Engenharia Econômica - Módulos

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Engenharia Econômica - Professor: Rafael Batista Zortea 
Módulo I – Introdução 
Módulo II - Matemática Financeira 
1. Juros Compostos 
2. Descontos Compostos 
3. Rendas Certas 
4. Amortização de Empréstimos 
5. Correção Monetária e Inflação 
Módulo III – Viabilidade Econômica e Financeira 
1. Taxa Mínima de Atratividade 
2. Valor Presente Líquido 
3. Taxa Interna de Retorno 
4. Payback 
5. Índice de Lucratividade e Taxa de Rentabilidade 
6. Ponto de Equilíbrio 
Módulo IV – Viabilidade Econômica e Financeira 
1. Planejamento Financeiro 
2. Avaliação dos Investimentos 
3. Avaliação de Fontes e Aplicação de Recursos 
4. Avaliação de Projeção dos Resultados 
1.1. Análise das Receitas 
1.2. Análise dos Custos 
5. Avaliação do Fluxo de Caixa 
lorena
Realce
 
I. Introdução 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Viabilidade Tecnológica Processo 
 Localização (logística) 
 Escala do Projeto 
 Recursos Humanos 
 Equipamentos 
 Capital ($, Taxa de Mínima Atratividade). 
 
Captação de recursos Usos e Fontes: Investimentos 
 Capital de Giro 
 Formas de Financiamento 
 
Viabilidade Econômica Administrativa: Processos Jurídicos 
 Processos Ambientais 
 Processos Contábeis 
 Financeira: retorno de capital 
Indústria
MP
Insumos
Energia
Água
(custos e despesas)
Processos de 
Transformação
Equipamentos
(investimentos)
Processo 
Gerencial
Necessidade
de Ação
Instrução
para Ação
Entradas
Saídas
Produtos
Serviços
Resíduos
(custos)
Plano de
negócio
Captação de 
Recursos
Viabilidade
Econômica
Viabilidade
Tecnológica
Análise de
Mercado
II. Matemática Financeira 
 
1. Juros Compostos 
A – CÁLCULO DO MONTANTE E DO TOTAL DE JUROS 
 
No regime de Juros Compostos os juros de cada período são calculados da 
seguinte maneira: 
 
J1 = C x i 
J2 = (C + J1) x i = M1 x i 
J3 = (C + J1 + J2) x i = M2 x i 
… 
Jn = (C + J1 + J2 + … + Jn-1) x i = Mn-1 x I 
 
 M 
 
 C 
 
 
 
 J1 J2 Jn 
 Períodos 
0 1 2 n-1 n 
 
Portanto, no fim de cada período, o juro é somado ao capital que o produziu 
(capitalização de juros), sendo esse montante parcial, o capital inicial para o período 
seguinte. 
Sendo J = J1 + J2 + ... + Jn (total de juros) e M = montante no fim de n períodos, 
temos: 
 
 M = C.(1 + i)
n
 e J = M – C = C.(1 + i)
n
 – C = C.[(1 + i)
n
 – 1] 
 
IMPORTANTE! 
(1 + i)
n
 é o fator de capitalização e é sempre >1 
 
Exemplo: Foram depositados $2.000,00 no Banco Falcatrua, a juros compostos de 
6% a.a., capitalizados anualmente. Quanto receberei no fim de 8 anos? 
 
Resposta: M = C.(1 + i)
n
 = 2.000.(1+0,06)
8
 = 2.000 x 1,593849 = 3.187,69 
Logo será recebido o montante de $ 3.187,69 
 
B – CÁLCULO DO CAPITAL, DA TAXA E DO PRAZO 
 
Os valores do capital C (valor atual), taxa i e prazo n são obtidos a partir da 
fórmula: M = C.(1 + i)n . 
 
Exemplos: 
a) Qual é o capital que, colocado a juros compostos à taxa de 5% a.a., com 
capitalização anual dos juros, produz, no fim de 2 anos, o montante de $ 28.142,00? 
Resposta: M = C.(1 + i)
n
  C = M / (1 + i)
n
 = 28.142 / (1+0,05)
2
 = 25.525,62 
Logo o capital aplicado foi de $ 25.525,62 
 
b) Durante quanto tempo se deve depositar $20 para que, a 8% a.a., produza o 
montante de $ 33,50. 
Resposta: M = C.(1 + i)
n
  (1 + i)
n
 = M / C = (1+0,08)
n
 = 33,50 / 20  (1,08)
n
 = 
1,675. 
A partir daí, pode-se obter n por logaritmos ou usando uma tabela financeira. 
Por logaritmos, por exemplo: 7022,6
08,1log
675,1log
n . 
Logo o tempo que deve permanecer aplicado é de aproximadamente 6,7 anos. 
 
c) O capital de $2.500 aplicado durante 4 meses produziu o montante de $3.500. 
Calcule a taxa mensal de juros. 
Resposta: M = C.(1 + i)
n
  (1 + i)
n
 = M / C = (1+i)
4
 = 3500 / 2500  (1 + i)
n
 = 
1,4  4 4,11  i  1 + i = 1,08775  i = 0,08775 
Logo a taxa mensal de juros é de 8,775%. 
 
C – CÁLCULO DO CAPITAL, DA TAXA E DO PRAZO 
 
Seja: i = taxa de juros compostos no período inteiro e k = n
o
 de capitalizações no 
período inteiro, então ik = taxa de juros compostos em cada um dos k subperíodos. 
IMPORTANTE! 
i e ik serão taxas equivalentes se e somente se tivermos C.(1 + i)
1
 = C.(1 + ik)
k
  
1 + i = (1 + ik)
k
. 
 1 2 … k 
 0 1 
Exemplos: 
a) Qual a taxa semestral equivalente a 6% a.a.? 
Resposta: k = 2; i = 0,06 a.a. e i2 = ? 
1 + 0,06 = (1 + i2)
2
  (1 + i2)
2
 = 1,06  i2 = 1,06 – 1 = 0,0295 
Logo a taxa semestral equivalente à taxa anual de 6% é de 2,95%. 
 
b) Qual a taxa equivalente a 4% a.m.? 
Resposta: k = 12; i12 = 0,04 a.m. e ia = ? 
1 + ia = (1 + 0,04)
12
  ia = (1,04)
12
 – 1 = 0,060103 
Logo a taxa anual equivalente a taxa mensal de 4% é de 60,103%. 
D – TAXAS EFETIVA E NOMINAL 
 
Taxa Nominal: quando o período de capitalização é diferente do período a que se 
refere à taxa. (Geralmente é uma taxa anual). 
Exemplos: 
80% a.a. capitalizados trimestralmente; 
135% a.a. capitalizados mensalmente. 
 
Cálculo da Taxa Efetiva: 
Sendo: 
i = taxa efetiva no período inteiro; 
iN = taxa nominal correspondente a i; 
k = n
o
 de capitalizações no período inteiro. 
Procede assim: 
1
o
) Calcular a taxa efetiva por período: 
k
i
i N
k  (taxa proporcional) 
2
o
) Usar a fórmula 1 + i = (1 + ik)
k
 para obter i = (1 + ik)
k
 – 1 que é a taxa efetiva 
correspondente a iN. 
Exemplo: 
Qual a taxa anual efetiva correspondente à taxa nominal de 8% a.a., capitalizados 
trimestralmente? 
Resposta: k = 4; iN = 0,08 a.a. e ia = ? 
ia = 0,08 / 4 = 0,02 a.t. 
1 + ia = (1 + i4)
4
  ia = (1 + i4) – 1 = (1 +0,02)
4
 – 1 = 0,08243 
Portanto a taxa anual efetiva é de 8,243% a.a. 
2 Descontos Compostos 
 
A – NOTAÇÃO 
 
N = valor nominal (ou valor de face) do título; 
DRC = desconto racional composto; 
DCC = desconto comercial composto; 
AR = valor atual do DRC; 
AC = valor atual do DCC; 
d = taxa de desconto composto; 
i = taxa de juros compostos 
 
B - DESCONTO RACIONAL COMPOSTO (DRC) 
 
Esse desconto coincide com os juros compostos calculados sobre o valor atual do 
título, no prazo n. 
 
 
 
Fórmulas: N 
DRC = N - AR AR 
 
AR = N / (1 + d)
n
 ; 
 Períodos 
 0 n 
 
B - DESCONTO COMERCIAL COMPOSTO (DCC) 
 
Consiste numa aplicação sucessiva do desconto comercial simples. 
 
Fórmulas: N 
DRC = N – AC AC 
 
AC = N x (1 - d)
n
 ; 
 Períodos 
 0 n 
 
 
3 Rendas Certas 
 
Uma renda é uma série de dois ou mais pagamentos, feitos em intervalos iguais de 
tempo, cujo objetivo é constituir um fundo ou amortizar uma dívida. 
Renda Certa ou Renda Uniforme é uma série de n pagamentos iguais. 
Quanto ao vencimento dos termos, uma renda certa é classificada em imediata ou 
diferida. 
a) Imediata: quando o 1
o
 pagamento é feito já no 1
o
 período. Conforme os 
pagamentos sejam feitos no final ou no início de cada período, a renda será dita 
postecipada ou antecipada. 
Exemplo 1: 
 10 10 10 10 10 
 
 
 
 0 1 2 3 4 5 Meses 
Renda postecipada com 5 termos mensais, iguais a 10. 
 
Exemplo 2: 
 50 50 50 50 
 
 
 
 0 1 2 3 Anos 
Renda Antecipada com 4 termos anuais iguais a 50. 
 
b) Diferida: quando o 1
o
 pagamento é feito no final de m + 1 períodos. Diz-se, 
neste caso, que há um diferimento ou uma carência de m períodos. 
Exemplo: 
 70 70 70 7070 
 
 
 (0) 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 Meses 
 Carência 
 
Notação: 
Adotaremos para as rendas certas a seguinte simbologia: 
R = valor de cada termo da renda (ou prestação); 
n = número de termos da renda (número de prestações); 
i = taxa unitária de juros compostos (por período); 
C = valor atual da renda (na data zero); 
M = montante da renda (no final do período n). 
 
A – RENDAS POSTECIPADAS 
 
a) Montante (M) 
 R 
 
 
 i i i i 
0 1 2 3 n -1 n Períodos 
 
O montante da renda no final do período n é, por definição, a soma dos montantes 
parciais, relativos a cada uma das n prestações, ou seja: 
M = R.(1 + i)
n-1
 + R.(1 + i)
n-2
 + R.(1 + i)
n-3
 + ...+ R.(1 + i) + R ou 
M = R.[(1 + i)
n-1
 + (1 + i)
n-2
 + (1 + i)
n-3
 + ...+ (1 + i) + 1] 
Entre os colchetes acima, temos a soma dos n termos de uma progressão 
geométrica (PG), cujo 1
o
 termo é a1 = 1 e cuja razão é q = 1 + i. 
Usando a fórmula da soma dos termos da PG, 
1
)1.(1



q
qa
S
n
n , obtemos: 





 









i
1i)(1
R.
11
1i)((1
R.M
nn
i
 
Logo, M = R.[((1 + i)
n 
– 1) / i] ou M = R x FAC(i,n) 
onde FAC(i.n) = 
1
1i)(1 n 
 é o “Fator de Acumulação de Capital” relativo a i e 
n. Este fator aparece já calculado nas tabelas financeiras. 
Exemplo: 
Uma pessoa aplica $500 no final de cada mês, durante 4 anos, num “fundo de 
renda fixa”, que remunera à taxa de 3% a.m. Quanto terá no final do prazo? 
 
Solução: 
M = R x FAC (i,n) 
R = $500 
i = 3% a.m. 
n = 4 x 12 = 48 prestações 
 
Logo, temos M = 500 x FAC (3%,48) 
 = 500 x 104,408396 = $ 52.204,20. 
OBS: O fator FAC (3%,48) pode ser tirado de uma tabela ou calculado pela 
fórmula acima. 
 
b) Valor Atual (C) 
 
Como vimos, o montante da renda postecipada é dado por: 
 M 
 C 





 

1
1i)(1
R.M
n
 
 0 n 
 
 
Sendo C = 
ni)(1
M

 nos juros compostos teremos 
C = 














 
n
n
n
i)i.(1
1i)(1
.
)1(
i
1i)(1
R
R
i n
. Logo, C = R. 







n
n
i)i.(1
1i)(1
 ou 
 
C = R x FVA (i,n) , onde FVA (i,n) = 
n
n
i)i.(1
1i)(1


 é o “Fator de Valor Atual” 
relativo a i e n. Este fator, também, aparece já calculado nas tabelas financeiras. 
Exemplo: 
Um financiamento é pago em 20 prestações mensais iguais de $5.000 cada uma. 
Sendo de 4% a.m. a taxa de juros cobrada pela financeira, calcule o valor financiado. 
 
Solução: 
C = ? 
R = $5.000 
i = 0,04 a.m. 
n = 20 prestações mensais 
 
Logo, temos C = R x FVA (i,n) 
 = 5.000 x FVA (4%, 20) 
 = 5.000 x 13,590326 = 67.951,63 
c) Cálculo de Prestação 
 
O cálculo do valor da prestação (R) é feito a partir de uma das fórmulas já vistas, 
M = R x FAC (i,n) ou C = R x FVA (i,n). 
 
Exemplos: 
1) Qual o valor da prestação bimestral que deve ser aplicada em um fundo de 
investimento, que oferece a taxa de 5% a.b., durante 3 anos e meio, para se obter o 
montante de $175.000? 
 
Solução: 
M = $175.000 
R = ? 
i = 0,05 a.b. 
n = 21 prestações bimestrais (3 anos e meio = 42 meses = 21 bimestres) 
 
De M = R x FAC (i.n) vem R = M / FAC (i.n), ou seja: 
R = 175.000 / FAC(5%,21) = 175.000 / 35,719251 = $4.899,31 
 
2) Um financiamento de $100.000 é pago em 10 prestações trimestrais. Sabendo 
que a taxa de juros cobrada pela financeira é de 3,22801% a.m. calcule o valor das 
prestações. 
 
Solução: 
C = $100.000 
R = ? 
i = 0,0322801 a.m. 
n = 10 prestações trimestrais 
 
1
o
) Cálculo da taxa trimestral it: 
Já que as prestações são trimestrais, precisamos da taxa trimestral (it), equivalente 
à taxa mensal (im) dada: 
1 + it = (1 + im)
3
  it = (1 + im)
3
 – 1 = (1,0322801)
3
 – 1 = 0,10 ou 10% a.t. 
 
2
o
) De C = R x FVA, obtemos 
R = C / FVA (i,n) = 100.000 / 6,144567 = $16.274,54 
 
3) Uma pessoa toma $2.000 num financiamento junto à CEF por 15 anos. Qual o 
valor da prestação mensal para amortizar a dívida, sabendo que é cobrada a taxa de 12% 
a.a. capitalizados mensalmente? 
 
 
 
 
Solução: 
C = $2.000 
R = ? 
iN = 0,12 a.a. capitalizados mensalmente 
n = 15 x 12 = 180 prestações mensais 
 
1
o
) Cálculo da taxa mensal i12: 
Aqui é dada uma taxa nominal iN = 0,12 a.a. Basta tomar: 
I12 = 0,12 / 12 = 0,01 a.m. (1% a.m.) 
 
2
o
) De C = R x FVA, vem 
R = C / FVA (i,n) = 2.000 / FVA (1%,180) = 2.000 / 83,321663 = $24,00 
 
d) Cálculo de n e de i 
 
Os valores do número de prestações (n) e da taxa (i) são também obtidos a partir 
das fórmulas M = R x FAC (i.n) e C = R x FVA (i.n). 
Pode-se obter i por tabelas financeiras ou usando logaritmos. O valor de i é obtido 
também a partir de tabelas financeiras (diretamente) ou por interpolação linear. Vejamos 
alguns exemplos para esclarecer o assunto. 
Exemplos: 
1) Quantas prestações mensais iguais de $4.500 deve-se aplicar para obter um 
montante de $106.000, sendo 2% a.m. a taxa de juros? 
 
Solução: 
S = $106.000 
R = $4.500 
i = 0,02 a.m. 
n = ? 
 
De M = R x FAC (i.n), vem que: 
106.000 = 4.500 x FAC(2%,n)  FAC(2%,n) = 23,555555 
Como FAC(2%,19) = 22,840558 e FAC(2%,20) = 24,297310 (olhar numa tabela), 
então 19um período antes do 1
o
 pagamento (na 
data (-1)) é igual a R X FVA(i.n). Capitalizando este valor por um período, teremos o valor 
atual da renda na data zero: 
C = R X FVA(i.n).(1 + i) 
 
Exemplo: 
Uma máquina é vendida a prazo, em 6 prestações mensais antecipadas de $100, a 
juros de 1,5% a.m. Qual o preço à vista, da máquina? 
 
Solução: 
R = $100 
n = 6 prestações mensais; 
i = 0,015 a.m.; 
C = ? 
 
C = R X FVA(i,n) X (1 + i)  C = 100 X FVA(1,5%,6) X (1,015) = 100 X 
5,697187 X 1,015  C = $578,26. 
 
Nota: O cálculo da prestação (R), do n
o
 de prestações (n) e da taxa (i) nas rendas 
antecipadas, é feito de modo análogo ao que foi estudado nas rendas postecipadas, ou seja, 
partindo sempre de uma das fórmulas 
 
M = R X FAC(i,n) X (1 + i) ou C = R X FVA(i,n) X (1 + i) 
 
Exemplo: 
Uma dívida de $10.000 é amortizada com 10 prestações trimestrais e antecipadas de 
$860. Qual é a taxa de juros? 
 
R = $860 
n = 14 prestações trimestrais (antecipadas); 
i = ? 
C = $10.000 
 
C = R X FVA(i,n) X (1 + i)  10.000 = 860 X FVA(i,14) X (1 + i) = FVA(i,14) X 
(1 + i) = 10.000 / 860 = 11,627906. 
Os valores de FVA(i,14) X (1 + i) não se encontram tabelados mas podem ser 
calculados a partir dos valores de FVA(i,14). Assim, temos: 
FVA(3%,14) X (1,03) = 11,296073 X 1,03 = 11,634955 
FVA(3,5%,14) X (1,035) = 10,920520 X 1,035 = 11,302738 
Vemos que 3%onde 1 + I = (1 + I1).(1 + I2)…(1 + In) é o FATOR DE CM ACUMULADA (inflação 
acumulada) em n períodos. 
 
B – APLICAÇÕES COM JUROS + (CM) 
 
Para calcular o montante numa aplicação com juros mais CM, o método mais 
utilizado na prática, é aplicar os juros sobre o capital corrigido. Em outros termos, 
 M 
 C 
 
 
 
 0 n 
M = C´(1 + r)
n
 , onde r é a taxa real de juros compostos. 
 
 Exemplos: 
 Aplicou-se $100.000 num investimento que rende 6% a.a. capitalizados 
trimestralmente mais correção monetária. Sabendo-se que as taxas de correção monetária 
trimestrais em um ano foram de 3%, 4,5%, 3,2% e 4%, respectivamente, qual é o valor do 
montante no final deste ano? 
 
Solução 
C´ = 100.000 (1,03)(1,045)(1,032)(1,04) = 115.522,49 
M = 115.522,49 (1 + 0,06/4)
4
= $122.611,36 
 
C – INDEXADORES 
 
Para inflacionar ou deflacionar uma série de valores monetários, são utilizados 
ÍNDICES de preços ou INDEXADORES. Quando um valor monetário é atualizado de 
acordo com a variação de um dado índice (ICV DIEESE, IGP-M, INCC-DI, etc.), diz-se que 
este valor está INDEXADO. 
 
 
D – CÁLCULO DA INFLAÇÃO A PARTIR DE NÚMEROS ÍNDICES 
 
Exemplos: 
1) Supondo a inflação igual a variação do IGPM – FGV dada no quadro abaixo: 
Mês/2008 IGPM – FGV 
JAN 107,94 
FEV 108,57 
MAR 109,74 
ABR 111,92 
MAI 109,65 
JUN 111,35 
JUL 113,84 
Calcule a inflação acumulada: 
a) de JAN a MAR 
b) de JAN a JUL 
 
Lembrando que 1 + I = C´ / C, teremos: 
 
a) 1 + I = 109,74 / 107,94 = 1,0167  I = 1,67% 
B 1 + I = 113,84 / 107,94 = 1,0547  I = 5,47% 
 
2) Calcule a taxa mensal média de inflação, no período de JAN/08 a JUL/08, usando 
como INDEXADOR o IGPM-FGV. 
 
Basta usar a fórmula do montante dos juros compostos: 
 
113,84 = 107,94.(1 + i)
6
  i = (113,84 / 107,94)
1/6
 – 1  i = 0,0089 ou 0,89% a.m. 
 
E – TAXAS DE CRESCIMENTO APARENTE E REAL 
 
 Uma série de valores monetários inflacionados (valores nominais ou valores 
correntes), mostra um crescimento aparente destes valores num dado período. Para termos o 
crescimento real dos mesmos valores, é preciso primeiro deflacionar os valores até uma 
data base e, com estes valores deflacionados (valores reais ou valores constantes), calcular 
a taxa de crescimento real. 
 
 Exemplo: 
 Um operário recebeu nos últimos 3 meses os salários nominais (inflacionados) 
seguintes: 
 MAR: $ 1.200,00 
 ABR: $ 1.300,00 
 MAI: $ 1.560,00 
 Admitindo que o índice de preços escolhido para a atualização monetária teve as 
variações de 12% em ABR e 18% em MAI, pede-se: 
a) a taxa de crescimento aparente no período de MAR a MAI; 
b) deflacionar os salários para MAR (data base); 
c) a taxa de crescimento real dos salários no período de MAR a MAI. 
 
Solução 
a) 1 + i = 1560 / 1200 = 1,3  i = 30% 
b) MAR = 1200; ABR = 1300 / 1,12 = 1160,71 e MAI = 1560 / (1,12 X 1,18) = 
1560 / 1,3216 = 1180,39 
c) 1 + r = 1180,39 / 1200 = 0.9837  r = -0,0163 ou –1,63% 
 
EXERCÍCIOS 
 
1) Uma aplicação financeira deu um lucro de $50.000,00 em MAI/08. Pede-se: 
a) inflacionar este valor para JUL/08; 
b) deflacionar esse valor para JAN/08, de acordo com a variação do IGPM-FGV mostrada na 
tabela. 
Resposta: a) $51910,62; b) 49220,25 
 
2) Na tabela abaixo temos os impostos arrecadados pela prefeitura de um município nos 
últimos 4 meses e a variação do IGP-di no mesmo período: 
Mês Imposto Nominal IGP-di 
SET $ 30.000 200 
OUT $ 35.000 236 
NOV $ 42.600 288 
DEZ $ 63.700 348 
Determine: 
a) a taxa de crescimento aparente; 
b) a taxa de crescimento real no período 
Resposta: a) 112,33%, b) 22.03% 
 
F – TAXA REAL DE JUROS 
 
Devido ao processo inflacionário existente, as taxas de juros correntes (aquelas fixadas em 
contratos, etc), muitas vezes trazem embutidas em si o efeito estimado da inflação, efeito 
este, medido por uma taxa de inflação. 
Sendo, num dado período: 
i = taxa aparente de juros (taxa total, taxa de juros correntes); 
I = taxa de inflação; 
r = taxa real de juros 
Assim, teremos no final do período: 
M = C.(1 + i) ou M = C´(1 + r) = C.(1 + I).(1 + r), assim C.(1 + i) = C.(1 + I).(1 + r) 
Logo, 1 + i = (1 + I).(1 + r) ou 1 + r = (1 + i) / (1 + I)  r = ((1 + i) / (1 + I)) -1 
 
Nota: a) i = I  r = 0 (taxa real nula) 
 b) i > I  r > 0 (taxa real positiva)  ganho real 
 c) ionde: 
FC = Fluxos de caixa esperados (positivos ou negativos) 
Portanto, considera-se atraente todo o investimento que apresentar uma TIR maior 
ou igual a TMA. Ao obter-se uma TIR maior que a TMA estipulada, interpreta-se a mesma 
da seguinte maneira: o valor positivo obtido demonstra a viabilidade do projeto, porém esse 
excedente não possui um significado maior na análise do investimento, evidenciando 
apenas um indicativo de riqueza que está sendo agregado. Outra interpretação importante a 
ser feita refere-se à interpretação temporal do indicador, pois o mesmo indica um taxa de 
viabilidade anual, e não uma taxa para todo o projeto como poderia ser interpretado. 
Quanto às limitações deste indicador, deve-se ter o cuidado de analisar o valor 
obtido para uma TIR quando a mesma for muito diferente das taxas de mercado. Neste 
caso, a TIR apurada pode não estar representando uma verdade, pois este indicador parte do 
pressuposto que todos os valores caminham no tempo baseados na própria TIR. 
4. Payback 
Também conhecido como tempo de recuperação do capital, o payback tem como 
função calcular o tempo de retorno de um investimento. Ele demonstra o período em anos 
necessário para que o desembolso, correspondente ao investimento inicial do projeto, seja 
recuperado. Segundo Kassai (2000), o payback é mais uma medida de risco do que 
propriamente de retorno de investimento, pois um projeto com payback menor do que 
outro, indica que o mesmo tem menor grau de risco. 
Porém, este indicador desconsidera aspectos importantes como o período posterior 
ao retorno do investimento e o valor do dinheiro no tempo (Sanvicente, 1987). Assim, o 
payback acaba apresentando um tempo de recuperação do capital inferior àquele estipulado 
pela empresa. Contudo, apesar de não ser um indicador muito exato, o payback é útil para 
complementar à análise de risco de um projeto. Existem alguns projetos, com limitação de 
capital, em que, se a recuperação não ocorrer nos primeiros períodos, dificilmente, este 
projeto, logrará um sucesso posteriormente. 
O payback, de um projeto, cujo capital investido foi de $25.000,00, pode ser 
apurado conforme o exemplo. 
Tabela 9: Fluxo de caixa simples de um projeto 
Ano Investimento ($) Lucro ($) Saldo ($) 
0 25.000 (25.000) 
1 12.000 (13.000) 
2 11.000 (2.000) 
3 10.000 8.000 
4 9.000 17.000 
5 24.000 41.000 
Fonte: Kassai (2000) 
O projeto, colocado acima, irá recuperar os $25.000 entre o segundo e terceiro. Para 
detalhar com mais precisão o prazo de retorno, basta fazer uma regra de três
1
: 
 Dinheiro Tempo 
Falta recuperar no 2
o
 ano $ 2.000,00 X 
Recuperado no 3
o
 ano $ 10.000,00 1 
0,2X
10.000
2.000X2.00010.000.X
1
X
10.000
2.000
 
Portanto, o payback deste projeto será de 2,2 anos. 
5. Índice de Lucratividade – IL e Taxa de Rentabilidade - TR 
Estes dois indicadores possuem como objetivo comum demonstrar a aceitação ou 
rejeição de um projeto. O IL é medido pela razão entre os valores presentes dos fluxos de 
caixa positivo (entradas) e os fluxos de caixa negativo (saídas), usando como taxa de 
desconto a TMA do projeto. Assim, este índice indicará o retorno apurado para cada $1,00 
investido (Kassai, 2000). 
)(
)(
NegativosCaixadeFluxosVP
PositivosCaixadeFluxosVP
IL  , (IV) onde: 
VP = Valor Presente 
 
1 Método de interpolação linear 
Já a TR demonstra o retorno deste investimento em termos de porcentagem. Este 
indicador é determinado a partir do IL, ou seja: 
.100%1
Negativos)CaixadeVP(Fluxos
Positivos)CaixadeVP(Fluxos
TR 





 (V) 
Portanto, um investimento será atrativo quando apresentar IL maior ou igual a 1,0 e 
TR maior ou igual a 0%. Nota-se que o excedente desses índices não têm um significado de 
maior praticidade na análise do investimento, evidenciando apenas um excedente e a 
viabilidade do mesmo. 
Para termos de exemplificação, analisar-se-á a utilidade desses indicadores nos 
valores do projeto da Tabela 9. 
42.405,55
1,15
24.000
1,15
9.000
1,15
10.000
1,15
11.000
1,15
12.000
os)PV(positiv
5432
 
PV(negativos) = 25.000,00 
IL = 42.405,55 / 25.000,00 = 1,70 
TR = (1,70 – 1).100% = 70% 
6 Ponto de Equilíbrio - PE 
O PE avalia o nível de produção em que o resultado operacional é nulo, ou seja, as 
receitas operacionais são iguais aos custos operacionais. Portanto, esse indicador demonstra 
o nível de produção, ou melhor: de vendas, necessário para recuperar os custos fixos e os 
custos variáveis para aquele nível de produção. Assim, o ponto de equilíbrio sobre vendas 
para um determinado projeto é determinado pela seguinte fórmula: 
%100.
ãoContribuiçdeMargem
)FinanceiroCustoFixo(Custo
EquilíbriodePonto 




 
 (VI), onde: 
Margem de Contribuição = Venda Bruta – Custos Variáveis (VII) 
Portanto, o projeto exemplificado pelo demonstrativo de resultados mensais da 
Tabela 7, atinge o ponto de equilíbrio com cerca de 71% das vendas, o que equivale a uma 
receita bruta de $17.750,00, abaixo disto a empresa estará operando com prejuízo. A Figura 
8, da seção 4.4.2, mostra graficamente a estimativa de um ponto de equilíbrio em relação 
aos custos (total, fixo e variável) e receitas de um empreendimento. 
Portanto, a avaliação financeira dos projetos propostos será discutida revendo-se as 
variáveis aqui colocadas. Estas variáveis ajudarão na realização de comparações de 
viabilidade financeira entre um projeto e outro. 
Assim, a verificação da viabilidade econômica dos empreendimentos a serem 
analisados, estarão baseados no planejamento financeiro colocado neste capítulo e nas 
premissas aqui colocadas como necessárias para a realização de uma análise de 
investimento. 
Além disso, para que se possa efetuar a verificação da produção necessária para 
viabilizar os investimentos que serão analisados realizar-se-á a fixação de alguns dos 
índices de avaliação do fluxo de caixa. Tal fixação busca avaliar o volume mínimo de 
matéria-prima necessário para viabilizar os empreendimentos a serem analisados. 
Fixadas as variáveis e encontrado o volume de produção mínimo necessário, pode-
se realizar um planejamento financeiro onde se apresenta os valores de investimento, 
custos, receitas e retorno financeiro dos empreendimentos que serão sugeridos neste 
trabalho. 
IV. Viabilidade Econômica e Financeira 
 
1 Planejamento Financeiro 
 
Trata-se de um instrumento útil na verificação dos investimentos necessários, custos 
existentes e receitas exigidas. 
Para se realizar um bom planejamento financeiro, deve-se conhecer todos os 
processos envolvidos no projeto, pois este tipo de dado permitirá uma definição dos 
investimentos necessários para a operacionalização do projeto. Além disso, o levantamento 
destes processos determinará os aspectos relevantes como tamanho do empreendimento, 
tecnologia, regime de produção e as matérias-primas e insumos necessários no processo de 
transformação do produto final. 
Assim, segundo Woiler (1996), a seqüência normal de elaboração do quadro 
financeiro de um projeto é a seguinte: 
 Quadro de investimento; 
 Quadro de fontes e aplicações de recursos; 
 Quadro de projeção dos resultados; 
 Fluxo de caixa. 
2 Avaliação dos Investimentos 
 
Para se iniciar um empreendimento, deve-se levar em conta vários fatores como: 
localização, processo produtivo, equipamentos e instalações, além dos recursos necessários 
para custear os gastos com o funcionamento da empresa. 
Assim, segundo Sanvicente (1987) os investimentos podem ser divididos em dois 
grupos: os investimentos fixos e os investimentos financeiros. O primeiro grupo é 
composto pelos itens que não são consumidos no processo de produção, com vida útil mais 
longa, enquanto o segundo trata do montante de recursos circulantes que asseguram o 
desempenho das atividades operacionais da empresa (capital de giro). 
Porém, éimportante assegurar um controle permanente da qualidade dos dados que 
estão sendo levantados, pois ao se realizar uma decisão de investimento o empreendedor se 
vê envolvido com problemas como o risco e a incerteza. Para minimizar estes problemas, a 
realização de análises é de fundamental importância. Para o levantamento destas análises o 
empreendedor se baseia em informações como experiências passadas, valores informados 
por fornecedores, uso de firmas de consultoria, projeções, técnicas de previsão e pesquisa 
de mercado, entre outros (Kassai, 2000 & Woiler, 1996). 
Como os dados e informações empregados nessas análises são, muitas vezes, 
estimativas de valores; embora eles possam ser as melhores projeções possíveis, não existe 
certeza absoluta sobre a ocorrência dos números esperados. Neste caso, será conveniente 
que, a cada parcela de investimento, seja estimada uma tolerância de erro que 
conseqüentemente será resguardada com um valor de contingência. 
Assim, tendo o empreendedor precavido-se de possíveis incertezas e riscos, cabe 
então listar os itens necessários para o seu empreendimento, juntamente com os seus 
valores de investimento e de contingência. 
Tabela 3: Discriminação, valores e composição do investimento fixo total 
Discriminação Preço Total (R$) Composição (%) 
1. Máquinas e equipamentos (SUBTOTAL) 90.000,00 90,0 
 1.1. Equipamento X 20.000,00 20,0 
 1.2. Equipamento Y 10.000,00 10,0 
 1.3. Equipamento Z 15.000,00 15,0 
 1.4. Esteira 20.000,00 20,0 
 1.5. Embaladora 25.000,00 25,0 
2. Instalações Industriais (SUBTOTAL) 6.000,00 6,0 
 2.1. Rede de distribuição de água 2.000,00 2,0 
 2.2. Rede de distribuição elétrica 4.000,00 4,0 
3.Móveis e utensílios (SUBTOTAL) 4.000,00 4,0 
Total Investimento Fixo 100.000,00 100,0 
Fonte: SEBRAE (2000). 
Diante de tudo que foi discutido, pode-se discriminar, resumidamente, um plano de 
investimentos nos seguintes passos: 
 Investimentos Fixos: como já foi comentado, trata-se do montante de recursos 
necessários à implantação de toda infra-estrutura física do projeto, como é exemplificado na 
Tabela 3. 
 Capital de Giro: é a parcela do capital aplicada pela empresa em seu ciclo 
operacional, fundamentalmente de curto prazo. Engloba as necessidades de recursos desde a 
aquisição de matérias-primas até a venda e o recebimento dos produtos fabricados. A 
demonstração da necessidade de capital de giro encontra-se, exemplificada, na Tabela 4. 
Tabela 4: Discriminação da necessidade do capital de giro 
Discriminação N
o
 de dias R$ 
1. Necessidades (TOTAL) 45.000,00 
 1.1. Caixa Mínima 5 3.000,00 
 1.2. Financiamento vendas 20 30.000,00 
 1.3. Estoque matérias-primas 10 8.000,00 
 1.4. Estoque produtos prontos 5 4.000,00 
2. Crédito de fornecedores (-) 20 20.000,00 
3. Impostos (-) 15 5.000,00 
Recursos Próprios 20.000,00 
Total Coberturas 45.000,00 
Fonte: SEBRAE (2000) 
3 Avaliação de Fontes e de Aplicações de Recursos 
As aplicações de recursos nada mais são do que o investimento fixo mais o capital de 
giro, conforme já foi explicado no item 4.2. Porém, estes recursos necessitam de uma origem 
monetária, ou seja, as fontes de recursos definem o tipo de capital que financiará os 
investimentos do projeto, divididos entre capitais próprios e de terceiros. 
O item capital de terceiros trata da oferta de recursos financeiros externos à empresa, 
sob a forma de empréstimo. Segundo Sanvicente (1987), as fontes mais comuns para este 
financiamento são os bancos, onde destacam-se o BNDES, BRDE, Caixa Econômica 
Federal, Banco do Brasil, entre outros. 
O capital próprio é determinado pela diferença entre o total de aplicações e o capital 
de terceiros, ou seja, trata-se da parcela monetária não financiada do projeto. Segundo o 
informativo RS – Uma vocação plástica (2000), para efeito de estudo, considera-se um 
financiamento de até 50% do investimento fixo. Entretanto, pode-se financiar um percentual 
maior, além da possibilidade de complementação para capital de giro. 
Para efeitos de exemplificação, a Tabela 5, discrimina um demonstrativo de fontes e 
de aplicações de recursos. 
Tabela 5: Demonstrativo de fontes e de aplicações de recursos 
APLICAÇÕES FONTES 
Item Valor (R$) (%) Financiamento/Capital 
de Terceiros (R$) 
Recursos Próprios 
(R$) 
Máquinas/equipamentos 90.000,00 75,00 45.000,00 45.000,00 
Instalações Industriais 6.000,00 5,00 3.000,00 3.000,00 
Móveis e utensílios 4.000,00 3,33 2.000,00 2.000,00 
Total Investimento Fixo 100.000,00 83,33 50.000,00 50.000,00 
Capital de Giro 20.000,00 16,67 20.000,00 
Total Aplicações/Fontes 120.000,00 100,00 50.000,00 70.000,00 
Fonte: SEBRAE (2000) 
 
4 Avaliação de Projeção dos Resultados 
 
As projeções têm por objetivo quantificar os resultados do empreendimento. Estes 
resultados estimam os valores necessários para a sobrevivência da empresa, mostrando os 
valores de produção suficientes para um equilíbrio das despesas e receitas (ponto de 
equilíbrio). 
4.1 Análise das Receitas 
A projeção das receitas decorre de um estudo de mercado. É a partir da análise de 
mercado e das projeções de vendas que se determina às quantidades e o preço unitário do 
produto que se pretende vender. 
Segundo Woiler (1996), deve-se observar também o regime de concorrência: 
perfeita, oligopólio ou monopólio. Conforme o regime competitivo o preço deverá ser 
estipulado de uma maneira diferente. Nestes casos deve dar também atenção para a 
quantidade que se pretende produzir. 
Ao fixar-se o preço é preciso distinguir quando se trata do preço bruto ou líquido, 
preço de fábrica (FOB) ou no consumidor (CIF), preço a vista ou a prazo, etc (Woiler, 
1996). 
Baseando-se no informativo RS – Uma vocação plástica (2000); para efeito de 
estudo, considera-se o preço de venda a partir de uma média praticada no mercado, sendo 
que os preços podem variar conforme os tipos de usos, quantidades de compra e região. 
4.2 Análise dos Custos 
No processo de fabricação em uma empresa, toda e qualquer aplicação de recursos, 
de diferentes formas, expressas em valor monetário, pode ser considerada como um custo 
para a empresa. Assim, pode-se considerar como custo, todo gasto atribuído à produção, a 
fim de poder gerar uma receita ou ganho para a empresa. No entanto, os custos de uma 
empresa podem ser determinados de várias maneiras. Um dos critérios para a determinação 
da variabilidade de cada item que compõe a produção é a dependência dos gastos com o 
volume da produção. Partindo-se desta premissa, verifica-se a existência de gastos tanto 
dependentes quanto independentes do volume de produção de uma empresa. 
A partir daí pode-se discriminar os gastos de produção de uma certa empresa nos 
seguintes custos (Sanvicente, 1987): 
 Custos Fixos: entende-se como os gastos incorridos no processo de produção e 
indispensáveis ao funcionamento da empresa, como um só complexo, sem qualquer relação 
ou dependência com o volume de produção. Como o seu valor total não varia com a 
variação de volume da atividade, observa-se que o seu valor unitário é que acaba variando 
com o volume de operação. 
 Custos Variáveis: são os gastos que aumentam ou diminuem de valor numa 
relação direta com o maior ou menor volume de produção. Assim, o custo variável total é 
perfeitamente variável e o custo variável unitário é constante. 
 Custos Semivariáveis ou Semifixos: gastos cujo comportamento apresenta 
características de ambas as categorias (misto), ou seja, possui uma parte que não varia com 
o volume e outra parte que varia. Neste tipo de custo, os valores são constantes dentro de 
certos intervalos ou limites de volume, variando de forma linearmente crescente à medida 
que se ultrapassa estes limites ou intervalos. Segundo o próprio autor, nestes casos pode-se 
aplicar a análise da regressão linear simples, relacionando o valor dos mesmos com o 
respectivo volume deoperação. Desta maneira, ter-se-á a seguinte expressão: 
CT = a + b.Q (I), onde: 
CT = valor total do item de custo; 
Q = volume de operações; 
a = parâmetro estimado para o intervalo constante; 
b = parâmetro estimado para o intervalo variável. 
Sanvicente (1987), destaca que se existir a possibilidade de substituição de um tipo 
de matéria-prima por outro mais barato, verifica-se que os custos serão modificados 
repercutindo na alteração dos dados da análise já realizada. Assim, caberá a realização de 
um novo estudo das relações entre custos, receita e volume para comparar a nova 
alternativa com a já existente. 
Outro importante critério de determinação dos custos é, em relação, à sistemática de 
cálculo adotada. Segundo Iudícibus (1996), o critério de custeio pode ser de duas maneiras: 
 Custeio Direto: compreende qualquer despesa ou gasto perfeitamente 
identificável e relacionado diretamente com o produto fabricado ou serviço prestado. 
Assim, obedecendo a este critério, só são custos do produto os custos relevantes (variáveis, 
fixos e semifixos ou semivariáveis) em que é necessário incorrer para a produção do 
mesmo. 
Exemplo: matéria-prima necessária para a fabricação dos produtos. 
 Custeio por absorção: também conhecido como custeio total, corresponde na 
determinação do custo direto somado ao indireto (correspondem aos gastos que não 
contribuem de forma direta para a fabricação dos produtos). Sendo que, para a 
determinação dos custos indiretos deve-se distribuir estes gastos por absorção, ou seja, 
ratear todas as despesas indiretas do produto. Neste caso, as despesas que não se relacionam 
diretamente com o produto são rateadas segundo índices previamente estabelecidos. Um 
exemplo de custo indireto é o gasto de luz em um galpão onde existem três processos 
diferentes de fabricação, onde é necessário discriminar (por estimativa) o gasto de luz 
referente a cada processo, especificadamente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 8: Gráfico do Ponto de equilíbrio 
Como pode se ver, a análise dos tipos de custo existentes é uma ferramenta de 
grande importância para se efetuar uma análise do ponto de equilíbrio das operações, pois 
esta última análise verifica o nível ou volume de produção em que o resultado operacional é 
nulo, ou seja, as receitas operacionais se equivalem ao valor total das despesas 
operacionais. Este tipo de análise permite ao empresário a verificação dos volumes, custos 
e preços de venda necessários para que a empresa possa operar com margem de segurança. 
Porém, além dos gastos de produção e administrativos, deve-se levar em conta 
gastos como depreciação e amortização. Estes gastos correspondem à perda do valor do 
capital aplicado na aquisição do bem. Constitui uma fonte de fundos para custeio do 
investimento para reposição (Iudícibus, 1996). 
Outros gastos que devem ser frisados são os, com manutenção/conservação e com 
seguros. Enquanto aqueles têm o objetivo de prevenir e programar, constituindo-se em 
custos fixos, este procura resguardar-se de possíveis ocorrências de sinistros. 
Outro custo a ser levantado, diz respeito aos tributos. Os impostos e contribuições 
incidem tanto sobre o montante de vendas (PIS, COFINS, ICMS e IPI) como sobre os 
resultados do negócio (Imposto de Renda e Contribuições Sociais). A observância da 
incidência destes tributos torna-se importante para o cálculo de viabilidade econômica do 
empreendimento. 
Volume de Produção 
Custo e 
Receita ($) 
Ponto de 
Equilíbrio 
Para efeito de estudo, para realizar o cálculo de depreciação, manutenção e seguros 
utilizam-se às taxas estabelecidas pela Secretária da Receita Federal – SRF, no regulamento 
do Imposto de Renda das Pessoas Jurídicas, conforme Tabela 6. 
Tabela 6: Taxas anuais de depreciação, manutenção e de seguros 
Discriminação Depreciação Manutenção Seguro 
Obras Civis 4% 0,5% 0,5% 
Máquinas/Equipamentos 10% 1,5% 1,0% 
Móveis/Utensílios 10% 0,2% 0,2% 
Instalações 10% 1,5% 1,0% 
Veículos 20% 10% 1,0% 
Fonte: SEBRAE (2000) 
Portanto, baseando-se numa venda bruta de 100% para um determinado produto, o 
demonstrativo de resultados mensais de uma maneira mais detalhada pode ser 
exemplificado, conforme Tabela 7. 
Tabela 7: Demonstrativo de resultados mensais 
Item R$ % 
1. Venda Bruta 25.000,00 100,00 
2. Custos Variáveis (17105,00) (68,42) 
2.1. Impostos 5.162,50 20,65 
2.2. Despesas com Vendas 750,00 3,00 
2.3. Matérias-Primas e Insumos 7.500,00 30,00 
2.4. Mão-de Obra Direta 2.500,00 10,00 
2.5. Frete 600,00 2,40 
2.6. Outros (3% sobre os itens acima) 592,50 2,37 
3. Margem de Contribuição (1-2) 7895,00 31,58 
4. Custos Fixos (5082,67) (20,33) 
4.1. Pessoal Administrativo 900,00 3,60 
4.2. Despesas Administrativas (água/luz/telefone/limpeza) 3.000,00 12,00 
4.3. Depreciação 833,33 3,33 
4.4. Despesas com seguros 80,67 0,32 
4.5. Despesas com Manutenção/Conservação 120,67 0,48 
4.6. Outros (3% sobre os itens acima) 148,00 0,60 
5. Juros do Financiamento Pretendido (12,5% a.a.) (520,83) (2,08) 
6. Lucro Operacional [3-(4+5)] 2.291,50 9,17 
7. Imposto de Renda / Contribuição Social (25%) (572,88) (2,29) 
8. Lucro Líquido (6-7) 1718,62 6,88 
Fonte: SEBRAE (2000) 
Cabe aqui destacar que foi estipulado, para efeito de estudo, um financiamento com 
prazo de carência de 12 meses e prazo de amortização do principal de 48 meses. Assim, os 
valores de amortização surgirão no demonstrativo de resultados mensais do 2
o
 ano de 
operação. Os valores serão de R$ 1.041,67 mensais, não contando o valor dos juros de 
financiamento que, com o início do pagamento do principal sofrerá redução mensal no 
mesmo valor da amortização sobre a sua base de cálculo. O raciocínio comentado leva em 
conta o pagamento assíduo e integral, tanto dos juros como do principal. Como se trata de 
um exemplo ilustrativo, as condições podem variar caso a caso. 
5 Avaliação do Fluxo de Caixa 
 
Esta análise visa medir o tempo necessário para a recuperação do capital investido. 
Na realização da análise deve-se considerar, além do período de projeção, todo o período de 
implantação. Através deste fluxo de caixa verifica-se o desempenho do projeto. 
Considerando os valores, já colocados no exemplo, e uma taxa de inflação em torno de 
3,5% a.a., pode-se exemplificar um fluxo de caixa conforme a tabela abaixo: 
Tabela 8: Fluxo de Caixa do Projeto 
Valores Do Projeto (R$) ANO 0 ANO 1 ANO 2 ANO 3 ANO 4 ANO 5 
1. Investimento Fixo (100.000) 
2. Incremento C. Giro (20.000) (5.303) 
3. Financ. Pretendido 50.000 
4. Amortização Financ. (12.500) (12.500) (12.500) (12.500) 
5. Lucro Líquido 20.623 21.345 23.647 25.991 28.353 
6. Depreciação 10.000 10.350 10.712 11.087 11.475 
7. Geração Caixa Anual (50.000) 10.623 13.542 21.859 24.578 27.328 
8. Geração Acumulado (50.000) (39.377) (25.835) (3.976) 20.602 47.930 
Fonte: SEBRAE (2000) 
Como pode observar-se, o fluxo de caixa torna-se positivo a partir do quarto ano de 
operação da fábrica. Isto significa que o investimento será quitado neste quarto ano, não 
tendo nenhuma relação com prejuízo, pelo contrário, a empresa, desde o primeiro ano, 
estará, pelo regime de caixa, tendo um lucro equivalente a Geração de Caixa Anual somada 
a depreciação.