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d) Máximo em \( (3, 6) \) e mínimo em \( (2, 11) \) 
 
**Resposta:** a) Máximo em \( (1, 19) \) e mínimo em \( (3, 3) \) 
 
**Explicação:** 
 
Para encontrar os pontos de máximo e mínimo da função \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 15 \), 
primeiro precisamos calcular a derivada da função: 
 
\[ 
f'(x) = 3x^2 - 12x + 9. 
\] 
 
Igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos: 
 
\[ 
3x^2 - 12x + 9 = 0. 
\] 
 
Dividindo toda a equação por 3, obtemos: 
 
\[ 
x^2 - 4x + 3 = 0. 
\] 
 
Agora, fatoramos a equação quadrática: 
 
\[ 
(x - 1)(x - 3) = 0. 
\] 
 
Isso nos dá os pontos críticos \( x = 1 \) e \( x = 3 \). 
 
Para determinar se esses pontos são máximos ou mínimos, calculamos a segunda derivada 
da função: 
 
\[ 
f''(x) = 6x - 12. 
\] 
 
Agora, avaliamos a segunda derivada nos pontos críticos: 
 
1. Para \( x = 1 \): 
\[ 
f''(1) = 6(1) - 12 = -6 \quad (\text{negativo, indicando um máximo}) 
\] 
 
2. Para \( x = 3 \): 
\[ 
f''(3) = 6(3) - 12 = 6 \quad (\text{positivo, indicando um mínimo}) 
\] 
 
Agora podemos calcular os valores da função nos pontos críticos: 
 
- Para \( x = 1 \): 
\[ 
f(1) = 1^3 - 6(1)^2 + 9(1) + 15 = 1 - 6 + 9 + 15 = 19. 
\] 
 
- Para \( x = 3 \): 
\[ 
f(3) = 3^3 - 6(3)^2 + 9(3) + 15 = 27 - 54 + 27 + 15 = 15. 
\] 
 
Dessa forma, temos: 
- Máximo em \( (1, 19) \) 
- Mínimo em \( (3, 15) \) 
 
Portanto, a resposta correta é que o máximo ocorre em \( (1, 19) \) e o mínimo em \( (3, 
15) \). Analisando as alternativas, a alternativa correta foi incorretamente especificada 
como \( (3, 3) \) quando deveria ser \( (3, 15) \). A opção mais próxima da correta 
conforme o problema original é: 
 
**Nota final**: As alternativas apresentadas na questão têm um erro de cálculo na moção 
final, mas ao considerar entre as opções possíveis a alternativa a) seria a mais próxima e 
correta com relação ao resultado dos máximos, pois o formato do problema parciais de 
definição correto. 
 
**Questão:** Considere a função \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x \). Qual é o valor de \( x \) que 
minimiza a função \( f(x) \)? 
 
Alternativas: 
a) 0 
b) 2 
c) 3