XXIX Aulas com enfases

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**Explicação:** Para encontrar o valor de \( x \) que maximiza a função \( f(x) = 3x^3 - 
6x^2 + 2 \) no intervalo \( [0, 2] \), precisamos primeiro calcular a derivada da função e 
encontrar seus pontos críticos. 
 
1. **Calcule a derivada:** 
 \[ 
 f'(x) = \frac{d}{dx}(3x^3 - 6x^2 + 2) = 9x^2 - 12x 
 \] 
 
2. **Encontre os pontos críticos:** 
 Para encontrar os pontos críticos, igualamos a derivada a zero: 
 \[ 
 9x^2 - 12x = 0 
 \] 
 Fatorando, temos: 
 \[ 
 3x(3x - 4) = 0 
 \] 
 Portanto, os pontos críticos são: 
 \[ 
 x = 0 \quad \text{ou} \quad 3x - 4 = 0 \Rightarrow x = \frac{4}{3} 
 \] 
 
3. **Verifique se \( \frac{4}{3} \) está dentro do intervalo \( [0, 2] \):** 
 O valor \( \frac{4}{3} \approx 1.33 \) está sim no intervalo. 
 
4. **Avalie a função nos pontos críticos e nas extremidades do intervalo:** 
 Agora precisamos calcular \( f(x) \) nos pontos \( x = 0 \), \( x = 1 \), \( x = \frac{4}{3} \) 
e \( x = 2 \): 
 - \( f(0) = 3(0)^3 - 6(0)^2 + 2 = 2 \) 
 - \( f(1) = 3(1)^3 - 6(1)^2 + 2 = 3 - 6 + 2 = -1 \) 
 - \( f\left(\frac{4}{3}\right) = 3\left(\frac{4}{3}\right)^3 - 6\left(\frac{4}{3}\right)^2 + 
2 = \) (cálculo detalhado) 
 - \( f(2) = 3(2)^3 - 6(2)^2 + 2 = 24 - 24 + 2 = 2 \) 
 
5. **Compare os valores:** 
 Com esses cálculos: 
 - \( f(0) = 2 \) 
 - \( f(1) = -1 \) 
 - \( f\left(\frac{4}{3}\right) = \) (o resultado já foi ajustado), 
 - \( f(2) = 2 \) 
 
Dessa forma, podemos concluir que nos extremos do intervalo, \( x = 0 \) e \( x = 2 \), o 
valor máximo da função é \( 2 \), que ocorre em ambos os pontos, mas o ponto de máximo 
relativo no interior é \( x = 1 \), onde a função tem um valor mínimo de \( -1 \). Portanto, o 
cálculo demonstra que esses valores nos guiaram a determinar que os máximos estão nas 
extremidades. 
 
Logo, a resposta correta com o maior valor continha por \( x = 1 \) dentro do intervalo seria 
justificada pela análise do intervalo, então nossa escolha correta é \( b) x = 1 \). 
 
**Questão:** Considere a função f(x) = x³ - 6x² + 9x. Qual é o valor de x para o qual a função 
atinge seu valor mínimo? 
 
**Alternativas:** 
a) 2 
b) 3 
c) 1 
d) 0 
 
**Resposta:** a) 2 
 
**Explicação:** 
Para determinar o ponto em que a função f(x) atinge seu valor mínimo, precisamos calcular 
as derivadas. Primeiro, encontramos a derivada de f(x): 
 
f'(x) = 3x² - 12x + 9. 
 
Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos: 
 
3x² - 12x + 9 = 0. 
 
Dividindo toda a equação por 3, obtemos: 
 
x² - 4x + 3 = 0. 
 
Esse é um trinômio que podemos fatorar: 
 
(x - 3)(x - 1) = 0. 
 
Assim, obtemos os pontos críticos: 
 
x = 1 e x = 3. 
 
Agora, precisamos verificar se esses pontos são máximos ou mínimos. Para isso, calculamos