Material do Professor 04 - Matemática - Adriano Caribé

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Matemática – Prof. Adriano Caribé 
 
RAZÕES E PROPORÇÕES 
 
01. RAZÃO 
 
Dados dois números, a e b, b ≠ O, chama-se razão entre a e b ao quociente entre a e b, que se indica 
b
a
 ou a : b. 
 
EXEMPLOS 
 
E.1) A razão entre a medida do cateto menor e a medida da hipotenusa do triângulo retângulo de medidas 
3 cm, 4 cm e 5 cm é: 
 
 
 
6,0
5
3
= 
 
 
 
E.2) Em um baile, existem 150 homens e 225 mulheres. Podemos afirmar que a razão entre o número de 
homens e o número de mulheres é 
3
2
225
150
= , ou seja, existem dois homens para cada três 
mulheres. 
 
...666,0
3
2
225
150
== 
 
02. PROPORÇÕES 
 
2.1. DEFINIÇÃO 
 
Chama-se proporção a sentença que indica a igualdade entre duas razões. 
 
EXEMPLOS 
 
E.1) 
15
10
3
2
= 
 
E.2) 
20
25
4
5
= 
 
E.3) 
20
1
5,2
125,0
= 
 
Genericamente, indica-se 
d
c
b
a
= , ou a : b : c : d, que se lê: “a está para b, assim como c está 
para d”, sendo: 
 
a, d os extremos; 
b, c os meios. 
 
2.2. PROPRIEDADE FUNDAMENTAL DAS PROPORÇÕES (P.F.) 
 
“Em toda proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios.” 
 
Isto é: 
c.bd.a
d
c
b
a
=⇒= 
 
Notem esta propriedade nos exemplos anteriores: 
 
EXEMPLOS 
 
E.1) 10.315.2
15
10
3
2
=⇒= 
E.2) 25.420.5
20
25
4
5
=⇒= 
E.3) 1.5,220.125,0
20
1
5,2
125,0
== 
 
 
2.3. GRANDEZAS DIRETAMENTE E INVERSAMENTE PROPORCIONAIS 
 
2.3.1. Grandezas diretamente proporcionais 
 
“Duas grandezas são diretamente proporcionais quando, aumentando-se uma delas, a outra aumenta 
na mesma razão da primeira.” 
 
EXEMPLO 
 
Vejamos as duas grandezas: 
– quantidade de canetas (Q) 
– preço (P) 
Suponhamos que: 
o preço unitário da caneta seja $ 3,00. 
 
Assim: 
 
1 caneta custa: $ 3,00 
2 canetas custam: $ 6,00 
3 canetas custam: $ 9,00 etc. 
 
Observamos que as grandezas Q e P são diretamente proporcionais, pois é satisfeita a proporção 
direta: 
 
etc
00,9
00,6
3
2
ou
00,9
00,3
3
1
ou
00,6
00,3
2
1
=== 
 
2.3.2. Grandezas inversamente proporcionais 
 
“Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, aumentando-se uma delas, a outra diminui 
na razão inversa em que a primeira aumentou.” 
 
EXEMPLO 
 
Vejamos as duas grandezas: 
 
– velocidade média (v) 
– tempo (t) 
 
Suponhamos que: 
 
Um automóvel deve percorrer a distância Aracaju-Salvador, que é de aproximadamente 300 km. É 
fato que, quanto maior a velocidade do automóvel, menor será o tempo de percurso. 
 
Portanto: 
 
v t 
50 km/h 6 h 
60 km/h 5 h 
100 km/h 3 h etc. 
 
Observamos que as grandezas v e t são inversamente proporcionais, visto que a razão entre as 
velocidades 
6
5
60
50
= é inversa a razão dos tempos correspondentes, 
5
6
. 
 
OBSERVAÇÕES IMPORTANTES 
 
1a) Se três grandezas, a, b e c, são diretamente proporcionais, respectivamente, a m, n e p, indicamos: 
 
p
c
n
b
m
a
== . 
 
 
 
2a) Se três grandezas, a, b e c, são inversamente proporcionais, respectivamente, a m, n e p, indicamos: 
 
p
1
c
n
1
b
m
1
a
==
 ou ainda a.m = b.n = c.p . 
 
 
3a) Se três grandezas, a, b e c, são diretamente proporcionais, respectivamente, a m, n e p, e inversamente 
proporcionais a x, y e z, indicamos: 
 
p
cz
n
by
m
ax
== . 
 
EXERCÍCIOS 
 
01. José, João e Pedro jogaram na Loto a quantia de R$ 20,00, sendo que José contribuiu com R$ 5,00, 
João, com R$ 6,00 e Pedro, com R$ 9,00. Se eles ganharem um prêmio de R$ 30.000,00, quanto 
cada um deve receber, considerando que o prêmio vai ser divido em partes proporcionais ao que cada 
um investiu? 
 
 
 
 
 
 
 
02. A soma de três números vale 62. Calcule cada número, se eles são inversamente proporcionais, 
respectivamente, a 2, 3 e 5. 
 
 
 
 
 
 
 
03. (TRF) No quadro abaixo, têm-se as idades e os tempos de serviço de dois funcionários de um 
Tribunal. 
 
 Idade 
(em anos) 
Tempo de 
Serviço 
(em anos) 
João 36 8 
Maria 30 12 
 
 Esses funcionários foram incumbidos de digitar as laudas de um processo. Dividiram o total de 
laudas entre si, na razão direta de suas idades e inversa de seus tempos de serviço no Tribunal. Se 
João digitou 27 laudas, o total de laudas do processo era 
 
(A) 40 
(B) 41 
(C) 42 
(D) 43 
(E) 44 
 
 
 
04. (FCC / BB / 2013 ) Uma empresa obteve um lucro líquido de R$ 263.500,00. Esse lucro será 
dividido proporcionalmente às cotas da sociedade que cada um dos seus quatro sócios possui. O 
sócio majoritário detém 9 das cotas e os outros três sócios possuem, respectivamente, 1, 3 e 4 
cotas da sociedade. A quantia, em reais, que o sócio que possui 3 cotas receberá nessa divisão é 
igual a 
 
 
a) 15.500,00. 
b) 139.500,00. 
c) 46.500,00. 
d) 62.000,00. 
e) 31.000,00. 
 
 
05. ( FGV / ALEMA / 2013 ) Na família de Márcia, para cada dois homens há três 
mulheres e na família de Mauro, para cada três homens há cinco mulheres. 
 
A família de Márcia tem 25% a mais de pessoas do que a família de Mauro. 
 
No Natal do ano passado, as duas famílias se reuniram integralmente para a 
ceia no dia 24 de dezembro. 
 
Nesse dia, a razão entre as quantidades de homens e de mulheres foi 
 
a) 5/8 
b) 4/9 
c) 7/11 
d) 9/13 
e) 8/15 
 
 
 
3. REGRA DE TRÊS 
 
3.1. REGRA DE TRÊS SIMPLES 
 
Vejamos os problemas: 
 
1o) Se José comprou 3 metros de um tecido por $ 15, por quanto ele compraria 6 metros do mesmo 
tecido? 
 
SOLUÇÃO 
 
Comprimento
3 m
6 m
Preço
$ 15
x
 
 
As setas colocadas apresentam mesmo sentido, pois as grandezas são diretamente proporcionais. Por 
isso, armamos a proporção na ordem apresentada no esquema abaixo. 
 
Isto é: 
30x
3
15.6
x15.6x3
x
15
6
3 2
=∴==⇔=⇔= . 
 
Portanto, 6 m do tecido seriam comprados por $ 30. 
 
Dizemos que esse é um problema de regra de três simples e direta, pois as setas concordantes geram 
uma proporção direta. 
 
2o) Para se construir um muro, 6 pedreiros gastam 12 dias. Em quanto tempo 9 pedreiros construirão o 
mesmo muro? 
 
SOLUÇÃO 
 
Pedreiros
6
9
Tempo
12 dias
x
 
 
As setas colocadas apresentam sentidos contrários, pois as grandezas são inversamente 
proporcionais. Por isso, armamos a proporção conservando o sentido de uma fração e invertendo a outra. 
Assim, podemos escrever 8
9
12.6
x12.6x9
12
x
9
6
3
4
==⇔=⇔= 
 
Portanto, 9 pedreiros construirão o mesmo muro em 8 dias. 
Dizemos que esse é um problema de regra de três simples e inversa, pois as setas discordantes 
geram uma proporção inversa. 
 
EXERCÍCIOS 
 
01. Para pintar uma superfície de 150 m2, um pintor gasta 12 latas de tinta. Quantas latas de tinta são 
necessárias para pintar 200 m2 da superfície? 
 
 
 
02. Numa viagem da cidade A até a cidade B, um veículo gasta 96 minutos, à velocidade média de 100 
km/h. Se a velocidade fosse de 120 km/h, qual seria o tempo gasto? 
 
 
 
 
 
 
 
03.(BB2010) Pesquisadores descobriram que o uso do fundo preto nas páginas de busca da 
internet produz um consumo menor de energia em relação à tela branca. Se todas as buscas 
fossem feitas com tela preta, a economia total em um tempo médio de 10 segundos seria 
equivalente à energia gasta por 77 milhões de geladeiras ligadas ininterruptamente durante 1 
hora. Nessas condições, a economia total em um tempo médio de buscas de 30 minutos seria 
equivalente à energia gasta por essas geladeiras ligadas ininterruptamente durante(A) 2 dias e meio. 
 (B) 3 dias. 
 (C) 5 dias. 
 (D) 7 dias e meio. 
 (E) 8 dias. 
 
 
 
 
 
04.(BB2011)Certa máquina gasta 20 segundos para cortar uma folha de papelão de formato 
retangular em 6 pedaços iguais. Assim sendo, quantos segundos essa mesma máquina 
gastaria para cortar em 10 pedaços iguais outra folha igual à primeira se, em ambas as folhas, 
todos os cortes devem ter o mesmo comprimento? 
. (A) 36. 
. (B) 35,5. 
. (C) 34. 
. (D) 33,3. 
. (E) 32. 
 
 
 
 
05. Uma torneira enche um tanque em duas horas, e outra torneira enche o mesmo tanque em três horas. 
Em quanto tempo as duas torneiras, juntas, encherão o tanque? 
 
 
 
 
 
 
 
06. Uma torneira enche um tanque em duas horas e um orifício é capaz de esvaziá-lo em três horas. Em 
quanto tempo o tanque ficaria cheio, se abrirmos a torneira e o orifício, simultaneamente? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.2. REGRA DE TRÊS COMPOSTA 
 
São regras de três que envolvem três ou mais grandezas. 
 
Vejamos alguns exemplos que vamos resolver na aula: 
 
01. Seis operários constroem um muro de 30 m de comprimento em 5 dias, 
trabalhando 6 horas por dia. Quantas horas por dia devem trabalhar 9 operários, 
para construírem um muro semelhante ao anterior, só que com 48 m de 
comprimento e em 4 dias? 
 
 
 
 
 
 
 
02. Dez máquinas funcionando 10 horas por dia durante dez dias produzem 10 mil 
peças de um determinado item. Quantas peças serão produzidas por vinte 
máquinas funcionando 20 horas por dia durante vinte dias ? 
 
a) 10 mil 
b) 20 mil 
c) 40 mil 
d) 60 mil 
e) 80 mil 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
03. (Analista da receita federal 2012) Para construir 120 m2 de um muro em 2 
dias, são necessários 6 pedreiros. Trabalhando no mesmo ritmo, o número de 
pedreiros necessários para construir 210 m2 desse mesmo muro em 3 dias é 
igual a 
a) 2. 
b) 4. 
c) 3. 
d) 5. 
e) 7. 
 
 
04. ( FCC / TRF2 / 2012 )Suponha que, pelo consumo de energia elétrica de uma máquina que, 
durante 30 dias funciona ininterruptamente 8 horas por dia, paga-se o total de R$ 288,00. Se essa máquina 
passar a funcionar 5 horas por dia, a despesa que ela acarretará em 6 dias de funcionamento ininterrupto 
será de 
 
 
a) R$ 36,00. 
b) R$ 36,80. 
c) R$ 40,00. 
d) R$ 42,60. 
e) R$ 42,80. 
 
 
 
05. (FCC / SERGAS / 2013) Em uma fábrica, 20 operários são escalados para produzir 10.000 
unidades de uma determinada peça em 108 dias, trabalhando 4 horas por dia. Verificou-se que, após 60 
dias, apenas 40% das peças foram produzidas. Para concluir a produção das 10.000 unidades no prazo 
previamente estabelecido, optou-se, a partir do 61o dia, por aumentar o número de horas trabalhadas por 
dia e a contar com 25 operários em vez de 20. Considerando que todos estes operários trabalham com 
desempenhos iguais e constantes, tem-se que o número de horas trabalhadas por dia, a partir do 61o dia, é 
igual a 
 
 
a) 7,0. 
b) 8,0. 
c) 7,5. 
d) 9,0. 
e) 6,0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
01. Uma estrada de 315 km de extensão foi asfaltada por três equipes, A, B e C, cada uma delas atuando 
em um trecho diretamente proporcional aos números 2, 3 e 4, respectivamente. O trecho da estrada 
asfaltado pela turma C foi de: 
 
a) 70 km 
b) 96 km 
c) 105 km 
d) 126 km 
e) 140 km 
 
 
 
02. Um comerciante precisa pagar três dívidas: uma de 30 mil reais, outra de 40 mil reais e uma terceira 
de 50 mil reais. Como ele só tem 90 mil reais, resolve pagar quantias diretamente proporcionais a 
cada débito. Nessas condições, o maior credor receberá uma quantia de: 
 
a) 30 mil reais 
b) 37,5 mil reais 
c) 36 mil reais 
d) 22,5 mil reais 
e) mil reais 
 
 
03. Quando você dividiu um certo número em partes inversamente proporcionais aos números 2, 5 e 4, a 
primeira parcela que encontrou foi 200. Nessas condições, o número dividido foi: 
 
a) 380 
b) 360 
c) 350 
d) 320 
e) 400 
 
 
 
04. Uma lâmpada de 40 watts pode funcionar por 15 horas, a um certo custo. Por quanto tempo poderá 
funcionar uma lâmpada de 60 watts, para que o custo permaneça o mesmo? 
 
a) 12 horas 
b) 10 horas 
c) 8 horas 
d) 6 horas 
e) 4 horas 
 
 
 
05. Num recenseamento, chegou-se à conclusão de que, para visitar 102 residências, era necessário 
contratar 9 recenseadores. Numa região em que existem 3.060 residências, quantos recenseadores 
devem ser contratados? 
 
a) 270 
b) 250 
c) 240 
d) 220 
e) 210 
 
 
06. Uma pessoa, datilografando 60 toques por minuto e trabalhando 6 horas por dia, realiza um certo 
trabalho em 10 dias. Outra pessoa, datilografando 50 toques por minuto e trabalhando 4 horas por 
dia, realizará o mesmo trabalho em: 
 
a) 12 dias 
b) 14 dias 
c) 16 dias 
d) 18 dias 
e) 20 dias 
 
 
 
 
07. Duas máquinas empacotam 1.000 balas por hora. 
 Quantas máquinas são necessárias para empacotar 5.000 balas em meia hora? 
 
a) 10 
b) 12 
c) 15 
d) 16 
e) 20 
 
 
 
08. A impressora X é capaz de tirar um certo número de cópias de um texto em 1 hora e 15 minutos 
de funcionamento ininterrupto. A impressora Y, que tem 75 % da capacidade de produção de X, tiraria a 
metade do número de cópias desse texto, se operasse ininterruptamente durante 
 
(A)) 50 minutos. 
(B) 1 hora. 
(C) 1 hora e 10 minutos. 
(D) 1 hora e 20 minutos. 
(E) 1 hora e 30 minutos 
 
 
09. Um criador tinha ração suficiente para alimentar 50 galinhas por 70 dias. Passados 14 dias ele 
resolveu abater 15 galinhas. Sendo assim a ração restante será suficiente para alimentar as galinhas 
restantes por mais quantos dias. 
 
a) 56 dias 
b) 64 dias 
c) 70 dias 
d) 80 dias 
e) 94 dias 
 
 
 
10. Uma firma é constituída por dois sócios, A e B, cujos capitais investidos são 200 mil e 350 mil reais, 
respectivamente. Todo lucro ou prejuízo da firma é dividido, entre os dois, proporcionalmente ao 
capital investido. A firma acusou um prejuízo de 121 mil reais. As parcelas do prejuízo, em mil reais, 
correspondentes a cada sócio são, respectivamente: 
 
a) 20 e 101 
b) 40 e 70 
c) 44 e 77 
d) 79 e 72 
e) 100 e 21 
 
 
 
11. Um bar vende suco e refresco de tangerina. Ambos são fabricados diluindo em água um concentrado 
dessa fruta. As proporções são de uma parte de concentrado para três de água, no caso do suco, e de 
uma parte de concentrado para seis de água, no caso do refresco. O refresco também poderia ser 
fabricado diluindo x partes de suco em y partes de água, se a razão 
y
x
 fosse igual a quanto? 
 
a) 
2
1
 d) 
3
4
 
b) 
4
3
 e) 2 
c) 1 
 
 
 
12. Em uma empresa, 8 funcionários produzem 2.000 peças, trabalhando 8 horas por dia durante 5 dias. 
O número de funcionários necessários para que essa empresa produza 6.000 peças em 15 dias, 
trabalhando 4 horas por dia, é: 
 
a) 2 
b) 3 
c) 4 
d) 8 
e) 16 
 
 
 
13. Se 120 operários constroem 600 m de estrada em 30 dias de trabalho, o número de operários 
necessários para construir 300 m de estrada em 300 dias é: 
 
a) 6 
b) 24 
c) 240 
d) 600 
e) 2400 
 
14. Uma empresa tem 750 empregados e comprou marmitas individuais congeladas suficientes para o 
almoço deles durante 25 dias. Se essa empresa tivesse mais 500 empregados, a quantidade de 
marmitas já adquiridas seria suficiente para um número de dias igual a: 
 
a) 10 
b) 12 
c) 15 
d) 18 
e) 20 
 
 
 
15. Uma ponte é feita em 120 dias por 16 trabalhadores. Se o número de trabalhadores for elevado para 
24, o número de dias necessários para a construção da mesma ponte será: 
 
a) 180 
b) 128 
c) 100 
d) 80 
e) 6016. Uma pessoa, viajando de automóvel, fez o percurso Salvador Aracajú em 5h, viajando a uma 
velocidade média de 80 km/h. Na volta, retornou mais apressado e fez o mesmo percurso em 4h. 
Portanto, a velocidade, ao retomar, foi de: 
 
a) 80 km/h 
b) 85 km/h 
c) 64km/h 
d) 90 km/h 
e) 100 km/h 
 
17. José comprou 28 m de tecido por R$ 40,00. Por quanto José compraria 35 m do mesmo tecido? 
 
 
 
18. Para construir um muro, 6 pedreiros gastam 12 dias. Em quanto tempo 9 pedreiros construirão o 
mesmo muro? 
 
 
 
19. Um automóvel percorre certa distância em 15 h a uma velocidade de 60 km/h. Em quanto tempo o 
automóvel percorre a mesma distância a uma velocidade de 90 km/h? 
 
 
 
 
20. Numa certa construção, 3 pedreiros levariam, em 20 dias, 5 m de um certo muro. Quantos metros do 
mesmo muro 6 pedreiros levantam em 60 dias? 
 
 
 
 
21. Para carregar 36 toneladas de ferro, um homem gasta 6 dias, trabalhando 4 horas por dia. Quantos 
dias serão necessários para esse homem carregar 24 toneladas de ferro, trabalhando 6 horas por dia? 
 
22. Para lixar 36m2 de parede, certo operário levou 5 dias trabalhando 6 horas por dia. Precisando lixar 
42 m2 de uma outra parede e tendo que trabalhar 8 horas por dia, em quantos dias realizará o 
trabalho? 
 
 
 
23. Um dicionário teve, na sua 1a edição, 320 páginas de 25 linhas, cada linha contendo 40 letras. Numa 
2a edição, foram usados os mesmos caracteres e cada página continha mais 7 linhas, com o dobro do 
número de letras por linha. Qual o número de páginas desta 2a edição? 
 
 
 
 
24. Para asfaltar 1 km de estrada, 30 homens gastaram 12 dias trabalhando 8 horas diárias. 20 homens, 
para asfaltar 2 km da mesma estrada, trabalhando 12 horas por dia, gastarão quantos dias? 
 
 
 
 
25. Em 12 dias, um homem percorre 180 km caminhando 4 horas por dia com velocidade v. Qual será a 
distância que ele percorrerá em 10 dias, caminhando 6 horas por dia, reduzindo a velocidade em 1/3? 
 
 
 
 
26. Um homem pode fazer um trabalho em 8 dias; outro pode fazer o mesmo trabalho em 12 dias. Qual o 
número de dias que levarão para fazer o mesmo trabalho, trabalhando juntos? 
 
 
 
 
 
27. Os 2/5 de um trabalho foram feitos em 10 dias por 24 operários, que trabalham 7 horas por dia. Em 
quantos dias se poderá terminar esse trabalho, sabendo que foram licenciados 4 operários e que os 
restantes trabalham, agora, 6 horas por dia? 
 
 
 
28. João pinta uma parede em 5 horas e José pinta a mesma parede em x horas. Se os dois juntos pintam 
esta parede em 2 horas e 55 minutos, qual o valor de x? 
 
a) 6 
b) 7 
c) 8 
d) 9 
e) n.r.a. 
 
 
 
 
29. Uma casa deve ser construída por certo número de operários em 12 meses, 
trabalhando 6 horas por dia. Dois meses após o início da obra, quinze operários foram 
demitidos. O restante, trabalhando 10 horas por dia, concluiu a obra 6 meses depois do 
previsto. Qual foi o número de operários contratados inicialmente 
 
 
 
 
 
30. Num acampamento escolar com crianças que supostamente comem a mesma 
quantidade de comida por dia, havia comida suficiente para exatamente 70 dias. 
Passados 20 dias, chegaram inesperadamente mais vinte crianças que supostamente 
comiam a mesma quantidade de comida por dia que as que estavam acampadas e que 
ficaram 20 dias no local antes de seguirem viagem. Se, ao fim de 60 dias, a contar do 
início do acampamento, as crianças tiveram que ir embora porque a comida havia 
acabado, quantas eram elas? 
 
a) 10 
b) 20 
c) 30 
d) 40 
e) 50 
 
 
 
 
 
 
 
31. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
 
01. E 15. D 29. 24 
02. B 16. E 30. D 
03. A 17. R$50,00 31. C 
04. B 18. 8 dias 
05. A 19. 10 km/h 
06. D 20. 30 m 
07. E 21. 2 dias e 4 h 
08. A 22. 4 dias e 3 h 
09. D 23. 125 páginas 
10. C 24. 24 dias 
11. D 25. 150 km 
12. E 26. 24/5d 
13. A 27. 21 dias 
14. C 28. B