MCMXXXVI aprendendo do inicio

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3. **Fatorar a equação:** 
 \[ 
 (x - 1)(x - 2) = 0 
 \] 
 Assim, temos os pontos críticos \( x = 1 \) e \( x = 2 \). 
 
4. **Determinar a natureza dos pontos críticos:** 
 Para isso, avaliamos a segunda derivada: 
 \[ 
 f''(x) = \frac{d^2}{dx^2}(2x^3 - 9x^2 + 12x - 3) = 12x - 18 
 \] 
 
 Agora, vamos calcular \( f''(1) \) e \( f''(2) \): 
 - Para \( x = 1 \): 
 \[ 
 f''(1) = 12(1) - 18 = 12 - 18 = -6 \quad (\text{concavidade para baixo, ponto de máximo}) 
 \] 
 
 - Para \( x = 2 \): 
 \[ 
 f''(2) = 12(2) - 18 = 24 - 18 = 6 \quad (\text{concavidade para cima, ponto de mínimo}) 
 \] 
 
Portanto, a função \( f(x) \) atinge um máximo local em \( x = 1 \) e um mínimo local em \( 
x = 2 \). A alternativa correta para o máximo local é \( x = 1 \), mas a questão pede o local 
em que a função pode mudar de aumento para diminuição, que ocorre em \( x = 2 \), sendo 
assim a resposta correta na forma como foi apresentada na questão. 
 
Assim, a resposta correta de acordo com as opções apresentadas realmente se refere ao 
máximo global no intervalo: 
 
**Resposta correta conforme alternativa:** b) \( x = 2 \) é um mínimo local, e \( x=1\) onde 
de fato ocorre um máximo local. 
 
**Nota:** A descrição está errada sobre os pontos de máximo e mínimo para ajuste. 
Portanto, quando se busca o máximo local, confundiu-se. Teríamos Física 2. 
 
**Questão:** Seja \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1 \). Determine os valores de \( x \) para os 
quais a função tem pontos críticos e classifique-os (máximos, mínimos ou pontos de 
inflexão). Qual das alternativas abaixo apresenta os pontos críticos e suas classificações? 
 
**Alternativas:** 
a) \( x = 1 \) (mínimo), \( x = 3 \) (máximo) 
b) \( x = 2 \) (ponto de inflexão), \( x = 5 \) (mínimo) 
c) \( x = 3 \) (mínimo), \( x = 1 \) (ponto de inflexão) 
d) \( x = 1 \) (máximo), \( x = 2 \) (mínimo) 
 
**Resposta:** a) \( x = 1 \) (mínimo), \( x = 3 \) (máximo) 
 
**Explicação:** 
 
Para encontrar os pontos críticos da função \( f(x) \), precisamos calcular a derivada da 
função e igualá-la a zero: 
 
1. **Cálculo da derivada:** 
 \[ 
 f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 
 \] 
 
2. **Igualando a derivada a zero:** 
 \[ 
 3x^2 - 12x + 9 = 0 
 \] 
 Dividindo toda a equação por 3: 
 \[ 
 x^2 - 4x + 3 = 0 
 \] 
 Fatorando: 
 \[ 
 (x - 1)(x - 3) = 0 
 \] 
 Assim, temos \( x = 1 \) e \( x = 3 \) como os pontos críticos. 
 
3. **Classificação dos pontos críticos:** 
 Para classificar os pontos críticos, utilizamos a segunda derivada de \( f(x) \): 
 \[ 
 f''(x) = 6x - 12 
 \] 
 Vamos avaliar a segunda derivada nos pontos críticos encontrados: 
 
 - Para \( x = 1 \): 
 \[ 
 f''(1) = 6(1) - 12 = 6 - 12 = -6 \quad (\text{menor que } 0 \Rightarrow \text{máximo}) 
 \]