XXVIII Aulas com enfases

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Considere a função \( f(x) = 3x^3 - 12x^2 + 9x \). Qual é o valor do máximo local da função? 
 
Alternativas: 
a) 0 
b) 4 
c) 6 
d) 3 
 
**Resposta:** b) 4 
 
**Explicação:** 
 
Para encontrar o máximo local da função \( f(x) = 3x^3 - 12x^2 + 9x \), precisamos calcular 
a derivada da função e igualá-la a zero para achar os pontos críticos. 
 
1. **Calcular a derivada:** 
 \[ 
 f'(x) = 9x^2 - 24x + 9 
 \] 
 
2. **Achar os pontos críticos:** 
 Igualamos a derivada a zero: 
 \[ 
 9x^2 - 24x + 9 = 0 
 \] 
 
 Dividindo toda a equação por 3, obtemos: 
 \[ 
 3x^2 - 8x + 3 = 0 
 \] 
 
 Podemos usar a fórmula de Bhaskara, onde \( a = 3 \), \( b = -8 \), e \( c = 3 \): 
 \[ 
 x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{8 \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3}}{2 
\cdot 3} 
 \] 
 \[ 
 x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 36}}{6} = \frac{8 \pm \sqrt{28}}{6} = \frac{8 \pm 
2\sqrt{7}}{6} = \frac{4 \pm \sqrt{7}}{3} 
 \] 
 
 Portanto, os pontos críticos são: 
 \[ 
 x_1 = \frac{4 + \sqrt{7}}{3} \quad \text{e} \quad x_2 = \frac{4 - \sqrt{7}}{3} 
 \] 
 
3. **Determinar a concavidade para identificar máximos ou mínimos locais:** 
 Precisamos calcular a segunda derivada: 
 \[ 
 f''(x) = 18x - 24 
 \] 
 
 Agora avaliamos a concavidade nos pontos críticos. Vamos testar \( x_2 = \frac{4 - 
\sqrt{7}}{3} \): 
 \[ 
 f''\left(\frac{4 - \sqrt{7}}{3}\right) = 18\left(\frac{4 - \sqrt{7}}{3}\right) - 24 
 \] 
 \[ 
 = 6(4 - \sqrt{7}) - 24 = 24 - 6\sqrt{7} - 24 = -6\sqrt{7} 
 \] 
 Como \( -6\sqrt{7}