Novas-710

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calculando a derivada da função. 
 
1. **Calcular a derivada:** 
 \[ 
 f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^3 - 6x^2 + 4x) = 6x^2 - 12x + 4 
 \] 
 
2. **Encontrar os pontos críticos:** 
 Para encontrar os pontos críticos, igualamos a derivada a zero: 
 \[ 
 6x^2 - 12x + 4 = 0 
 \] 
 Dividindo a equação por 2: 
 \[ 
 3x^2 - 6x + 2 = 0 
 \] 
 Aplicamos a fórmula quadrática: 
 \[ 
 x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2}}{2 
\cdot 3} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{6} = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{6} = \frac{6 \pm 
2\sqrt{3}}{6} = 1 \pm \frac{\sqrt{3}}{3} 
 \] 
 Portanto, obtemos os pontos críticos: 
 \[ 
 x_1 = 1 + \frac{\sqrt{3}}{3}, \quad x_2 = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3} 
 \] 
 
3. **Determinar a natureza dos pontos críticos:** 
 Para determinar se esses pontos são mínimos ou máximos, calculamos a segunda 
derivada: 
 \[ 
 f''(x) = \frac{d}{dx}(6x^2 - 12x + 4) = 12x - 12 
 \] 
 Agora, avaliamos a segunda derivada nos pontos críticos. Vamos avaliar \( f''(1) \): 
 \[ 
 f''(1) = 12(1) - 12 = 0 \quad (\text{indeterminado, vamos avaliar outros pontos}) 
 \] 
 Avaliando \( f''(2) \) e \( f''(0) \): 
 \[ 
 f''(0) = 12(0) - 12 = -12 \quad (\text{concavidade para baixo, máximo}) \\ 
 f''(2) = 12(2) - 12 = 12 \quad (\text{concavidade para cima, mínimo}) 
 \] 
 
Como \( f''(0)