2-Espacos_Vetoriais

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Apostila Colaborativa de Álgebra Linear
2. Espaços Vetoriais
2015.2
Resumo
Nesta unidade, estudaremos as propriedades dos espaços vetoriais e
sua relação com os sistemas lineares.
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1 Espaços Vetoriais
A Álgebra Linear é o estudo dos espaços vetoriais sobre corpos arbitrários e das
transformações lineares entre esses espaços.
Definição 1. Um conjunto não-vazio K é um corpo se em K pudermos definir
duas operações, denotadas por + (soma) e · (multiplicação), satisfazendo as se-
guintes propriedades:
(i) a+b = b+a, ∀a,b ∈K (comutativa)
(ii) a+ (b+ c)= (a+b)+ c, ∀a,b,c ∈K (associativa)
(iii) Existe um elemento em K, denotado por 0 e chamado de elemento neutro
da soma, que satisfaz 0+a = a+0= a, ∀a ∈K.
(iv) Para cada a ∈K, existe um elemento emK denotado por−a e chamado de
oposto de a (ou inverso aditivo de a) tal que a+ (−a)= (−a)+a = 0.
(v) a ·b = b ·a, ∀a,b ∈K (comutativa)
(vi) a · (b · c)= (a ·b) · c, ∀a,b,c ∈K
(vii) Existe um elemento em K denotado por 1 e chamado de elemento neutro
da multiplicação, tal que 1 ·a = a ·1= a, ∀a ∈K.
(viii) Para cada elemento não-nulo a ∈K, existe um elemento em K, denotado
por a−1 e chamado de inverso multiplicativo de a, tal que a ·a−1 = a−1·a =
1.
(ix) (a+b) · c = a · c+b · c, ∀a,b,c ∈K (distributiva).
Exemplo. São corpos: Q, R, C.
Definição 2. Um conjunto não vazio E é um espaço vetorial sobre um corpo K
se em seus elementos, denominados vetores, estiverem definidas duas operações:
• soma: A cada u, v ∈ E, associa u+ v ∈ E
• multiplicação por um escalar: a cada escalar α ∈K e a cada vetor v ∈ E,
associa αv ∈ E.
Estas operações devem satisfazer as condições abaixo, denominadas axiomas de
espaço vetorial:
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(i) Comutatividade: u+ v = v +u, ∀u, v ∈ E
(ii) Associatividade: (u+ v)+w = u+ (v +w) e (αβ)v =α(βv), ∀u, v, w ∈ E e
α,β ∈K
(iii) Existência do vetor nulo: existe um vetor 0 ∈ E, chamado vetor nulo, tal
que v +0= 0+ v = v para todo v ∈ E.
(iv) Existência do inverso aditivo: para cada vetor v ∈ E existe um vetor −v ∈
E chamado inverso aditivo tal que −v + v = v + (−v)= 0 ∈ E.
(v) Distributividade: (α+β)v = αv +βv e α(u + v) = αu +αv, ∀u, v ∈ E e
∀α,β ∈K
(vi) Multiplicação por 1: 1 · v = v, em que 1 é o elemento neutro da multipli-
cação em K.
Exemplo 1.1. Todo corpo é um espaço vetorial sobre si mesmo. De fato, se K é
um corpo, então as duas operações internas emK podem ser vistas como a soma
de vetores e a multiplicação por escalares.
Exemplo 1.2. Para todo número natural n, o conjunto Kn , definido como
Kn =K×·· ·×K= {(u1, . . . ,un) : ui ∈K,∀i = 1, . . . ,n}
é um espaço vetorial sobre K.
Por definição, a igualdade vetorial u = v significa as n igualdades numéricas
α1 =β1
α2 =β2
...
αn =βn .
Os números α1, . . . ,αn são chamados de coordenadas do vetor u. As operações
do espaço vetorial Kn são definidas naturalmente por
u+ v = (α1+β1,α2+β2, . . . ,αn +βn)
ρu = (ρα1,ρα2, . . . ,ραn).
O vetor zero é, por definição, (0,0, . . . ,0), em que 0 é o elemento neutro da soma
em K.
O inverso aditivo de u = (α1, . . . ,αn) é −u = (−α1, . . . ,−αn).
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Exemplo 1.3. Os elementos do espaço vetorialR∞ são as sequências infinitas u =
(α1, . . . ,αn , . . .), v = (β1, . . . ,βn , . . .) de números reais. O elemento zero é a sequên-
cia formada por infinitos zeros 0 = (0, . . . ,0, . . .) e o inverso aditivo da sequência
u é −u = (−α1, . . . ,−αn , . . .). As operações de adição e multiplicação por escalar
são definidas por
u+ v = (α1+β1, . . . ,αn +βn , . . .)
ρu = (ρα1, . . . ,ραn , . . .).
Exemplo 1.4. Uma matriz m×n, definida no corpoK e denotada por A = [ai j ],
é uma lista de elementos ai j ∈K com índices duplos, onde 1≤ i ≤m e 1≤ j ≤ n.
Costuma-se representar a matriz na forma
A =

a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
...
...
. . .
...
am1 am2 · · · amn

O vetor
(ai 1, ai 2, . . . , ai n) ∈Kn
é o i -ésimo vetor linha da matriz A e o vetor
(a1 j , a2 j , . . . , am j ) ∈Km
é o j -ésimo vetor coluna de A. Quando m = n, dizemos que A é uma matriz
quadrada. O conjuntoMm×n(K) de todas as matrizes m×n com elementos emK
torna-se um espaço vetorial quando nele se define a soma das matrizes A = [ai j ]
e B = [bi j ] como
A+B =

a11+b11 a12+b12 · · · a1n +b1n
a21+b21 a22+b22 · · · a2n +b2n
...
...
. . .
...
am1+bm1 am2+bm2 · · · amn +bmn

e o produto de uma matriz A pelo escalar ρ ∈K como
ρA =

ρa11 ρa12 · · · ρa1n
ρa21 ρa22 · · · ρa2n
...
...
. . .
...
ρam1 ρam2 · · · ρamn

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A matriz nula 0 ∈Mm×n é aquela formada por zeros e o inverso aditivo da matriz
A = [ai j ] é a matriz −A = [−ai j ].
Exemplo 1.5. O conjunto de polinômios
P (K)= {p(x)= an xn + . . .+a1x+a0 : ai ∈K e n ≥ 0}
é um espaço vetorial com as operações usuais de soma de polinômios e multipli-
cação por escalar.
Exemplo 1.6. Seja X um conjunto não-vazio qualquer. O símbolo F (X ;R) re-
presenta o conjunto de todas as funções reais f : X → R. Ele se torna um espaço
vetorial quando se define a soma f +g de duas funções e o produtoα f do número
α pela função f da maneira natural:
( f + g )(x)= f (x)+ g (x) e (α f )(x)=α f (x).
Variando o conjunto X , obtemos diversos exemplos de espaços vetoriais da forma
F (X ;R). Por exemplo, se X = {1, . . . ,n}, entãoF (X ;R)=Rn , pois a cada número
em X associamos um número real α, gerando assim uma lista de n valores reais
para cada elemento do conjunto. Similarmente, se X =N, entãoF (X ;R) = R∞.
Se X é o produto cartesiano dos conjuntos {1, . . . ,m} e {1, . . . ,n} entãoF (X ;R) =
Mm×n .
Como consequência dos axiomas, valem num espaço vetorial as regras ope-
racionais habitualmente usadas nas manipulações numéricas:
1. Para todos u, v, w ∈ E , temos que w +u = w + v ⇒ u = v . Em particular,
w +u =w ⇒ u = 0 e w +u = 0⇒ u =−w .
2. Dados 0 ∈K e v ∈ E , temos que 0v = 0 ∈ E . Analogamente, dados α ∈K e
0 ∈ E , temos que α0= 0.
3. Se α 6= 0 e v 6= 0 então αv 6= 0.
4. (−1)v =−v .
Observação. Um espaço vetorial sobre um corpo K é um conjunto E de veto-
res, com uma operação de soma que é uma função + : E → E e uma operação
de produto por escalar, que é uma função · :K×E : E , satisfazendo os axiomas
listados acima. Note que os axiomas não involvem a propriedade de inverso
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multiplicativo do corpo, e podemos definir uma estrutura semelhante à de es-
paço vetorial sobre um anel, que chamamos de módulo sobre K. No entanto,
a maioria dos teoremas provados para espaços vetoriais não seria válida nos
módulos; por exemplo, não podemos falar da dimensão de um módulo.
2 Subespaços vetoriais
Definição 3. Um subespaço vetorial do espaço vetorial E é um subconjunto F ⊂
E que, relativamente às operações de E, é ainda um espaço vetorial, ou seja, sa-
tisfaz
(i) Para todo u, v ∈ F , u+ v ∈ F
(ii) Para todo u ∈ F e α ∈K, αu ∈ F .
Note que no caso de um subespaço, não é necessário verificar as seis pro-
priedades listadas anteriormente pois elas já são satisfeitas para E , e F ⊂ E . No
entanto, um subespaço deve ser fechado para a adição e a multiplicação por
escalar. Mais geralmente, dados v1, . . . , vm ∈ F e α1, . . . ,αm ∈K,
v =α1v1+ . . .+αm vm
deve pertencer a F .
Observação: O vetor nulo pertence a todos os subespaços. Para verificar isto,
basta tomarmos 0 ∈K: 0v deve pertencer a F para todo v ∈ F . O espaço inteiro
E também é um exemplo trivial de subespaço de E . Todo subespaço é, em
si mesmo, um espaço vetorial. O conjunto vazio não pode ser um subespaço
vetorial.
Exemplo 2.1. (i) Seja v ∈ E um vetor não-nulo. O conjunto F = {αv : α ∈K}
de todos os múltiplos de v é um subespaço vetorial de E, chamado de reta
que passa pela origem e contém v.
(ii) Seja E =F (R;R) o espaço vetorial das funções reais de uma variável real
f :R→R. Para cada k ∈N, o conjunto C k (R) das funções k vezes continu-
amente diferenciáveis é um subespaçovetorial de E.
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(iii) Sejam a1, . . . , an números reais. O conjunto H de todos os vetores v =
(x1, . . . , xn) ∈Rn tais que
a1x1+ . . .+an xn = 0
é um subespaço vetorial de Rn . No caso trivial em que a1 = . . . = an = 0, o
subespaçoH é todo o Rn . Se, ao contrário, pelo menos um dos ai 6= 0,H
chama-se hiperplano de Rn que passa pela origem.
(iv) Seja E o espaço das matrizes 3×3: E = {A ∈R3×3}. O conjunto das matrizes
triangulares inferiores de dimensão 3 é um subespaço de E, assim como o
conjunto das matrizes simétricas.
(v) Dentro do espaço R3, os subespaços possíveis são: o subespaço nulo, o es-
paço inteiro, as retas que passam pela origem, e os planos que passam pela
origem. Qualquer reta que não passe pela origem não pode ser um subes-
paço (pois não contem o vetor nulo).
3 Interseção e soma de subespaços vetoriais
Teorema 1. Dados um espaço vetorial E e subespaços F1,F2 ⊂ E, a interseção
F1∩F2 ainda é um subespaço de E.
Demonstração. Primeiramente, note que F1∩F2 nunca é vazio, pois 0 ∈ F1 e 0 ∈
F2. Precisamos então verificar as duas condições que definem um subespaço
vetorial.
(i) Sejam u, v ∈ F1∩F2. Então, u, v ∈ F1 e u, v ∈ F2. Logo, como F1 e F2 são
ambos subespaços de E , u+ v ∈ F1 e u+ v ∈ F2, portanto u+ v ∈ F1∩F2.
(ii) Seja u ∈ F1∩F2 e α ∈K. Então, u ∈ F1 e u ∈ F2. Como ambos F1 e F2 são
subespaços de E , αu ∈ F1 e αu ∈ F2. Portanto, αu ∈ F1∩F2.
Assim, provamos que a interseção dos dois subespaços é também um subes-
paço vetorial de E .
Exemplo 3.1. Considere o espaço E das matrizes reais n×n. É fácil verificar que
F1 = {matrizes triangulares superiores} e F2 = {matrizes triangulares inferiores}
são ambos subespaços de E. Então, F1∩F2 = {matrizes diagonais} também é um
subespaço de E.
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Figura 1: Interseção de subespaços vetoriais.
Exemplo 3.2. Considere E = R3. Sejam F1,F2 dois planos em R3 passando pela
origem. Então, F1∩F2 é a reta de interseção de F1 e F2 passando pela origem.
Exemplo 3.3. A união de dois subespaços vetoriais não é (em geral) um subes-
paço vetorial. Para isto, basta considerarmos E =R3, F1 e F2 duas retas que pas-
sam pela origem. Ambos F1 e F2 são subespaços, mas sua união, representada
pelo feixe das duas retas, não o é, pois a soma de dois elementos nesta união
pode se encontrar no plano definido pelas duas retas, que não está inteiramente
contido no subespaço união.
Figura 2: União de subespaços vetoriais.
Como vimos no último exemplo, a união de dois subespaços vetoriais não
é necessariamente um subespaço vetorial. No entanto, podemos construir um
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conjunto S que contém F1 e F2 e que é subespaço de E , como veremos no Teo-
rema a seguir.
Teorema 2. Sejam F1 e F2 subespaços de um espaço vetorial E. Então o conjunto
S = F1+F2 = {w ∈ E : w =w1+w2, w1 ∈ F1, w2 ∈ F2}
é um subespaço de E.
Demonstração. Vamos verificar as condições para que S seja um subespaço de
E . Primeiramente, note que 0 ∈ S pois 0 ∈ F1 e 0 ∈ F2.
(i) Sejam v, w ∈ S. Então v = v1+ v2, v1 ∈ F1, v2 ∈ F2 e w =w1+w2, w1 ∈ F1,
w2 ∈ F2. Assim
v +w = (v1+ v2)+ (w1+w2)
= (v1+w1)+ (v2+w2) ∈ S,
pois v1 +w1 ∈ F1 e v2 +w2 ∈ F2 já que ambos são subespaços de E e
v1, w1 ∈ F1 e v2, w2 ∈ F2, e a última igualdade segue das propriedades da
soma no espaço vetorial E .
(ii) Sejam α ∈K e w ∈ S. Então,
αw =α(w1+w2)=αw1+αw2 ∈ S
já que αw1 ∈ F1 e αw2 ∈ F2 pois ambos são subespaços de E .
Exemplo 3.4. No Exemplo 3.3, S = F1+F2 é o plano que contém as duas retas.
Considere agora uma matriz A ∈ Rm×n . Chegamos então ao caso interes-
sante de subespaços ligados à matriz A em um sistema linear Ax = b, com
x ∈ Rn e b ∈ Rm . Para relacionarmos o conceito de subespaços vetoriais à re-
solução de sistemas de equações lineares, precisamos do conceito de combi-
nação linear.
Definição 4. Seja E um espaço vetorial, e sejam u1,u2, . . . ,un ∈ E vetores neste
espaço. Então uma combinação linear destes vetores é um vetor u no espaço E
dado por
u =α1u1+ . . .+αnun ,
para α1, . . . ,αn ∈K.
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Definição 5. Uma vez fixados os vetores {v1, . . . , vn} em V , o conjunto W ⊂ V
que contém todas as combinações lineares destes vetores é chamado de espaço
gerado pelos vetores v1, . . . , vn . Denotamos isto por
W = span{v1, . . . , vn}
= {v ∈V : v = a1v1+a2v2+ . . .+an vn , ai ∈K,1≤ i ≤ n}.
Uma outra caracterização de subespaço gerado é a seguinte: W é o menor
subespaço de V que contém o conjunto de vetores {v1, . . . , vn} no sentido que
qualquer outro subespaço W ′ de V que contenha estes vetores satisfará W ′ ⊃
W , já que como v1, . . . , vn ∈W ′ e W ′ é um subespaço vetorial, então qualquer
combinação linear destes vetores também está incluida em W ′; logo W ⊂W ′.
4 Dependência linear entre vetores
Definição 6. Seja X = {v1, v2, . . . , vn}⊂ E um conjunto de vetores. Se nenhum dos
vetores vi puder ser escrito como combinação linear dos outros vetores, dizemos
que este conjunto é linearmente independente (l.i.). Formalmente, o conjunto X
é l.i. se e somente se a única combinação linear nula dos vetores de X for aquela
cujos coeficientes são todos nulos, ou seja,
α1v1+α2v2+ . . .+αn vn = 0⇒α1 =α2 = . . .=αn = 0.
Evidentemente, todo subconjunto de um conjunto l.i. é também l.i.
Exemplo 4.1. Em R2, quaisquer dois vetores que não sejam colineares são l.i.
Exemplo 4.2. EmRn , chamamos de vetores canônicos os vetores definidos como,
para todos i , j = 1, . . . ,n
(ei ) j =
{
1, se j = i
0, caso contrário.
em que o subíndice j denota a coordenada j do i-ésimo vetor canônico. Estes
vetores são l.i.
Exemplo 4.3. Em R2×2, as matrizes
A =
(
1 0
0 0
)
e B =
(
0 1
0 0
)
são l.i.
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Exemplo 4.4. O conjuntoP (R) dos polinômios
p(x)= a0+a1x+ . . .+an xn
é um subespaço deF (R;R), assim como o conjunto Pn dos polinômios de grau
≤ n. Note que o conjunto dos polinômios de grau n não é um subespaço, pois
a soma de dois polinômios de grau n pode ter grau < n. Então, os monômios
1, x, . . . ,nn em Pn são l.i., pois α0 +α1x + . . .+αnxn = p(x) é o vetor nulo em
Pn somente quando p(x) é o polinômio identicamente nulo, ou seja, p(x) = 0
para todo x ∈R. Isto implica que α0 = . . .=αn = 0, pois um polinômio não nulo
de grau k tem no máximo k raízes reais. Podemos, além disso, concluir que o
conjunto X = {1, x, . . . , xn , . . .}⊂P é um conjunto infinito l.i.
Teorema 3. Se v =α1v1+ . . .+αm vm = β1v1+ . . .+βm vm e os vetores v1, . . . , vm
são l.i., então α1 =β1,α2 =β2, . . . ,αm =βm .
Se um conjunto X de vetores em um espaço vetorial E não é l.i., dizemos
que ele é linearmente dependente (l.d.).
Variedades afins
Definição 7. Um subconjunto V ⊂ E chama-se uma variedade afim quando a
reta que une dois pontos quaisquer de V está contida em V . Assim, V ⊂ E é uma
variedade afim se e somente se cumpre a seguinte condição:
x, y ∈V , t ∈R⇒ (1− t )x+ t y ∈V.
Exemplo 4.5. Todo subespaço é também uma variedade afim.
Se V1, . . . ,Vm ⊂ E são variedades afins, então a intersecção V1∩V2∩ . . .∩Vm
é ainda uma variedade afim. Todo ponto p ∈ E é uma variedade afim.
Exemplo 4.6. Sejam a1, . . . , an ,b números reais. O conjunto dos pontos x =
(x1, . . . , xn) ∈Rn tais que
a1x1+ . . .+an xn = b
é uma variedade afim, que não contém a origem quando b 6= 0. Se os núme-
ros ai não forem todos nulos, chamamos esta veriedade H de hiperplano. Se
a1 = . . . = an = 0, então H = ; quando b 6= 0 e H = Rn quando b = 0. Mais
geralmente, o conjunto das soluções de um sistema linear de m equações com n
incógnitas é uma variedade afim, intersecção das m variedades afins definidas
pelas equações do sistema.
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4.1 Base e dimensão de um espaço vetorial
Gostaríamos de encontrar, para um espaço W qualquer, um conjunto de veto-
res de forma que qualquer outro vetor em W possa ser escrito como combina-
ção linear destes vetores (como i , j ,k em R3, por exemplo)
Definição 8. Uma base de um espaço vetorialE é um conjunto B ⊂ E linear-
mente independente que gera E, ou seja, todo vetor v ∈ E se exprime, de modo
único, como combinação linear v =α1v1+. . .+αm vm de elementos v1, . . . , vm da
base B. Se B = {v1, . . . , vm} é uma base de E e v = α1v1+ . . .+αm vm , então os
números α1, . . . ,αm chamam-se as coordenadas do vetor v na baseB.
Exemplo 4.7. Base canônica no Rn .
Exemplo 4.8. Os monômios 1, x, . . . , xn formam uma base para o espaço vetorial
Pn dos polinômios de grau ≤ n. O conjunto
{1, x, . . . , xn , . . .}
dos monômios de graus arbitrários constitui uma base (infinita) para o espaço
vetorialP de todos os polinômios reais.
4.1.1 Resultados sobre bases
Lema 1. Sejam v1, . . . , vn 6= 0 que geram um e.v. E. Então dentre estes vetores
podemos extrair uma base de E.
Demonstração. Se v1, . . . , vn forem l.i., não há nada a fazer. Suponha então que
eles sejam l.d. Então,
x1v1+ . . .+xn vn = 0
com pelo menos algum xi 6= 0. Sem perda de generalidade, suponha que xn 6= 0
(a ordem não importa). Então, escreva
vn =− x1
xn
vi − . . .− xn−1
xn
vn−1
Desta forma, v1, . . . , vn−1 ainda geram E . Prossiga desta maneira até que todos
os elementos l.d. tenham sido eliminados e teremos uma base de E .
O Lema seguinte nos dá uma amostra da ligação entre os espaços vetoriais
e as soluções dos sistemas lineares.
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Lema 2. Todo sistema linear homogêneo cujo número de incógnitas é maior do
que o número de equações admite uma solução não-trivial.
Demonstração. Consideremos o sistema
a11x1+a12x2+ . . .+a1n xn = 0
a21x1+a22x2+ . . .+a2n xn = 0
...
am1x1+am2x2+ . . .+amn xn = 0
de m equações e n incógnitas, onde m < n. Vamos provar o resultado por in-
dução no número de equações do sistema.
Se tivermos apenas uma equação do tipo
a11x1+ . . .+a1n xn = 0
com n > 1 incógnitas, devemos ter um dos dos coeficientes a1i 6= 0 (caso con-
trário esta equação não faria sentido). Podemos supor então, sem perda de
generalidade, que a1n 6= 0. Isolando xn na equação dada, temos
xn =−
(
a11
a1n
x1+ . . .+
a1,n−1
a1n
xn−1
)
.
Para obtermos uma solução não-trivial para a equação do sistema, basta esco-
lhermos valores quaisquer para os x1, . . . , xn−1 (que são variáveis livres) e obte-
remos xn .
Para completar a indução, vamos supor que o lema seja verdadeiro para um
sistema com m−1 equações. Podemos primeiramente admitir que, no sistema
original, temos amn 6= 0 (caso contrário, o sistema não teria m, mas m−1 equa-
ções). Então, a m-ésima equação pode ser reescrita como
xn =−
(
am1
amn
x1+ . . .+
am,n−1
amn
xn−1
)
.
Substituindo em cada uma das m−1 primeiras equações a incógnita xn por esta
expressão, obtemos um sistema homogêneo de m−1 equações nas n−1 pri-
meiras incógnitas. Pela hipótese de indução, este sistema admite uma solução
não-trivial (α1, . . . ,αn−1), pois n−1>m−1. Escrevendo então
αn =−
(
am1
amn
α1+ . . .+
am,n−1
amn
αn−1
)
,
obtemos uma solução não-trivial (α1, . . . ,αn−1,αn) do sistema proposto.
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Usando os lemas anteriores, podemos provar o seguinte resultado.
Teorema 4. Se o conjunto finito de vetores {v1, . . . , vm} gera o espaço vetorial E,
então qualquer conjunto com mais de m vetores em E é l.d.
Demonstração. Dados os vetores w1, . . . , wn ∈ E , com n > m, para cada j =
1, . . . ,n podemos escrever
w j =α1 j v1+ . . .+αm j vm ,
pois os vetores v j geram E . Para mostrar que os vetores w j são l.d., deve-
mos achar coeficientes x1, . . . , xn , com pelo menos um deles não-nulo, tais que
x1w1+ . . .+xn wn = 0. Substituindo os w j por suas expressões em termos de v j
e reorganizando a soma, esta igualdade significa que(
n∑
j=1
x jα1 j
)
v1+
(
n∑
j=1
x jα2 j
)
v2+ . . .+
(
n∑
j=1
x jαm j
)
vm = 0.
Esta condição será satisfeita se todos os somatórios forem nulos, ou seja,
α11x1+α12x2+ . . .+α1n xn = 0
α21x1+α22x2+ . . .+α2n xn = 0
...
αm1x1+αm2x2+ . . .+αmn xn = 0
Tal solução existe pelo Lema 2, pois n > m. Portanto, w j são l.d. e o teorema
está provado.
Corolário 1. Se os vetores v1, . . . , vm geram o espaço vetorial E e os vetores u1, . . . ,un
são l.i., então n ≤m.
Corolário 2. Se o espaço vetorial E admite uma base B = {u1, . . . ,un} com n
elementos, então qualquer outra base de E possui também n elementos.
Demonstração. Seja B′ outra base de E com m elementos. Como B′ gera E
e B é l.i., temos que n ≤ m, pelo Corolário 1. Como B gera E e B′ é l.i., do
mesmo Corolário segue-se que m ≤ n. Logo, m = n.
Definição 9. Diz-se que o espaço vetorial E tem dimensão finita quando admite
uma baseB com um número finito n de elementos. Este número, que é o mesmo
para todas as bases de E, chama-se dimensão do espaço vetorial E, n =dim(E).
Por extensão, diz-se que o espaço vetorial E = {0} tem dimensão zero.
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Corolário 3. Se a dimensão de E é n, um conjunto com n vetores gera E se e
somente se é l.i.
Demonstração. Se X = {v1, . . . , vn} gera E e não é l.i., então um dos seus ele-
mentos é combinação dos n−1 vetores restantes. Logo, estes n−1 vetores res-
tantes formariam também um conjunto de geradores de E , o que contradiz o
Teorema 4, pois todas as bases de E devem ter n vetores linearmente indepen-
dentes.
Reciprocamente, suponha que X seja l.i. Se X não gerasse E , existiria um
vetor v ∈ E que não seria combinação linear dos elementos de X . Então o con-
junto {v1, . . . , vn , v} seria l.i., em contradição com o Teorema 4, pois uma base
de E com n elementos gera todo o espaço E .
Exemplo 4.9. Em R2, duas possíveis bases são {(1,0), (0,1)} e {(1,1), (0,1)}. Este
espaço tem dimensão 2.
Exemplo 4.10. O espaço Rn tem dimensão n (basta pensar na base canônica de
cada espaço destes, para n ∈N).
Exemplo 4.11. O espaçoM2×2 tem dimensão 4.
A seguir, demonstramos um resultado que garante que qualquer espaço ve-
torial (de dimensão finita) admite uma base.
Teorema 5. Qualquer conjunto l.i. de um espaço vetorial E com dimensão finita
pode ser completado para formar uma base.
Demonstração. Seja n =dim(E) e v1, . . . , vr um conjunto l.i. Pelo Corolário 1,
r ≤ n. Se esse conjunto gera E , então ele é base e n = r . Suponha que não.
Então existe um vr+1 ∈ E tal que vr+1 6∈ {v1, . . . , vr }. Então vr+1 não pode ser
combinação linear dos vi , pois caso contrário os vi seriam base para E . Logo,
{v1, . . . , vr , vr+1} é l.i. Se este conjunto gera E , terminamos. Senão, continuamos
no mesmo procedimento até que uma base tenha sido encontrada.
Corolário 4. Seja E um espaço vetorial de dimensão finita. Se U é subespaço de
E, então
dim(U )≤ dim(E).
Demonstração. Para isto, basta pensarmos que uma base de U deve estar con-
tida em E , e assim não pode ter mais elementos do que uma base de E .
Corolário 5. Se n =dim(V ), com V ⊂W e dim(W )= n, então V =W .
15
Lucas
Máquina de escrever
parei aqui
Lucas
Máquina de escrever
Lucas
Máquina de escrever
Lucas
Máquina de escrever
Mais uma vez, o próximo Corolário é um resultado que pode parecer sur-
preendente, mas que mostra a ligação entre os espaços vetoriais e os sistemas
lineares.
Corolário 6. Seja A ∈ Rn×n e suponha que as linhas de A formam um conjunto
l.i. Então A é inversível.
Demonstração. Seja para cada i = 1, . . . ,n o vetor αi = (ai 1, ai 2, . . . , ai n) (a linha
i da matriz A). Suponha que W é o subespaço gerado por estes vetores. Como
as linhas são linearmente independentes por hipótese, a dimensão de W é n.
Pelo Corolário 5, W =Rn . Portanto, devem existir escalares bi j ∈R, 1≤ i , j ≤ n,
tais que
e1 = b11α1+b12α2+ . . .+b1nαn
e2 = b21α1+b22α2+ . . .+b2nαn
...
en = bn1α1+bn2α2+ . . .+bnnαn
em que cada ei é o i-ésimo vetor canônico em Rn . Portanto, se construirmos
uma matriz com os bi j teremos que
B A = I
ou seja, B = A−1.
Finalmente, temos o seguinte resultado.
Teorema6. Se U e W são subespaços de E (espaço vetorial com dimensão finita),
então
dim(U +W )= dim(U )+dim(W )−dim(U ∩W )
Demonstração. Note que U ∩W e é subespaço de E . Portanto, deve ter dimen-
são finita e sua dimensão deve ser menor que a dimensão de E . Assim, sua base
deve ser um subconjunto α1, . . . ,αk da base de U e da base de W . Escreva isso
então como
U = span[α1, . . . ,αk ,βk+1, . . . ,βm]
W = span[α1, . . . ,αk ,γk+1, . . . ,γn]
16
Assim, o subespaço U +W é gerado pelos vetores {αi ,β j ,γp }, com 1 ≤ i ≤ k,
k + 1 ≤ j ≤ m, k + 1 ≤ p ≤ n. Agora, note que estes vetores formam um con-
junto linearmente independente, pois caso contrário poderíamos escrever, por
exemplo,
∑
xiαi +∑ y jβ j +∑zpγp = 0 e assim teríamos
−∑ y jβ j =∑xiαi +∑zpγp
o que implicaria que β j ∈W . Como os β j ∈U , isso implicaria que poderíamos
escrever ∑
y jβ j =
∑
ciαi
para escalares ci . Mas, como a base de U é linearmente independente, cada
um dos escalares y j deve ser igual a zero; logo,
0=−∑ y jβ j =∑xiαi +∑zpγp
e como {αi ,γq } também é l.i., todos os xi e todos os zp devem ser iguais a zero.
Portanto, {αi ,β j ,γp } formam uma base para U +W .
Além disso,
dim(U )+dim(W )=m+n = k+ (m+n−k)= dim(U ∩W )+dim(U +W ).
Exemplo. Seja P o espaço dos polinômios em R (de qualquer grau). Então os
vetores deste espaço tem a forma
f (x)= a0+a1x+ . . .+an xn
Seja fk (x) = xk , k = 0,1, . . .. O conjunto infinito { f0, f1, . . .} é uma base para V .
Claramente este conjunto gera V pois as funções f são, como acima,
f (x)= a0 f0+a1 f1+ . . .+an fn
Precisamos mostrar então que as funções na base são l.i. Mas para isto basta
mostrarmos que todo subconjunto finito deste conjunto infinito é l.i. (para qual-
quer coleção finita de vetores neste conjunto). Tome então os conjuntos { f0, . . . , fn}
para cada n ∈N. Suponha então que
a0 f0+a1 f1+ . . .+an fn = 0
17
Isto é o mesmo que dizer que
a0+a1x+a2x2+ . . .+an xn = 0
para cada x ∈ R; em outras palavras, todo x ∈ R seria uma raiz deste polinô-
mio. Mas sabe-se que um polinômio de grau n não pode ter mais do que n raizes
distintas; portanto, os coeficientes a0 = a1 = . . .= an = 0.
Mostramos então que existe uma base infinita para P. Isto implica que ele
não tem dimensão finita, pelo teorema anterior que dizia que um conjunto l.i.
não pode ter mais elementos do que a dimensão do espaço.
Uma última observação é que uma base infinita não requer combinações li-
neares infinitas; de fato, cada vetor no espaço pode ser obtido com uma combi-
nação linear finita dos elementos da base. Basta vermos que
∑∞
k=0 ak x
k não está
neste espaço.
4.2 Coordenadas e Mudança de Base
Para determinarmos as coordenadas de um vetor (isto é, os coeficientes da
combinação linear dos elementos da base que o definem) precisamos fazer isso
numa certa ordem.
Exemplo. (2,3)= 2(1,0)+3(0,1). Mas se e1 = (0,1) e e2 = (1,0), então as coorde-
nadas mudam para
(2,3)= 3e1+2e2 = (3,2)(nova base)
Definição 10. Se E é um espaço vetorial de dimensão finita, uma base ordenada
de E é uma sequência finita de vetores que é l.i. e que gera E.
Desta forma, dada uma base ordenadaB = {α1,α2, . . . ,αn} de V , então dado
v ∈V , existe uma única n-tupla de escalares xi tais que
v =
n∑
i=1
xiαi .
Frequentemente, ao invés de trabalharmos com as coordenadas de um vetor,
vamos precisar trabalhar com a matriz de v relativa à base ordenadaB:
v =
x1...
xn

B
18
Isto é útil pois vamos tentar descrever o que acontece quando mudamos de
base.
Teorema 7. Seja E um espaço vetorial de dimensão n e sejamB eB′ duas ba-
ses ordenadas de E. Então existe uma matriz única P, inversível e n ×n, com
entradas tais que
[v]B = P [v]B′ e [v]B′ = P−1[v]B ,
para todo v ∈ E. As colunas de P são dadas por
P j = [α′j ]B , j = 1, . . . ,n.
Demonstração. Sejam as bases
B = {α1, . . . ,αn} eB′ = {α′1, . . . ,α′n}
Então, existe um conjunto único de escalares Pi j tais que
α′j =
n∑
i=1
Pi jαi ,1≤ j ≤ n.
Sejam x ′1, . . . , x
′
n as coordenadas de um vetor v na base ordenadaB
′. Então,
v = x ′1α′1+ . . .+x ′nα′n =
n∑
j=1
x ′jα
′
j
=
n∑
j=1
x ′j
n∑
i=1
Pi jαi
=
n∑
j=1
n∑
i=1
(Pi j x
′
j )αi
=
n∑
j=1
(
n∑
i=1
Pi j x
′
j
)
αi
Como as coordenadas são unicamente determinadas para cada base, isso im-
plica que
xi =
n∑
j=1
Pi j x
′
j ,1≤ i ≤ n
19
Seja então P a matriz formada pelos Pi j e X e X ′ as matrizes coordenadas do
vetor v nas basesB eB′, respectivamente. Então,
X = P X ′.
Como as duas bases são linearmente independentes, X = 0 se e somente se
X ′ = 0. Logo, segue de um teorema anterior que P é inversível; ou seja
X ′ = P−1X .
Em outras palavras,
[v]B = P [v]B′ e [v]B′ = P−1[v]B
Isto quer dizer que para construirmos P que leva um vetor descrito na base
B′ em sua descrição na base B, devemos escrever cada vetor da base B′ em
suas coordenadas na base B . Podemos denotar também
P = IB′B .
Finalmente, podemos mostrar o seguinte:
Teorema 8. Seja P uma matriz n×n inversível, e seja V um espaço n-dimensional
definido no mesmo corpo; além disso, seja B uma base ordenada de V . Então,
existe uma única base ordenadaB′ de V tal que
[v]B = P [v]B′ e [v]B′ = P−1[v]B
para qualquer vetor v ∈V .
Demonstração. Seja B = {α1, . . . ,αn}. Se B′ = {α′1, . . . ,α′n} for uma base orde-
nada de V para a qual a primeira igualdade é válida, então devemos ter
α′j =
n∑
i=1
Pi jαi .
Logo, precisamos somente mostrar que estes vetores α′j formam uma base de
V . Mas: ∑
j
P−1j k α
′
j =
∑
j
P−1j k
∑
i
Pi jαi
=∑
j
∑
i
Pi j P
−1
j k αi
=αk
20
Logo, o subespaço gerado porB′ contémB e é portanto igual a V . Logo,B′ é
base; logo é claro que as duas afirmações são verdadeiras.
Exemplo. SejaB = {(1,0), (0,1)} eB′ = {(1,1), (1,0)} bases de R2. Então
(1,0)= 0(1,1)+1(1,0)
(0,1)= 1(1,1)−1(1,0)
Logo, (
v1
v2
)
B′
=
(
0 1
1 −1
)(
v1
v2
)
B
Assim, (
2
3
)
B′
=
(
0 1
1 −1
)(
2
3
)
B
=
(
3
−1
)
B
.
Exemplo. Ainda no R2, considere B = {(1,0), (0,1)}, B′ = {(2,3), (−1,2)}. Para
construirmos IB
′
B
, escrevemos cada vetor da baseB′ na baseB:
(2,3)= 2(1,0)+3(0,1)
(−1,2)=−1(1,0)+2(0,1)
Logo,
IB
′
B =
(
2 −1
3 2
)
Note que, se v = (1,1)B′ , então
v = 1(2,3)+1(−1,2)= (1,5)B .
De fato:
IB
′
B vB′ =
(
2 −1
3 2
)(
1
1
)
=
(
1
5
)
.
Por outro lado,
(1,0)= 2
7
(2,3)− 3
7
(−1,2)
(0,1)= 1
7
(2,3)+ 2
7
(−1,2)
Assim,
IBB′ =
(
2/7 1/7
3/7 2/7
)
.
21
De fato,
IBB′vB =
(
2/7 1/7
−3/7 2/7
)(
1
5
)
=
(
1
1
)
B
.
Ainda:
IBB′ I
B′
B = I .
Exemplo. Se B = {(1,2), (3,5)} e B′ = {(1,−1), (1,−2)}, para encontrarmos IB′
B
devemos escrever os elementos deB′ na baseB. Mas isso pode ser difícil. Consi-
dere então a base canônica em R2. Então:
IB
′
C =
(
1 1
−1 −2
)
.
Além disso,
(1,0)=−5(1,2)+2(3,5)
(0,1)= 3(1,2)−1(3,5)
e assim
I CB =
(−5 3
2 −1
)
.
Então:
IB
′
B = I CB IB
′
C =
(−5 3
2 −1
)(
1 1
−1 −2
)
=
(−8 −11
3 4
)
.
Note que
IB
′
B vB′ =
(−8 −11
3 4
)(
1
1
)
B′
=
(−19
7
)
De fato,
(1,1)B′ = (1,−1)+ (1,−2)= (2,3)C
(−19,7)B =−19(1,2)+7(3,5)= (2,−3)C .
Exemplo. Em R3, se consideramos as bases
E = {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)}
S = {(1,0,1), (2,1,2), (1,2,2)}
22
temos que
I SE =
1 2 10 1 2
1 2 2

e
I ES =
−2 −2 32 1 −2
1 0 1

Assim, se v = (1,1,1)E , temos
I ES vE =
−2 −2 32 1 2
1 0 1
11
1

E
=
−11
0

S
.
Exemplo. Seja θ ∈R; a matriz
P =
(
cosθ −sinθ
sinθ cosθ
)
é inversível com inversa (
cosθ sinθ
−sinθ cosθ
)
Logo, para cada θ, o conjuntoB′formado pelos vetores (cosθ, sinθ), (−sinθ,cosθ)
é uma base de R2. Intuitivamente esta base é obtida ao rotacionarmos a base
canônica num ângulo θ. Se α= (x1, x2), então
[α]B′ =
(
cosθ sinθ
−sinθ cosθ
)(
x1
x2
)
ou ainda
x ′1 = x1 cosθ+x2 sinθ
x ′2 =−x1 sinθ+x2 cosθ
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