AP de CALCULO !!!!!!

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UNIVERSIDADE DE SOROCABA 
 
 
 
 
 
 
 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL 
E INTEGRAL 2 
ENGENHARIAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nome do(a) aluno(a):_________________________________________________________________________ 
 
Curso:______________________________________________ 
 
Turma:______________ Turno:______________ Sala:_________ Prof. Alvesmar Ferreira 
 
 
 
 
 
2º Semestre – 2014 
2 
 
UNIVERSIDADE DE SOROCABA 
 
 
 
 
 
 
 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL 
E INTEGRAL 2 
ENGENHARIAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AVALIAÇÕES 
Provas: 
P1: Data: ___/___/___ Páginas:_________________________________________ 
P2: Data: ___/___/___ Páginas:_________________________________________ 
P3: Data: ___/___/___ Páginas:_________________________________________ 
 
3 
 
SUMÁRIO 
 
1. Revisão: Derivada de uma função real...............................................................................................04 
Fração, potenciação e radiciação.......................................................................................................04 
Derivada de uma função real..............................................................................................................05 
 
2. Estudo da variação das funções.........................................................................................................14 
Teorema do valor médio.....................................................................................................................16 
Máximos e mínimos............................................................................................................................19 
Regras de L’hospital...........................................................................................................................20 
 
3. Funções trigonométricas e suas inversas...........................................................................................27 
Razões trigonométricas no triângulo retângulo...................................................................................27 
Resolução de triângulos quaisquer.....................................................................................................33 
Medidas de arcos de circunferência e relação entre as unidades para medir arcos..........................35 
No ciclo trigonométrico........................................................................................................................36 
Derivadas das funções trigonométricas..............................................................................................46 
Função inversível: definição, teoremas e construção de gráficos......................................................47 
Funções trigonométricas inversas......................................................................................................48 
Derivadas das funções trigonométricas inversas................................................................................50 
 
4. Integrais indefinidas e métodos de integração...................................................................................53 
Integrais imediatas..............................................................................................................................53 
Problemas práticos de valor inicial......................................................................................................55 
Integração por substituição (mudança de variável)............................................................................55 
Integração por partes..........................................................................................................................56 
Primitivas de funções racionais...........................................................................................................57 
Integrais envolvendo funções trigonométricas....................................................................................61 
A integral definida e o teorema fundamental do cálculo.....................................................................62 
Aplicações da integral: cálculo de área e do volume..........................................................................67 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
1. REVISÃO: DERIVADA DE UMA FUNÇÃO REAL 
 
Fração, potenciação e radiciação 
 
Operações básicas que devem ser lembradas: 
n
n
xk
x
k  .
 
n
m
n m xx 
 
Exercícios: 
1) Observe os exemplos e coloque na forma de potência k.xn: 
 
a) 
4
4
3
3  x
x
 i) 
5
1
x
 p) 
3 7x
 
b) 
22
2
.1
1   xx
x
 j) 
6
7
x
 q) 
5 6x
 
c) 
55
1
5
1 88
8

 
x
x
x
 k) 
37
2
x
 r) 
x
8
 
d) 
3
2
3 2 xx 
 l) 
44
1
x
 s) 
7 4
1
x
 
e) 
2
1
xx 
 m) 
32
9
x
 t) 
5 4.2
3
x
 
f) 
2
5
2
55
.7
77 
 x
xx
 n) 
3
1
x
 u) 
3.5
1
x
 
g) 
4
1
4
1
4
14
.1
11 
 xx
xx
 o) 
10
9
x
 v) 
5 x
 
 
 
2) Observe os exemplos e elimine os expoentes negativos e/ou fracionários: 
Exemplos: a)
4
4 1
x
x 
 b) 
5 65
6
xx 
 
c) 
4 3
4
3
4
3 88
.8
xx
x 
 d) 551 22 xx  e) 
7
7 55
x
x 
 
Faça esses: f) 
16 x
 g) 
2
3
x
 h) 4x-7 i) 
2
3
5x
 j) 7x-4/5 
 
3) Observe os exemplos e resolva as operações com frações: 
a) 
2
3
2
21
1
2
1



 d) 
1
6
7

 g) 
1
6
1

 
b) 
5
2
5
53
1
5
3 



 e) 
1
4
5

 h) 
1
2
1

 
c) 
3
7
3
61
2
3
1



 f) 
3
7
9

 i) 
4
3
5
2

 
5 
 
4) Observe os exemplos e elimine os produtos e quocientes: 
a) x4.x5 = x4+5= x9 
b) 
x
xxxx
x
x 1
. 15454
5
4
 
 
c) 
72
7
2
32
2
3
232 .. xxxxxxx 
 
d) 
xxxxx
x
x
x
x


2
1
2
32
2
3
2
2
3
2
3
2
.
 
e) 
3 23
2
3
2
3
51
3
5
3
53 5
11
.
xx
xxxx
x
x
x
x


 
f) 
xxx
xxxx
x
x
x
x
4
3
4
31
.
4
3
4
3
4
3
.
4
3
4
3
.4
3
2
1
2
1
2
1
2
52
2
5
2
2
5
2
5
2


 
g) 
4 9
7
x
x
 j) x3.x7 m) 
x
x
 
h) 
xx.
 k)
5.2 xx
 n) 
3. xx
 
i) 
5
7
x
x
 l) 
65 . xx
 o) 
6
7
2
5
x
x
 p) 
7 5.3 x
x
 
 
DERIVADA DE UMA FUNÇÃO REAL 
Vimos que dada uma função real f(x), a sua taxa média de variação no intervalo 
 ba,
 é dada pelo 
quociente 
ab
afbf

 )()(
 (1) 
Geometricamente, 
 tg(

)=
ab
afbf

 )()(
 (1) 
 
Esta taxa de variação é o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos (a,f(a))e (b,f(b)). Esta reta 
recebe o nome de reta secante ao gráfico de f(x) pelos pontos (a,f(a)) e (b,f(b)). 
 
Esta taxa média de variação significa a variação sofrida por f(x), para que esta função passe do valor f(a) 
para o valor f(b), quando x passa de a para b. Para as funções lineares a taxa média de variação é sempre 
constante, o que não acontece com as demais funções. 
 
 
 
 
6 
 
 
 
  6
15
125
8
35
925
4
13
195,1
5,3
3,1












TMV
TMV
TMV
Exemplo: 
 
 
X y=2x-1 
1 1 
3 5 
5 9 
 
 
 
x y=x2 
1 1 
3 9 
5 25 
Agora, TMV pode nos conduzir a conclusões erradas. Por exemplo vamos estudar a função y = x² no 
intervalo 
 2,1
. Para este intervalo temos: 
1
3
14
12
)1()2(






ff
TMV
 
Assim, poderíamos ser levados a pensar erradamente que, por exemplo: 
f(-1)²=(-1)²=1 
f(0)=f(-1)+TMV=1+1=2

errado 
f(1)=f(0)+TMV=2+1=3

errado 
f(2)=f(1)+TMV=3+1=4 
e assim estamos supondo que o comportamento desta função y=x² é como o de uma reta, o que sabemos 
não é correto. 
 
Por este motivo, o ideal é trabalharmos com intervalo 
 ba,
 suficientemente pequeno, ou seja, devemos 
aproximar os valores de a e b. Quando “a” e “b” estiverem suficientemente próximos temos a Taxa 
Instantânea de Variação que é matematicamente definida como: 
ab
afbf
ab 


)()(
lim
 , 
e como b

a (b tende para a) temos a taxa instantânea de variação da função f(x) no instante x = a. 
 
Graficamente: 
 
 
 
  2
15
19
2
35
59
2
13
15
5,1
5,3
3,1












TMV
TMV
TMV
Reta tangente 
7 
 
a taxa instantânea de variação da função f(x) no instante x = a, popularmente conhecida derivada da função 
no ponto x = a, é a inclinação da reta tangente ao gráfico f(x) no ponto (a,f(a)). Esta derivada, no ponto x=a, 
é usualmente denotada por f’(a), ou seja: 
ab
afbf
af
ab 



)()(
lim)('
 
 
Em um instante qualquer x, a derivada da função f(x) é dada por: 
xhx
xfhxf
xf
xhx 



)()(
lim)('
 ou 
h
xfhxf
xf
h
)()(
lim)('
0



 
A derivada f ’(x) pode ser denotada também 
dx
df
. 
 
Observe que quando calculamos f’(x), a derivada da função f(x) em um instante qualquer x, temos uma nova 
função f(x), ou seja, derivada de uma função é também uma função. 
 
 
Exercício resolvido: Seja f(x)=x². Calcule f’(1). 
Sabemos que
h
xfhxf
xf
h
)()(
lim)('
0



 . 
Logo 
2)2(lim
)2(
lim
²1²2²1
lim
²1)²1(
lim
)1()1(
lim)1('
00000










h
h
hh
h
hh
h
h
h
fhf
f
hhhhh
 
Portanto 
)1('f
=2, significando que quando x =1 a tendência de f(x) é crescer 2 unidades. 
 
Vimos que a derivada 
)(' af
 representa a inclinação da reta tangente ao gráfico da função f(x) no ponto 
(a,f(a)). 
 

é o ângulo formado pelo eixo x e a reta tangente é tal que tg(

)=
)(' af
. 
Assim, podemos calcular a equação da reta tangente ao gráfico da função f(x) no ponto (a,f(a)), desde que 
)(' af
 seja conhecido. 
 
Exemplo: Seja f(x) = x². Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função f(x) para x =1. 
Agora o ponto (a,f(a)) é (1,1). Vimos que f’(1)= . 
Logo a equação da reta tangente ao gráfico de f(x) no ponto (1,1) é: 
y=f’(a)x+b, ou seja,y=f’(1)x+b=2x+b y=2x+b 
8 
 
Como a reta é tangente ao gráfico de f(x) no ponto (1,1), temos que este ponto pertence a esta reta. Assim, 
de y =2x+b obtemos:1=2 +b ou b=-1 
Logo, a equação procurada é y =2x-1. 
 
 
 
Exemplo: 
a) Seja f(x)=k (constante), calcule f’(2), f’(5), f’(-10). 
00limlim
)2()2(
lim)2´(
)()(
lim)´(
0000







 hhhh h
kk
h
fhf
f
h
xfhxf
xf
 
00limlim
)5()5(
lim)5´(
000





 hhh h
kk
h
fhf
f
 
Da mesma forma f’(-10)=0 
 
b) Seja f(x)=ax+b (função linear), calcule f’(2), f’(5), f’(-10) 
baxxf )(
 
aa
h
ha
h
babaha
h
babha
h
fhf
f
hh
hhh










00
000
lim
.
lim
22
lim
)2.())2((
lim
)2()2(
lim)2´(
 
aa
h
ha
h
babaha
h
babha
h
fhf
f
hh
hhh










00
000
lim
.
lim
55
lim
)5.())5((
lim
)5()5(
lim)5´(
 
Da mesma forma f’(-10)=a 
 
Exercício resolvido 
a) Mostre que se f(x)=k então f’(x)=0, para todo. 
0)'(
00limlim
)()(
lim)´(
000







k
h
kk
h
xfhxf
xf
hhh
 
 
 
 
9 
 
 b) Mostre que se f(x)=ax+b então f’(x)=a, para todo x. 
h
xfhxf
xf
h
)()(
lim)´(
0



aa
h
ha
h
baxbahax
h
bxabhxa
hhhh




 0000
lim
.
limlim
).())((
lim
 
abax  )'(
 
Assim, temos as duas primeiras regras de derivação: 
(k)’ = 0 
(ax+b)’ = a 
 
Exemplos: 
a) Seja f(x)=10. Calcule f’(x) f’(x)=0, pela 1ªregra. 
b) Seja f(x)=-5x+7. Calcule f’(x) f’(x)=-5, pela 2ªregra. 
c) Seja f(x)=x. Calcule f’(x) f’(x)=1, pela 2ªregra. 
 
Exercícios resolvidos 
1) Mostre que se f(x)=x² então f’(x)=2x para todo x. 
xxhxhx
h
hxh
h
hxh
h
xhxhx
h
xhx
xf
hhh
hhhh
202lim2lim2lim
)2(.
lim
²2
lim
²²2²
lim
)²()²(
lim)´(
000
0000









 
 
2) Mostre que se f(x)=x3 então f ´(x)=3x2 para todo x. 
2222
0
22
0
32
0
3323
0
33
0
300333lim
)33(
lim
²33
lim
²33
lim
)()(
lim)´(
xxhxhx
h
hxhxh
h
hxhhx
h
xhxhhxx
h
xhx
xf
hh
hhh











 
Assim, temos outras duas regras: 
(x²)’=2x 
(x3)’ = 3x2 
 
Observe que: 
(x)’=(x¹)’=1=1.x 0 
(x²)’=2x 
(x3)’ = 3x2 
e assim podemos deduzir que: 
(x 4 )’=4x³ 
(x5)’ = 5x4 
 
De maneira geral, temos a regra: 
(x n )’ =n.x 1n , para todo n

Q 
 
10 
 
Observe que nesta regra, dependendo do valor de n, podemos ter restrições sobre x. Por exemplo, se n =
2
1
 então 
xxx n  2
1 , daí 
1
2
1
2
1
.
2
1
)'(

 xx
 ou seja 
2
1
2
1
.
2
1
)'()(

 xxx
. 
Logo (x 21 )`=
2
1
2
1
x
,isto é, (
x
)`=
x2
1
 e assim devemos exigir que x>0. 
 
Também, se n=
3
1
 então 331 xxx n  
Daí 
3
2
3
2
1
3
1
3
1
3
1
.
3
1
.
3
1
)'(
x
xxx 


, isto é, 
3
3
²3
1
)'(
x
x 
. 
Uma vez que j iji xx  . Observe que neste caso devemos exigir x  0. 
 
Outras três regras são: 
Se f(x) e g(x) são funções reais deriváveis e k é uma constante então: 
(f(x)+g(x))’=f ’x)+g’(x) 
(f(x)-g(x))’=f ’(x)-g’(x) 
(k.f(x))’=k.f ’(x) 
 
Uma aplicação da derivada 
Sabemos que a velocidade média é dada pelo quociente: vm =
 tempodo variação
posição da variação
, que é uma taxa média 
de variação. Se a posição é dada em função do tempo t por y = f(t) temos que a velocidade média entre os 
instantes t0 e t1 é determinada por vm = 
t
y


=
01
01 )()(
tt
tftf


 = 
t
tfttf

 )()(
. 
Agora, para calcular a velocidade em cada instante t (velocidade instantânea), devemos observar intervalos 
cada vez menores de tempos, ou seja, devemos calcular o limite da velocidade média, quando t se 
aproxima de zero: 
v(t) =
t
tfttf
t 


)()(
lim
0
= f ’(t) 
Exemplo: Um móvel tem a posição (em km) dada em função do tempo (em h) por f(t) = 20t2, então a sua 
velocidade no instante t é dada por v(t) = f’(t) = 40t. Logo no instante t = 3h a velocidade será v(3) = 40.3 
=120km/h. 
 
Exercícios resolvidos 
1) Calcule as derivadasdas seguintes funções: 
a) y=6x b) y=-7x+8 c) y=-3x+x²-1 d) y=-2x 10 -3 
 y’=6 y’=-7 y’=2x-3 y’=-20x 9 
 
 
11 
 
 e) y=x 51 +x²-3x 
y’=
32
5
1
32
5
1
32
5
1
32
5
1
5 4
5
4
5
4
1
5
1


x
x
x
x
xxxx
 
 
f) y=
xx 2.
3
1
7
1

 
y’=
2
21
1
2
21
1
2
21
1
2
21
1
7 6
7
6
7
6
1
7
1






x
x
xx
 
 
2) Seja f(x)=x²-5x+6, calcule a equação da reta tangente ao gráfico de f(x) no ponto x=2 e interprete 
geometricamente. 
Para x=2 temos f(x)=0. Logo o ponto de tangência no gráfico de f(x) é o ponto (2,0)

 pertence ao gráfico 
de f(x) e a reta tangente 
f(x)=x²-5x+6 f ’(x)=2x-5 
f’(2)=2.2-5=-1

inclinação da reta tangente procurada 
Portanto a equação desta é: y =-1x+b 
Como (2,0) está nesta reta temos: 0=-1.2+b e b=2. 
E a equação é y = -x+2. 
 
 
3) Calcule a derivada das seguintes funções: 
a) y=3x²-5 x  y’=6x-ln(5). 5 x 
b) y=
xe2³.
3
1
x
 y’=x²
xe2
 
 
4) Seja f(x)=
)ln().5ln(7
3
2
5
1 4 xex x
x







. Calcule f `(x). 
 
x
exxf x
x
1
).5ln(7
3
2
.
3
2
ln).4.(
5
1
)`( 5 











 
 
 
5) Calcule a derivada da função y =
)cos(4)(23.73 5 xxsenx x 
 
 
)(4)cos(23).3ln(715` 4 xsenxxy x 
 
 
A derivação é uma técnica matemática de grande poder e versatilidade. É um dos conceitos centrais 
do Cálculo, e tem diversas aplicações: Traçado de curvas, Otimização de funções, Análise de taxas de 
variação, Cálculo de velocidade e aceleração. 
Para cada tipo de função existe uma regra para encontrarmos a derivada. Precisamos conhecer 
cada função para aplicar a regra correta. Devemos observar qual é a variável (geralmente x) e quais são 
constantes (n, c, k, a, e que representam números fixos). Veja: 
 
12 
 
Regras de derivação 
1) f(x) = k  f ’(x) = 0 função constante 
2) f(x) = xn  f ’(x) = n.xn-1 função potência 
3) f(x) = k. g(x)  f ’(x) = k.g’(x) (k nº fixo) produto por constante 
4) f(x) = u(x) + v(x)  f ’(x) = u’(x) + v’(x) derivada da soma 
5) f(x) = u(x) – v(x)  f ’(x) = u’(x) – v’(x) derivada da diferença 
6) f(x) = u(x).v(x) f ’(x) = u’(x).v(x) + u(x).v’(x) derivada do produto 
7) f(x) =
)(
)(
xv
xu
 f ’(x) =
2))((
)(').()().('
xv
xvxuxvxu 
 derivada do quociente 
8) f(x)= un  f ’(x) = u’.n.un-1 regra da cadeia para potência 
9) f(x) = ln(u)  f ’(x)=
u
u '
 derivada do log base e 
10) f(x) = loga(u)  f ’(x) =
au
u
ln.
'
 derivada do log em outra base 
11) f(x) = eu  f ’(x) = u’.eu derivada da exponencial base e 
12) f(x) = au  f ’(x) = u’. au .ln(a) derivada da exponencial outra base 
13) f(x) = sen (u) f ’(x) = u’.cos (u) derivada do seno 
14) f(x) = cos (u)  f ’(x) = - u’.sen (u) derivada do cosseno 
 
Exemplos: 
Função Derivada 
1) f(x) = 9 f ’(x) = 0 
2) f(x) = x5 f ’(x) = 5x4 
3) f(x) = 3.x5 f ’(x) = 3.5.x4 = 15x4 
4) f(x) = 3x2 +2x+4 f ’(x) = 3.2x+2+0= 6x+2 
5) f(x) = 7x-x3 f ’(x) = 7 – 3x2 
6) f(x) = x.
x
 f’(x)=1.
x
+x.½x – ½ =
x
+ ½ x ½ =
x
+½
x
= 3/2.
x
 
7) f(x) = 
2
3
2 x
x
 f ’(x) =
22
2
)2(
2.3)2.(3


x
xxx
= 
22
2
)2(
63


x
x
 
8) f(x) =(x+2)8 f ’(x)= 8.(x+2)7.1= 8.(x+2)7. 
9) f(x) = ln(3x-4) 
f ’(x) = 
43
3
x
 
10) f(x) = log 2(5x+3) 
f ’(x) = 
)2ln()35(
5
x
 
11) f(x) = 3xe f ’(x) =3x2 . 3xe 
12) f(x) = 24x f ’(x) = 4.24x.ln(2) 
13) f(x) = sen (3x) f ’(x) = 3.cox(3x) 
14) f(x) = cos (7x+2) f’(x) = -7 .sen(7x+2) 
 
13 
 
Agora é a sua vez! Lista de Exercícios: Calcule as derivadas das seguintes funções: 
1. y = x3. log(x) 2. y = -0,6x 3. y = x.
x
 
4. y = 3-x6+x8 5. y = -x3 6. y =
x
.x –1 
7. y = 4x+5x2+6x3+7x4 8. y = 6x2+ 7-x 9. y = 
xx
xx


4
2
5,0
43
 
10. y =
2
1
4
3

x
 11. y = 
2
x
 
12. y = 
5
32
53
32
x
xxx


 
13. y = 
x
x
3
2
 14. y =
2
3


x
x
 15. y = 
)log(
)ln(
x
x
 
16. y = 
3 2 5xx 
 17. y=e
x/x 18. y = x2.(2x-1)4 
19. y = 
34
3
4
4
5
xx 
 
20. y = 
5
4
x
 21. y = 
x
x
3
2
 
22. y = 7.ex + ln(x) – ln 2 23. y = 6x 0,5 24. y = 0,2x+0,5x2-0,3 
25. y = 
5 x
-3x+5 26. y = 
35 xx 
 27. y = 
93 x
 
28. y = 10x + 5. ln(x) + 3x+4 29. y = 5. ex+ 6. ln(x) +3. 2x + 6 30. y = (ln(x))3 
31. y =5.3x 32. y = 12x + x3 33. y = x2.ex 
34. y = (3x2+5)5 35. y = (2x-4)3 36. y = -x.ln(x) 
37. y = (x3 –3x2)4 38. y = (4 – 7x)7 39. y = (e5x+3)4 
40. y = 
32xe
 41. y = 2.e
3x-1 42. y = 5x – 3x2 +4 
43. y = e5-2x 44. y = 5.e2-x 45. y = 2x . x2 
46. y = ln (x2-5x+1) 47. y = ln ( 3x-4) 48. y = x.(x+3)3 
49. y = log (4-x2) 50. y = log 2 ( x+x2) 51. y = 3x5.e4x+2 
52. y = 23x + 5.(3-x2)6 + e5x+2 53. y = 102x-3 54. y = 3x2 e2-x. 
 
 
55. Calcule a derivada de f(x) = x³ e use-a para determinar a inclinação da reta tangente à curva y = x³ no 
ponto x = -1. Qual é a equação da reta tangente neste ponto? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14 
 
2. ESTUDO DA VARIAÇÃO DAS FUNÇÕES 
 
 Através dos conceitos de diferenciabilidade e de continuidade de uma função num intervalo contido 
em seu domínio, vamos descobrir que é possível estudar sua variação e, portanto, construir o seu gráfico. 
Para tanto, precisamos estabelecer alguns conceitos e alguns resultados, como, por exemplo, determinar os 
intervalos de crescimento e decrescimento, a concavidade, o ponto de inflexão. Um resultado que é muito 
importante e estabelece um dos resultados centrais do Cálculo Diferencial, com consequências 
fundamentais para o estudo de uma função, a partir de informações sobre sua derivada num determinado 
intervalo é o Teorema do Valor Médio. 
 
Intervalos de crescimento e decrescimento 
Seja f uma função definida em um intervalo I. 
f é crescente em I se para todos pontos x1, x2  I temos x1 < x2  f ( x1 ) < f ( x2 ) . 
f é decrescente em I se para todos pontos x1, x2  I temos x1 < x2  f ( x1 ) > f ( x2 ) . 
 
Se y = f(x) é derivável no intervalo J. Então temos: 
Se f’(x) > 0 para todo x interior a J, f(x) será crescente em J. 
Se f’(x) < 0 para todo x interior a J, f(x) será decrescente em J. 
 
Se f’(p) = 0, então p é dito ponto crítico. 
 
Exemplos: 
1. f(x) = x2 -3x +2 
f’(x) = 2x-3 > 0  x > 3/2  f é crescente em (3/2, +). 
f’(x) = 2x-3 < 0  x < 3/2  f é decrescente em (-, 3/2). 
 
2. f(x) = x3-2x2 + x + 2 
f’(x) = 3x2- 4x +1=0  x = 1 ou x =1/3 
 1/3 1 
Testando um ponto em cada intervalo: 
x=0 f’(0) =3.02–4.0+1=1>0 
x= 0,5f’(0,5) =3.0,52–4.0,5+1=-0,25 <0 
x=2 f’(2) =3.22–4.2+1=5>0 
Portanto, f é crescente em (-, 1/3), ou seja, x<1/3 e em (1, +), ou seja, x>1; e f é decrescente em (1/3,1), 
ou seja, 1/3 < x <1. 
 
 Concavidade e ponto de inflexão 
 
Se f’’(x) > 0 em J, então o gráfico de y = f(x) terá concavidade para cima em J. 
Se f’’(x) < 0 em J, então o gráfico de y = f(x) terá concavidade para baixo em J. 
 
15 
 
 
 Concavidade para cima f”(x) > 0 
 Decrescente f’(x) < 0 
 
 
 
 
Concavidade para baixo f” (x) < 0 
 Decrescente  f’(x) < 0 
 
 
 
 Concavidade para cima  f” (x) > 0 
 Crescente f’(x) >0 
 
 
 Concavidade para baixo  f”(x) < 0 
 Crescente  f’(x) >0 
 
 
 
Os pontos, onde a concavidade se altera, são chamados de pontos de inflexão. 
Em economia, o ponto de inflexão é conhecido como ponto de retorno decrescente. 
 
Por exemplo, o total de vendas de um fabricante de ar condicionado em função da quantia aplicada com 
propaganda é dado pelo gráfico abaixo, onde vemos que o ponto de inflexão é (50, 2700). Pelo gráfico 
vemos que o total de vendas cresce vagarosamente a princípio, mas a medida que é gasto mais com 
propaganda, o total de vendas cresce rapidamente. Atingindo o ponto onde qualquer gasto adicional com 
propaganda resulta em crescimento de vendas, mas a uma taxa menor. Esse é o ponto de retorno 
decrescente. 
 
 
 
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
10 30 50 70 90
vendas
vendas
16 
 
Exemplos: 
1) Estude as funções com relação à concavidade e pontos de inflexão. 
 a). f(x) = x3 –6x2 +4x -10  f ’(x) = 3x2-12x + 4 
 f ’’(x) = 6x-12 > 0  x > 2 f tem concavidade para cima em (2,+). 
 f ’’(x) = 6x –12 < 0  x < 2 f tem concavidade para baixo em (-, 2). 
 Logo 2 é o ponto de inflexão. 
 b). f(x) = x2 +3x f ’(x) = 2x+3 
 f ’’(x) = 2> 0 para todo x. Logo f tem concavidade para cima em todo seu domínio. 
Não há pontos de inflexão. 
 
Teorema do valor médio 
Antes de enunciar o teorema do Valor médio, vamos analisar alguns resultados. O teorema abaixo 
garante a existência de pontos extremos (máximo e mínimo) de uma função, sem a hipótese de que a 
função seja derivável. 
 
Teorema (Weierstrass): Seja f : [a, b] → R contínua. Então existem x1 e x2 em [a, b] tais que: 
f(x1) ≤ f(x) ≤ f(x2), para todo x [a, b]. 
 
FIGURA 1 
 
Teorema (Rolle): Seja f : [a, b] → R contínua, derivável em (a, b) e tal que f(a) = f(b). Então, existe pelo 
menos um c (a, b) tal que f′(c) = 0. 
 
FIGURA 2 
 
A importância do próximo teorema deve-se ao fato dele estabelecer uma relação importante entre a 
função e sua derivada. 
17 
 
Teorema do valor Médio: Seja f uma função contínua em [a,b] e derivável em (a,b) então existe c 
pertencente a (a,b) tal que 
ab
afbf
cf



)()(
)('
 
Em outras palavras, existe pelo menos um ponto no gráfico de f, onde a reta tangente nesse ponto é 
paralela à reta secante que liga (a, f(a)) e (b, f(b)), ou seja, a reta tangente ao gráfico de f traçada pelo ponto 
(c,f(c)) é paralela à reta que passa por (a,f(a)) e (b,f(b)). 
 
 
 (b,f(b)) 
 (c,f(c)) 
 
 
 
 (a, f(a)) 
 (c,f(c)) 
 
FIGURA 3 
É preciso observar que o TVM não garante a unicidade do ponto c. Na figura acima, existem dois desses 
pontos. 
Na figura abaixo apenas um: x0. 
 
FIGURA 4 
18 
 
Corolários 
1. Seja f uma função contínua em [a, b] e derivável em (a, b). Se f′(x) = 0 para todo x  (a, b), então f é 
constante. 
2. Sejam f e g funções contínuas em [a, b] e deriváveis em (a, b). Se f′(x) =g′(x) para todo x  (a, b) então 
f(x) = g(x) + k, onde k é uma constante. 
 
Exemplos: 
1. Suponhamos que um carro percorre uma distância de 180 km em 2 horas. Denotando por s = s(t) a 
distância percorrida pelo carro após t horas, a velocidade média durante esse período de tempo é: 
vm = 
02
0180
02
)0()2(




 ss
= 90km/h 
Portanto, pelo Teorema do Valor Médio, temos que o carro deve ter atingido a velocidade de 90 km/h pelo 
menos uma vez nesse período de tempo. 
 
2. Encontre um número c que satisfaça a conclusão do Teorema do Valor Médio para a função f(x) = x²+2x-
1 no intervalo [1,5]. 
ab
afbf
cf



)()(
)('
=
8
4
234
15
)1()5(




 ff
 
Mas, f ’(x) = 2x+2. Portanto f ’(c) = 2c+2 = 8. Logo, 2c=6 e, portanto c = 3. 
 
3. Verifique que a função f satisfaz as 3 hipóteses do Teorema de Rolle no intervalo dado e encontre todos 
os valores de c que satisfazem a conclusão do Teorema de Rolle. 
a) f(x) = x²-4x+1, [0,4]. 
H1) f é contínua em [0,4], pois é uma polinomial. 
H2) f é derivável em todos os pontos interiores de [0,4], sua derivada é f ’(x) =2x-4. 
H3) f(0) = 0²-4.0+1 =1 e f(4) = 4²-4.4+1 = 1, portanto, f(0)=f(4). 
Logo, existe c(0,4) tal que f ’(c) = 0. Mas, f´(x) = 2x-4 e assim, f’(c) = 2c-4=0 implica que c = 2. 
 
b) f(x) =x³-3x²+2x+5, [0,2]. 
H1) f é contínua em [0,2], pois é uma polinomial. 
H2) f é derivável em todos os pontos interiores de [0,2], sua derivada é f’(x) =3x²-6x+2. 
H3) f(0) = 0³-3.0²+2.0+5 = 5 e f(2) =2³-3.2²+2.2+ 5 = 5, portanto, f(0)=f(2). 
Logo, existe c(0,2) tal que f ’(c) = 0. Mas, f´(c) = 3.c²-6.c+2 =0 implica que c = 1 −
√3
3
 e c =.1 +
√3
3
. 
 
4) Seja f(x) = x2+5x, para 1  x  3, determine c e esboce os gráficos de f e das retas s e T. 
Solução: Temos que a = 1 e b = 3, f(a) = f(1) = 12+5.1 = 6 e f(b) = f(3) = 32+5.3 =24. Também, temos que 
f’(x) = 2x+5, logo f ’(c) = 2c+5. 
Usando o TVM temos
)('
)()(
cf
ba
afbf



 =2c+5 9 = 2c+5 c=2. 
 
 
13
624


19 
 
 Máximos e mínimos 
 
Sejam y = f(x) uma função e p um número real pertencente ao domínio da f. Dizemos que p é um 
ponto de máximo local de f se existir um intervalo aberto J, com p em J, tal que para todo x em J e x no 
domínio da f ocorrer: f(x)  f(p). Neste caso, f(p) é o valor máximo local. 
 
Dizemos que p é um ponto de mínimo local de f se existir um intervalo aberto J, com p em J, tal que para 
todo x em J e x no domínio da f ocorrer: f(x)  f(p). Neste caso, f(p) é o valor mínimo local. 
Se f(x)  f(p) para todo x no domínio da f então p é um ponto de máximo global ou absoluto. Se f(x)  f(p) 
para todo x no domínio da f então p é um ponto de mínimo global ou absoluto. 
Os pontos de máximo ou de mínimo são ditos extremos da função f. 
 
Teorema: Seja f uma função contínua e sejam a, b, c números reais tais que a < b < c e tal que [a,c]  Df. 
Então, se: 
f(a)<f(b) e f(b) > f(c) f tem ponto de máximo p entre a e c. 
f(a)>f(b) e f(b) < f(c) f tem ponto de mínimo p entre a e c. 
 
Este teorema nos fornece um método para determinar estimativas para máximo e mínimo. 
 
Exemplos: 
f(x) =2x3 – 3x² - 37x + 2, -5  x  5 
X -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 
f(x) -138 -26 32 48 34 2 -36 -68 -82 -66 -8 
Observe: no intervalo [-3,-1] devemos ter um ponto de máximo local, pois f(-3) < f(-2) e f(-2) > f(-1). No 
intervalo [2,4] devemos ter um ponto de mínimo, pois f(2)>f(3) e f(3)<f(4). 
 
Seja y = f(x) função derivável em p, p interior ao domínio. Uma condição necessária para que p seja 
extremante local de f é que f ’(p) = 0, ou seja,p deve ser ponto crítico de f. 
 
A condição f’(p) = 0 não é suficiente, ou seja, podemos ter f’(p) = 0, mas p não extremante. (p pode ser 
extremo do intervalo). 
 
Teste da Primeira Derivada 
 Seja f uma função contínua em um intervalo aberto (a, b) contendo xo . Se f é derivável em 
todo os pontos do intervalo (a, b ), exceto possivelmente em xo , então 
 
i) f’(x) > 0 e f’(x) < 0 f tem um valor MÁXIMO RELATIVO em xo . 
ii) f’(x) < 0 e f’(x) > 0 f tem um valor MÍNIMO RELATIVO em xo 
 
20 
 
 
 
Teste Da Segunda Derivada 
Se f’(p) = 0 e f”(p) > 0, então p é ponto de mínimo local. 
Se f’(p) = 0 e f”(p) < 0, então p é ponto de máximo local. 
Exemplos: 
1) Determine os pontos extremos da função f(x) = 2x3 +3x2-12x-7 
Solução: f’(x) = 6x2 +6x-12 = 0  x =1 ou x =-2 
 f”(x)=12x+6 f”(1) = 18 >0 e f”(-2) = -18< 0 
p =1 é ponto de mínimo local e p = -2 é ponto de máximo local. 
 
2) Seja f(x)=x³-9x²-48x+52. Ache os pontos de mínimo e máximo locais de f(x), se existirem, e os intervalos 
de crescimento e decrescimento de f(x): 
f(x)=x³-9x²-48x+52 
f’(x)=3x²-18x-48 
 
f’(x)=0 3x²-18x-48=0 
 =-2 e =8 são os pontos críticos da função f. 
f’’(x) = 6x-18 
f’’(-2) = 6.(-2) – 18 = -30 <0  x1 = -2 é o ponto de máximo local de f(x) 
f’’(8) = 6.8 – 18 = 30 > 0  x2 = 8 é o ponto de mínimo local de f(x) 
 
Intervalos de crescimento ou decrescimento de f(x): 
 
Logo f(x) é crescente nos intervalos: (-∞,-2) e (8,∞) 
 f(x) é decrescente no intervalo: (-2,8) 
 
 Regras de L’Hospital 
As regras a seguir aplicam-se a limites que apresentam indeterminações do tipo ou 


. 
 
Teorema: Sejam f e g deriváveis em um intervalo aberto I com p I e g’(x)  0. 

8
2
6
3018
900
57632448.3.4324
2
1





x
x
x
1x 2x
0
0
21 
 
Se 
)(
)(
lim
xg
xf
px
=
0
0
ou
)(
)(
lim
xg
xf
px
=


 e se existir 
)('
)('
lim
xg
xf
px
(finito ou infinito) então 
)(
)(
lim
xg
xf
px
existirá e 
)(
)(
lim
xg
xf
px
 = 
)('
)('
lim
xg
xf
px
. 
 
Observe que a regra é válida par x p ou x  p- ou x p + ou x + ou x -. 
 
Exemplos: 
 
1. 
1
386
lim
4
35
1 

 x
xxx
x
= 
0
0
 
1
386
lim
4
35
1 

 x
xxx
x
=  
 '4
'35
1 1
386
lim


 x
xxx
x
=
4
5
4
8185
lim
3
24
1



 x
xx
x
 
 
2. 



 x
x
x
ln
lim
 

 x
x
x
ln
lim
0
1
lim
1
1
lim
'
)'(ln
lim 
 x
x
x
x
xxx
 
 
 
3. 
13
32
lim
23
3


 xx
xx
x
 
 
 
 
Gráficos 
 
Para o esboço do gráfico de uma função f devemos fazer o estudo completo da função. 
1. Domínio 
2. Pontos críticos 
3. Intervalos de crescimento e decrescimento 
4. Pontos de máximo e mínimo locais 
5. Concavidade e pontos de inflexão 
6. Calcular os limites laterais nos extremos 
22 
 
7. Calcular os limites nos pontos de descontinuidade 
8. Assíntotas 
9. Cruzamento com os eixos 
 
 Assíntotas 
Dizemos que a reta y = mx+n. é uma assíntota, em +, do gráfico da função y = f(x) 
x
lim
[f(x)-(mx+n)]= 0 
 
Dizemos que a reta y = mx+n. é uma assíntota, em -, do gráfico da função y = f(x) 
x
lim
 [f(x)-(mx+n)]= 0 
 
Intuitivamente, dizer que a reta y = mx+n é uma assíntota, em +, significa que, à medida que x cresce, o 
gráfico de y = f(x) vai encostando cada vez mais no gráfico da reta. 
 
 y = mx+n 
y = n 
 
 
y = n é uma assíntota horizontal y = mx+n é assíntota oblíqua 
 
Dizemos que a reta vertical x = k é uma assíntota vertical, à esquerda, para o gráfico da função y = f(x) se 
kx
lim
f(x) =  . 
Dizemos que a reta vertical x = k é uma assíntota vertical, à direita, para o gráfico da função y = f(x) se
kx
lim
f(x) =  . 
 
 
 
 k k 
 
 
 
 
Observe que k é um ponto de descontinuidade. 
 
Exemplo: f(x) = 
x
x 43 
 
x
lim
x
x 43 
= 3  y = 3 é assíntota horizontal em +. 
x
lim
x
x 43 
= 3  y = 3 é assíntota horizontal em -. 
23 
 
O ponto de descontinuidade é x = 0. 
Como 


 x
x
x
43
lim
0
 temos que x = 0 é uma assíntota vertical à esquerda e como 
0
lim
x x
x 43 
= -  
temos que x = 0 é, também, assíntota vertical à direita. 
 
10 0 101
3
7
11
3x 4
x
x 
2) f(x) = 
1
4
2 x
x
 
x
lim
1
4
2 x
x
= 
x
lim
x2
4
= 0 y = 0 é uma assíntota horizontal em +. 
x
lim
1
4
2 x
x
= 
x
lim
x2
4
= 0 y = 0 é uma assíntota horizontal em -. 
Os pontos de descontinuidade são 1 e –1. 
1
lim
x 1
4
2 x
x
= + temos que x = 1 é uma assíntota vertical à esquerda. 
1
lim
x 1
4
2 x
x
= - temos que x = 1 é uma assíntota vertical à direita. 
 1
lim
x 1
4
2 x
x
= + temos que x = -1 é uma assíntota vertical à esquerda. 
 1
lim
x 1
4
2 x
x
= - temos que x = 1 é uma assíntota vertical à direita. 
2 0 2
20
20
4x
x
2
1
x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
24 
 
Listas de Exercícios 
1. Determine os pontos críticos e os intervalos de crescimento e decrescimento das funções: 
a) f(x) = 3x-5 i) f(x) = 4 –2x 
b) f(x) = x2+x+1 j) f(x) = x3-3x2+1 
c) f(x) = x + 1/x k) f(x) = x3-9x2+6x-5 
d) f(x) = 2x2+3x +5 l) f(x) = 2x3+3x2-12x+4 
e) f(x) = 4x3+3x2-18x +5 m) f(x) = x4-8x2+2 
f) f(x) = 2x³+3x²-12x-7. n) f(x) = 3x5-5x3 
g)f(x) = x4+8x3+18x2-8 o) f(x) = x3-3x-4 
h)f(x) = 
3
1
x3 -9x+2 p) f(x) = 
2x
x
 
2. Determine os intervalos onde a concavidade é para cima e onde é para baixo. 
a) f(x) = 2x2+3x +5 f) f(x) = 2x3+3x2-12x+4 
b) f(x) = 4x3+3x2-18x +5 g) f(x) = x4-8x2+2 
c) f(x) = 4 – x2 h) f(x) = x3-9x2+6x-5 
d) f(x) = x3/3-2x2+3x+5 i) f(x) = 1/x 
e) f(x) = -x3 –8x2 +3 
 
3. O total de vendas S (em milhares de dólares) de um fabricante de bitorneiras se relaciona com a 
quantidade de dinheiro gasta com propaganda x, por S = -0,01x³+1,5x²+200. Encontro o ponto de retorno 
decrescente (ponto de inflexão). 
 
4. Um índice de preços ao consumidor IPC é descrito por f(t) = -0,2t³+3t²+100, onde t =0 corresponde ao 
ano 1991. Encontre o ponto de inflexão e discuta seu significado. 
 
5.Verifique que a função satisfaz as hipóteses do Teorema do Valor Médio no intervalo dado. Então, 
encontre todos os números c que satisfazem a conclusão do Teorema. 
a) f(x) = 3x²+2x+5, [-1,1] 
b) f(x) = x³+x-1, [0,2] 
 
6. Mostre que a função f(x) = x³/4+1 satisfaz as hipóteses do Teorema do Valor Médio no intervalo [0,2]e 
encontre todos os valores de c do intervalo (0,2), nos quais a reta tangente ao gráfico de f é paralela à reta 
secante que liga os ponto 
 
7. Determine os extremos das funções abaixo: 
a) f(x) = 4x3+24x2+36x 
b) f(x) = x4+8x3 +18x2-8 
 
8. Faça o estudo da função f(x) = x3 –x2-x+1 e esboce o gráfico. 
 
9. Calcule o volume máximo de uma caixa, feita com uma folha de papelão de 40 x 40 cm, retirando-se um 
quadrado de lado x de cada canto da folha. 
25 
 
10. Um homem deseja construir um galinheiro com formato retangular, usando como um dos lados uma 
parede de sua casa. Quais asdimensões que devem ser utilizadas para que a área seja máxima, sabendo–
se que ele pretende usar 20m de cerca? 
11. A receita obtida com a produção de certa mercadoria é dada por R(x) = 
63
63
2
2


x
xx milhões de reais. 
Qual a produção que proporciona a receita máxima? Qual é esta receita? 
 
12. Faça o estudo completo da função f(x) = 3x4 –2x3-12x2+18x+15. 
 
13. Um edifício de 2000 m2 de piso deve ser construído, sendo exigido recuos de 5 m na frente e 
nos fundos e de 4 m nas laterais . Ache as dimensões do lote com menor área onde esse edifício 
possa ser construído 
 
14. Uma caixa fechada com base quadrada vai ter um volume de 2000 cm3 . O material da tampa 
e da base vai custar R$ 3,00 por centímetro quadrado e o material para os lados R$ 1,50 por 
centímetro quadrado . Encontre as dimensões da caixa de modo que o custo seja mínimo . 
 
15. Um fazendeiro tem 1200m de cerca e quer cercar um campo retangular que esta a margem de um rio 
reto. Ele não precisa cercar ao longo do rio. Quais as dimensões do campo que tem a maior área? 
 
16. Seja f(x) = x³ -6x²+9x-3. 
(a) Encontre os intervalos onde f é crescente e onde é decrescente . 
(b) Encontre e classifique os extremos relativos . 
(c) Encontre o valor máximo absoluto da f no intervalo [ –1 , 2 ) . 
 
17. Uma companhia de software sabe que ao preço de $80 por um determinado software eles vendem 300 
unidades por mês. Sabem também que para cada redução de $5 no preço eles venderão mais 30 unidades. 
Qual preço a companhia deve cobrar para maximizar a receita? 
 
18. Determine os extremantes das funções: 
a) f(x) = 4x3+24x2+36x b) f(x) = x4+8x3 +18x2-8 
c) f(x) = 4x3+3x2-18x +5 d)f(x) = x4-8x2+2 
e) 
19. O lucro total (em dólares) da Companhia Acrosonic pela fabricação e venda de caixas de som é dado 
por P(x) = -0,02x²+300x-200. 000. Quantas unidades devem ser produzidas para maximizar o lucro? Qual 
será o lucro máximo? 
 
20. A função custo médio diário (em dólares por unidade) da companhia Elektra é dada por Cme(x) = 
0,0001x²-0,08x+40+5000/x, onde x representa o número de calculadoras que a Elektra produz. Calcule o 
custo médio mínimo. 
x12x2x
3
2
)x(f 23 
26 
 
21. A direção da Trapee and Sons, fabricante de molho de pimenta Texa-pep, estima que seu lucro (em 
dólares) pela produção diária de x caixas de molho picante Texa-Pep é dado por L(x) = -0,000002x³+6x-
400. Qual é o lucro máximo que a empresa pode obter em um dia? 
 
22. A quantidade demandada por mês da gravação de Walter Serkin, produzida pela Shonatha Record, está 
relacionada com o preço por CD. A equação p(x) = -0,00042x+6 onde p representa o preço unitário em 
dólares e x é o número de CDs demandados. O custo em dólares para prensar e embalar x cópias é C(x) = 
600+2x-0,00002x². Quantas cópias devem ser produzidas por mês para maximizar os lucros? 
 
23. Calcule os seguintes limites: 
 a) 
1
12
lim


 x
x
x
 c) 
xx
x
x  3
32
lim
 e) 
3x-x
9x -x
lim
2
24
0x
 g) 
3
124
lim
3 

 x
x
x
 
b) 
3
32
lim
2
3 

 x
xx
x
 d) 
1
1
lim
2
1 

 x
x
x
 f) 
2
ln
x
x
x
lim
 h) 
3
96
lim
2
3 

 x
xx
x
 
 
24. Esboce os gráficos das funções: 
a) f(x) = x3 –3x2+3x f) f(x) =2x³/3 –2x²-12x 
b) f(x) = 
1
2
x
x
 g) f(x) = 
12
2
3
4
24
 x
xx
 
c) f(x) = x3 –3x2+3x h) f(x) = x 3 –3x-9x 
d) f(x) = x 3 – 3x 2 +1 i) f(x) = 3x5 – 5x 3 
e) f(x) = 
2x
x

 j)f(x) = 
3x
3x

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
27 
 
3. Funções trigonométricas e suas inversas 
 
Ângulos 
Os ângulos podem ser medidos em graus ou radianos (rad). O ângulo dado por uma revolução completa 
tem 360° ou 2 rad. Portanto: 
 rad = 180° 
Graus 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360° 
Rad 0 /6 /4 /3 /2 2/3 3/4 5/6  7/6 5/4 4/3 3/2 5/3 7/4 11/6 2 
 
Em cálculo usamos o radiano como medida dos ângulos, exceto quando indicado o contrário. 
 
 
 
    
 
 ângulo reto ângulo agudo ângulo obtuso 
  = /2 (90)  < /2  > /2 
 
 Estudo das funções trigonométricas: seno, cosseno, tangente, cotangente, secante e cossecante. 
A trigonometria surgiu, em 300 a.C, diante da necessidade do homem de calcular medidas com 
base em ângulos e está diretamente ligada aos povos egípcios e babilônicos. Eles utilizavam as razões 
entre os lados de um triângulo na resolução de problemas cotidianos, como uma ferramenta matemática 
para o cálculo de distâncias envolvendo triângulos retângulos. Mas foi na Grécia que a trigonometria obteve 
ascensão. Hiparco é o possível mentor desta ciência, pois é atribuído a ele o estabelecimento das bases 
trigonométricas. A necessidade de medir ângulos e distância inacessíveis nos problemas relacionados à 
astronomia contribuiu para o uso da trigonometria como ferramenta auxiliar. Os hindus e os árabes também 
tiveram participação incisiva no seu desenvolvimento. Mas até então a trigonometria era uma parte da 
astronomia, determinando a distância, quase que precisa, entre a Terra e os demais astros do sistema 
solar. Foi na Europa, por volta do século XV, que a trigonometria foi separada da astronomia, surgindo 
inúmeras aplicações em diversas áreas do conhecimento. O termo trigonometria é de origem grega e está 
associado ao triângulo e suas medidas. 
 
No triângulo retângulo 
O triângulo retângulo possui um ângulo reto (90º) formado pela intersecção dos catetos, o lado 
oposto ao ângulo reto é chamado de hipotenusa. Os lados de um triângulo retângulo recebem nomes 
especiais. Estes nomes são dados de acordo com a posição em relação ao ângulo reto. 
Observe a figura abaixo que representa um triângulo retângulo. 
28 
 
 
Termo Origem da palavra 
Cateto 
Cathetós: 
(perpendicular) 
Hipotenusa 
Hypoteinusa: 
Hypó(por baixo) + teino(eu estendo) 
 
Note que o maior lado é denominado de hipotenusa e os outros dois lados de catetos. A hipotenusa 
é o lado que fica oposto ao ângulo reto (ângulo de 90o). Além do ângulo reto, há dois ângulos agudos, α e β. 
A trigonometria estabelece relações entre os ângulos agudos do triângulo retângulo e as medidas de seus 
lados. Vejamos quais são essas relações. 
 
Exemplo 1. Determine os valores de seno, cosseno e tangente dos ângulos agudos do triângulo abaixo. 
 
Exemplo 2. Sabendo que sen α =1/2 , determine o valor de x no triângulo retângulo abaixo: 
 
8 
 𝛼 
Solução: A hipotenusa do triângulo é x e o lado com medida conhecida é o cateto oposto ao ângulo 
α. Assim, temos que: 
 
29 
 
Exercícios: Razões trigonométricas: seno, cosseno e tangente. 
01. Examine o triângulo retângulo (em A) da figura abaixo e calcule o valor destas razões: 
 B 
 5 13 
 A 12 C 
 
b) Compare sen B com cos C e cos B com sen C. Como eles são? 
c) Como são os valores de tg B e tg C? 
d) Calcule o valor das expressões: 
i) sen² B + cos² B 
ii) 
𝑠𝑒𝑛 𝐵
cos 𝐵
 
 
02. Um avião decola de um ponto B sob inclinação constante de 25° com relação à horizontal. A 2 km de B se encontraa projeção vertical C do ponto mais alto D de uma serra de 600 m de altura. Sabendo que nesse instante o avião 
está distante x metros do ponto D, calcule o valor de x. (Use: sen 25° = 0,42, cos 25° = 0,91 e tg 25° = 0,47.) 
 
 
03. A determinação feita por radares da altura de uma nuvem em relação ao solo é importante nas previsões 
meteorológicas e na orientação de aviões para evitar turbulências. Nessas condições, determine a altura das nuvens 
detectadas pelos radares conforme o desenho abaixo. (Use: sen 28° = 0,47, cos 28° = 0,88 e tg 28° = 0,53). 
 
 
a) Calcule: 
sen B sen C 
 
cos B cos C 
 
tg B tg C 
 
30 
 
04. Deseja-se construir uma estrada ligando as cidades A e B, separadas por um rio de margens paralelas, como nos 
mostra o esquema abaixo. A cidade A está distante 30 km da margem do rio, a B está a 18 km da margem do rio, e 
a ponte tem 3 km de extensão. Qual a distância de A a B, pela estrada, em quilômetros? (Use: √3 = 1,7.) 
 
 
05. Miguel é topógrafo e quer saber a largura de um rio sem atravessá-lo. Para isso, adotou o seguinte processo: 
 considerou dois pontos, A (uma estaca) e B (uma árvore), um em cada margem do rio; 
 determinou um ponto C, distante 10 m de A, onde fixou o teodolito (aparelho de medir ângulos), de tal modo que 
o ângulo no ponto A fosse reto; 
 obteve uma medida de 60° para o ângulo (ACB); 
 dados: sen 60° = 0,87; cos 60° = 0,50 e tg 60° = 1,73 
 B 
 Rio x 
 
 C A 
Nessas condições, qual a largura x do rio? 
 
06. Sabendo que a circunferência da figura tem 5 cm de raio, calcule o valor de x. (Dados: sen 30° = ½, cos 30° = 
√3
2
 e tg 
30° = 
√3
3
.) 
 
 
31 
 
07. Calcule as medidas x e y indicadas na figura. Para os cálculos, use √3 = 1,7. (Dados: sen 60° =
√3
2
, cos 60° = ½ e tg 
60° = √3.) 
 
08. Uma rampa de lançamento de foguetes tem 4 m de base. Sabendo que o ângulo de lançamento dos foguetes deve 
ser 70° em relação à horizontal, qual é a altura dessa rampa? (Dados: sen 70° = 0,940; cos 70° = 0,342; tg 70° = 
2,747.) 
 
 
09. Um navio navega em linha reta do ponto B ao ponto A. Quando o navio está no ponto B, é possível observar um 
farol situado no ponto C de tal forma que o ângulo ACB mede 60°. 
 
Sabendo que o ângulo CAB é reto e que a distância entre os pontos A e B é 9 milhas, calcule, nessa mesma 
medida, a distância: 
a) Do ponto A ao farol. b) Do ponto B ao farol. 
10. A partir de um ponto, observa-se o topo de um prédio sob um ângulo de 30°. Caminhando 30 m, atingimos outro 
ponto, de onde se vê o topo do prédio segundo um ângulo de 60 °, conforme a figura. Calcule a altura do prédio. 
 
32 
 
11. Uma pessoa que está em uma margem de um rio enxerga o topo de uma árvore na outra margem sob um ângulo de 
60° com a horizontal. Quando recua 20 m, enxerga o topo da mesma árvore sob um ângulo de 30°. Desprezando a 
altura do observador, qual é a largura do rio? 
 
 
12. Um avião decola do aeroporto (A) e sobe segundo um ângulo constante de 15° com a horizontal. Na direção do 
percurso do avião, a 2 km do aeroporto, existe uma torre retransmissora de televisão de 40 m de altura. (Dados: sen 
15° = 0,26; cos 15° = 0,97 e tg 15° = 0,27) 
a) Verifique se existe a possibilidade de o avião se chocar com a torre. 
b) Calcule a distância d percorrida pelo avião. 
 
 
 
Ângulos de 30º, 45º e 60º 
 
Por que sen(30º) = ½ ? 
Em um triângulo equilátero temos 3 lados iguais e 3 ângulos iguais (60º) . Traçando a altura, temos a 
bissetriz, encontrando o ângulo de 30º. Assim, podemos determinar o seno e cosseno desses ângulos. 
33 
 
Primeiro: Determine a altura de um triângulo equilátero de lado l. 
 
 
Depois, aplique as fórmulas de seno e cosseno 
Sen(30º) = CO/H = 
2
11
.
2
2 
l
l
l
l
 e Cos(30º) = CA/H = 
2
31
.
2
32
3

l
l
l
l
 
Sen(60º) = CO/H = 
2
31
.
2
32
3

l
l
l
l
 e Cos(60º) = CA/H = 
2
11
.
2
2 
l
l
l
l
 
 
Para determinar os valores para o ângulo de 45º, determine a diagonal de um quadrado de lado l. 
 
Assim, sen(45º) = Co/H = l/l
2
= 1/
2
=
2
/2 
cos(45º) = CA/H = l/l
2
= 1/
2
=
2
/2 
 
 
 
34 
 
Resolução de triângulos quaisquer 
 
Lei dos senos: 
𝒂
𝒔𝒆𝒏 𝑨
= 
𝒃
𝒔𝒆𝒏 𝑩
= 
𝒄
𝒔𝒆𝒏 𝑪
 
 
Lei dos cossenos: 
a² = b² + c² - 2bc.cos A 
 
Exercícios: Relações trigonométricas em um triângulo qualquer 
01. Um navio se encontra num ponto A, distante 6 milhas de um farol F. No mesmo instante, outro navio em B está a 15 
milhas do farol F. O ângulo de visão de um observador que se encontra no farol F e vê os dois navios é 60°. Qual a 
distância entre os dois navios nesse instante? 
 
 
02. Determinar a medida x indicada no triângulo: 
 
03. O desenho abaixo representa três ruas que se cruzam, duas a duas, nos pontos A, B e C. De acordo com o desenho 
e considerando cos 45° = 0,71, qual o comprimento da avenida representada pelo segmento da avenida 
representada pelo segmento AC? 
 
 
35 
 
04. Determinar a medida x da diagonal maior do paralelogramo da figura, dado cos 120° = - 0,5. 
 
05. O esquema mostra três cidades, A, B e C, ligadas entre si pelas estradas retilíneas representadas pelos segmentos 
AB, AC e BC. Sabendo que a estrada AC tem 24 km de extensão, calcule a extensão x da estrada BC e a extensão 
y da estrada AB. Dados: sem 18° = 0,309; sen 27° = 0,454 e sen 135° = 0,707. 
 
 
Medidas de arcos de circunferência e relação entre as unidades para medir arcos 
1. Transforme em radianos: 
a) 40° 
 
 
 
 
 
b) 36° 
 
c) 25° 
 
d) 80° 
 
 
 
 
 
e) 192° 
 
f) 22°30’ 
 
 
 
 
36 
 
2. Transforme em graus: 
a) 
𝜋
12
 rad 
 
 
 
 
 
b) 
𝜋
8
 rad 
 
c) 
5𝜋
9
 rad 
 
d) 
7𝜋
16
 rad 
 
 
 
 
 
e) 
11𝜋
45
 rad 
 
f) 
3𝜋
40
 rad 
 
 
3. Calcule, em radianos, a medida do ângulo central correspondente a um arco de comprimento 18 cm contido numa 
circunferência de raio 3 cm. 
 
4. Qual é o comprimento de um arco correspondente a um ângulo central de 60° contido numa circunferência de raio 3 
cm? 
 
No ciclo trigonométrico 
Considere um círculo de raio um como abaixo. Este círculo tem equação x2 + y2 = 1 e será chamado 
ciclo trigonométrico, com ele definimos as relações trigonométricas seno (sen t) e co-seno (cos t) em função 
do ângulo t. 
 
37 
 
Um ângulo t, medido em radianos, corresponde ao comprimento do arco desde o ponto (1, 0) 
até o ponto P(x, y), no sentido anti-horário. As funções trigonométricas cosseno e seno são : 
 cos t = x e sen t = y. 
 
Se t = 0 então sen t= 0 e cos t =1; se t = /2 então sen t = 1 e cos t = 0. 
Devido à equação do círculo temos que sen2 t + cos2 t = 1. 
Quando t cresce e P move em torno do círculo , os valores do seno e do cosseno de t oscilam, 
e acabam se repetindo quando P retorna a pontos onde já tenha estado. Os físicos usam 
bastante o termo oscilação para funções que se comportam como o seno e o cosseno. 
 
 
 
Abaixo os valores de seno e cossenodos principais ângulos: 
 
 1° quadrante 2° quadrante 3° quadrante 4° quadrante 
Rad 0 /6 /4 /3 /2 2/3 3/4 5/6  7/6 5/4 4/3 3/2 5/3 7/4 11/6 
Sen 0 
2
1
 
2
2
 
2
3
 1 
2
3
 
2
2
 
 
 
0 -
2
1
 
2
2

 -
2
3
 -1 -
2
3
 
2
2

 -
2
1
 
Cos 1 
2
3
 
2
2
 
2
1
 0 
2
1

 -
2
2
 -
2
3
 1 -
2
3
 
2
2

 -
2
1
 0 
2
1
 
2
2
 
2
3
 
 
 
 A amplitude de sen t e de cos t é 1, pois como (sen t)2 + (cos t)2 = 1 temos 
| sen t |  1 e | cos t |  1 
 O período é 2, já que este é o valor do comprimento do círculo de raio 1. Assim, 
sen (t + 2) = sen (t) e cos (t + 2) = cos (t) 
 
Este comportamento oscilatório das funções seno e cosseno faz com que as equações sen 
(t) = a e cos (t) = a tenham infinitas ou nenhuma solução. Por exemplo, as infinitas soluções de cos 
t = 1 são da forma t = 2 k, t  e a equação cos t = 2 não possui nenhuma solução. 
 
 
2
1
38 
 
Atividade 1. 
 Vamos fazer um estudo da função seno e, também, de suas associadas, utilizando o software GeoGebra ou Winplot. 
Para tanto, com relação aos gráficos solicitados, utilize o plano cartesiano abaixo (note a escala em π). 
a) Faça o gráfico da função seno, f(x) = sen (x) e determine o domínio Df = ................................... e a imagem Imf = ...... 
b) A função seno é uma função periódica. Como você justifica essa afirmação? Qual é o período p? 
c) Esboce o gráfico de g(x) = sen (x) + 1 e determine: Dg = .................................................. e Img = ........... e pg = ........ 
d) Observando os gráficos de sen (x) e sen (x) + 1 o que aconteceu? 
e) Faça o gráfico de h(x) = sen (x + 1) e determine Dh = .................................................. e Imh = ............... e ph = ........... 
f) Que relação há entre os gráficos de sen (x) e sen (x + 1)? 
 
 
Atividade 2. 
Vamos fazer um estudo da função cosseno e, também, de suas associadas, utilizando o software GeoGebra ou Winplot. 
Para tanto, com relação aos gráficos solicitados, utilize o plano cartesiano abaixo (note a escala em π). 
a) Faça o gráfico da função cosseno, f(x) = cos (x) e determine o domínio Df = .......................................... e Imf = ......... 
b) A função cosseno é uma função periódica. Como você justifica essa afirmação? Qual é o período p? 
c) Esboce o gráfico de g(x) = cos (x) + 1 e determine: Dg = .................................................. e Img = ............ e pg = ........ 
d) Observando os gráficos de cos (x) e cos (x) + 1 o que aconteceu? 
e) Faça o gráfico de h(x) = cos (x + 1) e determine Dh = .................................................. e Imh = .............. e ph = ........... 
f) Que relação há entre os gráficos de cos (x) e cos (x + 1)? 
 
 
 
39 
 
Atividade 3. 
Vamos fazer um estudo da função tangente e, também, de suas associadas, utilizando o software GeoGebra ou 
Winplot. Para tanto, com relação aos gráficos solicitados, utilize o plano cartesiano abaixo (note a escala em π). 
a) Faça o gráfico da função tangente, f(x) = tg (x) e determine o domínio Df = .............................................. e Imf = ...... 
b) A função tangente é uma função periódica. Qual é o período p de f(x)? 
c) Esboce o gráfico de g(x) = tg (x) + 1 e determine: Dg = .......................................................... e Img = ....... e pg = ....... 
d) Observando os gráficos de tg (x) e tg (x) + 1 o que aconteceu? 
e) Faça o gráfico de h(x) = tg (x + 1) e determine Dh = .......................................................... e Imh = ....... e ph = ....... 
f) Que relação há entre os gráficos de tg (x) e tg (x + 1)? 
 
 
Atividade 4 
a) Desenhe em um mesmo sistema de eixos cartesianos os gráficos das funções: 
(I) y = sen x, (II) y = 2 sen x e (III) y = 3 sen x. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
40 
 
b) Desenhe em um mesmo sistema de eixos cartesianos os gráficos das funções: 
(IV) y = cos x, (V) y = 1,5 cos x e (VI) y = -2 cos x. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Multiplicando as funções elementares, y = sen x ou y = cos x, por uma constante B, de modo que suas 
equações tornem-se y = B.sen x ou y = B.cos x, temos novos gráficos. Qual é a alteração que a constante B 
causa no gráfico da função elementar? 
 
d) Desenhe em um mesmo sistema de eixo cartesianos os gráficos das funções: 
(I) y = sen x, (II) y = sen 2x e (III) y = sen x/2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
41 
 
e) Desenhe em um mesmo sistema de eixos cartesianos os gráficos das funções: 
(I) y = cos x, y = cos 2x e (II) y = cos x/3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f) Multiplicando a variável nas funções elementares, y = sen x ou y = cos x, por uma constante C, de modo que 
suas equações tornem-se y = sen C.x ou y = cos C.x, temos novos gráficos. Qual é a alteração que a 
constante C causa no gráfico da função elementar? 
 
 
 
Função seno f(x) = sen x, tem o domínio Dom f = |R e a imagem Im f = [-1, 1]. 
0 3.14 6.28
1
1
sin x( )
x 
Função cosseno f(x) = cos x , tem o domínio Dom f = |R e a imagem Im f = [-1, 1]. 
0 3.14 6.28
1
1
cos x( )
x 
 
 
Observe os dois gráficos juntos com um período maior: 
 
42 
 
Observe que: 
- As raízes da função seno ocorrem nos múltiplos inteiros de : sen x = 0  x = n.. 
- As raízes de cosseno ocorrem em múltiplos inteiros ímpares de /2: cos x= 0  x = (2k+1)
2

. 
- Seno é função ímpar: sen(-x) = -sen(x) 
- Cosseno é função par: cos(-x) = cos(x) 
 
Nas tabelas abaixo vamos ver os valores de seno e cosseno para alguns ângulos . 
 t 0 
 
 
 
 
 sen t 0 1 0 – 1 0 
 cos t 1 0 – 1 0 1 
 
 t 
 
 sen t 
 
 cos t 
 
 
( estes valores devem ser entendidos e memorizados ) 
 
Observe na tabela abaixo o sinal do seno e do cosseno . 
1o Quadrante 2o Quadrante 
 
sen ( t ) > 0 e cos ( t ) > 0 sen ( t ) > 0 e cos ( t ) < 0 
 
3o Quadrante 4o Quadrante 
 
sen ( t ) < 0 e cos ( t ) < 0 sen ( t ) < 0 e cos ( t ) > 0 
43 
 
Ocosseno e o seno são as funções trigonométricas básicas, já que todas as outras funções trigonométricas 
podem ser definidas em função do seno e do cosseno . Por exemplo, a função tangente é o quociente do 
seno pelo cosseno . 
Função tangente: f(x) =tg x = 
x
x
cos
sen
 Dom f = R – {(2k+1)
2

| kZ} e Im f = R. 
3.14 0 3.14 6.28 9.42
10
10
tan x( )
x 
Esta função não está definida para cos x = 0, ou seja, tg x não está definida para os múltiplos ímpares de 
2

. 
As raízes da função y = tg x são as mesmas da função y = sen x, a variação desta função é o conjunto dos números 
reais, e o período da tangente é . 
 
Função cotangente: cotg x = 
x
x
sen
cos
 =
tgx
1
, Dom f = R – {k | kZ} e Im f = R. 
3.14 0 3.14 6.28 9.42
10
10
cos x( )
sin x( )
x 
Função cossecante: f(x) = cossec x =
xsen
1
, Dom f = R – {k | kZ} e Im f = (-, -1]{1,) 
6.28 3.14 0 3.14 6.28
5
5
1
sin x( )
sin x( )
x 
Função secante: f(x) = sec x = 
xcos
1
, Dom f = R – {(2k+1)
2

| kZ} e Im f = (-, -1]{1,) 
6.28 3.14 0 3.14 6.28
5
5
1
cos x( )
cos x( )
x 
44 
 
Círculo Trigonométrico em Graus e radianos 
 
 
 
 
 
45 
 
Periodicidade, Simetria e translações 
Estes são facilmente deduzidos do ciclo unitário: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Do Teorema de Pitágoras 
 
 
 
 
Teoremas de Adição 
A forma mais rápida de demonstrá-los é pela Fórmula de Euler. A fórmula da tangente segue das outras 
duas. 
 
 
 
 
 
Fórmulas de duplo ângulo 
Estas podem ser mostradas substituindo x = y nos teoremas de adição, e usando o Teorema de Pitágoras 
para as últimas duas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
46 
 
Fórmulas de redução de potências 
Resolva a terceira e a quarta fórmula de duplo ângulo para cos²(x) e sen²(x).. 
 
 
 
Fórmulas de meio ângulo 
Substitua x por x/2 nas fórmulas de redução de potência, então resolva para cos(x/2) e sen(x/2). 
 
 
 
Produtos para Somas 
Estas podem ser provadas expandindo os membros direitos usando os teoremas de adição. 
 
 
 
 
Somas para Produtos 
Substitua x por e y por nas fórmulas de produto para soma. 
 
 
 
 Derivadas das funções trigonométricas: Demonstrações das fórmulas 
Lembre-se que todas as funções trigonométricas são contínuas em seus domínios. 
 
1) f(x) = sen (x)  f ’(x) =cos (x) 
Dem.: f ’(x) = 
h
xfhxf
h
)()(
lim
0


 =
h
xhx
h
)sen()sen(
lim
0


 
= 
h
xhxhx
h
)sen()sen().cos()cos().sen(
lim
0


=

















 
 h
h
x
h
h
x
h
)sen(
).cos(
1)cos(
)sen(lim
0
 
=





 
 h
h
x
hh
1)cos(
lim)sen(lim
00
+
)cos(lim
0
x
h
.






 h
h
h
)sen(
lim
0
= seDen(x).0 + cos(x).1 = cos(x). 
47 
 
2) f(x) = cos(x)  f ’(x) = -sen(x) 
Demonstração: Exercício 
 
3) f(x) = tg(x)  f ’(x) = sec2(x) 
Demonstração: 
f(x) = tg(x) = 
)cos(
)sen(
x
x
 
f ’(x) =
2))(cos(
))sen().(sen()cos().cos(
x
xxxx 
= 
)(cos
)(sen)(cos
2
22
x
xx 
= 
)(cos
1
2 x
= sec2(x) 
 
4)(f(x) = cotg(x)  f ’(x) = -cossec2(x) 
Demonstração: Exercício. 
 
5) f(x) = sec(x)  f ’(x) = sec(x).tg(x) 
Demonstração: 
f(x) = sec(x) =
)cos(
1
x
 f ’(x) = 
)(cos
))sen(.(1)cos(.0
2 x
xx 
= 
)(cos
)sen(
2 x
x
= 
)cos().cos(
)sen(
xx
x
= 
)cos(
)sen(
.
)cos(
1
x
x
x
 
=sec(x) .tg(x). 
 
6) f(x) = cossec(x)  f ’(x) = -cossec(x).cotg(x) 
Demonstração: Exercício. 
 
 
 Função inversível: definição, teoremas e construção de gráficos 
Se y =f(x) é uma função estritamente crescente ou estritamente decrescente no intervalo I, então existe uma 
função x = f -1 (y), chamada de função inversa, tal que f(f -1(y)) = y e 
f -1(f(x)) = x. Onde o domínio da função f é a imagem da função f -1 e a imagem de f é o domínio da f -1. 
 
Para obter a expressão de f -1(x) devemos isolar a variável x em y = f(x) e depois trocamos as variáveis. 
 
Exemplos: 
 
(1) y = f(x) = x + 4 é estritamente crescente, então 
y = x + 4 -x = -y + 4 x = y – 4 x = f –1(y) = y – 4  y = x-4 é a inversa. 
 
(2) y = f(x) = 2x é estritamente crescente, então 
y =2x  x= y/2  x = f –1 (y) = y/2  y = x/2 é a inversa . 
 
(3) y = f(x) = ex é estritamente crescente, então existe a inversa de f, que é dada por 
f –1(y) = x = ln y, pois f -1(f(x)) = f –1(ex) = ln ex = x; f(f –1(y)) = f(ln y) = eln y = y. 
Ou seja, as funções exponencial e logarítmica são inversas uma da outra. 
48 
 
(4) y = f(x) = x2 não é estritamente crescente (ou decrescente) em |R, por isso devemos tomar um intervalo 
de crescimento ou decrescimento. Por exemplo, considerando a função y = f(x) = x2 definida no intervalo I 
=(0,+) (estritamente crescente) temos 
 y =x2  x = f –1(y) = +
y
 y = +
x
 é a função inversa da f. Se tivéssemos tomado o intervalo 
decrescente I =(-,0) teríamos y = x2  x = f –1(y) = -
y
  y = -
x
 como função inversa de f. 
 
Funções Trigonométricas Inversas 
 
 Como as funções trigonométricas não são estritamente crescentes ou decrescentes, elas não têm 
funções inversas. Mas podemos restringir o seu domínio de forma a torná-las estritamente crescentes ou 
estritamente decrescentes. 
 
Função seno 
 
 
 
Domínio = [-/2, /2] e Imagem = [-1,1] 
 
Função arco-seno 
 
 Vamos definir uma função que a cada número real x do intervalo -1 ≤ x ≤ 1 faz corresponder um 
único número y tal que sen y = x. Este número y é denominado arco-seno x e indicamos y = arcsen x 
(leia: arco-seno x) ou y = sen-1(x). (note que sen-1(x)  1/sen(x)). 
 
A função y = arcsen x, definida para todo x ∈ [-1, 1], é denominada função arco-seno. O seu gráfico 
está representado na figura seguinte. 
 
Dom = [-1,1] e Im = [-/2, /2]. 
49 
 
Função cosseno 
 
Domínio = [0, ] e Imagem = [-1,1] 
 
Função arco-cosseno 
 
 Vamos agora definir uma função que a cada número real x do intervalo -1 ≤ x ≤ 1 faz corresponder 
um único número y tal que cos y = x. Este número y é denominado arco-cosseno x e indicamos y = arccos x 
(leia: arco-cosseno x) ou y = cos-1(x). (note que cos-1(x)  1/cos(x)). 
 
A função y = arccos x, definida para todo x ∈ [-1, 1], é denominada função arco-cosseno. O seu 
gráfico está representado na figura seguinte. 
 
Dom = [-1,1] e Im = [0, ]. 
 
Função tangente 
 
Dom = ]-/2, /2[ e Im = R 
 
Função arco-tangente 
 
 Vejamos agora uma função que a cada número real x faz corresponder um único número y tal que 
tg y = x. Este número y é denominado arco-tangente x e indicamos y = arctg x (leia: arco-tangente x) ou 
y = tg-1(x). (note que tg-1(x)  1/tg(x)). 
 
50 
 
A função y = arctg x, definida para todo x ∈ R, é denominada função arco-tangente. O seu gráfico 
está representado na figura seguinte. 
 
Dom = R e Im = ]-/2, /2[. 
 
 
Derivadas das funções trigonométricas inversas 
 
 y = f(x)  x = f-1(y) 
 [f-1(y)]’ = 
1
𝑓′(𝑥)
 
 
Derivada da função arcsen 
 
y = arcsen x ⟺ x = sen y 
se x = sen y  x’ = cos y 
y’ = 
1
𝑥′
 = 
1
cos 𝑦
 = 
1
√1−𝑠𝑒𝑛2𝑦
 = 
1
√1−𝑥2
 
y = arcsen x  y’ = 
1
√1−𝑥2
 , -1 < x < 1. 
 
Derivada da função arccosy = arccos x ⟺ x = cos y 
se x = cos y  x’ = - sen y 
y’ = 
1
𝑥′
 = 
1
−sen 𝑦
 = 
1
−√1−𝑐𝑜𝑠2𝑦
 = −
1
√1−𝑥2
 
y = arcsen x  y’ = −
1
√1−𝑥2
 , -1 < x < 1. 
 
Derivada da função arctg 
 
y = arctg x ⟺ x = tg y 
se x = tg y  x’ = sec2 y 
y’ = 
1
𝑥′
 = 
1
sec2 𝑦
 = 
1
𝑡𝑔2𝑦+1
 = 
1
𝑥2+1
 
y = arctg x  y’ = 
1
𝑥2+1
 , x ∈ R. 
 
 
 
51 
 
Exercícios: 
1) Determine o domínio da função f(x)=sec(5x). 
2) Determine o domínio da função f(x)=cotg(2x). 
3) Dada a função f(x) = sec(5x) calcule f(2π/3). 
4) Dada função f(x) = 2cos²(x)-3cos(x)+1.Determine: 
a) f(π)-f(π/3) 
b) f ’(0) e f’’(π/4). 
c) x tal que f(x) = 0. 
5) Dada f(x) = sec(3x)-cotg(2x) calcule f(π/3). 
6) Determine o valor de x tal que 2x+arcsen(-1/2) = arccos(√2 2
⁄ )-1. 
7) Dada função f(x) = 2sen²(x)-12sen(x)+10.Determine: 
d) f(π/2) 
e) f ’(4/3). 
f) x tal que f(x) = 0. 
8) Determine o valor de x tal que 3x= 2.arccos(
2
3
)-arcsen(1/2)+9. 
9) Resolva as equações: 
a) sen(x) = ½ d) cos(x) = - ½ g) cos(2x) = -
3
/2 
b) sen(x) = -1 e) cos(4x) = ½ h) tg(x/3) = 
3
 
c) tg(x) = 1 f) sen(3x)= 0 
 
10) Calcule o resultado e marque o ponto final do arco e o valor no círculo trigonométrico. 
a) sen(27π/4) c) cos(29π/4) 
b) tg(31π/4) d)sec(23π/4) 
11) Sabendo que sen(/4) = cos(/4)=
22
, calcule: 
a) sen(3/4) = e) cos(3/4) = 
b) sen(5/4)= f) cos(5/4)= 
c) sen(7/4)= g) cos(7/4)= 
d) sen(11/4)= h) cos(13/4)= 
 
12) Sabendo que sen(/3) =
2
3
 e cos(/3) =
2
1
, calcule: 
a) sen(2/3) = f) cos(2/3) = 
b) sen(4/3) = g) cos(4/3) = 
c) sen(5/3) = h) cos(5/3) = 
d) sen(7/3) = i) cos(7/3) = 
e) sen(11/3) = j)cos(13/3) = 
 
52 
 
 
13) Considerando  como os ângulos de 30, 45 e 60, calcule sen2+cos2. 
14) Calcule: 
a) sen(1500º) = e) cos(-120º) = 
b) sen(540°)= f) cos(2610°)= 
c) sen(480º)= g) cos(25/4)= 
d) sen(-60º)= h) cos(74/3)= 
15) Calcule: 
a) arcsen(1/2) h) arcsen(-
√3
2
) 
b) arccos(-1) i) arccos(0) 
c) arctg(1) j) arccos(sen(8/3)) 
d) arcsen(sen(7/3)) k) arcsen(sen(2π/3) 
e) arccos(sen(π)) l) cos(arctg(1)) 
f) sen(arccos(-1)) m) arcsen(cos(4π)) 
g) arccos(sen(5π/3)) n) cos(arcsen(
√3
2
)) 
16) Derive: 
a) F(x) = cos(ln(x)) k) f(x) = e-cos(x) 
b) F(x) = cos(x).cossec(x) l) f(x) = 7cossec(x) 
c) F(x) = ln(cotg(7x)) m) f(x) = (cos(x))5 
d) F(x) = (tg(2x))5 n) f(x) = 
)sen(x
 
e) F(x) =arcsen(x²) o) f(x) = sec²(x) 
f) f(x) = cotg(x) p) f(x) = sec(x²) 
g) F(x) = cossec(3-x) q) f(x) = 
2
sec (𝑥)
 
h) F(x) = sen(x).tg(x) r)f(x) = (cos(2x))4 
i) F(x) = √𝑠𝑒𝑛4(𝑥)
3
 s) f(x) = 5.sen(x²-2) 
j) F(x) = tg(x+5) 
17) Uma partícula move-se sobre o eixo x de modo que no instante t a posição é dada por x = cos(4t). 
Determine: 
a)a posição no instante t = π/12 e t = π/4 
b) a velocidade no instante t. 
c)a aceleração no instante t. 
 
 
 
 
 
53 
 
4.Integrais indefinidas e métodos de integração 
 Um sociólogo que conhece a taxa na qual a população está crescendo pode querer usar esta 
informação para prever a população futura; um físico que conhece a velocidade de um corpo em movimento 
pode querer calcular a posição futura do corpo; um economista que conhece a taxa de inflação pode 
desejar estimar os preços futuros. 
 O processo de obter uma função a partir de sua derivada é denominado antiderivação ou integração. 
 
Exemplos: 
(1) Qual a função cuja derivada é f(x) = 2 
Lembrando as regras temos que derivando a função P(x) = 2x temos P’(x)=2=f(x). 
Observe que derivando P(x) = 2x + 1, também obtemos P’(x) = 2. 
O mesmo para P(x) = 2x-3, ou qualquer função do tipo P(x) = 2x+k, onde k é número fixo. 
Assim, temos que P(x) = 2x+ k, (k constante) é uma família de soluções para esta questão. 
 
Esta família de funções que levam a derivada f(x) = 2 é chamada de primitiva ou antiderivada de f(x), ou 
seja, P(x) = 2x+k é a antiderivada de f(x) = 2. 
 
(2) Qual a função cuja derivada é f(x) = 2x 
Lembrando as regras temos que derivando a função P(x) = x² obtemos P’(x)=2x= f(x). 
Mas, derivando P(x) = x² + 10, também obtemos P’(x) = 2x. 
O mesmo para P(x) = x²-13, ou qualquer função do tipo P(x) = x²+k, onde k é número fixo. 
Assim, temos que P(x) = x²+ k, (k constante) é a antiderivada de f(x) = 2x 
 
(3) Qual a função cuja derivada é f(x) = 3x² 
Lembrando as regras temos que derivando a função P(x) = x³ obtemos P’(x) =3x²= f(x). 
O mesmo para qualquer função do tipo P(x) = x³+k, onde k é número fixo. 
Assim, temos que P(x) = x³+ k, (k constante) é a antiderivada de f(x) = 3x². 
 
(4) Qual a função cuja derivada é f(x) = x² 
(5) Qual a função cuja derivada é f(x) = x³ 
 
Integrais imediatas 
 Seja f uma função definida em um intervalo I. Dizemos que uma função P, definida em I, é uma primitiva 
ou antiderivada de f quando P’(x) = f(x) para todo x em I. A antiderivada de f recebe o nome de integral 
indefinida de f. Denotamos a integral indefinida de f(x) por
 dxxf )(
, ou seja, 
 dxxf )(
 = P(x) +k, onde P’(x) 
= f(x), para x

I. 
O símbolo

é chamado de sinal de integral, e se assemelha a um “s” alongado. O s vem de soma. 
O símbolo dx que aparece após o integrando indica que a variável de integração é x. 
 
 
54 
 
Exemplos: 
a) 
 xdx
= 
2
2x
+ k, pois (
2
2x
+ k)’ = 2x/2 +0 = x. 
b) 
 dx3
= 3x+k, pois (3x+k)’ = 3. 
c) 
 dxx
34
 = x4 +k, pois (x4+k )’ = 4x3. 
d) 
dxx n
=
1
1


n
x n
+k, pois (
1
1


n
x n
+k)’ = xn (se n  -1). 
 
Propriedades: 
1)
   dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([
 
2) 
  dxxfkdxxfk )(.)(.
, k :constante 
 
Exemplos: 
1)




 x
x
x
x
dxx
2
2
1
11
2
)12(
211 x2 + x+ k 
2) 
kx
x
xx
xx
x
xx
dxxx 





 22
2
23
3
2
1112
3
)23(
2
3
231112
2
 
3) 
x
xx
x
xx
dxxx 3
2
2
4
3
11
2
13
)32(
241113
3 






= 
4
4x
+ x2 + 3x+ k 
4) 
 dx
x 2
1
=
1
112
2
112


 



 x
xx
dxx
=
k
x

1
 
5) 
  dxx
x )
3
4(
5
=
k
x
x
xxxx
dxxx 








 4
2
421511
5
4
3
2
4
3
2
4
15
3
11
4
34
 
6) 
kxx
xx
dxxdxx 




32
32
3
1
2
1
2
1
3
2
.
3
2
2
3
1
2
1
 
7)
 dxx
3
=
kxx
xx
dxx 




3 43
43
4
1
3
1
3
1
4
3
.
4
3
3
4
1
3
1
 
8) 
k
x
xxx
x
xdxxxdx
xx


 



3
||ln23||ln2
1
3||ln232)
32
( 1
1
21
2
 
 
Obtemos então as seguintes regras: 
Regras de integração 
1) 
 dxx
n
1
1


n
xn +k (n  -1) 4) dxa x
=
a
a x
ln
+k 
2) 

 dxx 1
=
dx
x
1
=ln |x|+k 
5)
 xdxsen
= -cos x+k 
3) 
 dxe
x
=ex+k 6) 
 xdxcos
= sen x +k 
55 
 
Você deve ter notado que não existe uma regra específica para integração de produtos e quocientes. 
Apenas em alguns casos podemos reescrever a função de modo a eliminar o produto ou quociente. 
 
Exemplos: 
1) 
 


dxxxxdx
x
xx 22
2
34
753
753
= 
1
7
2
5
3
3 123


xxx
= x3 + 2,5x2-
x
7
+ k. 
 
2) 
dxxx
3
=
dxxdxxx   2
7
21
3.
=
92
92
9
9
2
9
2
2
9
xx
x

+k 
 
Mas, a maioria dos produtos e quocientes não pode ser eliminada. Nestes casos, teremos que usar um 
método para chegar no resultado da integração. Para trabalhar com os métodos de integração há a 
necessidade de fazer uso de bastante criatividade, percepção e muitos exercícios! 
 
 
Problemas práticos de valor inicial 
1. Determine a função f(x) cuja tangente tem uma inclinação 3x² + 1 para qualquer valor de x e cuja curva 
passa pelo ponto (2, 6) 
2. Um fabricante constatou que o custo marginal é de 3q² - 60q + 400 reais por unidade, onde q é o número 
de unidades produzidas. O custo total para produzir as primeiras duas unidades é de R$ 900,00. Qual é 
o custo total para produzir as primeiras cinco unidades? 
3. A população P(t) de uma colônia de bactérias t horas depois de iniciada uma observação está variando a 
uma taxa dada por 
 
𝑑𝑃
𝑑𝑡
= 200𝑒0,1𝑡 + 150𝑒−0,03𝑡 
Se a população era de 200 000 bactérias quando a observação começou, qual será a população 12 
horas mais tarde? 
4. Um varejista recebe um suprimento de 10 000 quilogramas de arroz que serão vendidos durante um 
período de 5 meses à taxa constante de 2 000 quilogramas por mês. Se o custo de armazenamento é de 
1 centavo por quilograma por mês, qual será o custo de armazenamento durante os próximos 5 meses? 
5. Depois que os freios são acionados, um carro perde velocidade à taxa constante de 6 metros por 
segundo por segundo. Se o carro está a 65 quilômetros por hora (18 metros por segundo) quando o 
motorista pisa no freio, que distância o carro percorre até parar? 
 
Integração por Substituição (mudança de variável) 
É a “versão integral” da regra da cadeia, ou seja, é a regra para calcular integrais do tipo 
 dxxgxgf )(')).((
. Obtemos a solução dessa integral, fazendo uma substituição ou mudança de variável. 
Assim,
 dxxgxgf )(')).((
=
 duuf )(
, onde u = g(x) e du = g’(x) dx. 
 
56 
 
Exemplo: 
 
3)12( x
dx , 
Fazemos u = 2x +1 e du =2 dx, o que nos leva a dx = ½ du. Substituindo na integral: 
 
3)12( x
 dx = 
duu
2
13

= ½ 
 duu
3
 = ½ 
4
4u
+ k =
8
4u
+ k =
8
)12( 4x
+ k. 
Podemos verificar nossa resposta por derivação usando a regra da cadeia: 
[
8
)12( 4x
+ k] ’ =4. 
8
)12( 3x
.2 = (2x+1)3. 
 
LEMBRE-SE: regra da cadeia [f(g(x))]’ = f ’(g(x)).g’(x) 
 
Integração por partes 
O nome integração por partes provém do fato de que, ao utilizar-se tal técnica, não se completa a 
integração. Integra-se apenas uma parte e transfere-se o problema original para outra integral, 
supostamente mais simples. 
Essa técnica vem da regra de derivação do produto, veja: 
[f(x).g(x)]’= f ’(x).g(x) + f(x).g’(x)  f (x).g’(x) = [f(x).g(x)]’- f ’(x).g(x) 
Integrando-se ambos os lados obtemos 
  dx )(x).g(x)' )]'-f([f(x).g(xdx (x)f(x).g'
 
 
  dx (x).g(x)' f- f(x).g(x) dx (x)f(x).g'
 
que é a regra de integração por partes. 
 
Fazendo u = f(x) e v = g(x) teremos du = f ’(x).dx e dv = g’(x).dx, e substituindo na equação acima, obtemos 
uma forma mais elegante de apresentação dessa regra: 
 dvu
= u.v - 
 duv
 
O sucesso da técnica de integração por partes no cálculo de 
 dxxh )(
 consiste em expressar h(x) como 
produto de duas funções de tal maneira que se conheça a primitiva de uma delas, e a primitiva do produto 
dessa última pela derivada da outra. 
 
Exemplo 1) 
keex
dxeex
vduvudxex
xx
xx
dv
x
u




 
.
.
..
 
xx edxev
dxdu
dx
du
xu



1 
 
Exemplo 2) 
 
k
x
x
xx
x
x
dxx
x
x
x
dxxx
x
vduvudxxxdxxx
duvv
u
dvu





9
)ln(
33
.
3
1
)ln(.
3
3
1
3
.)ln(
33
.)ln(
..)ln(ln.
3333
2
333
22
 
 

3
1
)ln(
3
2 xdxxv
x
dx
dx
xdx
du
xu
 
57 
 
Exemplo 3) 
k
eex
eex
dxe
ex
dx
ee
x
vduvudxex
xx
xx
x
x
xx
dv
x
u







 
497
.
7
.
7
1
7
.
7
1
7
.
77
.
..
77
77
7
7
77
7
 
7
1
7
7
x
x edxev
dxdu
dx
du
xu



 
 
Exemplo 4) 
k
xxx
xxx
dxx
xx
dx
xx
x
vduvudxxx
dvu

















100
)10sen(
10
)10cos(.
10
)10sen(
.
10
1
10
)10cos(.
)10cos(
10
1
10
)10cos(.
10
)10cos(
10
)10cos(
.
.)10sen(
 
10
)10cos(
)10(
1
x
dxxsenv
dxdu
dx
du
xu




 
 
 
 
Primitivas de funções racionais 
Esta técnica é empregada em um caso bem particular: 
 A função a ser integrada deve ser uma fração, 
 O denominador da fração deve ser uma função do 2° grau que tenha 2 raízes (x1 e x2), 
 O numerador deve ser um polinômio de no máximo grau 1. 
Quando o polinômio do numerador tem grau maior do que 1 temos que extrair os inteiros, isto é, dividir o 
numerador pelo denominador. 
 
Assim, usaremos frações parciais, para calcular 
 
dx
bxax
xP
))((
)(
, com grau de P(x)  1. 
O método consiste em transformar a fração original em uma soma de duas outras frações mais simples, 
através da identidade: 
 
))(( bxax
nmx


=
)( ax
A

+
)( bx
B

 
Quando o denominador não estiver na forma fatorada (x-a).(x-b), devemos usar um dos meios da fatoração 
antes de começar a resolução. 
 
58 
 
Fatoração da expressão ax2+bx+c: 
 Quando a expressão estiver completa usamos a.(x-x1)(x-x2). 
 Quando tivermos b = 0 usamos diferença de quadrados: a2-b2= (a-b)(a+b). 
 Quando tivermos c = 0 colocamos x em evidência. 
 
Divisão de polinômios 
Quando queremos dividir um polinômio f(x) por um g(x), buscamos um quociente q(x) e um resto r(x) (o grau 
de r tem que ser menor que o grau de g(x) ou r(x)=0) de modo que f(x) = g(x).q(x) + r(x). 
O método básico da divisão de polinômios (método das chaves) se parece bastante com a divisão 
algébrica usada normalmente por todos nós. Este método consiste em : 
1) dividir o termo de maior grau de f(x) pelo de maior grau de g(x): obtendo assim o primeiro termo do 
quociente q(x). 
2) Multiplicamos o quociente obtido, x, por g(x): O resultado é colocado com o sinal trocado, sob os 
termos semelhantes de f(x). 
3) Somamos os termos semelhantes, e os termos de f(x) que não tem semelhantes devem ser copiados. 
Obtemos um resto parcial. 
4) Repetimos os passos anteriores com o resto parcial obtido ate que o grau de r se torne menor que 
grau de g. Veja esse exemplo: 
 
 
Exemplos: 
1.) 
 

dx
xx
x
)2)(1(
3
=
 


dx
x
B
x
A
21
= A. ln|x-1| + B. ln| x-2| +k 
Assim, só precisamos saber os valores de A e B para que a integral em questão esteja resolvida. 
Para isto vamos usar igualdade de polinômios: 
)2)(1(
)1()2(
21)2)(1(
3 **









xx
xBxA
x
B
x
A
xx
x
 **m.m.c. 
Os denominadores da primeira fração e da última fração são iguais, então os numeradores devem ser 
iguais: x+3 =A(x-2)+B(x-1) 
 
59 
 
Para descobrir o valor de A devemos eliminar B, assim, atribuímos o valor 1 a x, fazendo com que x-1 seja 
0: 
x+3 =A(x-2)+B(x-1) 
x=1 1+3 = A(1-2)+B(1-1)4 = A.(-1)+B.04= -A +04 = -AA = -4 
Fazemos o mesmo para encontrar o valor de B, eliminamos A atribuindo a x o valor 2. 
x+3 =A(x-2)+B(x-1)x=2 2+3 = A(2-2)+B(2-1)5 = A.0+B.1 5 = 0 + B 5 = BB = 5 
Logo, 
 

dx
xx
x
)2)(1(
3
 = -4 ln |x-1| + 5 ln|x-2| +k. 
 
2.)
 
dx
xx
x
)4)(3(
=
dx
x
B
x
A
 

 43
= A . ln|x-3| + B. ln|x-4|+k 
)4)(3(
)3()4(
43)4)(3(
*







 xx
xBxA
x
B
x
A
xx
x
 *m.m.c 
x = A(x-4) + B(x-3) 
x = 3  3 = A(3-4) + B(3-3)  3 = A.(-1) + B.0  3 = -A A = -3 
x = 4  4 = A.(4-4) + B(4-3)  4 =A.0 + B.1  4 = B B = 4 
Logo, 
 
dx
xx
x
)4)(3(
 = -3 ln|x-3| +4 ln |x-4| +k. 
 
3.) 
 
dx
x 4
1
2
 Neste exemplo, o denominador não está na forma fatorada. Então, este será nosso primeiro 
passo: fatorar a expressão x2-4. Como b = 0, podemos usar diferença de quadrados: x2-4 = x2 – 22 = (x-
2)(x+2). 
 
 
dx
x 4
1
2
=
 
dx
xx )2)(2(
1
=
 


dx
x
B
x
A
22
= A . ln|x-2|+B. ln|x+2| +k 
)2)(2(
)2()2(
22)2)(2(
1







 xx
xBxA
x
B
x
A
xx
 
 1 = A(x+2)+B(x-2) 
x = 21 = A(2+2)+B(2-2) 1 = A .4 +B.0  1 = 4A  4A =1 A = ¼ . 
x = -21 = A(-2+2)+B(-2-2) 1 = A.0 +B.(-4)  1 = -4B  4B =-1 B = -¼ . 
Logo,
 
dx
x 4
1
2
= ¼ . ln|x-2|- ¼ . ln|x+2| +k 
 
4.) 
 
dx
x
x
12
 =
 
dx
xx
x
)1)(1(
=
 


dx
x
B
x
A
11
=A . ln|x-1| +B ln|x+1|+k 
x = A(x+1)+B(x-1) 
x =1 1 = A(1+1)+B(1-1)1 = A .2 +B.0  1 = 2A  A = ½ 
x =-1 -1 = A(-1+1)+B(-1-1) -1 = A.0+B.(-2) -1 = -2B 2B = 1 B = ½ 
Logo, 
 
dx
x
x
12
 = ½ ln|x-1| + ½ ln|x+1|+k 
60 
 
5.) 
dx
xx  124
2
2
 
x2-4x-12 =0  = b2-4.a.c = (-4)2-4.1.(-12)= 16 + 48 = 64 
x = 
a
b
2

=
2
84
1.2
64)4( 


 x1 = 12/2 = 6 e x2 = -4/2 = -2 
x2 – 4x-12 = a (x-x1)(x-x2) =1.(x-6).(x-(-2)) = (x-6).(x+2) 
dx
xx  124
2
2
=
 
dx
xx )2)(6(
2
=
 


dx
x
B
x
A
26
=A ln|x-6|+Bln|x+2|+k 
2 = A(x+2)+B(x-6) 
x =6 2 = A(6+2)+B(6-6) 2 = A.8 +B.0 2 = 8A  A = 2/8 = ¼ 
x = -2 2 = A(-2+2)+B(-2-6) 2 = A.0+B(-8) 2 = -8B B = -2/8 = - ¼ 
Logo, 
dx
xx  124
2
2
= ¼ ln|x-6|- ¼ ln|x+2|+k 
 
Observe que nos próximos exemplos, o grau do polinômio no numerador é maior que 1, assim, o primeiro 
passo é proceder a divisão do numerador pelo denominador. 
 
6.) 
 

dx
xx
xx
82
1
2
3 
 1x3 + 0x2 + 1x + 1 |x2-2x –8 7 | 3 . 7/3 = 2+1/3 
-1x3 + 2x2 + 8x x + 2 -6 2 
 2x2 + 9x +1 1 
 -2x2 + 4x +16 
 13x +17 
 

dx
xx
xx
82
1
2
3 =
 

 dx
xx
x
x
82
1713
2
2
=
  

 dx
xx
x
dxx
82
1713
2
2
=
dx
xx
x
x
x
 


)2)(4(
1713
2
2
2
= 
x
x
2
2
2

+
 


dx
x
B
x
A
24
=
x
x
2
2
2

+Aln|x-4|+Bln|x-2|+k. 
13x+17= A(x+2)+B(x-4) 
x = 4 13.4+17 = A(4+2)+B(4-4) 69 = 6A A = 69/6 =11,5 
x = -2  13.(-2)+17 = A(-2+2)+B(-2-4) -9 = -6B  B = 9/6 =1,5 
Logo
 

dx
xx
xx
82
1
2
3 = 
x
x
2
2
2

+11,5 ln|x-4|+ 1,5ln|x-2|+k. 
 
7.) 
 

dx
xx
x
23
2
2
2 
x2 + 0x + 2 |x2-3x +2 
-x2 + 3x -2 1 
 3x 
 

dx
xx
x
23
2
2
2 =






    dxxx
x
xdx
xx
x
dxdx
xx
x
)1)(2(
3
23
3
1
23
3
1
22
 
61 
 
x + 
 


dx
x
B
x
A
12
 = x + A ln|x-2|+ B.ln|x-1| +k 
 
3x = A(x-1)+B(x-2) 
x =13.1 = A(1-1)+B(1-2) 3 = A.0+B.(-1) 3 = -B B = -3 
x=2 3.2 = A(2-1)+B(2-2)  6= A.1+B.0 6 = A  A = 6 
Logo, 
 

dx
xx
x
23
2
2
2 = x + 6 ln|x-2| - 3.ln|x-1| +k 
 
8.)
dx
xx
x
  1272
3 
1x3 + 0x2 + 0x + 0 |x2-7x+12 
-1x3 + 7x2 - 12x x + 7 
 7x2 - 12x +0 
 -7x2 + 49x -84 
 37x-84 
 
dx
xx
x
  1272
3



  dxxx
x
x
127
8437
7
2 


  dxxx
x
x
x
)4)(3(
8437
7
2
2
 


 dx
x
B
x
A
x
x
43
7
2
2 =
kxBxAx
x
 )4ln()3ln(7
2
2 
 37x-84 = A(x-4)+B(x-3) 
x =337.3-84 = A(3-4)+B(3-3)27 = A.(-1)+B.0 27 =-A A = -27 
x =437.4-84 = A(4-4)+B(4-3)64= A.0+B.1 64 =B B=64 
Logo 
dx
xx
x
  1272
3 =
kxxx
x
 )4ln(64)3ln(277
2
2 
 
Integrais envolvendo funções trigonométricas 
Vamos usar identidades trigonométricas (página 12) para integrar certas combinações de funções 
trigonométricas, e assim, construir uma lista de integrais trigonométricas: 
Já sabemos calcular a integral de duas funções trigonométricas sen x e cos x: 
1.
 dxxsen
= - cos x + k 
 
2.
 dxxcos
= sen x +k. 
 
Vamos tentar calcular agora 
 dxtgx
. Temos que tg x = 
x
x
cos
sen
, assim: 
  dxx
x
dxtgx
cos
sen
=
 dxxx
sen
cos
1
=*
)(
1
du
u

= -
 duu
1
=- ln |u| + k = - ln |cos x| + k. 
 
3. 
 dxtgx
= ln |cos x| + k. 
62 
 
 * Usamos a substituição u = cos x, e du = -sen x dx que resulta sen x dx = -du. 
Uma outra função trigonométrica é a secante: sec x =
xcos
1
. 
4. 
 dxxsec
= ln |sec x + tg x| +k 
 
Relembrando algumas derivadas obtemos novas integrais: 
(tg x)’ = sec2x 5.
 dxx
2sec
= tg x +k 
(cotg x)’ = -cosec2x 6. 
 dxxec
2cos
= - cotg x +k 
 (sec x)’ = sec x. tg x 7.
 xsec
. tg x dx =sec x + k 
(cosec x)’ = -cosec x. cotg x 8.
 .cos xec
cotg x dx = -cosec x +k 
 
Exemplos: 
1.
 dxx
2sen
=

dvu
dxxx sen.sen
=*sen x.(-cos x)-
  dxxx cos).cos(
= 
=-sen x cos x +
 dxx.cos
2
= -sen x.cosx + 
  dxx)sen1(
2
= -sen x.cos x + x-
 dxx
2sen
 
Então 
 dxx
2sen
=-sen x.cos x + x -
 dxx
2sen
 * u = sen x du = cos x dx 
 
 dxx
2sen
+
 dxx
2sen
 = x – sen x.cos x dv = sen x dx  v = 
 dxxsen
= -cos x 
 2
 dxx
2sen
 = x – sen x.cos x
 dxx
2sen
 = ½ ( x – sen x.cos x) + k 
 
2. 

duu
dxxx cos.sen
=
 duu
=
2
2u
+ k = 
2
sen 2 x
+ k 
 
A Integral Definida e o Teorema Fundamental do Cálculo 
 Suponha que um corretor de imóveis esteja interessado em avaliar um terreno com 100 metros de 
largura, limitado por ruas em três lados e por um rio no quarto lado. O corretor determina que para um 
sistema de coordenadas como o da figura 1.1, o rio pode ser descrito pela curva y = x³ + 1, onde x e y são 
medidos em centenas de metros. Se a área do terreno é A metros quadrados e o corretor calcula que o 
metro quadrado da terra vale R$ 12,00, o valor do terreno é 12A reais. Se o terreno fosse retangular, 
triangular ou mesmo trapezoidal, seria possível calcular a área A usando uma fórmula da geometria, mas o 
limite superior do terreno é curvo. O que o corretor deve fazer para calcular a área do terreno e assim saber 
quanto vale no mercado? 
 
FIGURA 1.1 – Determinação do valor de um terreno através do cálculo da área sob uma curva 
63 
 
Nosso objetivo é mostrar que a área sob a curva, como a área A neste exemplo, pode ser expressa 
como o limite de uma soma de termos que recebe o nome de integral definida. Em seguida, vamos 
apresentar um resultado, conhecido como teorema fundamental do cálculo, que permite calcular integrais 
definidas, comoáreas e outras grandezas, a partir de integrais indefinidas (antiderivadas) como as que 
foram, anteriormente, discutidas. Mais adiante vamos resolver o problema inicial. 
 
A área como limite de uma soma 
 Considere a área da região sob a curva y = f(x) em um intervalo 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, onde 𝑓(𝑥) ≥ 0 e f é 
contínua, como mostra a figura 1.2. Para determinar a área, usamos o seguinte princípio geral: 
 
Quando estiver diante de um problema desconhecido, procure relacioná-lo a um problema 
conhecido. 
 
Figura 1.2 – A região sob a curva y = f(x) no intervalo 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏. 
 
Neste caso em particular, podemos não saber como calcular a área sob a curva dada, mas 
sabemos como calcular a área de um retângulo. Assim, dividimos a região dada em uma série de regiões 
retangulares e calculamos o valor aproximado da área A sob a curva y = f(x) somando as áreas dessas 
regiões retangulares. 
Para começar, dividimos o intervalo 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 em n subintervalos iguais de largura ∆𝑥 = (b – a)/n, e 
chamamos de xj a extremidade esquerda do intervalo de ordem j, para j = 1, 2, ..., n. Em seguida, traçamos 
n retângulos tais que o retângulo de ordem j tenha uma largura igual a ∆𝑥 e uma altura igual a f(xj)(figura 
1.3). 
A área do retângulo de ordem j, f(xj)∆𝑥, é aproximadamente igual à área sob a curva dada no 
intervalo 𝑥𝑗 ≤ 𝑥 ≤ 𝑥𝑗+1. A soma das áreas dos n retângulos é 
Sn = f(x1)∆𝑥 + f(x2)∆𝑥 + ... + f(xn)∆𝑥 
 = [f(x1) + f(x2) + ... + f(xn)]∆𝑥 
que é aproximadamente igual à área total A sob a curva dada. 
 
Figura 1.3 – Aproximação da área sob uma curva por retângulos. 
64 
 
 
Figura 1.4 – A aproximação melhora quando o número de subintervalos aumenta. 
 Quanto maior o número n de subintervalos, mais a soma aproximada de Sn se aproxima do que 
consideramos intuitivamente como a área sob a curva dada (veja figura 1.4). É razoável, portanto, definir a 
área real sob a curva, A, como o limite da soma aproximada quando o número de subintervalos tende a 
infinito. Resumindo: 
Área sob uma curva: seja f(x) uma função contínua tal que 𝑓(𝑥) ≥ 0 no intervalo 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏. A área sob a 
curva y = f(x) no intervalo 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 é dada por 
𝐴 = lim
𝑛 →+∞
[𝑓(𝑥1) + 𝑓(𝑥2) + … + 𝑓(𝑥𝑛)]∆𝑥 
Onde xj é a extremidade esquerda do subintervalo de ordem j se o intervalo 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 for dividido em n 
partes iguais de comprimento ∆𝑥 = 
𝑏−𝑎
𝑛
. 
 No exemplo a seguir, a área sob uma curva é calculada de duas formas: como o limite de uma 
soma e usando um a expressão da geometria. Os resultados são idênticos. 
 
Exemplo 1. 
Seja R a região sob a curva da função f(x) = 2x + 1 no intervalo 1 ≤ 𝑥 ≤ 3, como mostra a figura 1.5a. 
Calcule a área da região R como o limite de uma soma. 
 
Figura 1.5 – Aproximação da área sob uma reta por retângulos. 
Solução 
Na figura 1.5, a região R foi substituída por seis retângulos de largura ∆𝑥 = 
3−1
6
= 
1
3
. As extremidades 
esquerdas dos seis subintervalos são x1 = 1, x2 = 1 + 1/3 = 4/3, x3 = 5/3, x4 = 6/3 = 2, x5 = 7/3 e x6 = 8/3. Os 
valores correspondentes de f(x) = 2x + 1 aparecem na tabela a seguir. 
xj 1 4/3 5/3 2 7/3 8/3 
f(xj) = 2xj + 1 3 11/3 13/3 5 17/3 19/3 
Assim, a área da região R é dada aproximadamente pela soma 
S = (3 + 11/3 + 13/3 + 5 + 17/3 + 19/3) . 1/3 = 28/3 ≅ 9,333 
65 
 
Se continuarmos a subdividir a região R usando um número cada vez maior de retângulos, as somas 
correspondentes, Sn, se aproximam cada vez mais da área exata A da região. A soma já calculada para n = 
6 aparece na tabela a seguir, juntamente com as somas para n = 10, 20, 50, 100 e 500. 
Nº de retângulos 6 10 20 50 100 500 
Soma aproximada (Sn) 9,333 9,6 9,8 9,920 9,960 9,992 
Os números da segunda linha desta tabela parecem se aproximar de 10 para grandes valores de n; assim, 
é razoável supor que a área exata da região R é dada por 
𝐴 = lim
𝑛 →+∞
𝑆𝑛 = 10 
Observe na figura 1.5a que a região R é um trapézio de largura d = 3 – 1 = 2 com lados paralelos cujos 
comprimentos são 
𝑠1 = 2(3) + 1 = 7 e 𝑠2 = 2(1) + 1 = 3 
A área deste trapézio é 𝐴 = 
1
2
(𝑠1 + 𝑠2)𝑑 = 
1
2
(7 + 3). (2) = 10 
o mesmo resultado obtido como limite da soma de retângulos. 
 
A Integral Definida 
Seja f(x) uma função contínua no intervalo 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏. Suponha que este intervalo tenha sido 
dividido em n partes iguais de largura ∆𝑥 = 
𝑏−𝑎
𝑛
 e seja xj um número pertencente ao intervalo de ordem j, 
para j = 1, 2, ..., n. Forme a soma [f(x1) + f(x2) + ... + f(xn)]∆𝑥 conhecida como soma de Riemann. 
Nesse caso, a integral definida de f(x) no intervalo 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, representa pelo símbolo ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =
𝑏
𝑎
 lim
𝑛 →+∞
[𝑓(𝑥1) + 𝑓(𝑥2) + … + 𝑓(𝑥𝑛)]∆𝑥 
A função f(x) recebe o nome de integrando e os números a e b são chamados de limite inferior de 
integração e limite superior de integração, respectivamente. O processo de calcular uma integral definida é 
chamado de integração definida. 
Área como uma Integral Definida: se f(x) é uma função contínua e 𝑓(𝑥) ≥ 0 no intervalo 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, a área 
A da região R sob a curva y = f(x) no intervalo 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 é dada pela integral definida 𝐴 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 
𝑏
𝑎
. 
 
Teorema Fundamental do Cálculo: se a função f(x) é contínua no intervalo 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎)
𝑏
𝑎
 
onde F(x) é a antiderivada de f(x) no intervalo 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏. 
Exemplo 2. 
Use o teorema fundamental do cálculo para determinar a área da região sob a reta y = 2x + 1 no intervalo 
1 ≤ 𝑥 ≤ 3. 
 
66 
 
Exemplo 3. 
Determine a área do terreno descrito na introdução deste texto, isto é, a área sob a curva y = x³ + 1 no 
intervalo 0 ≤ 𝑥 ≤ 1, onde x e y estão em centenas de metros. Se o preço da terra é de R$ 12,00 o metro 
quadrado, qual o valor do terreno? 
 
Exemplos 4. Calcule: 
a. 
2
3
2
1
2
4
2
1
2
2
2
22
2
1
22
1
| 
x
dxx
 
b. 
825)1.(23.222 |
3
1
3
1



 xdx
 
c. 
90
3
27
3
0
3
3
3
33
3
0
33
0
2 | 
x
dxx
 
d. 
2
1
2
21
1
2
1
1
1
2
11
1
1
||
2
1
2
1
12
1
2
2
1
2













 x
x
dxxdx
x
 
 
Propriedades 
Se 

b
a
dxxf )(
 existir então f é dita integrável. Os números a e b são chamados limites inferior e superior, 
respectivamente, da integral; f(x) é chamada integrando e dx indica que a variável x é a variável 
independente, ou seja, 
 
b
a
dxxf
b
a
dttf )()(
. 
 
Observe que definimos a integral de Riemann quando a<b, mas podemos convencionar, (se existirem) 
0)( 
a
a
dxxf
 e se a>b 
 
a
b
dxxf
b
a
dxxf )()(
. 
Mas como calcular a 
dxx
b
a
f )(
? Já vimos que 
  kxFdxxf )()(
, onde F’(x)=f(x), para x

I. 
 
Propriedades: Sejam f e g integráveis em [a, b] e k uma constante. Então: 
1. f + g é integrável em [a, b] e 
dxxgx
b
a
f ))()(( 
=
dxx
b
a
f )(
+
dxx
b
a
g )(
 
2. k.f é integrável em [a, b] e 
dxx
b
a
fk )(.
=k .
dxx
b
a
f )(
. 
3. Se f(x) 

 0 em [a, b], então 
dxx
b
a
f )(

 0. 
4. Se c

(a, b) e f é integrável em [a, c] e [c, b], então 
dxx
b
a
f )(
=
dxx
c
a
f )(
 + 
dxx
b
c
f )(
. 
 
67 
 
Aplicações da Integral: Cálculo de área e de volume. 
 
Cálculo de áreas 
 
 
 
 
 
 
Para encontrar áreas de regiões entre os gráficos deduas funções integráveis em [a, b], 
consideremos as curvas y = f(x) e y = g(x) entre as retas verticais x = a e x = b, onde f(x) e g(x) são 
contínuas e f(x)  g(x) para todo x em [a, b], assim a área da região A será 
Área A = 
 
b
a
dxxfxg )]()([
. 
Observe que este resultado não depende da posição do gráfico em relação ao eixo x. 
 
68 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo : ( Área entre curvas ) 
 
 Escreva como soma ou diferença de integrais definidas a área da região definida pelo gráfico 
abaixo . 
 
69 
 
 
 Solução : 
 
 
 
70 
 
Exemplos: 
1) Calcule a área do conjunto do plano limitado pelas retas x = 0 e x = 1 e pelo gráfico de y = 3x2. 
Área A = 

b
a
dxxf )(
=
  1013 33103
1
0
2  xdxx
. 
 
Encontre a área das seguintes regiões: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
71 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
72 
 
 
 
 
 
73 
 
 Cálculo de volumes e comprimento de arco 
 
Seja f uma função contínua em [a, b], com f(x)  0 em [a,b]. Seja B o conjunto obtido pela rotação em torno 
do eixo x do conjunto A do plano limitado pelas retas x =a e x = b, pelo eixo x e pelo gráfico de y = f(x). 
Definimos o volume de B pela rotação em torno do eixo x, de um conjunto A por 
V = 
dxy
b
a

2
 
Exemplo: Consideremos o conjunto A, delimitado pelo eixo x, o gráfico de f e as retas x=a e x=b: 
 
 
Seja f uma função contínua em [a, b] com a>0, com f(x)  0 em [a,b]. Seja B o conjunto obtido pela rotação 
em torno do eixo x do conjunto A={(x,y)|R2| a x  b e 0  y  f(x)}.Definimos o volume de B pela rotação 
em torno do eixo y, de um conjunto A por 
V = 
dxyx
b
a
 .2
 
 
Exemplos: 
1) Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo x, do conjunto de todos os pares (x,y) 
tais que 0  y  x e 1  x  2. 
V =
dxy
b
a

2
= 
3
7
3
7
.
3
1
3
2
3
.
33
2
1
32
1
2  












x
dxx
 
74 
 
2) Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo y, do conjunto de todos os pares (x,y) 
tais que 0  y  x e 1  x  2. 
V = 
dxyx
b
a
 .2
=
3
14
3
7
.2
3
1
3
2
.2
3
.22.2
33
2
1
32
1
2
2
1
 











 
x
dxxdxxx
 
Lista de Exercícios 
 
1. Calcule as seguintes integrais: 
a) 
 xdx
 b) 
 dx3
 c) 
  dxx )13(
 
d) 
  dxxx )1(
2
 e) 
 dxx
3
 f) 
  dxxx )32(
3
 
g) 
 dxx7
1
 h) 
  dx
x
x )
1
(
3
 i) 
 dxx
3
 
j) 
 dxx
3 4
 l) 
dxx )33(
5 2 
 m) 
  dxxx
)
86
(
5
 
 
2. Reescreva a função, para eliminar o produto ou o quociente e calcule a integral: 
a) 
 dxxx .
5
 b) 
 dxxx .
2
 c) 


dx
x
x
5
23
 
d) 
dx
x
x


3
8
 e) 
dx
x 3
5
 f)
dxxx 24 .3
 
 
3. Faça como o modelo: 
Modelo: 
k
xuu
duu
x
du
uxdxxx
u


  22
)4(
2211
.
2
1
2
1
2
.)4(
1121111
1010102
 
x
du
dxx
dx
du
xu
2
24 2 
 
 
 
a) 
dxxx 72 )53.( 
 b) 
  dxxx
832 )6(
 
 
Modelo:  
k
x
uu
u
u
duu
x
du
uxdxxxdxxx
u



 
9
12
9
2
9
2
2
9
2
3
.
3
1
3
1
3
.)1.(1
33
32
32
3
2
3
2
1
2
2
1
22
1
3232
 
 
2
23
3
31
x
du
dxx
dx
du
xu 
 
c)
dxxx 
3 2 6.
 d) 
dxxx 
32 3.
 
 
75 
 
Modelo
k
xu
u
u
u
duu
du
udxxdx
x u















22
2
2
2
333
3
)21(
11
2
2
2
.2
2
4
2
.4)21.(4
)21(
4
 
2
221
du
dx
dx
du
xu 
 
e) 
dx
x  4)53(
5
 g)
dx
x
x
  62 )52(
4
 i)
 

dx
xx
x
52 )3(
)32(
 
f)
dxx 
7)35(
 h)
  dxx 2
 j) 
  dxx
3 74
 
 
 
4. Calcule as seguintes integrais por partes: 
a.
 dxex
x4.
 f.
 dxxx )5cos(.
 k.
 xdxx ln.
3
 
b. 
 dx ex
x2
 g 
 dxex
x32
 l. 
 dxx.sen x 
 
c.
 dx )ln( xx
 h.
  dx x cos 
22x
 m. 
dx e -x x
 
d
 dx sen
2 xx
 i.
 dx x cos e
x
 n. 
 dx ln
4 xx
 
e.
dx 
23

xex
 j.
 dxx
2)(ln
 o.
 dxex
x5
 
 
5. Calcule as seguintes integrais por frações parciais: 
a) 
 

dx
xx
x
)7)(5(
42
 c) 
dx
xx  )3)(1(
5
 e) 
 
dx
xx
x
65
2
2
 
b)
dx
x
xx
 

25
93
2
2 d) 
 
dx
xx
x
672
3 f)
 

dx
xx
xxx
)2)(1(
3223
 
 
6. Calcule as integrais trigonométricas: 
a.
 dxx
2cos
 c. 
 dxx
3sen
 e.
 dxx
x
2cos
sen
 
b.
 dxx
x
3cos
sen
 d. 
 dxxx cos.sen
2
. f. 
 dxx
x
2cos
sen
 
 
7. Desenhe o conjunto A dado e calcule a área. 
a. A é o conjunto limitado pelas retas x=1, x=3, pelo eixo 0x e pelo gráfico de y = x3. 
b. A é o conjunto limitado pelas retas x=1, x=4, y=0 e pelo gráfico de y = 
x
. 
c. A é o conjunto de todos (x,y) tais que 0 
24 xy 
. 
d. A é o conjunto limitado pelas retas x=-1, x=-2, y=0 e pelo gráfico de y=x2+2x+5. 
e. A é o conjunto limitado pela reta y =x, pelo gráfico de y =x3, com -1
 x
1. 
f. A é a região compreendida entre os gráficos de y =x e y=x2, com 
20  x
. 
g. A é o conjunto de todos pontos tais que 
112  xyx
. 
h. A é o conjunto de todos pontos tais que 
112  xyx
. 
76 
 
8. Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo x, do conjunto de todos os pares (x,y) 
tais que : 
a)1

x

3 e 0

y

x b) ½

x

2 e 0

y

1/x2 
c) 1

x

4 e 0

y
 x
 d) x2

 y 

x 
9) Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo y, do conjunto de todos os pares (x, y) 
tais que: 
a) 1

x

4 e 1

y
 x
 b) 0

x

8 e 0

y
 3 x
 
c) 1

x

2 e 0

y

x2-1 d) 0

x
 
 e 0

y

sen x 
e) 1

x

e e 0

y

 ln x 
10) Seja f(x) = sen(x), x[0,]. Calcule o volume do sólido gerado pela rotação do gráfico de f, ou seja, pela 
rotação da região delimitada pelo eixo x, o gráfico de f e as retas x = 0 e x= . 
 
11) Considere a região do plano delimitada pelo eixo x, o gráfico de y = 
x
 , para 0  x  2, sendo girada 
ao redor do eixo x. Calcule o volume. 
 
12) Encontre o volume do sólido gerado pela rotação da região do plano delimitada pelo eixo x, o gráfico de 
y = 
x
 , para 0  x  2, ao redor do eixo y.