versao 14 ALJI

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Dividindo toda a equação por 6, obtemos: 
 
\[ 
x^2 - 3x + 2 = 0 
\] 
 
Agora, fatoramos a equação quadrática: 
 
\[ 
(x - 1)(x - 2) = 0 
\] 
 
Assim, temos duas soluções: 
 
\[ 
x = 1 \quad \text{ou} \quad x = 2 
\] 
 
Para determinar qual desses pontos é um mínimo, utilizamos a segunda derivada: 
 
\[ 
f''(x) = \frac{d}{dx}(6x^2 - 18x + 12) = 12x - 18 
\] 
 
Agora, avaliamos a segunda derivada em cada ponto crítico: 
 
1. Para \( x = 1 \): 
 
\[ 
f''(1) = 12(1) - 18 = 12 - 18 = -6 \quad (\text{máximo}) 
\] 
 
2. Para \( x = 2 \): 
 
\[ 
f''(2) = 12(2) - 18 = 24 - 18 = 6 \quad (\text{mínimo}) 
\] 
 
Como a segunda derivada é positiva em \( x = 2 \), concluímos que \( x = 2 \) é o ponto que 
minimiza a função \( f(x) \). 
 
Portanto, a resposta correta é \( b) x = 2 \). 
 
**Questão:** Considere a função \( f(x) = 3x^3 - 6x^2 + 4 \). Determine os pontos críticos 
da função e verifique qual deles é um ponto de máximo local. 
 
**Alternativas:** 
a) \( x = 0 \) (máximo local) 
b) \( x = 1 \) (mínimo local) 
c) \( x = 2 \) (máximo local) 
d) Nenhum ponto crítico 
 
**Resposta:** b) \( x = 1 \) (mínimo local) 
 
**Explicação:** 
Para encontrar os pontos críticos da função \( f(x) \), precisamos calcular a derivada \( f'(x) 
\) e igualá-la a zero. 
 
Primeiro, calculamos a derivada: 
\[ 
f'(x) = \frac{d}{dx}(3x^3 - 6x^2 + 4) = 9x^2 - 12x 
\] 
 
Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos: 
\[ 
9x^2 - 12x = 0 
\] 
Fatorando, temos: 
\[ 
3x(3x - 4) = 0 
\] 
Portanto, os pontos críticos são: 
\[ 
x = 0 \quad \text{e} \quad x = \frac{4}{3} 
\] 
 
Para determinar a natureza desses pontos críticos, utilizamos o teste da segunda derivada. 
Primeiro, encontramos \( f''(x) \): 
\[ 
f''(x) = \frac{d}{dx}(9x^2 - 12x) = 18x - 12 
\] 
 
Agora, avaliamos \( f''(x) \) nos pontos críticos: 
 
1. Para \( x = 0 \): 
\[