MMCCCLXXVI linguagem 2

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Calculando os determinantes das 2x2: 
 
1. \( \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ -2 & 1 \end{vmatrix} = 0 \cdot 1 - 1 \cdot (-2) = 2 \) 
2. \( \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = -1 \cdot 1 - 1 \cdot 3 = -4 \) 
3. \( \begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 3 & -2 \end{vmatrix} = -1 \cdot (-2) - 0 \cdot 3 = 2 \) 
 
Agora, substituímos na expressão do determinante: 
 
\[ 
\text{det}(A) = 2 \cdot 2 - 4 \cdot (-4) + 1 \cdot 2 = 4 + 16 + 2 = 22 
\] 
 
Como \( \text{det}(A) = 22 \), que é diferente de zero, concluímos que os vetores \( 
\mathbf{u} \), \( \mathbf{v} \) e \( \mathbf{w} \) são linearmente independentes. 
 
Portanto, a alternativa correta é b). 
 
**Questão:** Seja \( f(x) = 3x^4 - 8x^3 + 6x^2 - 7 \). Qual é o valor de \( x \) para o qual a 
derivada \( f'(x) = 0 \) possui uma raiz? 
 
**Alternativas:** 
a) \( x = 1 \) 
b) \( x = 2 \) 
c) \( x = 3 \) 
d) \( x = 0 \) 
 
**Resposta:** a) \( x = 1 \) 
 
**Explicação:** 
Para determinar em qual ponto a derivada da função \( f(x) \) é igual a zero, primeiro 
precisamos calcular a derivada \( f'(x) \). 
 
Calculamos a derivada: 
 
\[ 
f'(x) = \frac{d}{dx}(3x^4 - 8x^3 + 6x^2 - 7) = 12x^3 - 24x^2 + 12x 
\] 
 
Agora, queremos encontrar os valores de \( x \) para os quais \( f'(x) = 0 \). Isso implica 
resolver a equação: 
 
\[ 
12x^3 - 24x^2 + 12x = 0 
\] 
 
Podemos fatorar a expressão: 
 
\[ 
12x(x^2 - 2x + 1) = 0 
\] 
 
Fatorando ainda mais, obtemos: 
 
\[ 
12x(x - 1)^2 = 0 
\] 
 
Os fatores nos dizem que \( x = 0 \) ou \( (x - 1)^2 = 0 \). Portanto, temos: 
 
\[ 
x = 0 \quad \text{ou} \quad x = 1 
\] 
 
Dessa forma, as raízes da derivada são \( x = 0 \) e \( x = 1 \). A questão pede 
especificamente um valor de \( x \) onde a derivada possui uma raiz, e no caso das 
alternativas, a única que é mencionada como correta é a letra a) \( x = 1 \). A raiz \( x = 0 \) 
não está inclusa nas opções. Portanto, a alternativa correta é a) \( x = 1 \). 
 
**Questão:** Considere a matriz \( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \). 
Qual é o determinante da matriz \( A \)? 
 
**Alternativas:** 
a) -2 
b) 2 
c) 0 
d) 5 
 
**Resposta:** a) -2 
 
**Explicação:** O determinante de uma matriz \( 2 \times 2 \) dada por \( A = 
\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \) pode ser calculado pela fórmula: 
 
\[ 
\text{det}(A) = ad - bc