1a Lista de Exercícios

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UN IV E R S I D A D E FE D E R A L D A PA R A ÍB A 
CENTRO DE C IÊNCIAS EXATAS E DA NATUREZA 
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA 
CÁLCULO D IFERENCIAL E INTEGRAL III 
1a. L ISTA DE EXERCÍCIOS 
PROF . EDSON F IGUEIREDO L IMA JR . 
 
Nos exercícios 01 a 08, calcule 
D
ydxdyxf ),( , onde D é a região descrita em cada caso. 
01. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 2𝑦, D a região determinada pelas curvas 𝑦 = 2𝑥 e 𝑦 = 𝑥2. 
02. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥, D a região do primeiro quadrante dada por {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 / 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 4 , 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑦}. 
03. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 3𝑥2𝑦, D a região do primeiro quadrante definida por 0 ≤ 𝑥 ≤ 1, 0 ≤ 𝑦 ≤ 1. 
04. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥, D a região do primeiro quadrante, limitada pela reta 𝑥 + 𝑦 = 2 e pelo arco da 
circunferência de raio 1, com centro no ponto (0, 1). 
05. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦, D o triângulo com vértices nos pontos (0, 0), (1, −1) e (1, 1). 
06. 𝑓(𝑥, 𝑦) = | 𝑥𝑦 |, D a região retangular definida pelas desigualdades 1 ≤ 𝑥 ≤ 2, −2 ≤ 𝑦 ≤ 2. 
07. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒 𝑥/𝑦, D limitada pela parábola 𝑦2 = 𝑥 e pelas retas 0=x e 1=y . 
08. 𝑓(𝑥, 𝑦) = √𝑦3 . √𝑥2, D a região definida por 𝑦 ∈ [0, 1], 𝑥 ∈ [−1, 0]. 
Nos exercícios 09 a 12, escreva as integrais dadas com a ordem de integração invertida. 
09.  
4
0
12
3 2
)),((
x
x
xdydyxf 10.  
1
0
3
2
)),((
x
x
xdydyxf 
11.  
−
−
a xa
a
xa
xdydyxf
0
2
22
22
)),(( 
12.  
−
−−
1
0
1
1 2
)),((
y
y
ydxdyxf 
13. Escreva 
∫(𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝜋𝑥) − 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥)𝑑𝑥
2
0
 
 como uma integral dupla e esboce graficamente a região de integração correspondente. 
14. Calcule ydxd
b
y
a
x
D
 −−
2
2
2
2
1 , sendo D = ),({ yx ℝ2 
/ }1
2
2
2
2
+
b
y
a
x
. 
 ( Sugestão: Faça uax = e vby = ) 
15. Calcule ydxdyxyx
D
 −+ )(sen)( 22 , onde D = ),({ yx ℝ2 / }|||| + yx . 
 ( Sugestão: Faça yxu += e yxv −= ) 
16. Se D = ),({ yx ℝ2 
/ }1|||| + yx , mostre que 
−
=+
1
1
)()( udufydxdyxf
D
. 
 ( Sugestão: Faça yxu += e yv = ) 
17. Calcule a área da região que não contém a origem, sendo limitada pela reta 1=x e pela circunferência 
422 =+ yx . 
18. Calcule a área da região interior à elipse de equação 1
94
22
=+
yx
. 
19. Calcule a área da região compreendida entre as parábolas 25102 += xy e 962 +−= xy . 
20. Calcule a área da região em destaque na figura abaixo. 
 
21. Calcule a área comum aos círculos limitados por 422 =+ yx e 4)2( 22 =+− yx . 
22. Calcule a área da região interior à lemniscata )2(cos22 =r e exterior à circunferência de centro na 
origem e raio unitário. 
23. Calcule a área da região interior à cardióide cos1 +=r e à direita da reta 
4
3
=x . 
24. Calcule o volume limitado pelo cilindro 422 =+ yx e pelos planos 0=z e 4=+ zy . 
25. Calcule o volume limitado pelo parabolóide 22 4yxz += , pelo plano 0=z e pelos cilindros xy =2 
e yx =2 . 
26. Calcule o volume limitado pelo parabolóide 224 yxz += , pelo cilindro yyx 822 =+ e pelo plano 
0=z . 
27. Calcule o volume do sólido limitado pelo plano 0=z , pelo cilindro xyx 222 =+ e pelo cone 
222 zyx =+ . 
28. Calcule o volume do sólido contido no parabolóide 222 yxz += , limitado por este e pela esfera de 
equação 3222 =++ zyx . 
29. Calcule o volume do sólido do primeiro octante, limitado pelas superfícies ,1, =+= yxyxz 
xyxyyx 2,,2 === e 0=z . 
 ( Sugestão: Faça yxu = e 
x
y
v = ) 
30. Ao calcular-se, por dupla integração, o volume V do sólido situado abaixo da superfície de equação 
22 yxz += e acima de uma região D do plano XY, obteve-se a seguinte soma de integrais 
V =   
−
+++
2
1
2
0
22
1
0 0
22 ))(())((
yy
ydxdyxydxdyx . 
Qual é esse sólido? É possível obter o valor do mesmo volume sem a necessidade do cálculo de uma 
soma de integrais? Qual o valor do volume? 
□□□□□□ 
 
 
R E S P O S T A S 
 01. 28/5 02. (8 − 4√2)/3 03. 1/2 04. 1/6 05. 0 06. 6 07. 1/2 08. 3/8 
 
 09.  
48
0
3
12
)),((
y
y
ydxdyxf 10.    +
3
2
12
0
3
2
3
)),(()),((
y
y
y
ydxdyxfydxdyxf 
 
 11.   
−−
−
+
a yaya
yaa
a
a
ydxdyxfydxdyxf
2
22
2
22
2 00 2
)),(()),(( 
 
 12.   
−
−
−
+
1
0
1
0
0
1
1
0
)),(()),((
2
xx
xdydyxfxdydyxf 13. 
2
2
0
1
( )
1
x
x
d y dx
y

+  
 
 14. 
3
2 ba
 15. 
3
4
 17. 3
3
4
−

 18. 6 19. 
3
1516
 20. 146/9 
 21. )334(
3
2
− 22. 
3
3

− 23. 
16
398 +
 24. 16 25. 
7
3
 26. 96 
 27. 
9
32
 28. 
3
)536( −
 29. )24(
3
1
− 
 
 
 
 30. O sólido corresponde a um cilindro com base triangular cujo volume vale 4/3. Esse valor pode ser 
obtido através do cálculo da integral dupla 
21
2 2
0
[ ( ) ]
x
x
x y d y d x
−
+  . 
 
□□□□□□