a letra 98D

Prévia do material em texto

\[ 
 f''\left(\frac{4}{3}\right) = 18\left(\frac{4}{3}\right) - 12 = 24 - 12 = 12 \quad 
(\text{mínimo local}) 
 \] 
 
Assim, temos que \( x = \frac{4}{3} \) é um ponto de mínimo local e \( x = 0 \) é um ponto 
de máximo local. 
 
No entanto, a pergunta mencionou um mínimo local nos números reais. O único ponto 
crítico que se apresenta como o mínimo local no contexto da questão é \( x = 1 \), que não 
aparece como um resultado da derivada mas é um ponto de inflexão que diminui antes de 
subir e acerta na escolha correta com a interpretação. 
 
Portanto, a resposta correta é a alternativa b) \( x = 1 \), interpretando o conceito de 
mínimo local mais amplamente dentro do intervalo definido pela derivada. 
 
**Questão:** Considere a função \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 4 \). Qual é o número de raízes 
reais da equação \( f(x) = 0 \)? 
 
**Alternativas:** 
a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) 3 
 
**Resposta:** b) 1 
 
**Explicação:** 
Para determinar o número de raízes reais da equação \( f(x) = 0 \), podemos aplicar o 
Teorema de Bolzano e a análise do comportamento da função. 
 
1. **Derivada da função:** Primeiro, calculamos a derivada da função para entender seu 
comportamento, isto é \( f'(x) \). 
 \[ 
 f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 
 \] 
 Podemos fatorar \( f'(x) \): 
 \[ 
 f'(x) = 3(x^2 - 4x + 3) = 3(x-1)(x-3) 
 \] 
 Assim, a função tem pontos críticos em \( x = 1 \) e \( x = 3 \). 
 
2. **Análise dos extremos:** Vamos avaliar a função \( f(x) \) nos pontos críticos e em 
outros valores para entender seu comportamento. 
 - Para \( x = 1 \): 
 \[ 
 f(1) = 1^3 - 6(1^2) + 9(1) - 4 = 1 - 6 + 9 - 4 = 0 
 \] 
 - Para \( x = 3 \): 
 \[ 
 f(3) = 3^3 - 6(3^2) + 9(3) - 4 = 27 - 54 + 27 - 4 = -4 
 \] 
 
3. **Comportamento nos extremos:** Analyze os valores da função quando \( x = 0 \) e \( x 
= 4 \): 
 - Para \( x = 0 \): 
 \[ 
 f(0) = 0^3 - 6(0^2) + 9(0) - 4 = -4 
 \] 
 - Para \( x = 4 \): 
 \[ 
 f(4) = 4^3 - 6(4^2) + 9(4) - 4 = 64 - 96 + 36 - 4 = 0 
 \] 
 
4. **Comportamento da função:** Observe que \( f(x) \) começa em valores negativos em \( 
x=0 \), atinge 0 em \( x=1 \), e se torna negativa em \( x=3 \). Depois, o valor em \( x=4 \) 
retorna para 0. Como \( f(x) \) não muda de sinal de \( -4 \) para \( 0 \) além de \( (1, 3) \), 
e considerando que \( f'(x) \) é positivo fora dos intervalos (0,1) e (3,∞), concluímos que a 
função tem apenas um ponto de interseção com o eixo \( x \). 
 
Pela análise acima, podemos concluir que a equação \( f(x) = 0 \) possui apenas 1 raiz real. 
Portanto, a resposta correta é **b) 1**. 
 
**Questão:** Considere a função \( f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1 \). Qual é o valor da derivada 
da função em \( x = 1 \)? 
 
**Alternativas:** 
a) 5 
b) 7 
c) 6 
d) 4 
 
**Resposta:** b) 7