
𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 + 𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙 = 𝟏 ① 
 Soma de dois ângulos. 
𝒄𝒐𝒔(𝒂 + 𝒃) = 𝒄𝒐𝒔(𝒂)𝒄𝒐𝒔(𝒃) − 𝒔𝒆𝒏(𝒂) 𝒔𝒆𝒏(𝒃) 
 Limite trigonométrico fundamental. 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
𝒔𝒆𝒏 𝒙
𝒙
= 𝟏 𝒆 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
 
𝟏 − 𝒄𝒐𝒔(𝒙)
𝒙
= 𝟎 
 Conjugado trigonométrico. De ①, temos: 
𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙 = 𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 = (𝟏 − 𝒄𝒐𝒔 𝒙)(𝟏 + 𝒄𝒐𝒔 𝒙) 
 
 
 
𝒇(𝒙) = 𝐜𝐨𝐬𝒙 
𝒙𝟎 
 Prof. Júlio Corgozinho 
 
11 
 
Demonstração 7 – Derivada da função tangente. 
𝒇(𝒙) = 𝐭𝐠(𝒙) 
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝒇′(𝒙) = 𝐬𝐞𝐜𝟐( 𝒙) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝒇′(𝒙) = 𝒍𝒊𝒎
𝒉→𝟎
 
𝒕𝒈(𝒙 + 𝒉) − 𝐭𝐠 𝒙
𝒉
 
 𝒍𝒊𝒎
𝒉→𝟎
 
𝒔𝒆𝒏(𝒙 + 𝒉)𝒄𝒐𝒔(𝒙 + 𝒉)
−
𝒔𝒆𝒏(𝒙)
𝒄𝒐𝒔(𝒙)
𝒉
 𝒍𝒊𝒎
𝒉→𝟎
 
𝒔𝒆𝒏(𝒙)𝒄𝒐𝒔(𝒉) + 𝒔𝒆𝒏(𝒉)𝒄𝒐𝒔(𝒙)
[𝒄𝒐𝒔(𝒙)𝒄𝒐𝒔(𝒉) − 𝒔𝒆𝒏(𝒙)𝒔𝒆𝒏(𝒉)]
−
𝒔𝒆𝒏(𝒙)
𝒄𝒐𝒔(𝒙)
𝒉
  
 𝒍𝒊𝒎
𝒉→𝟎
 
𝒄𝒐𝒔(𝒙)[𝒔𝒆𝒏(𝒙)𝒄𝒐𝒔(𝒉) + 𝒔𝒆𝒏(𝒉)𝒄𝒐𝒔(𝒙)] − 𝒔𝒆𝒏(𝒙)[𝒄𝒐𝒔(𝒙)𝒄𝒐𝒔(𝒉) − 𝒔𝒆𝒏(𝒙)𝒔𝒆𝒏(𝒉)]
[𝒄𝒐𝒔(𝒙)𝒄𝒐𝒔(𝒉) − 𝒔𝒆𝒏(𝒙)𝒔𝒆𝒏(𝒉)]𝒄𝒐𝒔(𝒙)
𝒉
  
 𝒍𝒊𝒎
𝒉→𝟎
 
𝒄𝒐𝒔(𝒙)[𝒔𝒆𝒏(𝒙)𝒄𝒐𝒔(𝒉) + 𝒔𝒆𝒏(𝒉)𝒄𝒐𝒔(𝒙)] − 𝒔𝒆𝒏(𝒙)[𝒄𝒐𝒔(𝒙)𝒄𝒐𝒔(𝒉) − 𝒔𝒆𝒏(𝒙)𝒔𝒆𝒏(𝒉)]
𝒉[𝒄𝒐𝒔(𝒙)𝒄𝒐𝒔(𝒉) − 𝒔𝒆𝒏(𝒙)𝒔𝒆𝒏(𝒉)]𝒄𝒐𝒔(𝒙)
  
 
 𝒍𝒊𝒎
𝒉→𝟎
 
𝒄𝒐𝒔(𝒙)𝒔𝒆𝒏(𝒙)𝒄𝒐𝒔(𝒉) + 𝒄𝒐𝒔(𝒙)𝒔𝒆𝒏(𝒉)𝒄𝒐𝒔(𝒙) − 𝒔𝒆𝒏(𝒙)𝒄𝒐𝒔(𝒙)𝒄𝒐𝒔(𝒉) + 𝒔𝒆𝒏(𝒙)𝒔𝒆𝒏(𝒙)𝒔𝒆𝒏(𝒉)
𝒉[𝒄𝒐𝒔(𝒙)𝒄𝒐𝒔(𝒉) − 𝒔𝒆𝒏(𝒙)𝒔𝒆𝒏(𝒉)]𝒄𝒐𝒔(𝒙)
 
 𝒍𝒊𝒎
𝒉→𝟎
 
𝒄𝒐𝒔(𝒙)𝒔𝒆𝒏(𝒉)𝒄𝒐𝒔(𝒙) + 𝒔𝒆𝒏(𝒙)𝒔𝒆𝒏(𝒙)𝒔𝒆𝒏(𝒉)
𝒉[𝒄𝒐𝒔(𝒙)𝒄𝒐𝒔(𝒉) − 𝒔𝒆𝒏(𝒙)𝒔𝒆𝒏(𝒉)]𝒄𝒐𝒔(𝒙)
 𝒍𝒊𝒎
𝒉→𝟎
 
𝒔𝒆𝒏(𝒉)𝒄𝒐𝒔𝟐(𝒙) + 𝒔𝒆𝒏(𝒉)𝒔𝒆𝒏𝟐(𝒙)
𝒉[𝒄𝒐𝒔(𝒙)𝒄𝒐𝒔(𝒉) − 𝒔𝒆𝒏(𝒙)𝒔𝒆𝒏(𝒉)]𝒄𝒐𝒔(𝒙)
 
 𝒍𝒊𝒎
𝒉→𝟎
 
𝒔𝒆𝒏(𝒉)[𝒄𝒐𝒔𝟐(𝒙) + 𝒔𝒆𝒏𝟐(𝒙)]
𝒉[𝒄𝒐𝒔(𝒙)𝒄𝒐𝒔(𝒉) − 𝒔𝒆𝒏(𝒙)𝒔𝒆𝒏(𝒉)]𝒄𝒐𝒔(𝒙)
  𝒍𝒊𝒎
𝒉→𝟎
 
𝒔𝒆𝒏(𝒉)[𝟏]
𝒉[𝒄𝒐𝒔(𝒙)𝒄𝒐𝒔(𝒉) − 𝒔𝒆𝒏(𝒙)𝒔𝒆𝒏(𝒉)]𝒄𝒐𝒔(𝒙)
 
 𝒍𝒊𝒎
𝒉→𝟎
 
𝒔𝒆𝒏(𝒉)
𝒉[𝒄𝒐𝒔(𝒙)𝒄𝒐𝒔(𝟎) − 𝒔𝒆𝒏(𝒙)𝒔𝒆𝒏(𝟎)]𝒄𝒐𝒔(𝒙)
 𝒍𝒊𝒎
𝒉→𝟎
𝒔𝒆𝒏(𝒉)
𝒉⏟ 
𝟏
∙
𝟏
[𝒄𝒐𝒔(𝒙) 𝒄𝒐𝒔(𝟎)⏟ 
𝟏
− 𝒔𝒆𝒏(𝒙) 𝒔𝒆𝒏(𝟎)⏟ 
𝟎
] 𝒄𝒐𝒔(𝒙)
  
 𝒍𝒊𝒎
𝒉→𝟎
 
𝟏
𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙
 = 𝒔𝒆𝒄𝟐𝒙 
Pré-requisito 
 Valores no ciclo trigonométrico. 
𝒄𝒐𝒔 (𝟎) = 𝟏 
𝒔𝒆𝒏(𝟎) = 𝟎 
Relações trigonométricas. 
𝒕𝒈(𝒙) =
𝒔𝒆𝒏(𝒙)
𝒄𝒐𝒔(𝒙)
 
 Identidade trigonométrica. 
𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 + 𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙 = 𝟏 ① 
 Soma de dois ângulos. 
𝒔𝒆𝒏(𝒂 + 𝒃) = 𝒔𝒆𝒏(𝒂)𝒄𝒐𝒔(𝒃) + 𝒔𝒆𝒏(𝒃)𝒄𝒐𝒔(𝒂) 
𝒄𝒐𝒔(𝒂 + 𝒃) = 𝒄𝒐𝒔(𝒂)𝒄𝒐𝒔(𝒃) − 𝒔𝒆𝒏(𝒂) 𝒔𝒆𝒏(𝒃) 
 Limite trigonométrico fundamental. 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
𝒔𝒆𝒏 𝒙
𝒙
= 𝟏 𝒆 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
 
𝟏 − 𝒄𝒐𝒔(𝒙)
𝒙
= 𝟎 
 
 
 
𝒇(𝒙) = 𝐭𝐠(𝒙) 
𝒙𝟎 
 Prof. Júlio Corgozinho 
 
12 
 
Demonstração 8 – Derivada da função cotangente. 
𝒇(𝒙) = 𝐜𝐨𝐭𝐠(𝒙) 
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝒇′(𝒙) = −𝐜𝐨𝐬𝐬𝐞𝐜𝟐(𝒙) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝒇′(𝒙) = 𝒍𝒊𝒎
𝒉→𝟎
 
𝒄𝒐𝒕𝒈(𝒙 + 𝒉) − 𝒄𝒐𝒕𝒈𝒙
𝒉
 
 𝒍𝒊𝒎
𝒉→𝟎
 
𝒄𝒐𝒔(𝒙 + 𝒉)
𝒔𝒆𝒏(𝒙 + 𝒉)
−
𝒄𝒐𝒔(𝒙)
𝒔𝒆𝒏(𝒙)
𝒉
 𝒍𝒊𝒎
𝒉→𝟎
 
𝒄𝒐𝒔(𝒙)𝒄𝒐𝒔(𝒉) − 𝒔𝒆𝒏(𝒙)𝒔𝒆𝒏(𝒉)
[𝒔𝒆𝒏(𝒙)𝒄𝒐𝒔(𝒉) + 𝒔𝒆𝒏(𝒉)𝒄𝒐𝒔(𝒙)]
−
𝒄𝒐𝒔(𝒙)
𝒔𝒆𝒏(𝒙)
𝒉
  
 𝒍𝒊𝒎
𝒉→𝟎
 
𝒔𝒆𝒏(𝒙)[𝒄𝒐𝒔(𝒙)𝒄𝒐𝒔(𝒉) − 𝒔𝒆𝒏(𝒙)𝒔𝒆𝒏(𝒉)] − 𝒄𝒐𝒔(𝒙)[𝒔𝒆𝒏(𝒙)𝒄𝒐𝒔(𝒉) + 𝒔𝒆𝒏(𝒉)𝒄𝒐𝒔(𝒙)]
[𝒔𝒆𝒏(𝒙)𝒄𝒐𝒔(𝒉) + 𝒔𝒆𝒏(𝒉)𝒄𝒐𝒔(𝒙)][𝒔𝒆𝒏(𝒙)]
𝒉
  
 𝒍𝒊𝒎
𝒉→𝟎
𝒔𝒆𝒏(𝒙)𝒄𝒐𝒔(𝒙)𝒄𝒐𝒔(𝒉) − 𝒔𝒆𝒏(𝒙)𝒔𝒆𝒏(𝒙)𝒔𝒆𝒏(𝒉) − 𝒄𝒐𝒔(𝒙)𝒔𝒆𝒏(𝒙)𝒄𝒐𝒔(𝒉) − 𝒄𝒐𝒔(𝒙)𝒔𝒆𝒏(𝒉)𝒄𝒐𝒔(𝒙)
[𝒔𝒆𝒏(𝒙)𝒄𝒐𝒔(𝒉) + 𝒔𝒆𝒏(𝒙)𝒄𝒐𝒔(𝒉)][𝒔𝒆𝒏(𝒙)]𝒉
 
 𝒍𝒊𝒎
𝒉→𝟎
−𝒔𝒆𝒏(𝒙)𝒔𝒆𝒏(𝒙)𝒔𝒆𝒏(𝒉) − 𝒄𝒐𝒔(𝒙)𝒔𝒆𝒏(𝒉)𝒄𝒐𝒔(𝒙)
[𝒔𝒆𝒏(𝒙)𝒄𝒐𝒔(𝒉) + 𝒔𝒆𝒏(𝒉)𝒄𝒐𝒔(𝒙)][𝒔𝒆𝒏(𝒙)]𝒉
 𝒍𝒊𝒎
𝒉→𝟎
−𝒔𝒆𝒏𝟐(𝒙)𝒔𝒆𝒏(𝒉) − 𝒄𝒐𝒔𝟐(𝒙)𝒔𝒆𝒏(𝒉)
[𝒔𝒆𝒏(𝒙)𝒄𝒐𝒔(𝒉) + 𝒔𝒆𝒏(𝒉)𝒄𝒐𝒔(𝒙)][𝒔𝒆𝒏(𝒙)]𝒉
 
 𝒍𝒊𝒎
𝒉→𝟎
−𝒔𝒆𝒏(𝒉)[𝒔𝒆𝒏𝟐(𝒙) + 𝒄𝒐𝒔𝟐(𝒙)]
[𝒔𝒆𝒏(𝒙)𝒄𝒐𝒔(𝒉) + 𝒔𝒆𝒏(𝒉)𝒄𝒐𝒔(𝒙)][𝒔𝒆𝒏(𝒙)]𝒉
 𝒍𝒊𝒎
𝒉→𝟎
−𝒔𝒆𝒏(𝒉)[𝟏]
[𝒔𝒆𝒏(𝒙)𝒄𝒐𝒔(𝒉) + 𝒔𝒆𝒏(𝒉)𝒄𝒐𝒔(𝒙)][𝒔𝒆𝒏(𝒙)]𝒉
  
 𝒍𝒊𝒎
𝒉→𝟎
−𝒔𝒆𝒏(𝒉)
[𝒔𝒆𝒏(𝒙)𝒄𝒐𝒔(𝒉) + 𝒔𝒆𝒏(𝒉)𝒄𝒐𝒔(𝒙)][𝒔𝒆𝒏(𝒙)]𝒉
 𝒍𝒊𝒎
𝒉→𝟎
−𝟏
[𝒔𝒆𝒏(𝒙)𝒄𝒐𝒔(𝟎) + 𝒔𝒆𝒏(𝟎)𝒄𝒐𝒔(𝒙)][𝒔𝒆𝒏(𝒙)]
 
 𝒍𝒊𝒎
𝒉→𝟎
−𝟏
[𝒔𝒆𝒏(𝒙)(𝟏) + (𝟎)𝒄𝒐𝒔(𝒙)][𝒔𝒆𝒏(𝒙)]
=
−𝟏
𝒔𝒆𝒏𝟐(𝒙)
 = −𝒄𝒐𝒔𝒔𝒆𝒄𝟐(𝒙) 
 
Pré-requisito 
 Valores no ciclo trigonométrico. 
𝒄𝒐𝒔 (𝟎) = 𝟏 
𝒔𝒆𝒏(𝟎) = 𝟎 
Relações trigonométricas. 
𝒄𝒐𝒕𝒈(𝒙) =
𝒄𝒐𝒔(𝒙)
𝒔𝒆𝒏(𝒙)
 
 Identidade trigonométrica. 
𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 + 𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙 = 𝟏 ① 
 Soma de dois ângulos. 
𝒔𝒆𝒏(𝒂 + 𝒃) = 𝒔𝒆𝒏(𝒂)𝒄𝒐𝒔(𝒃) + 𝒔𝒆𝒏(𝒃)𝒄𝒐𝒔(𝒂) 
𝒄𝒐𝒔(𝒂 + 𝒃) = 𝒄𝒐𝒔(𝒂)𝒄𝒐𝒔(𝒃) − 𝒔𝒆𝒏(𝒂) 𝒔𝒆𝒏(𝒃) 
 Limite trigonométrico fundamental. 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
𝒔𝒆𝒏 𝒙
𝒙
= 𝟏 𝒆 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
 
𝟏 − 𝒄𝒐𝒔(𝒙)
𝒙
= 𝟎 
 
 
 
𝒇(𝒙) = 𝒄𝒐 𝐭𝐠(𝒙) 
 Prof. Júlio Corgozinho 
 
13 
 
Demonstração 9 – Derivada da função secante. 
𝒇(𝒙) = 𝐬𝐞𝐜 (𝒙) 
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝒇′(𝒙) = 𝐬𝐞𝐜(𝒙)𝒕𝒈(𝒙) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝒇′(𝒙) = 𝒍𝒊𝒎
𝒉→𝟎
 
𝒔𝒆𝒄(𝒙 + 𝒉) − 𝒔𝒆𝒄( 𝒙)
𝒉
 → 𝒍𝒊𝒎
𝒉→𝟎
 
𝟏
𝒄𝒐𝒔(𝒙 + 𝒉)
−
𝟏
𝒄𝒐𝒔(𝒙)
𝒉
  𝒍𝒊𝒎
𝒉→𝟎
 
𝒄𝒐𝒔(𝒙) − 𝒄𝒐𝒔(𝒙 + 𝒉)
𝒄𝒐𝒔(𝒙 + 𝒉)𝒄𝒐𝒔(𝒙)
𝒉
  
 
 𝒍𝒊𝒎
𝒉→𝟎
 
𝒄𝒐𝒔(𝒙) − [𝒄𝒐𝒔(𝒙)𝒄𝒐𝒔(𝒉) − 𝒔𝒆𝒏(𝒙)𝒔𝒆𝒏(𝒉)]
𝒄𝒐𝒔(𝒙 + 𝒉)𝒄𝒐𝒔(𝒙)
𝒉
  𝒍𝒊𝒎
𝒉→𝟎
 
𝒄𝒐𝒔(𝒙) − 𝒄𝒐𝒔(𝒙)𝒄𝒐𝒔(𝒉) + 𝒔𝒆𝒏(𝒙)𝒔𝒆𝒏(𝒉)
𝒄𝒐𝒔(𝒙 + 𝒉)𝒄𝒐𝒔(𝒙)𝒉
  
 
 𝒍𝒊𝒎
𝒉→𝟎
 
𝒄𝒐𝒔(𝒙)[𝟏 − 𝒄𝒐𝒔(𝒉)] + 𝒔𝒆𝒏(𝒙)𝒔𝒆𝒏(𝒉)
𝒄𝒐𝒔(𝒙 + 𝒉)𝒄𝒐𝒔(𝒙)𝒉
 𝒍𝒊𝒎
𝒉→𝟎
 [
𝒄𝒐𝒔(𝒙)[𝟏 − 𝒄𝒐𝒔(𝒉)]
𝒄𝒐𝒔(𝒙 + 𝒉)𝒄𝒐𝒔(𝒙)𝒉⏟ 
𝟎
+
𝒔𝒆𝒏(𝒙)𝒔𝒆𝒏(𝒉)
𝒄𝒐𝒔(𝒙 + 𝒉)𝒄𝒐𝒔(𝒙)𝒉
] 
 
 𝒍𝒊𝒎
𝒉→𝟎
 [𝟎 + 
𝒔𝒆𝒏(𝒙)
𝒄𝒐𝒔(𝒙 + 𝒉⏟
𝟎
)𝒄𝒐𝒔(𝒙)
] 𝒍𝒊𝒎
𝒉→𝟎
 
𝒔𝒆𝒏(𝒙)
𝒄𝒐𝒔(𝒙)𝒄𝒐𝒔(𝒙)
=
𝟏
𝒄𝒐𝒔(𝒙)
∙
𝒔𝒆𝒏(𝒙)
𝒄𝒐𝒔(𝒙)
 = 𝒔𝒆𝒄(𝒙). 𝒕𝒈(𝒙) 
 
 
Pré-requisito 
 Valores no ciclo trigonométrico. 
𝒄𝒐𝒔 (𝟎) = 𝟏 
𝒔𝒆𝒏(𝟎) = 𝟎 
Relações trigonométricas. 
𝒔𝒆𝒄(𝒙) =
𝟏
𝒄𝒐𝒔(𝒙)
 
 Identidade trigonométrica. 
𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 + 𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙 = 𝟏 ① 
 Soma de dois ângulos. 
𝒔𝒆𝒏(𝒂 + 𝒃) = 𝒔𝒆𝒏(𝒂)𝒄𝒐𝒔(𝒃) + 𝒔𝒆𝒏(𝒃)𝒄𝒐𝒔(𝒂) 
𝒄𝒐𝒔(𝒂 + 𝒃) = 𝒄𝒐𝒔(𝒂)𝒄𝒐𝒔(𝒃) − 𝒔𝒆𝒏(𝒂) 𝒔𝒆𝒏(𝒃) 
 Limite trigonométrico fundamental. 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
𝒔𝒆𝒏 𝒙
𝒙
= 𝟏 𝒆 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
 
𝟏 − 𝒄𝒐𝒔(𝒙)
𝒙
= 𝟎 
 
 
 
𝒇(𝒙) = 𝒔𝒆𝒄 (𝒙) 
𝒙𝟎 
 Prof. Júlio Corgozinho 
 
14 
 
Demonstração 10 – Derivada da função cossecante. 
𝒇(𝒙) = 𝐜𝐨𝐬𝐬𝐞𝐜 (𝒙) 
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝒇′(𝒙) = −𝐜𝐨𝐬𝐬𝐞𝐜 (𝒙)𝒄𝒐𝒕𝒈(𝒙) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝒇′(𝒙) = 𝒍𝒊𝒎
𝒉→𝟎
 
𝒄𝒐𝒔𝒔𝒆𝒄 (𝒙 + 𝒉) − 𝒄𝒐𝒔𝒔𝒆𝒄( 𝒙)
𝒉
 
 
𝒍𝒊𝒎
𝒉→𝟎
 
𝟏
𝒔𝒆𝒏(𝒙 + 𝒉)
−
𝟏
𝒔𝒆𝒏(𝒙)
𝒉
  𝒍𝒊𝒎
𝒉→𝟎
 
𝒔𝒆𝒏(𝒙) − 𝒔𝒆𝒏(𝒙 + 𝒉)
𝒔𝒆𝒏(𝒙 + 𝒉)𝒔𝒆𝒏(𝒙)
𝒉
  𝒍𝒊𝒎
𝒉→𝟎
 
𝒔𝒆𝒏(𝒙) − 𝒔𝒆𝒏(𝒙)𝒄𝒐𝒔(𝒉) − 𝒔𝒆𝒏(𝒉)𝒄𝒐𝒔(𝒙)
𝒔𝒆𝒏(𝒙 + 𝒉)𝒔𝒆𝒏(𝒙)
𝒉
 
 
 
 𝒍𝒊𝒎
𝒉→𝟎
𝒔𝒆𝒏(𝒙) − 𝒔𝒆𝒏(𝒙)𝒄𝒐𝒔(𝒉) − 𝒔𝒆𝒏(𝒉)𝒄𝒐𝒔(𝒙)
𝒔𝒆𝒏(𝒙 + 𝒉)𝒔𝒆𝒏(𝒙)𝒉
  𝒍𝒊𝒎
𝒉→𝟎
 [
𝒔𝒆𝒏(𝒙)[𝟏 − 𝒄𝒐𝒔(𝒉)]
𝒔𝒆𝒏(𝒙 + 𝒉)𝒔𝒆𝒏(𝒙)𝒉⏟ 
𝟎
−
𝒔𝒆𝒏(𝒉)𝒄𝒐𝒔(𝒙)
𝒔𝒆𝒏(𝒙 + 𝒉)𝒔𝒆𝒏(𝒙)𝒉
] 
 
 
 𝒍𝒊𝒎
𝒉→𝟎
 –
(𝟏)𝒄𝒐𝒔(𝒙)
𝒔𝒆𝒏(𝒙 + 𝒉)𝒔𝒆𝒏(𝒙)
 𝒍𝒊𝒎
𝒉→𝟎
 –
𝒄𝒐𝒔(𝒙)
𝒔𝒆𝒏(𝒙 + 𝒉⏟
𝟎
)𝒔𝒆𝒏(𝒙)
  𝒍𝒊𝒎
𝒉→𝟎
 –
𝟏
𝒔𝒆𝒏(𝒙)
∙
𝒄𝒐𝒔(𝒙)
𝒔𝒆𝒏(𝒙)
 = −𝒄𝒐𝒔𝒔𝒆𝒄(𝒙)𝒄𝒐𝒕𝒈(𝒙) 
 
Pré-requisito 
 Valores no ciclo trigonométrico. 
𝒄𝒐𝒔 (𝟎) = 𝟏 
𝒔𝒆𝒏(𝟎) = 𝟎 
Relações trigonométricas. 
𝒔𝒆𝒄(𝒙) =
𝟏
𝒄𝒐𝒔(𝒙)
 
 Identidade trigonométrica. 
𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 + 𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙 = 𝟏 ① 
 Soma de dois ângulos. 
𝒔𝒆𝒏(𝒂 + 𝒃) = 𝒔𝒆𝒏(𝒂)𝒄𝒐𝒔(𝒃) + 𝒔𝒆𝒏(𝒃)𝒄𝒐𝒔(𝒂) 
𝒄𝒐𝒔(𝒂 + 𝒃) = 𝒄𝒐𝒔(𝒂)𝒄𝒐𝒔(𝒃) − 𝒔𝒆𝒏(𝒂) 𝒔𝒆𝒏(𝒃) 
 Limite trigonométrico fundamental. 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
𝒔𝒆𝒏 𝒙
𝒙
= 𝟏 𝒆 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
 
𝟏 − 𝒄𝒐𝒔(𝒙)
𝒙
= 𝟎 
 
 
 
𝒇(𝒙) = 𝒔𝒆𝒄 (𝒙) 
𝒙𝟎Prof. Júlio Corgozinho 
 
15 
 
DEMONSTRAÇÃO DE DERIVADAS: 
FUNÇÕES CIRCULARES INVERSAS USANDO DERIVAÇÃO IMPLICITA. 
FUNÇÃO ARCO SENO. 
Seja a função 𝒇: [−
𝝅
𝟐
,
𝝅
𝟐
][−𝟏, 𝟏] a função definida por 𝒇(𝒙) = 𝒔𝒆𝒏𝒙. A função inversa de 𝒇(𝒙) será 
chamada arco seno e denotada por: 
 
𝒇−𝟏: [−𝟏, 𝟏] [−
𝝅
𝟐
,
𝝅
𝟐
], onde 𝒇−𝟏(𝒙) = 𝒂𝒓𝒄 𝒔𝒆𝒏 𝒙. 
 
Simbolicamente, para −
𝝅
𝟐
≤ 𝒚 ≤ 
𝝅
𝟐
 , escrevemos a equivalência: 
𝒚 = 𝒂𝒓𝒄 𝒔𝒆𝒏 𝒙 ⇔ 𝒔𝒆𝒏 𝒚 = 𝒙 
 
 
 
 
 
 
 
𝒚 = 𝒂𝒓𝒄 𝒔𝒆𝒏 𝒙  𝒚′ =
𝒅𝒚
𝒅𝒙
=
𝟏
√𝟏 − 𝒙𝟐
 
Sabemos que: 
𝒚 = 𝒂𝒓𝒄 𝒔𝒆𝒏(𝒙)  𝒔𝒆𝒏(𝒚) = 𝒙⏟ 
𝑫𝒆𝒓𝒊𝒗𝒂𝒓 𝒆𝒎 𝒓𝒆𝒍𝒂çã𝒐 𝒂 𝒙
 
 
 
 
 
 [𝒔𝒆𝒏(𝒚)]′𝒚′ = 𝒙′ 𝒄𝒐𝒔(𝒚)
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝟏  
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝒚′ =
𝟏
𝒄𝒐𝒔(𝒚)
  𝒚′ = 
𝟏
√𝟏 − 𝒙𝟐
 
 
𝐥𝐨𝐠𝐨: 𝒚′ = 𝒂𝒓𝒄 𝒔𝒆𝒏(𝒙) = 
𝟏
√𝟏 − 𝒙𝟐
 
 
𝝅
𝟐
 −
𝝅
𝟐
 
𝟏 
−𝟏 
−𝟏 𝟏 
𝝅
𝟐
 
−
𝝅
𝟐
 
 𝒙 
 𝟏 
√𝟏 − 𝒙𝟐 
 𝒚 
 Prof. Júlio Corgozinho 
 
16 
 
FUNÇÃO ARCO COSSENO. 
Seja a função 𝒇: [𝟎, 𝝅][−𝟏, 𝟏] a função definida por 𝒇(𝒙) = 𝒄𝒐𝒔 𝒙. A função inversa de 𝒇(𝒙) será 
chamada arco cosseno e denotada por: 
 
𝒇−𝟏: [−𝟏, 𝟏] [𝟎, 𝝅], onde 𝒇−𝟏(𝒙) = 𝒂𝒓𝒄 𝒄𝒐𝒔 𝒙. 
 
Simbolicamente, para 𝟎 ≤ 𝒚 ≤ 𝝅 , escrevemos a equivalência: 
𝒚 = 𝒂𝒓𝒄 𝒄𝒐𝒔 𝒙 ⇔ 𝒄𝒐𝒔 𝒚 = 𝒙 
 
 
 
 
 
 
 
𝒚 = 𝒂𝒓𝒄 𝒄𝒐𝒔 𝒙  𝒚′ =
𝒅𝒚
𝒅𝒙
=
−𝟏
√𝟏 − 𝒙𝟐
 
Sabemos que: 
 
𝒚 = 𝒂𝒓𝒄 𝒄𝒐𝒔(𝒙)  𝒄𝒐𝒔(𝒚) = 𝒙⏟ 
𝑫𝒆𝒓𝒊𝒗𝒂𝒓 𝒆𝒎 𝒓𝒆𝒍𝒂çã𝒐 𝒂 𝒙
 
 
 
 
 [𝒄𝒐𝒔(𝒚)]′𝒚′ = 𝒙′ − 𝒔𝒆𝒏(𝒚)
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝟏  
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝒚′ = −
𝟏
𝒔𝒆𝒏(𝒚)
  𝒚′ = −
𝟏
√𝟏 − 𝒙𝟐
 
 
 
𝐥𝐨𝐠𝐨: 𝒚′ = 𝒂𝒓𝒄 𝒄𝒐𝒔(𝒙) = −
𝟏
√𝟏 − 𝒙𝟐
 
 
 
𝝅 𝟎 
 𝟏 
 −𝟏 −𝟏 𝟏 
 𝝅 
𝟎 
 𝒙 
 𝟏 √𝟏 − 𝒙𝟐 
 𝒚 
 Prof. Júlio Corgozinho 
 
17 
 
FUNÇÃO ARCO TANGENTE. 
Seja a função 𝒇: [−
𝝅
𝟐
,
𝝅
𝟐
] ℝ a função definida por 𝒇(𝒙) = 𝒕𝒈(𝒙). A função inversa de 𝒇(𝒙) será 
chamada arco tangente e denotada por: 
 
𝒇−𝟏:ℝ [−
𝝅
𝟐
,
𝝅
𝟐
], onde 𝒇−𝟏(𝒙) = 𝒂𝒓𝒄 𝒕𝒈(𝒙). 
Simbolicamente, para −
𝝅
𝟐
≤ 𝒚 ≤
𝝅
𝟐
 , escrevemos a equivalência: 
 
𝒚 = 𝒂𝒓𝒄 𝒕𝒈(𝒙) ⇔ 𝒕𝒈(𝒚) = 𝒙 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝒚 = 𝒂𝒓𝒄 𝒕𝒈 (𝒙)  𝒚′ =
𝒅𝒚
𝒅𝒙
=
𝟏
𝟏 + 𝒙𝟐
 
 
Sabemos que: 
 
𝒚 = 𝒂𝒓𝒄 𝒕𝒈(𝒙)  𝒕𝒈(𝒚) = 𝒙⏟ 
𝑫𝒆𝒓𝒊𝒗𝒂𝒓 𝒆𝒎 𝒓𝒆𝒍𝒂çã𝒐 𝒂 𝒙
 
 
 
 [𝒕𝒈(𝒚)]′𝒚′ = 𝒙′ 𝒔𝒆𝒄𝟐(𝒚)
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝟏  
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝒚′ =
𝟏
𝒔𝒆𝒄𝟐(𝒚)⏟ 
①
  𝒚′ = 
𝟏
(√𝟏 + 𝒙𝟐)
𝟐
= 
𝟏
𝟏 + 𝒙𝟐
 
① 𝒔𝒆𝒄𝟐(𝒚) =
𝟏
𝒄𝒐𝒔𝟐(𝒚)
= √𝟏 + 𝒙𝟐 
𝐥𝐨𝐠𝐨: 𝒚′ = 𝒂𝒓𝒄 𝒕𝒈(𝒙) = 
𝟏
𝟏 + 𝒙𝟐
 
 
𝝅
𝟐
 
 
𝝅
𝟐
 
 𝒙 
 𝟏 
√𝟏 + 𝒙𝟐 
 𝒚 
−
𝝅
𝟐
 
 − 
𝝅
𝟐
 
 Prof. Júlio Corgozinho 
 
18 
 
FUNÇÃO ARCO COTANGENTE. 
Seja a função 𝒇: [−
𝝅
𝟐
,
𝝅
𝟐
] ℝ a função definida por 𝒇(𝒙) = 𝒄𝒐𝒕𝒈(𝒙). A função inversa de 𝒇(𝒙) 
será chamada arco cotangente e denotada por: 
𝒇−𝟏: ℝ [−
𝝅
𝟐
,
𝝅
𝟐
], onde 𝒇−𝟏(𝒙) = 𝒂𝒓𝒄 𝒄𝒐𝒕𝒈(𝒙). 
Simbolicamente, para −
𝝅
𝟐
≤ 𝒚 ≤
𝝅
𝟐
 , escrevemos a equivalência: 
𝒚 = 𝒂𝒓𝒄 𝒄𝒐𝒕𝒈(𝒙) ⇔ 𝒄𝒐𝒕𝒈(𝒚) = 𝒙 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝒚 = 𝒂𝒓𝒄 𝒄𝒐𝒕𝒈 (𝒙) 𝒚′ =
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= −
𝟏
𝟏 + 𝒙𝟐
 
Sabemos que: 
 
𝒚 = 𝒂𝒓𝒄 𝒄𝒐𝒕𝒈(𝒙)  𝒄𝒐𝒕𝒈(𝒚) = 𝒙⏟ 
𝑫𝒆𝒓𝒊𝒗𝒂𝒓 𝒆𝒎 𝒓𝒆𝒍𝒂çã𝒐 𝒂 𝒙
 
 
 
 [𝒄𝒐𝒕𝒈(𝒚)]′𝒚′ = 𝒙′ − 𝒄𝒐𝒔𝒔𝒆𝒄𝟐(𝒚)
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝟏  
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝒚′−
𝟏
𝒄𝒐𝒔𝒔𝒆𝒄𝟐(𝒚)⏟ 
①
 
 𝒚′ = −
𝟏
(√𝟏 + 𝒙𝟐)
𝟐
= −
𝟏
𝟏 + 𝒙𝟐
 
① 𝒄𝒐𝒔𝒔𝒆𝒄𝟐(𝒚) =
𝟏
𝒔𝒆𝒏𝟐(𝒚)
= √𝟏 + 𝒙𝟐 
𝐥𝐨𝐠𝐨: 𝒚′ = 𝒂𝒓𝒄 𝒄𝒐𝒕𝒈(𝒙) = −
𝟏
𝟏 + 𝒙𝟐
 
 
𝝅 
 𝝅 
 𝟏 
 𝒙 
√𝟏 + 𝒙𝟐 
 𝒚 
𝟎 
 𝟎 
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19 
 
FUNÇÃO ARCO SECANTE. 
Seja a função 𝒇: [𝟎, 𝝅] − {
𝝅
𝟐
} ℝ − [−𝟏, 𝟏] a função definida por 𝒇(𝒙) = 𝒔𝒆𝒄(𝒙). A função inversa 
de 𝒇(𝒙) será chamada arco secante e denotada por: 𝒇−𝟏: ℝ − [−𝟏, 𝟏] [𝟎, 𝝅] − {
𝝅
𝟐
}, onde 𝒇−𝟏(𝒙) =
𝒂𝒓𝒄 𝒔𝒆𝒄(𝒙). 
 
𝒚 = 𝒂𝒓𝒄 𝒔𝒆𝒄(𝒙) ⇔ 𝒔𝒆𝒄(𝒚) = 𝒙 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝒚 = 𝒂𝒓𝒄 𝒔𝒆𝒄 (𝒙) 𝒚′ =
𝒅𝒚
𝒅𝒙
=
𝟏
|𝒙|√𝒙𝟐 − 𝟏
 
 
Sabemos que: 
 
𝒚 = 𝒂𝒓𝒄 𝒔𝒆𝒄(𝒙)  𝒔𝒆𝒄 (𝒚) = 𝒙⏞ 
①
⏟ 
𝑫𝒆𝒓𝒊𝒗𝒂𝒓 𝒆𝒎 𝒓𝒆𝒍𝒂çã𝒐 𝒂 𝒙
 
 
 
 
 [𝒔𝒆𝒄(𝒚)]′𝒚′ = 𝒙′ 𝒔𝒆𝒄(𝒚)𝒕𝒈(𝒚)
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝟏  
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝒚′ =
𝟏
𝒔𝒆𝒄(𝒚)𝒕𝒈(𝒚)
=
𝟏
𝒔𝒆𝒄(𝒚)⏟ 
𝒄𝒐𝒔(𝒚)
∙
𝟏
𝒕𝒈(𝒚)⏟ 
𝒄𝒐𝒕𝒈(𝒚)
  𝒚′ = 
𝟏
|𝒙|⏟
②
∙
𝟏
√𝒙𝟐−𝟏
 
 
 
 
 𝟏 
𝒙 
 𝒚 
√𝒙𝟐 − 𝟏 
𝝅 
−𝟏 
 𝟎 
 𝟏 
𝝅/𝟐 −𝟏 𝟏 
𝝅/𝟐 
 𝝅 
 Prof. Júlio Corgozinho 
 
20 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝒍𝒐𝒈𝒐: 𝒚′ = 𝒂𝒓𝒄 𝒔𝒆𝒄(𝒙) =
𝟏
|𝒙|√𝒙𝟐 − 𝟏
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
① - Relação secante/tangente: 
𝑡𝑔2(𝑥) + 1 = sec2(𝑥) 𝑡𝑔2(𝑥) = sec2(𝑥) − 1  𝑡𝑔2(𝑥) = 𝑥2 − 1  𝑡𝑔(𝑥) = ±√𝑥2 − 1 
② 
𝑷𝒂𝒓𝒂 𝒙 ≥ 𝟏  𝟎 ≤ 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒆𝒄(𝒙) 0  𝒚′ =
𝟏
𝒙
∙
𝟏
(+√𝒙𝟐 − 𝟏)
 
 𝒇(𝒙) = |𝒙| {
𝒙, 𝒔𝒆 𝒙 ≥ 𝟎
−𝒙, 𝒔𝒆 𝒙IRL; DAVIS, STEPHEN. Cálculo volume I. 8ª ed. Porto Alegre: Bookman, 
2009. 
 
FLEMMING, D. M.; GONÇALVES, M.B. Cálculo A. 10ª Ed. São Paulo: Pearson, 2006. 
 
IEZZI, G. [et al]. Fundamentos de Matemática Elementar – Trigonometria. 6ª Ed. São Paulo: Atual. 
1985. 
 
LEITHOLD, L. O cálculo com Geometria Analítica – Volume I. 3ª Ed. São Paulo: Editora Harbra, 1994 
 
MORETTI, P. A.; [et al]. Cálculo: Funções de uma e várias variáveis. 1ª Ed. São Paulo: Saraiva, 2003. 
 
STEWART, J. Cálculo – Volume I. 6ª Ed. São Paulo: Cengage Learning, 2010.