1-AVALIANDO_APRENDIZADO-Aula2-Fundamentos_de_Analise_I

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Para provarmos propriedades dos números naturais, podemos também formular o Principio da Indução 
como:
Se P é uma propriedade dos números naturais tal que:
i) P é válida para um número natural n0 ∈ N.
ii) A validade de P para n ∈N implica na validade de P para 
o sucessor n + 1 ∈ N. 
Então, a propriedade P vale para todos os números naturais n ∈N tais que:
Marque a alternativa que prova corretamente por indução que ∀ a ∈N, a > 0, temos 
que Lnan = nLna.
CEL0505_EX_A2_201201377803 » 18:33 de 50 min. Lupa
Aluno: CELSO MUNIZ RODRIGUES Matrícula: 201201377803
Disciplina: CEL0505 - FUNDAM.DE ANÁLISE I Período Acad.: 2015.3 EAD (G) / EX
Prezado (a) Aluno(a),
Você fará agora seu EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO! Lembre-se que este exercício é opcional, mas não valerá ponto para sua avaliação. O 
mesmo será composto de questões de múltipla escolha (3).
Após a finalização do exercício, você terá acesso ao gabarito. Aproveite para se familiarizar com este modelo de questões que será usado na 
sua AV e AVS.
1.
n > n0
n ≠ n0
n ≥ n0
n < n0
n ≤ n0
2.
Seja P(n): Lnan = nLna. Etapa Indutiva: Vamos mostrar que vale P(k+1). Temos que Lnak+1 = Ln
(aka). Lnak+1 = Ln(aka) = Lnak + Lna = kLna + Lna = (k + 1)Lna. Mostramos que a propriedade foi 
verificada.
Seja P(n): Lnan = nLna. Hipótese de Indução: Supondo que vale P(k): Lnak = kLna
Etapa Indutiva: Vamos mostrar que vale P(k+1). Temos que Lnak+1 = Ln(aka). 
Lnak+1 = Ln(aka) = Lnak + Lna = kLna + Lna = (k + 1)Lna
Seja P(n): Lnan = nLna . P(1) é verdadeira, pois Lna = 1Lna , portanto, vale P(1). 
Etapa Indutiva: Vamos mostrar que vale P(k+1). Temos que Lnak+1 = Ln(aka). 
Lnak+1 = Ln(aka) = Lnak + Lna = kLna + Lna = (k + 1)Lna. Mostramos que a propriedade foi 
verificada.
Seja P(n): Lnan = nLna. P(1) é verdadeira, pois Lna = 1Lna , portanto, vale P(1). 
 Hipótese de Indução: Supondo que vale P(k): Lnak = kLna
Etapa Indutiva: Vamos mostrar que vale P(k+1). Temos que Lnak+1 = Ln(aka). 
Lnak+1 = Ln(aka) = Lnak + Lna = kLna + Lna = (k + 1)Lna. Mostramos que a propriedade foi 
verificada.
Seja P(n): Lnan = nLna. P(1) é verdadeira, pois Lna = 1Lna , portanto, vale P(1). 
 Hipótese de Indução: Supondo que vale P(k): Lnak = kLna. Mostramos que a propriedade foi 
verificada.
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18/09/2015http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp?p0=670166784&p1=1774190...
Marque a alternativa que prova corretamente que todo número é diferente do seu sucessor.
Marque a alternativa onde o enunciado do Princípio da indução está correto.
3.
Dado o número natural n, seja P(n): n  s(n). P(1) é verdadeira. De fato: 1  s(1), já que 1 não é 
sucessor de número algum; em particular, 1 não é sucessor de si próprio. 
Hipótese de Indução. Supor P(n) verdadeira, ou seja, n  s(n). 
Assim, a verdade de P(n) acarreta a verdade de P(s(n)). 
Dado o número natural n, seja P(n): n  s(n). Etapa Indutiva. s(n) = s(s(n)), pois a função s : N 
N é injetiva. Mas a afirmação s(n)  s(s(n) significa que P(s(n)) é verdadeira. Assim, a verdade 
de P(n) acarreta a verdade de P(s(n)). Pelo Princípio da Indução, todos os números naturais 
gozam da propriedade P, ou seja, são diferentes de seus sucessores.
4.
Seja P(n) uma proposição associada a cada numero natural n que satisfaça as 
condições: (1) Para todo inteiro positivo k, se P(k) é verdadeira, então P
(k+1) também é verdadeira. Nestas condições, a proposição P(n) é verdadeira 
para todo natural n.
Seja P(n) uma proposição associada a cada numero natural n que satisfaça as 
condições: (1) P(1) é verdadeira. (2) Para todo inteiro positivo k, P(k) é 
verdadeira. Nestas condições, a proposição P(n) é verdadeira para todo 
natural n.
Seja P(n) uma proposição associada a cada numero natural n que satisfaça as 
condições: (1) P(1) é verdadeira. Nestas condições, a proposição P(n) é 
verdadeira para todo natural n.
Seja P(n) uma proposição associada a cada numero natural n que satisfaça as 
condições: (1) P(1) é verdadeira. P(k+1) é verdadeira. Nestas condições, a 
proposição P(n) é verdadeira para todo natural n.
Seja P(n) uma proposição associada a cada numero natural n que satisfaça as 
condições: (1) P(1) é verdadeira. (2) Para todo inteiro positivo k, se P(k) é 
verdadeira, então P(k+1) também é verdadeira. Nestas condições, a 
proposição P(n) é verdadeira para todo natural n.
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18/09/2015http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp?p0=670166784&p1=1774190...
Marque a alternativa que enuncia corretamente o Teorema (Princípio da Boa Ordenação) 
Marque a alternativa que apresenta corretamente a demonstração do Teorema: 
Se p é elemento mínimo de X, então esse elemento é único.
5.
Todo conjunto possui um menor elemento.
Todo subconjunto não-vazio A contido em N possui um menor elemento.
Alguns conjuntos possuem um menor elemento.
Nenhum subconjunto não-vazio A contido em N possui um menor elemento.
Todo subconjunto não-vazio A contido em N possui um maior elemento.
6.
 Dado X contido em N, suponhamos por absurdo que existirem dois elementos mínimos para X: p 
∈X e q ∈X. Como p ∈X é elemento mínimo de X, por definição, ele é maior do que qualquer 
elemento de X, e já que q ∈X, temos que p ≤ q. Da mesma forma, q ∈X é elemento mínimo de X, 
por definição, ele é menor do que qualquer elemento de X, e já que p ∈X, temos que q ≤ p. 
Portanto, como temos p ≤ q e q ≤ p, ficamos com p = q. 
Como p ∈X por definição, ele é menor do que qualquer elemento de X. q ∈X é elemento máximo 
de X, por definição, ele é menor do que qualquer elemento de X, e já que p ∈X, temos que q ≤ p. 
Portanto, como temos p ≤ q e q ≤ p, ficamos com p = q. 
Dado X contido em N, suponha existirem dois elementos mínimos para X: p ∈X e q ∈X. Como p 
∈X é elemento mínimo de X, por definição, ele é menor do que qualquer elemento de X, e já que 
q ∈X, temos que p > q. Da mesma forma, q ∈X é elemento mínimo de X, por definição, ele é 
menor do que qualquer elemento de X, e já que p ∈X, temos que q ≤ p. Portanto, p = q. 
Dado X contido em N, suponha existirem dois elementos mínimos para X: p ∈X e q ∈X. Como p 
∈X é elemento mínimo de X, por definição, ele é menor do que qualquer elemento de X, e já 
que q ∈X , temos que p ≤ q. Da mesma forma, q ∈X é elemento mínimo de X, por definição, ele 
é menor do que qualquer elemento de X, e já que p ∈X , temos que q ≤ p. Portanto, como 
temos p ≤ q e q ≤ p, ficamos com p = q. 
Dado X contido em N, suponha existirem dois elementos mínimos para X: p ∈X e q ∈X . Como p 
∈X é elemento mínimo de X, por definição, ele é menor do que qualquer elemento de X, e já 
que q ∈X temos que p = q. Da mesma forma, q ∈X é elemento mínimo de X, por definição, ele 
é menor do que qualquer elemento de X, e já que p ∈X, temos então esse elemento é único.
FINALIZAR AVALIANDO O APRENDIZADO
Legenda: Questão não respondida Questão não gravada Questão gravada
Exercício inciado em 18/09/2015 21:33:33.
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