II Aulas com enfases

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Agora aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo para calcular a integral definida de 
\(0\) a \(1\): 
 
\[ 
I = \left[ x^3 - x^2 + x \right]_{0}^{1} 
\] 
 
Calculando os limites: 
 
1. Para \(x = 1\): 
 \[ 
 I(1) = 1^3 - 1^2 + 1 = 1 - 1 + 1 = 1 
 \] 
 
2. Para \(x = 0\): 
 \[ 
 I(0) = 0^3 - 0^2 + 0 = 0 - 0 + 0 = 0 
 \] 
 
Portanto, a integral definida de \(f(x)\) no intervalo de \(0\) a \(1\) é: 
 
\[ 
I = I(1) - I(0) = 1 - 0 = 1 
\] 
 
Assim, a resposta correta é a alternativa a) 1. 
 
**Questão:** Considere a função \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x \). Qual é o valor de \( x \) que 
maximiza a função? 
 
**Alternativas:** 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
 
**Resposta:** b) 2 
 
**Explicação:** Para encontrar o valor de \( x \) que maximiza a função \( f(x) \), devemos 
primeiro calcular a derivada da função e encontrar seus pontos críticos. 
 
1. **Calcular a derivada:** 
 A derivada de \( f(x) \) é dada por: 
 \[ 
 f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 
 \] 
 
2. **Encontrar os pontos críticos:** 
 Para encontrar os pontos críticos, igualamos a derivada a zero: 
 \[ 
 3x^2 - 12x + 9 = 0 
 \] 
 Dividindo toda a equação por 3, obtemos: 
 \[ 
 x^2 - 4x + 3 = 0 
 \] 
 
3. **Fatorar a equação:** 
 A equação se fatoriza como: 
 \[ 
 (x - 3)(x - 1) = 0 
 \] 
 Portanto, os pontos críticos são \( x = 1 \) e \( x = 3 \). 
 
4. **Determinar se é um ponto de máximo ou mínimo:** 
 Usaremos a segunda derivada para verificar a concavidade. A segunda derivada de \( f(x) 
\) é: 
 \[ 
 f''(x) = 6x - 12 
 \] 
 
 Avaliando em \( x = 2 \) (que está entre os pontos críticos): 
 \[ 
 f''(2) = 6(2) - 12 = 12 - 12 = 0 
 \] 
 
 Para determinar a natureza do ponto em \( x = 1 \) e \( x = 3 \): 
 - \( f''(1) = 6(1) - 12 = -6 0 \) (mínimo em \( x = 3 \)) 
 
5. **Analisar o intervalo:** 
 Como a função está sempre crescente de \( x