exercicios resolvidos transformação de coordenadas e rotação dos eixos

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Transformação de coordenadas
1. Considere o ponto P, de coordenadas (2,-5) em relação ao sistema xoy. Seja o' o ponto de
coordenadas (3,2) neste mesmo sistema. Determine as coordenadas do ponto P em relação ao
sistema de coordenadas x'o'y', onde o'x' e o'y' são paralelos a ox e oy.
Solução:
Temos x=2 e y=-5 as coordenadas de P no xoy. Como o' (3,2) é o centro do nosso sistema, temos
h=3 e k=2. Daí as equações de xoy para x'o'y' são x'=x-3 e y'=y-2. Logo as coordenadas de P(2,-5)
no sistema x'o'y' são:
x'=2-3=-1
y'=-5-2=-7
Logo, P(-1,-7)
2. Dada a circunferência de equação x²-6x+y²+10y=2 escreva as equações de translação através das 
quais esta circunferência tendo centro na origem do nosso sistema.
Solução:
Na equação dada, reduzimos à forma padrão
x²-6x+9+y²+10y+25=2+9+25
(x-3)²+(y+5)²=36
Temos que o centro da circunferência é (3,-5), logo as equações de translação para o sistema novo 
de modo que a circunferência tenha o centro na origem são:
x'=x-3
y'=y+5
Rotação dos eixos coordenadas
1. Dado o ponto P(6,4), determine as coordenadas de P em relação obtido a partir de xoy pela 
rotação de um ângulo de π
3
radianos.
Solução:
As equações de rotação de um ângulo de π
3
radianos são:
x1=xcos
π
3
+ ysen π
3
y1=−xsen π3 + ycos
π
3
 
x1=x
1
2
+ y √3
2
y1=x
√ 3
2 + y
1
2
 
x1=
1
2
x+√3
2
y
y1=
−√3
2 x+
1
2 y
 
Para o ponto P(6,4), temos então:
COE
x ' 2+ y '2=36
x1=
1
2
6+√3
2
4=3+2√3
y1=
−√3
2
6+ 1
2
4=−3√ 3+2
Logo, as coordenadas de P no sistema x'oy' são (3+2√ 3 ,2−3√3) .
2. Usando uma rotação de eixos conveniente, transforme a equação 4x²+y²+4xy+x-2y=0 em uma 
desprovida do termo xy.
Solução:
Seja θ o ângulo da rotação, a ser determinado. As equações que dão x, y em função do x1, y1
são x=x1cosθ−y1 senθ e y=x1 senθ+ y1 cosθ .
Daí, substituindo-as na equação dada, temos:
4 (x1cos θ−y1 senθ)2+(x1 senθ+ ycos θ)2+4(x1 cosθ− y1 senθ)(x1 senθ+ y1cos θ)+ x1 cosθ− y1 senθ
−2(x1 senθ+ y1 cosθ)=0
4 x1
2 cos2θ−8x1 y1cosθ senθ+4 y12 sen2θ+x12 sen2θ+2x1 y1 cosθ senθ+ y12 cos2θ+4 x12cosθ senθ
+4 x1 y1 cos
2θ−4 x1 y1 sen2θ−4 y12cosθ senθ+x1 cosv− y1 sen θ−2 x1 sen θ−2 y1cos θ=0
(4 cos2θ+sen2θ+4 cos θsenθ) x1
2+(4 sen2θ+cos2θ−4 cosθ senθ) y12
(−8 cosθ senθ+2 cosθ senθ+4 cos2θ)x1 y1+(cosθ−2 senθ) x1+(−senθ−2 cosθ) y1=0
Daí, para que esta equação não possua o termo em xy, devemos ter:
−6cosθ senθ+4cos2θ−4 sen2θ=0
−6cosθ senθ+4cos2θ−4 (1−cos2θ)=0
−6cos θsenθ+4cos2θ−4+4 cos2θ=0
8cos2θ−6cos θsenθ−4=0
8cos2θ−6cosθ√ 1−cos2θ−4=0
8cos2θ−4=6cosθ√1−cos2θ=0
(8cos2θ−4 )2=(6 cosθ√ 1−cos2θ)2=0
64cos4θ−64 cos2θ+16=36cos2θ(1−cos2θ)=0
64cos4θ−64 cos2θ+16=36cos2θ−36cos4θ=0
100cos4θ−100cos2θ+16=0(: 4)
25cos4θ−25cos2θ+4=0
Fazendo cos2θ=x , temos (x≥0)
25x2−25 x+4=0
Δ=(−25)2−4∗25∗4
Δ=625−400=225
 x=(25±15)
50
x '=( 4050 )=
4
5
x ' '=( 10
50
)=1
5
COE
p/ x=4
5
→cos2θ=4
5
→ cosθ=±2√5
p /x=1
5
→ sen2θ=1
5
→senθ=±1√ 5
Logo, a equação dada, fica no novo sistema:
(4 4
5
+1
5
+4 2√5
1
√5 ) x1
2+(4 1
5
+ 4
5
−4 2√5
1
√5 ) y1
2+( 2√5−2
1
√5 )x1+(
−1
√ 5−2
2
√ 5 ) y1=0
25
5
x1
2+(−5√5 ) y1=0
5 x1
2−√ 5 y1=0
5 x1
2=√ 5 y1
y1=
5
√5 x1
2
y1=√5 x12c .q .d
Lembrete para reduzir o calculo anterior.
cos2θ+sen2θ=1→ cos
2=1−sen2θ
sen2θ=1−cos2θ
sen(a+b)=sen a∗cos b+senb∗cosa
sen(a−b)=sen a∗cos b−senb∗cosa
cos (a+b)=cosa∗cosb−sena∗senb
cos (a−b)=cosa∗cosb+sena∗senb
COE