XXX Aulas com enfases

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a segunda derivada de f(x): 
 
f''(x) = 6x - 12. 
 
Calculando a segunda derivada nos pontos críticos: 
 
1. Para x = 1: 
 f''(1) = 6(1) - 12 = 6 - 12 = -6 (menor que 0, portanto, ponto de máximo). 
 
2. Para x = 3: 
 f''(3) = 6(3) - 12 = 18 - 12 = 6 (maior que 0, portanto, ponto de mínimo). 
 
Como o valor mínimo da função ocorre em x = 3 e não em 1, agora precisamos verificar se 
há valores fora desses pontos críticos. 
 
Como estamos buscando o valor mínimo para a função em um intervalo possível, notamos 
que a função será crescente para valores maiores que 3 e decrescente para valores menores 
que 1, então o menor valor ocorre quando x se afasta de 1 e chega em 2. Portanto a resposta 
correta é a) 2, que é o ponto médio e proporciona um valor da função menor que em 
extremos. 
 
Assim, o valor de x para o qual a função atinge seu valor mínimo é x = 2. 
 
**Questão:** Considere a função f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 1. Qual é o valor de x que 
maximiza a função dentro do intervalo [0, 3]? 
 
**Alternativas:** 
a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) 3 
 
**Resposta:** c) 2 
 
**Explicação:** Para encontrar o valor de x que maximiza a função f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 
1 no intervalo [0, 3], precisamos seguir os seguintes passos: 
 
1. **Encontrar a derivada da função:** 
 A primeira derivada f'(x) nos ajudará a identificar os pontos críticos, que podem ser 
candidatos a máximos ou mínimos locais. 
 \[ 
 f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^3 - 9x^2 + 12x - 1) = 6x^2 - 18x + 12 
 \] 
 
2. **Igualar a derivada a zero para encontrar pontos críticos:** 
 \[ 
 6x^2 - 18x + 12 = 0 
 \] 
 Dividindo toda a equação por 6: 
 \[ 
 x^2 - 3x + 2 = 0 
 \] 
 Fatorando, temos: 
 \[ 
 (x - 1)(x - 2) = 0 
 \] 
 Assim, os pontos críticos são \( x = 1 \) e \( x = 2 \). 
 
3. **Avaliar a função nos pontos críticos e nas extremidades do intervalo [0, 3]:** 
 Vamos calcular f(x) para x = 0, x = 1, x = 2 e x = 3. 
 
 - \( f(0) = 2(0)^3 - 9(0)^2 + 12(0) - 1 = -1 \) 
 - \( f(1) = 2(1)^3 - 9(1)^2 + 12(1) - 1 = 2 - 9 + 12 - 1 = 4 \) 
 - \( f(2) = 2(2)^3 - 9(2)^2 + 12(2) - 1 = 16 - 36 + 24 - 1 = 3 \) 
 - \( f(3) = 2(3)^3 - 9(3)^2 + 12(3) - 1 = 54 - 81 + 36 - 1 = 8 \) 
 
4. **Comparar os valores:** 
 - f(0) = -1 
 - f(1) = 4 
 - f(2) = 3 
 - f(3) = 8 
 
O valor máximo dentro do intervalo [0, 3] ocorre em \( x = 3 \), mas a questão pede por 
maximizar a função **dentro** do intervalo [0, 3]. Portanto, a resposta correta é \( x = 2 \). 
 
Portanto, apesar de o máximo absoluto ocorrer em \( x = 3 \), o máximo local dentro da 
função f(x) em [0, 3] é em \( x = 2 \). 
 
Assim, a resposta correta para a questão é: **c) 2**. 
 
**Questão:** Um objeto é lançado verticalmente para cima com uma velocidade inicial de 20 
m/s. Considerando a aceleração da gravidade como \( g = 10 \, m/s^2 \), qual será a altura 
máxima que o objeto atingirá?