horas dias desafio 15M3

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Portanto, o valor máximo da função no intervalo \( [0, 3] \) é \( 7 \). 
 
Assim, a alternativa correta é **b) 7**. 
 
**Questão:** Considere a função \( f(x) = 3x^3 - 5x^2 + 2x - 1 \). Qual é o valor de \( x \) 
para o qual \( f(x) \) atinge um ponto de máximo local? 
 
**Alternativas:** 
a) \( 0 \) 
b) \( \frac{5}{9} \) 
c) \( 1 \) 
d) \( -1 \) 
 
**Resposta:** b) \( \frac{5}{9} \) 
 
**Explicação:** Para determinar os pontos de máximo local de uma função \( f(x) \), 
precisamos calcular a primeira derivada \( f'(x) \) e encontrar os pontos críticos onde \( 
f'(x) = 0 \) ou \( f'(x) \) não está definida. 
 
Primeiro, calculamos a primeira derivada de \( f(x) \): 
 
\[ 
f'(x) = \frac{d}{dx}(3x^3 - 5x^2 + 2x - 1) = 9x^2 - 10x + 2 
\] 
 
Agora, definimos \( f'(x) = 0 \): 
 
\[ 
9x^2 - 10x + 2 = 0 
\] 
 
Usamos a fórmula quadrática \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \) para resolver essa 
equação, onde \( a = 9, b = -10, c = 2 \). 
 
Calculamos o discriminante: 
 
\[ 
b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 2 = 100 - 72 = 28 
\] 
 
Agora, substituímos na fórmula: 
 
\[ 
x = \frac{10 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 9} = \frac{10 \pm 2\sqrt{7}}{18} = \frac{5 \pm 
\sqrt{7}}{9} 
\] 
 
Temos dois pontos críticos: 
 
\[ 
x_1 = \frac{5 + \sqrt{7}}{9} \quad \text{e} \quad x_2 = \frac{5 - \sqrt{7}}{9} 
\] 
 
Para determinar se são pontos de máximo ou mínimo, podemos calcular a segunda 
derivada: 
 
\[ 
f''(x) = \frac{d}{dx}(9x^2 - 10x + 2) = 18x - 10 
\] 
 
Agora, avaliamos \( f''(x) \) nos pontos críticos. Começando com \( x_1 = \frac{5 + 
\sqrt{7}}{9} \): 
 
\[ 
f''(x_1) = 18 \left(\frac{5 + \sqrt{7}}{9}\right) - 10 = 2(5 + \sqrt{7}) - 10 = 10 + 2\sqrt{7} - 
10 = 2\sqrt{7} > 0 \quad (\text{mínimo local}) 
\] 
 
Agora, avaliando \( x_2 = \frac{5 - \sqrt{7}}{9} \): 
 
\[ 
f''(x_2) = 18 \left(\frac{5 - \sqrt{7}}{9}\right) - 10 = 2(5 - \sqrt{7}) - 10 = 10 - 2\sqrt{7} - 
10 = -2\sqrt{7}