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UNIVERCIDADE DE SÃO PAULO
CÁLCULOS DIFERENCIAL E INTEGRAL A
UMA VARIÁVEL REAL
MODELO MATEMÁTICO E FUNÇÕES
ESSENCIAIS
SÃO PAULO
2015
Componentes:
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Orientador: Professor Clovis Jose Serra Damiano
O que seria um modelo matemático?
Um modelo matemático é uma representação ou interpretação simplificada da realidade, ou uma interpretação de um fragmento de um sistema, segundo uma estrutura de conceitos mentais ou experimentais.
Na área das ciências aplicadas, um modelo matemático é um tipo de modelo científico que utiliza algum formulismo matemático para expressar relações, predições, variáveis, parâmetros, entidades e relações entre variáveis e/ou entidades ou operações.
Apresenta apenas uma visão ou cenário de um fragmento do todo. Normalmente, para estudar um determinado fenómeno complexo, criam-se vários modelos.
Estes modelos são usados para analisar os comportamentos de sistemas complexos em situações geralmente difíceis de observar na realidade são utilizados praticamente em todas as áreas científicas, como, por exemplo, na biologia, química, física, economia, engenharia e na própria matemática pura.
Nas matemáticas propriamente ditas, um modelo matemático é um conjunto sobre o qual se tenham definido relações unárias, binárias e ternárias, e que permite satisfazer as proposições derivadas do conjunto de axiomas da teoria. A teoria dos modelos é o ramo da matemática que se dedica ao estudo sistemático das propriedades dos modelos.
Os modelos das ciências físicas constituem uma tradução da realidade física para possibilitar que sejam aplicados os instrumentos e as técnicas das teorias matemáticas no estudo do comportamento de sistemas complexos. Seguindo o caminho inverso, pode-se transpor os resultados numéricos para a realidade física.
     Para representar um fenômeno físico complexo pode-se utilizar : modelos físicos, modelos matemáticos ou modelos híbridos de vários tipos. 
     Os modelos físicos são baseados no Teorema de Bridgman e as escalas de semelhança são calculadas com base no Teorema de Buckingham. Estes modelos são muito utilizados, em laboratórios, para estudos de maiores complexidades como estudos de hidrodinâmica em engenharia hidráulica, (usinas hidrelétricas, navios), e de aerodinâmica (aviões, automóveis, etc), mecânica quântica. 
     Praticamente nenhuma grande obra hidráulica, porto ou usina hidrelétrica, é projetada sem estudos detalhados em vários modelos matemáticos de diversas categorias como hidrologia, hidráulica, mecânica dos solos. Também são muitíssimo utilizados a construção de vários modelos físicos específicos ( turbinas, casa de força, vertedouro, eclusas , escada de peixe, etc. Estes modelos podem ser bidimensionais ou tridimensionais (modelo de conjunto). 
     Em Teoria de modelos um modelo é uma estrutura composta por um conjunto universo e por constantes, relações e funções definidas no conjunto universo.
Qual a maneira que podemos ver os modelos matemáticos?
Os modelos matemáticos podem dividir-se em deterministas (não há dúvidas quanto à forma do resultado, e os dados utilizados são perfeitamente conhecidos e determinados) e estocásticos (são modelos probabilísticos, pois não é conhecido o resultado esperado mas antes a respectiva probabilidade).
No que diz respeito à função da origem da informação utilizada, os modelos matemáticos podem classificar-se em heurísticos (baseados nas explicações sobre as causas ou os mecanismos naturais que dão origem ao fenómeno estudado) ou empíricos (baseados nas observações directas ou nos resultados de experiências do fenómeno estudado).
Para Bassanezi (2002:16) “a modelagem matemática consiste na arte de transformar problemas da realidade em problemas matemáticos e resolvê-los interpretando suas soluções na linguagem do mundo real”.
Esta “arte de transformar problemas da realidade em problemas matemáticos” exige uma linguagem própria que é a linguagem simbólica.
Exemplos de onde podemos utilizar modelos matemáticos:
O tamanho de uma população
A demanda de um produto
A concentração de um produto em uma reação química
Custo da redução de poluentes
Velocidade de um objeto caindo
A expectativa devida de uma pessoa ao nascer
Exemplos de Modelos Matemáticos: 
Modelos Lineares;
Polinômio;
Funções Potenciais, Racionais, algébricas, trigonométricas, inversas, injetoras, exponenciais, logarítmicas; 
Propriedade dos expoentes;
Aplicação população das bactérias;
Número e;
Logaritmos naturais;
Tabelas;
Gráficos cartesianos;
Entre outras...
Funções essenciais:
Ao lermos um jornal ou uma revista, diariamente nos deparamos com gráficos, tabelas e ilustrações. Estes, são instrumentos muito utilizados nos meios de comunicação. Um texto com ilustrações, é muito mais interessante, chamativo, agradável e de fácil compreensão. Não é só nos jornais ou revistas que encontramos gráficos. Os gráficos estão presentes nos exames laboratoriais, nos rótulos de produtos alimentícios, nas informações de composição química de cosméticos, nas bulas de remédios, enfim em todos os lugares. Ao interpretarmos estes gráficos, verificamos a necessidade dos conceitos de plano cartesiano.
Formas de representar uma função
Agora que já sabemos o que é uma função e os seus conceitos, vamos ver 5 formas de representá-la.
Diagrama de setas: este diagrama usa setas para ligar os objetos ás respetivas imagens. Neste diagrama estão presentes os conjuntos de partida e de chegada, bem como o contradomínio. É uma das formas mais usadas para representar uma função!
Tabela : a tabela é uma forma simples de representar uma função, pois apenas mostra as correspondências entre os objetos e imagens. Não é tão usada como o diagrama de setas.
Gráfico cartesiano : é um sistema de eixos (abcissas e ordenadas) criado à muito tempo por René Descartes. Aqui, os objetos correspondem ás abcissas (x) e as imagens correspondem ás ordenadas (Y). Logo, para determinarmos as correspondências, usam-se os pares ordenados, onde P = ( x , y ). É muito usado para representar uma função.
Expressão algébrica : a expressão algébrica apenas diz o que temos de fazer ao objeto (x) para obtermos a sua imagem (y). Não nos diz quais são os objetos, logo podemos dizer que "não define totalmente a função". Ainda assim, é bem usada.
Gráfico : num gráfico, representa-se o conjunto dos pares ordenados ( os objetos e as correspondentes imagens), logo dá-nos o contradomínio e domínio de uma função. É muito u sado para representar as correspondências de funções.
Solução:
 (a): como estamos supondo que T é uma função linear de h, podemos escrever T= mh+b
Nos é dado T=20 quando h=0, assim 20=m*0+b ou seja b=20 (intersecção no eixo Y) quando h=0
Também nos é dado T=10 quando h=1, dessa forma 10=m*1+20 ou seja m=-10
Desta forma construímos a função T=-10m+20, ao atribuirmos qualquer valor para m encontraremos sua temperatura relativa.
Utilidade
O propósito desses modelos é entender o fenômeno e talvez fazer previsões sobre seu comportamento no futuro. que descrevem os fenômenos (determinísticos ou aleatórios) naturais de maneira adequada.
O ritmo intenso do desenvolvimento tecnológico dos tempos atuais produz o seguinte fenômeno: é cada vez menor o tempo decorrente entre o desenvolvimento de uma teoria matemática e sua utilização prática.
Os engenheiros utilizam modelos para:
Pensar (refletir, visualizar) → modelos são valiosos instrumentos de auxílio para visualizar e pensar acerca da natureza de um sistema e do seu comportamento. Um engenheiro pode imaginar uma carga constante ou aleatória, através de uma representação gráfica, conforme indica a figura que esta a
baixo. 
Metodologia Científica 
 
Comunicar → importante habilidade que o engenheiro deve ter é a capacidade de comunicação de seus projetos para outros que deverão aprová-los, construi-los, operá-los ou mantê-los. Exemplos: maquete de edifício, modelo de um automóvel em escala reduzida, modelos diagramáticos, matemáticos e representações gráficas, são importantes em trabalhos científicos, relatórios técnicos, etc.
Prever → na solução de problemas o engenheiro tem geralmente que examinar muitas possíveis soluções para decidir qual a mais adequada. Assim utiliza-se o artifício de comparar os desempenhos através do uso de modelos. Veja o exemplo da barra engastada.
Controlar → em algumas situações prepara-se o modelo e procura-se fazer com que o SFR (Sistema Físico Real) o obedeça. Esta situação é comum na engenharia e acontece, por exemplo, com o projeto de um edifício, cuja planta é o modelo a ser seguido na construção do mesmo.
Ensinar e Treinar → os modelos são usados também como auxílio à instrução. Por exemplo: diagramas, gráficos e plantas, são importantes suportes didáticos. Deve-se ainda ressaltar a grande utilidade prática na simulação participativa, particularmente quando o custo de prováveis erros for elevado, tanto no aspecto de segurança quanto no econômico. Exemplos típicos destes, são os treinamentos de controladores de tráfego aéreo, pilotos e astronautas, pois permitem errar no simulador, sem incorrer em acidentes que poderiam ser fatais em situações reais.