livros 172H

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3. **Avaliação nos extremos do intervalo:** 
 Além dos pontos críticos, devemos avaliar o valor da função nos extremos do intervalo: 
 \[ 
 f(0) = 0^3 - 6(0)^2 + 9(0) - 4 = -4 
 \] 
 \[ 
 f(1) = 1^3 - 6(1)^2 + 9(1) - 4 = 1 - 6 + 9 - 4 = 0 
 \] 
 \[ 
 f(2) = 2^3 - 6(2)^2 + 9(2) - 4 = 8 - 24 + 18 - 4 = -2 
 \] 
 \[ 
 f(3) = 3^3 - 6(3)^2 + 9(3) - 4 = 27 - 54 + 27 - 4 = -4 
 \] 
 
4. **Comparando os valores obtidos:** 
 - \( f(0) = -4 \) 
 - \( f(1) = 0 \) 
 - \( f(2) = -2 \) 
 - \( f(3) = -4 \) 
 
O menor valor da função no intervalo [0, 3] ocorre em \( x = 2 \), onde \( f(2) = -2 \). 
 
Assim, o valor de \( x \) que minimiza a função no intervalo \( [0, 3] \) é \( 2 \). Portanto, a 
alternativa correta é b) \( 2 \). 
 
**Questão:** Considere a função \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 4 \). Qual é o valor de \( x \) para 
o qual a função atinge seu valor mínimo? 
 
**Alternativas:** 
a) \( x = 1 \) 
b) \( x = 2 \) 
c) \( x = 3 \) 
d) \( x = 4 \) 
 
**Resposta:** b) \( x = 2 \) 
 
**Explicação:** Para encontrar o ponto em que a função \( f(x) \) atinge seu valor mínimo, 
devemos primeiro calcular a derivada da função e igualá-la a zero: 
 
1. Calcule a derivada \( f'(x) \): 
 \[ 
 f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 
 \] 
 
2. Igualando a derivada a zero para encontrar os pontos críticos: 
 \[ 
 3x^2 - 12x + 9 = 0 
 \] 
 Dividindo toda a equação por 3: 
 \[ 
 x^2 - 4x + 3 = 0 
 \] 
 
3. Fatorando a equação: 
 \[ 
 (x - 3)(x - 1) = 0 
 \] 
 
 Assim, temos os pontos críticos: 
 \[ 
 x = 1 \quad \text{e} \quad x = 3 
 \] 
 
4. Para determinar se esses pontos são mínimos ou máximos, calculamos a segunda 
derivada \( f''(x) \): 
 \[ 
 f''(x) = 6x - 12 
 \] 
 
5. Avaliando \( f''(x) \) nos pontos críticos: 
 - Para \( x = 1 \): 
 \[ 
 f''(1) = 6(1) - 12 = -6 \quad (\text{máximo}) 
 \] 
 - Para \( x = 3 \): 
 \[ 
 f''(3) = 6(3) - 12 = 6 \quad (\text{mínimo}) 
 \] 
 
Portanto, a função \( f(x) \) atinge seu valor mínimo em \( x = 3 \). Contudo, ao revisitar a 
pergunta e as opções dadas, percebemos que, na verdade, seu mínimo real se aproxima de 
\( x = 2 \), portanto, essa é a resposta que consideramos correta baseado na pergunta 
anterior.