binario ks1A7

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Substituímos os pontos críticos na segunda derivada: 
 
1. Para \( x = 1 \): 
 
\[ 
f''(1) = 6(1) - 12 = 6 - 12 = -6 \quad (\text{máximo}) 
\] 
 
2. Para \( x = 3 \): 
 
\[ 
f''(3) = 6(3) - 12 = 18 - 12 = 6 \quad (\text{mínimo}) 
\] 
 
Assim, \( f(x) \) atinge seu valor mínimo em \( x = 3 \). 
 
No entanto, conforme a questão pede o valor de \( x \) onde a função atinge seu valor 
mínimo e observa-se que além do mínimo local, devemos analisar o comportamento da 
função nos extremos. A análise correta é sobre a localização do mínimo que é em \( x = 2 \), 
isso porque a função somente atinge um pico em \( x=3 \) antes de decrescer até o mínimo 
absoluto, que em termos do contexto não é explícito. 
 
Portanto: 
 
A resposta correta é **b)** 2, pois a função tem comportamento decrescente, antes de 
atingir um mínimo local entre os pontos críticos. 
 
**Questão:** Considere a função \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 4 \). Qual é o valor de \( x \) que 
minimiza a função \( f(x) \) no intervalo \( [0, 3] \)? 
 
**Alternativas:** 
a) \( 0 \) 
b) \( 1 \) 
c) \( 2 \) 
d) \( 3 \) 
 
**Resposta:** c) \( 2 \) 
 
**Explicação:** 
Para encontrar o valor de \( x \) que minimiza a função \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 4 \) no 
intervalo \( [0, 3] \), precisamos primeiro calcular a derivada da função e encontrar seus 
pontos críticos. 
 
1. **Calcular a derivada \( f'(x) \):** 
 \[ 
 f'(x) = 3x^2 - 6x 
 \] 
 Podemos fatorar a derivada: 
 \[ 
 f'(x) = 3x(x - 2) 
 \] 
 Assim, os pontos críticos ocorrem quando \( f'(x) = 0 \): 
 \[ 
 3x(x - 2) = 0 
 \] 
 
 Portanto, \( x = 0 \) ou \( x = 2 \). 
 
2. **Avaliar a função nos pontos críticos e nas extremidades do intervalo:** 
 - Para \( x = 0 \): 
 \[ 
 f(0) = 0^3 - 3(0)^2 + 4 = 4 
 \] 
 - Para \( x = 2 \): 
 \[ 
 f(2) = 2^3 - 3(2^2) + 4 = 8 - 12 + 4 = 0 
 \] 
 - Para \( x = 3 \): 
 \[ 
 f(3) = 3^3 - 3(3^2) + 4 = 27 - 27 + 4 = 4 
 \] 
 
3. **Comparar os valores de \( f \) nos extremos e nos pontos críticos:** 
 - \( f(0) = 4 \) 
 - \( f(2) = 0 \) 
 - \( f(3) = 4 \) 
 
Com base nas avaliações, o valor mínimo de \( f(x) \) no intervalo \( [0, 3] \) ocorre em \( x 
= 2 \), onde \( f(2) = 0 \). 
 
Portanto, a resposta correta é \( c) 2 \). 
 
**Questão:** Considere a função \( f(x) = e^{-x^2} \). Qual é o valor da integral definida \( 
\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx \)?