Prova 3- 2012-1 Resolvida

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Terceira Prova de Cálculo III - 21/05/2012
Nome: Turma:
1. Calcule a integral Z Z
S
zdS
em que S é a parte do cilindro (x�1)2+y2 = 1 que está acima do plano z = 0 e abaixo da esfera
x2 + y2 + z2 = 4:
Res.: A parametrização de S é �!r (�; z) = h1 + cos �; sin �; zi no domínio
D =
n
0 � � � 2� e 0 � z �
p
4� x2 � y2 = p2� 2 cos �
o
uma vez que a equação do cilindro …ca x2 + y2 = 2x e, portanto, a interseção do cilindro com a
esfera é expressa por
z =
p
4� x2 � y2 = p4� 2x =
p
4� 2(1 + cos �) = p2� 2 cos �:
Como
�!r � ��!r z =
������
�!
i
�!
j
�!
k
� sin � cos � 0
0 0 1
������ = hcos �; sin �; 0i
temos
dS = k�!r � ��!r zk dA = dA
e Z Z
S
zdS =
Z Z
D
zdA =
Z 2�
0
Z p2�2 cos �
0
zdzd� =
1
2
Z 2�
0
(2� 2 cos �)d� = 2�:
2. Utilize o Teorema da Divergência para calcularZZ
S
�
x(x+ yz) + y(y � exz) + z(z + x2 + y2)� dS
em que S é a parte da esfera x2 + y2 + z2 = 4 acima do plano z = 0, orientada com normal
apontando para fora.
Res.: Temos
x(x+ yz) + y(y � exz) + z(z + x2 + y2) = �!F � �!n
em que �!
F = 2
x+ yz; y � exz; z + x2 + y2� e div�!F = 2(1 + 1 + 1) = 6
Pelo Teorema da Divergência:Z Z
S
�!
F � �!n dS +
Z Z
S1
�!
F � �!n dS =
Z Z Z
E
div
�!
F dV
em que S1 é o disco x2 + y2 = 4 no plano z = 0 com
�!n = h0; 0;�1i :
Portanto,Z Z
S
�!
F � �!n dS � 2
Z Z
S1
(z + x2 + y2)dS =
Z Z Z
E
6dVZ Z
S
�!
F � �!n dS � 2
Z Z
S1
(x2 + y2)dS = 6V (E)Z Z
S
�!
F � �!n dS = 2
Z Z
D
(x2 + y2)dA+
6
2
4�
3
23
= 2
Z 2�
0
d�
Z 2
0
r3dr + 25�
= 4�
24
4
+ 25� = 48�:
3. Utilize o Teorema de Stokes para calcularZ
C
�!
F � d�!r ;
em que
�!
F =
D
x2ez
2
; x; y
E
e C é a interseção do parabolóide z = 4 � x2 � y2 com o plano
z = 2x+ 1, orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.
Res.: A curva C satisfaz z = 4� x2 � y2 = 2x+ 1: Portanto,
x2 + 2x+ 1 + y2 = 4
o que signi…ca que a sua projeção no plano xy é uma circunferência de centro em (�1; 0) e raio
2:
A curva C é fronteira da superfície plana S : z = 2x+1 com (x; y) 2 D = f(x+ 1)2 + y2 � 4g :
Esta superfície é grá…co de função com zx = 2 e zy = 0:
Temos,
rot
�!
F =
������
�!
i
�!
j
�!
k
@x @y @z
x2ez
2
x y
������ =
D
1; 2zx2ez
2
; 1
E
:
Portanto, do Teorema de Stokes segue queZ
C
�!
F � d�!r =
Z Z
S
rot
�!
F � d�!S
=
Z Z
D
[�zx � 2zx2ez2zy + 1]dA
=
Z Z
D
[�2 + 1]dA
= �
Z Z
D
dA = �4�:
Fórmulas
1) Se S é parametrizada por �!r (u; v) com (u; v) 2 D; então:
a) dS = k�!ru ��!rvk dA
b)
R R
S
�!
F � d�!S = R R
D
�!
F (�!r (u; v)) � (�!ru ��!rv )dA:
2) Se
�!
F = hP;Q;Ri e S é da forma z = z(x; y) com (x; y) 2 D, então:
a) dS =
p
(zx)2 + (zy)2 + 1dA
b)
R R
S
�!
F � d�!S = R R
D
(�P (x; y; z)zx �Q(x; y; z)zy +R(x; y; z))dA:
3) Para a esfera x2 + y2 + z2 = a2 :�!r (u; v) = ha sen� cos �; a sen� sen �; a cos�i ; �!r� ��!r� = a sin��!r (u; v) e dS = a2 sen�d�d�: