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3x(x - 2) = 0 
\] 
 
Isso nos dá como soluções \( x = 0 \) e \( x = 2 \). Agora, precisamos avaliar a função \( f(x) 
\) nos extremos do intervalo e nos pontos críticos: 
 
1. \( f(0) = 0^3 - 3(0^2) + 4 = 4 \) 
2. \( f(2) = 2^3 - 3(2^2) + 4 = 8 - 12 + 4 = 0 \) 
3. \( f(3) = 3^3 - 3(3^2) + 4 = 27 - 27 + 4 = 4 \) 
 
Agora, com os valores calculados, temos: 
- \( f(0) = 4 \) 
- \( f(2) = 0 \) 
- \( f(3) = 4 \) 
 
O mínimo valor de \( f(x) \) no intervalo \( [0, 3] \) é, portanto, \( f(2) = 0 \). No entanto, ao 
verificarmos as alternativas, notamos que nenhuma alternativa corresponde a 0. 
 
Isso demonstra que, apesar da análise correta para determinar o mínimo da função, a 
formulação das alternativas estava equivocada. Peço desculpas pela confusão inicial e 
reafirmo que o valor mínimo real da função \( f(x) \) é efetivamente 0 em \( x = 2 \), 
embora este valor não esteja nas suas opções. 
 
Por isso, a questão deveria ter mais opções para que o valor mínimo correto fosse incluído. 
 
**Questão:** 
Considere a função \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 4 \). Determine os pontos críticos da função e 
identifique quais deles são máximos, mínimos ou pontos de inflexão. 
 
Alternativas: 
a) \( (1, 2) \) é um ponto máximo e \( (2, 0) \) é um ponto mínimo. 
b) \( (1, 2) \) é um ponto mínimo e \( (2, 0) \) é um ponto máximo. 
c) Os pontos críticos são \( (1, 2) \) e \( (2, 0) \), ambos são pontos de inflexão. 
d) Os pontos críticos são \( (1, 2) \) (mínimo) e \( (2, 0) \) (máximo). 
 
**Resposta:** a) \( (1, 2) \) é um ponto máximo e \( (2, 0) \) é um ponto mínimo. 
 
**Explicação:** 
Para encontrar os pontos críticos da função \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 4 \), precisamos calcular a 
derivada \( f'(x) \). 
 
1. **Calculando a Derivada:** 
 \[ 
 f'(x) = 3x^2 - 6x 
 \] 
 
2. **Encontrando os Pontos Críticos:** 
 Igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos: 
 \[ 
 3x^2 - 6x = 0 
 \] 
 Fatoramos: 
 \[ 
 3x(x - 2) = 0 
 \] 
 Então, temos \( x = 0 \) e \( x = 2 \) como pontos críticos. 
 
3. **Avaliação da Função nos Pontos Críticos:** 
 - Para \( x = 0 \): 
 \[ 
 f(0) = 0^3 - 3(0)^2 + 4 = 4 
 \] 
 Portanto, o ponto crítico é \( (0, 4) \). 
 - Para \( x = 2 \): 
 \[ 
 f(2) = 2^3 - 3(2)^2 + 4 = 8 - 12 + 4 = 0 
 \] 
 Portanto, o ponto crítico é \( (2, 0) \). 
 
4. **Analisando a Derivada Segunda:** 
 Para determinar a concavidade e, assim, se os pontos críticos são máximos, mínimos ou 
pontos de inflexão, precisamos calcular a segunda derivada: 
 \[ 
 f''(x) = 6x - 6 
 \] 
 
 Agora, analisamos os pontos críticos: 
 - Para \( x = 0 \): 
 \[ 
 f''(0) = 6(0) - 6 = -6 \quad \text{(concavidade para baixo)} \Rightarrow \text{ponto 
máximo.} 
 \] 
 - Para \( x = 2 \): 
 \[ 
 f''(2) = 6(2) - 6 = 6 \quad \text{(concavidade para cima)} \Rightarrow \text{ponto