Prova 1- 2012-1 Resolvida

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Primeira Prova de Cálculo III - 14/04/2012
1. Utilize a mudança de variáveis u = y � x; v = y + x para calcular a integral R R
R
(y � x)ey2e�x2dA;
em que R é a região delimitada pelas retas y + x = 1; y + x = 2; y � x = 0 e y � x = 1:
Resolução: A região R é transformada em um quadrado S no plano uv pois as retas y + x = 1 e
y+ x = 2 são transformadas nas retas v = 1 e v = 2 e as retas y� x = 0 e y� x = 1 são transformadas
nas retas u = 0 e u = 1: As variáveis x e y se escrevem como funções de u e v da seguinte forma:
x =
v � u
2
e y =
v + u
2
:
Portanto, ����@(x; y)@(u; v)
���� = ����det� @x@u @x@v@y
@u
@y
@v
����� = ����det� �12 121
2
1
2
����� = 12
e Z Z
R
(y � x)ey2e�x2dA =
Z Z
R
(y � x)ey2�x2dA =
Z Z
R
(y � x)e(y�x)(y+x)dA
=
Z 2
1
Z 1
0
1
2
dudv =
1
2
Z 1
0
Z 2
1
ueuvdvdu
=
1
2
Z 1
0
[euv]v=2v= du =
1
2
Z 1
0
(e2u � eu)du = 1
2
�
e2u
2
� eu
�1
0
=
1
4
(e� 1)2 :
2. Utilizando coordenadas esféricas calcule a integral
R R R
E
zdV em que E é a região limitada
pelo cone z =
q
x2+y2
3
e pelo plano z =
p
3:
Resolução: Em coordenadas esféricas a equação do cone é
� cos� =
� sin�p
3
=) tan� =
p
3 =) � = �
3
e a equação do plano é � cos� =
p
3: Portanto,Z Z Z
E
zdV =
Z 2�
0
Z �
3
0
Z p3
cos�
0
� cos��2 sin�d�d�d�
=
Z 2�
0
Z �
3
0
�
�4
4
� p3
cos�
0
cos� sin�d�d� =
1
4
Z 2�
0
Z �
3
0
9
cos4 �
cos� sin�d�d�
=
9
4
Z 2�
0
Z �
3
0
sin�
cos3 �
d�d� =
9
4
�Z 2�
0
d�
��
1
2 cos2 �
��
3
0
d� =
27�
4
:
3. Utilizando coordenadas cilíndricas calcule o volume do sólido E interior ao cilindro x2+y2 = 2y
e ao cone z = 2�
p
x2 + y2 e limitado pelo plano z = 0:
Resolução: A projeção da região interior ao cilindro no plano xy é o disco limitado pelo círculo
x2 + (y � 1)2 = 1: Em coordenadas polares este disco tem as seguintes variações: 0 � � � � e
0 � r � 2 sin �: O sólido é limitado abaixo pelo plano z = 0 e acima pelo cone z = 2� r: Assim,
V =
Z Z Z
E
dV =
Z �
0
Z 2 sin �
0
Z 2�r
0
rdzdrd� =
Z �
0
Z 2 sin �
0
r(2� r)drd�
=
Z �
0
�
r2 � r
3
3
�2 sin �
0
d� =
Z �
0
4 sin2 �d� � 8
3
Z �
0
sin3 �d�
= 4
Z �
0
1� cos(2�)
2
d� � 8
3
Z �
0
(1� cos 2�) sin �d� = 2� � 8
3
�
� cos � + cos
3 �
3
��
0
= 2� � 32
9
: