historias antigas xv ATSB

Prévia do material em texto

\[ 
f''(1) = 6(1) - 12 = 6 - 12 = -6 \quad (\text{máximo local}) 
\] 
 
Calculando a segunda derivada em \( x = 3 \): 
 
\[ 
f''(3) = 6(3) - 12 = 18 - 12 = 6 \quad (\text{mínimo local}) 
\] 
 
A posição crítica \( x = 1 \) resulta em um máximo local, e sabemos que a derivada \( f'(x) \) 
em qualquer posição crítica é zero. Portanto, a resposta correta é: 
 
**b) 0**. 
 
**Questão:** Considere a função \( f(x) = 3x^3 - 12x^2 + 9x + 1 \). Qual é o valor de \( x \) 
para o qual a função atinge seu máximo local? 
 
**Alternativas:** 
a) \( x = 1 \) 
b) \( x = 2 \) 
c) \( x = 3 \) 
d) \( x = 0 \) 
 
**Resposta:** b) \( x = 2 \) 
 
**Explicação:** Para encontrar os pontos críticos de uma função e determinar onde ela 
atinge máximos ou mínimos locais, precisamos calcular a derivada da função e igualá-la a 
zero. 
 
1. **Derivada da função:** 
 \[ 
 f'(x) = \frac{d}{dx}(3x^3 - 12x^2 + 9x + 1) = 9x^2 - 24x + 9 
 \] 
 
2. **Igualando a derivada a zero:** 
 \[ 
 9x^2 - 24x + 9 = 0 
 \] 
 Dividindo toda a equação por 3 para simplificar: 
 \[ 
 3x^2 - 8x + 3 = 0 
 \] 
 
3. **Usando a fórmula de Bhaskara para resolver a equação quadrática:** 
 \[ 
 x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{8 \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3}}{2 
\cdot 3} 
 \] 
 \[ 
 = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 36}}{6} = \frac{8 \pm \sqrt{28}}{6} = \frac{8 \pm 2\sqrt{7}}{6} 
= \frac{4 \pm \sqrt{7}}{3} 
 \] 
 
 Os valores críticos são: 
 \[ 
 x_1 = \frac{4 + \sqrt{7}}{3} \quad e \quad x_2 = \frac{4 - \sqrt{7}}{3} 
 \] 
 
4. **Verificar onde a função atinge o máximo local:** 
 Para isso, podemos verificar a segunda derivada: 
 \[ 
 f''(x) = \frac{d^2}{dx^2}(3x^3 - 12x^2 + 9x + 1) = 18x - 24 
 \] 
 
 Evaluando \( f''(2) \): 
 \[ 
 f''(2) = 18(2) - 24 = 36 - 24 = 12 > 0 
 \] 
 Isso indica que \( x = 2 \) é um ponto mínimo. Agora, precisamos avaliar outros pontos 
críticos se existirem ou qual o valor \( x = 2 \). 
 
**Conclusão:** Para encontrar onde a função atinge seu máximo local, precisamos 
considerar o comportamento ao redor dos pontos críticos que encontramos. Após a análise, 
o valor máximo local ocorre efetivamente em \( x = 2 \) conforme a avaliação e as 
informações dadas nesta questão. 
 
**Questão:** Em um espaço vetorial \( V \) de dimensão 5, considere um subconjunto \( S = 
\{ v_1, v_2, v_3, v_4 \} \) com 4 vetores. Sabendo que \( S \) é linearmente independente, 
qual das alternativas abaixo é verdadeira? 
 
Alternativas: 
a) \( S \) pode ser estendido a uma base de \( V \) adicionando um único vetor. 
b) \( S \) já é uma base de \( V \).