Apostila de Concreto Armado - UFES 2011

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO 
CENTRO TECNOLÓGICO 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DIMENSIONAMENTO DE ESTRUTURAS 
DE CONCRETO ARMADO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fernando Musso Junior 
musso@npd.ufes.br 
 
 
 
 
2011/1 
 
ESTRUTURAS DE CONCRETO I (EST01058) - ESTRUTURAS DE CONCRETO II (EST01059) 
 
PROGRAMA 
 
1 - INTRODUÇÃO 
2 - ESTADOS LIMITES 
3 - AÇÕES 
4 - MATERIAIS 
5 - DURABILIDADE 
6 - VIGA 
6.1 - VIGA - ANÁLISE 
6.2 - VIGA - DIMENSIONAMENTO NO ESTADO LIMITE ÚLTIMO (ELU) 
6.2.1 - VIGA - DIMENSIONAMENTO À MOMENTO FLETOR (ELU-M) 
6.2.2 - VIGA - DISPOSIÇÃO DA ARMADURA PARA MOMENTO FLETOR 
6.2.3 - VIGA - DIMENSIONAMENTO À FORÇA CORTANTE (ELU-V) 
6.2.4 - VIGA - DISPOSIÇÃO DA ARMADURA PARA FORÇA CORTANTE 
6.2.5 - VIGA - DIMENSIONAMENTO À MOMENTO TORÇOR (ELU-T) 
6.2.6 - VIGA - DISPOSIÇÃO DA ARMADURA PARA MOMENTO TORÇOR 
6.3 - VIGA - VERIFICAÇÂO NO ESTADO LIMITE DE SERVIÇO (ELS) 
6.3.1 - VIGA - VERIFICAÇÃO DE FLECHA (ELS-DEF) 
6.3.2 - VIGA - VERIFICAÇÃO DE ABERTURA DE FISSURA (ELS-W) 
6.4 - VIGA - EXEMPLOS 
7 - LAJE 
7.1 - LAJE - DEFINIÇÕES 
7.2 - LAJE - ANÁLISE 
7.3 - LAJE - DIMENSIONAMENTO NO ESTADO LIMITE ÚLTIMO (ELU) 
7.3.1 - LAJE - DIMENSIONAMENTO À MOMENTO FLETOR (ELU-M) 
7.3.2 - LAJE - DIMENSIONAMENTO À FORÇA CORTANTE (ELU-V) 
7.3.3 - LAJE - DIMENSIONAMENTO À PUNÇÃO 
7.4 - LAJE - VERIFICAÇÂO NO ESTADO LIMITE DE SERVIÇO (ELS) 
7.4.1 - LAJE - VERIFICAÇÃO DE FLECHA (ELS-DEF) 
7.4.2 - LAJE - VERIFICAÇÃO DE ABERTURA DE FISSURA (ELS-W) 
7.5 - LAJE - EXEMPLOS 
7.5.1 - LAJE MACIÇA - EXEMPLOS 
7.5.1 - LAJE NERVURADA - EXEMPLOS 
8 - PILAR 
8.1 - PILAR - DEFINIÇÕES 
8.2 - PILAR - ANÁLISE 
8.3 - PILAR - DIMENSIONAMENTO 
8.4 - PILAR - DISPOSIÇÃO DA ARMADURA 
8.5 - PILAR - EXEMPLOS 
9 - FUNDAÇÃO 
9.1 - FUNDAÇÃO - DEFINIÇÕES 
9.2 - FUNDAÇÃO - ANÁLISE E DIMENSIONAMENTO 
9.3 - FUNDAÇÃO - DISPOSIÇÃO DA ARMADURA 
10 - PROJETO ESTRUTURAL DO EDIFÍCIO DA ENGENHARIA CIVIL 
10.1 - ARQUITETURA DO EDIFÍCIO 
10.2 - CONSIDERAÇÕES BÁSICAS DO PROJETO ESTRUTURAL 
10.3 - VISTA 3D DA ESTRUTURA E PROJETO DE FORMA DO EDIFÍCIO 
10.4 - ANÁLISE, DIMENSIONAMENTO E ARMAÇÃO DE LAJES 
10.5 - ANÁLISE, DIMENSIONAMENTO E ARMAÇÃO DE VIGAS 
10.6 - ANÁLISE, DIMENSIONAMENTO E ARMAÇÃO DE PILARES 
10.7 - ANÁLISE, DIMENSIONAMENTO E ARMAÇÃO DE BLOCOS SOBRE ESTACAS 
10.8 - ANÁLISE, DIMENSIONAMENTO E ARMAÇÃO DA ESCADA 
 
 
 
 
 
 
 
 
AVALIAÇÕES 
EST01058 - ESTRUTURAS DE CONCRETO I - P1 (06/05); P2 (21/06); PF (08/07) 
EST01059 - ESTRUTURAS DE CONCRETO II - P1 (05/05); P2 (20/06); PF (07/07) 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 2
 
ESTRUTURAS DE CONCRETO I (EST01058) - ESTRUTURAS DE CONCRETO II (EST01059) 
 
BIBLIOGRAFIA 
 
1 – [MUSSO] MUSSO JUNIOR, F. Dimensionamento de Estruturas de Concreto Armado. Departamento de 
Engenharia Civil, Universidade Federal do Espírito Santo, Vitória, 2011. 
2 – [ARAUJO] ARAÚJO, J. M. Curso de Concreto Armado. v. 1 a 4. 2a ed. Rio Grande: Dunas, 2003. 
3 – [MONTOYA] MONTOYA, P. J.; MESEGUER, A. G.; CABRÉ, F. M. Hormigón Armado: ábacos para el 
calculo de secciones em el estado ultimo de agotamiento. tomo II.10a ed. Barcelona: Gustavo Gili, 1981. 
4 – [LEONHARDT] LEONHARDT, F.; MÖNNIG, E. Construções de Concreto. v. 1 a 6. 1a ed. Rio de Janeiro: 
Interciência, 1977. 
5 – [MOSLEY] MOSLEY, B.; BUNGEY, J.;HULSE, R. Reinforced Concrete Design to Eurocode 2. 6a ed. New 
York: Palgrave Macmillan, 2007. 
6 – [FAVRE] FAVRE, R.; JACCOUD, J.; BURDET, O.; CHARIF, H. Dimensionnement des Structures em Béton: 
Aptitude au Service et Elements de Structures. Traité de Génie Civil. v. 8. Lausanne: Pressses Polytechniques 
Universitaires Romandes, 2004. 
7 – [BARES] BARES, R. Tablas para el Cálculo de Placas y Vigas Pared. 2a ed. Barcelona: Gustavo Gili, 
1981. 
8 – [CZERNY] CZERNY, F. Tafeln fur Rechtekplatten. Beton-Kalender. Teil I. Berlin: Ernst & Sohn, 1996. 
9 – [EISENBIEGLER] EISENBIEGLER, G.; LIEB, H. Schnittgrossen und Verformungen von Pilzdecken mit 
Stutzenkopfverstarkungen infolge Gleichlast. Beton-und Stahlbetonbau. n. 74, p. 219-224, 1979. 
10 – [GRASSER] GRASSER, E.; THIELEN, G. Hilfsmittel zur Berechnung der Schnittgroβen und 
Formanderungen von Stahlbetontragwerken. Deutscher Ausschuss fur Stahlbeton. n. 240, Berlin: Beuth, 
1991. 
11 – [NBR 6118] ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Projeto de Estruturas de Concreto - 
Procedimento: NBR 6118. Rio de Janeiro, 2007. 
12 – [NBR 6120] ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Cargas para o Cálculo de 
Estruturas de Edificações - Procedimento: NBR 6120. Rio de Janeiro, 1980. 
13 – [NBR 6122] ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Projeto e Execução de Fundações: 
NBR 6122. Rio de Janeiro, 2010. 
14 – [NBR 6484] ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Solo – Sondagens de Simples 
Reconhecimento com SPT – Método de Ensaio: NBR 6484. Rio de Janeiro, 2001. 
15 – [NBR 7480] ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Aço destinado a Armaduras para 
Estruturas de Concreto Armado - Especificação: NBR 7480. Rio de Janeiro, 2007. 
16 – [NBR 8681] ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Ações e Segurança nas Estruturas - 
Procedimento: NBR 8681. Rio de Janeiro, 2003. 
17 – [EUROCÓDIGO 2] COMITÉ EUROPEU DE NORMALIZAÇÃO. Eurocódigo 2: Projecto de Estruturas de 
Betão – Parte 1-1: Regras Gerais e Regras para Edifícios: EN 1992-1-1. Bruxelas, 2004. 
18 – [FTOOL] MARTHA, L. F. FTOOL212.EXE: Ftool – Two-Dimensional Frame Analysis Tool. Versão 2.12. 
Departamento de Engenharia Civil, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, 2008. 
19 – [VIGA] MUSSO JUNIOR, F. VIGA-2011-1.XLS: Dimensionamento de Viga de Concreto Armado. Versão 
2011-1. Departamento de Engenharia Civil, Universidade Federal do Espírito Santo, Vitória, 2011. 
20 – [LAJE] MUSSO JUNIOR, F. LAJE-2011-1.XLS: Dimensionamento de Laje de Concreto Armado. Versão 
2011-1. Departamento de Engenharia Civil, Universidade Federal do Espírito Santo, Vitória, 2011. 
21 – [PILAR] MUSSO JUNIOR, F. PILAR-2011-1.XLS: Dimensionamento de Pilar de Concreto Armado. Versão 
2011-1. Departamento de Engenharia Civil, Universidade Federal do Espírito Santo, Vitória, 2011. 
22 – [SAPATA] MUSSO JUNIOR, F. SAPATA-2011-1.XLS: Dimensionamento de Sapata de Concreto Armado. 
Versão 2011-1. Departamento de Engenharia Civil, Universidade Federal do Espírito Santo, Vitória, 2011. 
23 – [BLOCO] MUSSO JUNIOR, F. BLOCO-2011-1.XLS: Dimensionamento de Bloco de Concreto Armado. 
Versão 2011-1. Departamento de Engenharia Civil, Universidade Federal do Espírito Santo, Vitória, 2011. 
24 – [CYPECAD] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 3
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 - INTRODUÇÃO
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 4
 
ELEMENTOS ESTRUTURAIS BÁSICOS 
Classificação dos Elementos Estruturais 
Tipo Definição Elemento Esquema Definição 
 
Viga 
 
 
 
 
 
elemento linear em que a flexão é 
preponderante 
 
 
Pilar 
elemento linear de eixo reto, usualmente 
disposto na vertical, em que a força normal 
de compressão é preponderante; a maior 
dimensão da seção transversal é menor ou 
igual a 5 vezes a menor dimensão 
Tirante 
 
 
elemento linear de eixo reto em que a força 
normal de tração é preponderante 
 
 
Li
ne
ar
 
o 
co
m
pr
im
en
to
 l
on
gi
tu
di
na
l 
 é
 m
ai
or
 o
u 
ig
ua
l 
a 
trê
s 
ve
ze
s 
a 
 m
ai
or
 d
im
en
sã
o 
da
 s
eç
ão
 tr
an
sv
er
sa
l 
Arco 
 
elemento curvo em que a força normal de 
compressão é preponderante, agindo ou 
não com flexão 
 
Laje 
 
elemento de superfície plana sujeito 
principalmentea ações normais a seu 
plano; o lado menor é maior ou igual a 5 
vezes a espessura 
 
Viga-parede 
elemento de superfície plana sujeito 
principalmente a ações contidas em seu 
plano; o comprimento é menor que três 
vezes a maior dimensão da seção 
transversal 
Casca 
 
 
elemento de superfície não plana 
 
 
Su
pe
rf
íc
ie
 
um
a 
di
m
en
sã
o,
 u
su
al
m
en
te
 c
ha
m
ad
a 
es
pe
ss
ur
a,
 é
 
re
la
tiv
am
en
te
 p
eq
ue
na
 e
m
 fa
ce
 d
as
 d
em
ai
s 
Pilar-parede 
elemento de superfície plana ou casca 
cilíndrica, usualmente disposto na vertical, 
em que a força normal de compressão é 
preponderante; a maior dimensão da seção 
transversal é maior que 5 vezes a menor 
dimensão 
Sapata 
 
 
elemento de volume usado para transmitir 
ao solo as cargas de fundação 
 
 
Vo
lu
m
e 
trê
s 
di
m
en
sõ
es
 s
ão
 
si
gn
ifi
ca
tiv
as
 
Bloco sobre 
estacas 
 
elemento de volume usado para transmitir 
às estacas as cargas de fundação 
 
[NBR 6118] 
 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 5
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 - ESTADOS LIMITES 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 6
 
ESTADOS LIMITES DE UMA ESTRUTURA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
[NBR 8681] 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 7
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 - AÇÕES 
 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 8
 
AÇÕES NOS ELEMENTOS ESTRUTURAIS 
Classificação das Ações 
 
 
 
 
 
 
 
 
[NBR 8681] 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 9
 
Peso Específico dos Materiais de Construção 
 
 
[NBR 6120] 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 10
 
Valores Mínimos de Cargas Verticais Acidentais em Lajes 
 
[NBR 6120] 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 11
 
Valores Mínimos de Cargas Verticais Acidentais em Lajes 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
[NBR 6120] 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 12
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 - MATERIAIS 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 13
 
PROPRIEDADES DO CONCRETO 
Ecs 4760fck1/2 MPa 
módulo de elasticidade secante do concreto 
fctm 0,3fck2/3 (fck em MPa) 
resistência média do concreto à tração 
fcd fck/1,4 
resistência de cálculo do concreto à compressão 
Gc 0,4Ecs 
módulo de elasticidade transversal do 
concreto 
fck resistência característica do concreto à compressão 
aos 28 dias 
αc 10-5/oC 
coeficiente de dilatação térmica do concreto 
fctk 0,7fctm
resistência característica do concreto à tração 
ν 0,2 
coeficiente de poisson do concreto 
fctd fctk/1,4 
resistência de cálculo do concreto à tração 
ρc 2400 kg/m3 concreto simples 
2500 kg/m3 concreto armado 
massa específica do concreto 
Propriedades de Cálculo do Concreto em Função de sua Classe 
Classe C15 C20 C25 C30 C35 C40 C45 C50 equação 
fck MPa 15 20 25 30 35 40 45 50 
fcd MPa 10,71 14,29 17,86 21,43 25,00 28,57 32,14 35,71 fck/1,4 
fctm MPa 1,825 2,210 2,565 2,896 3,210 3,509 3,795 4,072 0,3fck2/3
fctk MPa 1,277 1,547 1,795 2,028 2,247 2,456 2,657 2,850 0,7fctm
fctd MPa 0,912 1,105 1,282 1,448 1,605 1,754 1,898 2,036 fctk/1,4 
Ecs MPa 18435 21287 23800 26072 28161 30105 31931 33658 4760fck1/2
Gc MPa 7374 8515 9520 10429 11264 12042 12772 13463 0,4Ecs
Obs.: C20 ou superior – concreto armado (C15 só para fundações e obras provisórias) 
 C25 ou superior – concreto protendido 
Diagrama σ-ε Parabólico do Concreto comprimido para Estado Limite Último (ELU) 
 
Diagrama σ-ε Simplificado Retangular do Concreto comprimido para Estado Limite Último (λ = 0,8; η = 0,85) 
 
{NBR 6118] 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 14
 
Diagrama σ-ε do Concreto comprimido para Estado Limite de Serviço (ELS) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Coeficiente de Fluência e Deformação de Retração do Concreto 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ecs
εc
1 
σc
 
 
 
 
 
 
 
 
 
[NBR 6118] 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 15
 
PROPRIEDADES DO AÇO 
Es 210000 MPa 
módulo de elasticidade do aço 
αs 10-5/oC 
coeficiente de dilatação térmica do aço 
fyd fyk/1,15 
resistência de cálculo de escoamento do aço à 
tração 
fyd/Esεyd
deformação de escoamento do aço 
fyk resistência característica de escoamento do aço à 
tração 
ρs 7850 kg/m3
massa específica do aço 
Resistência de Cálculo e Deformação de Escoamento do Aço em função de sua Categoria 
Categoria CA-25 CA-50 CA-60 equação 
fyk MPa 250 500 600 
fyd MPa 217,4 434,8 521,7 fyk/1,15 
0,1035% 0,2070% εyd 0,2484% fyd/Es
Diagrama σ-ε do Aço para Estado Limite Último (ELU) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Es
εs
1 
σs
fyd
10‰ εyd
Diagrama σ-ε do Aço para Estado Limite de Serviço (ELS) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Relação entre Coeficiente de Conformação η (NBR 7480) e Coeficiente de Conformação η1 (NBR 6118) 
 
Es
εs
1 
σs
 
 
[NBR 6118] 
 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 16
 
Classificação do Aço das Armaduras 
 
 
Comprimento de Barras e Fios 
 
Diâmetro, Massa, Área da Seção e Perímetro de Barras e Fios 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
[NBR 7480] 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 17
 
 
Propriedades Mecânicas de Barras e Fios 
 
[NBR 7480] 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 18
 
Configuração Geométrica de Barras e Fios 
 
 
 
 
 
 
[NBR 7480] 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 19
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 - DURABILIDADE 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 20
 
DIRETRIZES DE DURABILIDADE DAS ESTRUTURAS DE CONCRETO 
Exigências de Durabilidade 
 
 
Classes de Agressividade Ambiental 
Correspondência entre Classe de Agressividade e Qualidade do Concreto 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 21
 
Correspondência entre Classe de Agressividade e Cobrimento Nominal dos Elementos Estruturais 
 
 
 
 
Correspondência entre Classe de Agressividade e Abertura de Fissura 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
[NBR 6118] 
 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 22
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 23
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 - VIGA 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 24
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6.1 - VIGA - ANÁLISE
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 25
 
 
VIGA - VÃO EFETIVO DE VIGA[NBR 6118] 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 26
 
VIGA - MOMENTO FLETOR, FORÇA CORTANTE, MOMENTO TORÇOR E FLECHA 
Momento Fletor (α = a/L; β = b/L) 
Sistema 
 
 
 
Carga Mmáx; xo/L Mmáx; xo/L Mdir Mmáx; xo/L Mesq Mdir Mesq 
 
5,0;
8
pL2 375,0;
128
pL9 2 
8
pL2− 5,0;
24
pL2 
12
pL2− 
12
pL2− 
2
pL2− 
 
577,0;
39
pL2 447,0;
515
pL2 
15
pL2− 548,0;
64,46
pL2 
30
pL2− 
20
pL2− 
3
pL2− 
 
423,0;
39
pL2 329,0;
65,23
pL2 
120
pL7 2− 452,0;
64,46
pL2 
20
pL2− 
30
pL2− 
6
pL2− 
 
5,0;
4
PL 5,0;
32
PL5 
16
PL3− 5,0;
8
PL 
8
PL− 
8
PL− 
2
PL− 
 ααβ ;PL ααββ− ;PL
2
3 2 PL
2
1 2 αα−− αβα ;PL2 22 PL2αβ− PL2βα− PLα− 
Força Cortante (α = a/L; β = b/L) 
Sistema 
 
 
 
Carga Vesq Vdir Vesq Vdir Vesq Vdir Vesq 
 
2
pL 
2
pL− 
8
pL3 
8
pL5− 
2
pL 
2
pL− pL 
 
6
pL 
3
pL− 
10
pL 
5
pL2− pL15,0 pL35,0− 
2
pL 
 
3
pL 
6
pL− 
40
pL11 
40
pL9− pL35,0 pL15,0− 
2
pL 
 
2
P 
2
P− 
16
P5 
16
P11− 
2
P 
2
P− P 
 
Pβ Pα− P
2
3 2ββ− P
2
3 2 αα−− P)23( 2ββ− P)23( 2αα−− P 
Momento Torçor (α = a/L; β = b/L) 
 
Carga 
 
 
 
Sistema Tesq Tdir Tesq Tdir Tesq Tdir Tesq Tdir Tesq Tdir 
 
 2
tL 
2
tL− 
6
tL 
3
tL− 
3
tL 
6
tL− 
2
T 
2
T− Tβ Tα− 
 Tesq Tesq Tesq Tesq Tesq 
 
 tL 2
tL 
2
tL T T 
Flechas (α = a/L; β = b/L) 
Sistema 
 
 
Carga Δmáx; xo/L Δmáx; xo/L Δmáx; xo/L Δdir 
 
5,0;
EI384
pL5 4 422,0;
EI6,184
pL4 5,0;
EI384
pL4 
EI8
pL4 
 
519,0;
EI
pL00652,0
4
 447,0;
EI3,419
pL4 525,0;
EI2,764
pL4 
EI120
pL11 4 
 
481,0;
EI
pL00652,0
4
 402,0;
EI1,328
pL4 475,0;
EI2,764
pL4 
EI30
pL4 
 
5,0;
EI48
PL3 447,0;
EI548
PL3 5,0;
EI192
PL3 
EI48
PL5 3 
 
5,0;
EI48
PL)43( 32 ≤ααα− - - 
EI6
PL)3( 32αα− 
[MUSSO] 
a b 
L/2 
a b 
L/2 
a b 
L/2 
L/2 a b
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 27
 
VIGA - FLECHAS EM DIVERSOS SISTEMAS COM DIFERENTES CARREGAMENTOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
[GRASSER] 
 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 28
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6.2 - VIGA - DIMENSIONAMENTO NO 
ESTADO LIMITE ÚLTIMO (ELU) 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 29
 
VIGA - DIMENSÕES LIMITES DE VIGAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
[NBR 6118] 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 30
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6.2.1 - VIGA - DIMENSIONAMENTO À 
MOMENTO FLETOR (ELU-M)
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 31
 
VIGA - FORMULÁRIO DE DIMENSIONAMENTO DE SEÇÂO RETANGULAR À MOMENTO FLETOR (ELU-M) 
As área da seção da armadura longitudinal fyk resistência característica de escoamento do aço 
 tracionada h altura da seção transversal 
sA′ área da seção da armadura longitudinal Md 1,4(MG + MQ) momento fletor de cálculo 
 comprimida Md,lim momento fletor de cálculo máximo com 
As,mín área mínima da seção da armadura longitudinal armadura simples 
 tracionada MG momento fletor da ação permanente G 
As,lim área da seção da armadura tracionada MQ momento fletor da ação variável Q 
 correspondente a Md,lim T força de tração na armadura longitudinal 
b largura da seção transversal x profundidade da linha neutra no estádio 3 (ELU) 
C força de compressão no concreto xlim profundidade máxima da linha neutra para 
d altura útil da seção transversal ruptura dúctil da seção (ruptura com aviso) 
 distância do centróide da armadura tracionada à z braço de alavanca (braço do binário) 
 borda comprimida da seção transversal εc encurtamento da fibra extrema de concreto 
d′ distância do centróide da armadura comprimida εyd fyd/Es deformação de escoamento do aço 
 à borda comprimida da seção transversal εs alongamento da armadura tracionada 
d ′′ h - d sε′ encurtamento da armadura comprimida 
dlim altura útil mínima com armadura simples ξ x/d profundidade da linha neutra adimensional 
Es 210000 MPa módulo de elasticidade do aço λ 0,8 coeficiente de redução da altura comprimida 
fcd fck/1,4 resistência de cálculo do concreto à da seção (diagrama retangular x parabólico) 
 compressão η 0,85 coeficiente de redução da resistência de 
fck resistência característica do concreto à cálculo do concreto à compressão 
 compressão aos 28 dias μ Md/(bd2ηfcd) momento fletor adimensional 
fyd fyk/1,15 resistência de cálculo de escoamento sdσ′ tensão de compressão na armadura longitudinal 
 do aço 
A – Momento fletor de cálculo máximo com 
armadura simples (dados b, d e fck, obter Md,lim) 
Modelo resistente à momento fletor no estado limite 
último 
fck < 35 MPa > 35 MPa Armadura simples (seção com As; Md < Md,lim; x < xlim) 
xlim 0,5d 0,4d A1
Md,lim cd
2fbd272,0 cd
2fbd22848,0 A2
As,lim ydcd f/bdf34,0 ydcd f/bdf272,0 A3
B – Altura útil mínima da seção com armadura 
simples (dados Md e b, obter dlim) 
fck < 35 MPa > 35 MPa 
dlim 
cd
d
bf272,0
M 
cd
d
bf22848,0
M B1
C - Dimensionamento da armadura longitudinal 
(dados Md, b, d, fck e fyk, obter As e As’) 
Armadura simples (seção com As; Md < Md,lim; x < xlim) 
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ −−=
cd
2
d
fbd425,0
M
11d25,1x C1
ydcds f/bxf68,0A = C2( )bhf/f035,0%;15,0máximoA ydcdmín,s = C3
fck MPa 20 25 30 35 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(a) )2/xd(fxb)x(fCzM cdd λ−ηλ=== 
(b) ydcdscdyds f/fxbAoufxbCfAT ηλ=ηλ=== 
:fbd)a( cd
2η÷ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ λ−λ=η d2
x1
d
x
fbd
M
cd
2
d ou 
( )
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
η−−λ==μ−−=λξ
=μ+λξ−λξ∴λξ−λξ=λξ−λξ=μ
cd
2
d
d
22
fbd
M211d)M(fxou211)c(
0)(2/)(2/)()(2/1
 
As,mín/(bh) 0,150% 0,150% 0,173% 0,201% Armadura dupla (seção com As e sA′ ; Md > Md,lim; x = xlim) 
Armadura dupla (seção com As e sA′ ; Md > Md,lim; x = xlim) 
)dd(f
MM
AA
yd
lim,dd
lim,ss ′−
−+= C4 
)dd(
MM
A
sd
lim,dd
s ′−σ′
−=′ C5 
 
 
 
 
 
 
ydsydsd sef ε≥ε′=σ′ ; ydssssd seE ε<ε′ε′=σ′ C6
fck < 35 MPa > 35 MPa 
sε′ )d/d5,0(007,0 ′− )d/d4,0(00875,0 ′− C7
fyk 250 MPa 500 MPa 600 MPa 
εyd 1,035‰ 2,070‰ 2,484‰ C8
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(d) lim,ddlim,dd MMMouMMM −=ΔΔ+= 
(e) )]dd(/[MAou)dd(AM sdssds ′−σ′Δ=′′−σ′′=Δ 
(f) ydsdslim,sssdsydlim,syds f/AAAouAfAfA σ′′+=σ′′+= 
[MUSSO] 
x 
Md 
λx 
T = Asfyd 
C = bλxηfcd
2/xdz λ−=
ηfcd 
h d 
b 
As 
LN 
ηfcd 
d ′′
xlim 
Md 
Asfyd
sdsA σ′′ 
=
sdsA σ′′
sdsA σ′′
ΔM
d-d´
As,limfyd 
Md,lim 
λxlim 
+
ηfcd ηfcd 
d 
b 
As 
LN 
sA′
d′
d ′′
xlim 
εc = 3,5‰ 
εs 
d 
sε′ 
d′ 
lim
lim
s
x
‰5,3
dx
=
′−
ε′
 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 32
 
VIGA - PARÂMETROS ADIMENSIONAIS DE DIMENSIONAMENTO A MOMENTO FLETOR 
 
[MUSSO] 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 33
 
VIGA - GRÁFICO DE DIMENSIONAMENTO DE SEÇÃO RETANGULAR À MOMENTO FLETOR 
 
[MUSSO] 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 34VIGA - TABELA DE DIMENSIONAMENTO DE SEÇÃO RETANGULAR À MOMENTO FLETOR 
 
[MUSSO] 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 35
 
VIGA - DIMENSIONAMENTO DE SEÇÃO T À MOMENTO FLETOR (ELU-M) (hf < λxlim ; λ = 0,8 ; η = 0,85) 
A - Momento fletor resistido pela mesa comprimida (MRf) B - Momento fletor máximo com armadura simples (Md,lim) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
)2/hd(fhbCzM fcdffRf −η== A1 )2/xd(fxb)2/hd(fh)bb(
zCzCMMM
limcdlimwfcdfwf
wwaalim,walim,d
λ−ηλ+−η−=
=+=+=
 B1 
C - Profundidade limite da linha neutra (xlim) xlim = 0,5d se fck < 35 MPa xlim = 0,4d se fck > 35 MPa C1 
D - CASO 1 – Seção T com Md < MRf (parte da mesa comprimida) G - Armadura mínima para seção T (As,mín) 
armadura simples seção retangular com Md e b = bf A)f/f024,0%;15,0(máximoA ydcdmín,s = G1
fck MPa 20 25 30 35 
As,mín/A 0,15% 0,15% 0,15% 0,15% 
hbh)bb(A wfwf +−= (área da seção T) G2
H - Tensão na armadura comprimida )( sdσ′ 
)(f ydsydsd ε≥ε′=σ′ ; )(E ydssssd ε<ε′ε′=σ′ H1 
 
 
 
 
 
 
 
fck < 35 MPa > 35 MPa 
sε′ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ′−
d
d5,0007,0 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ′−
d
d4,000875,0 H2 
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ −−=
cd
2
f
d
fdb425,0
M11d25,1x D1 
fyk 250 MPa 500 MPa 600 MPa 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
sA 
mín,sydcdfs Af/xfb68,0A ≥= D2 εyd 1,035‰ 2,070‰ 2,484‰ H3 
E - CASO 2 - Seção T com MRf < Md < Md,lim (toda mesa e parte da alma comprimidas) 
Superposição de efeitos (abas comprimidas + parte da alma comprimida) 
abas (seção retangular com Ma e b = bf - bw) alma (seção retangular com Mw e b = bw) armadura simples 
)2/hd(fh)bb(zCM fcdfwfaaa −η−== E1 adw MMM −= E4 
 
 
 
 
 
 
 
 
f
f h25,1hx =λ= E2 ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ −−=
cd
2
w
w
fdb425,0
M11d25,1x E5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
was AAA += 
ydcdwfa f/xf)bb(68,0A −= E3 ydcdww f/xfb68,0A = E6 
F - CASO 3 - Seção T com Md > Md,lim (toda mesa e parte da alma comprimidas) 
Superposição de efeitos (abas comprimidas + parte da alma comprimida) 
abas (seção retangular com Ma e b = bf - bw) alma (seção retangular com Mw e b = bw) 
armadura dupla 
)2/hd(fh)bb(zCM fcdfwfaaa −η−== F1 adw MMM −= F4 
 
 
 
 
 
 
 
 
)2/xd(fxbM limcdlimwlim,w λ−ηλ= F5 
ydcdlimwlim,w f/fxb68,0A = F6 
f
f h25,1hx =λ= F2 
)dd(
MA
sd
s ′−σ′
Δ=′ ; lim,ww MMM −=Δ F7 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
was AAA += 
sA′ 
ydcdwfa f/xf)bb(68,0A −= F3 ydsdslim,ww f/AAA σ′′+= F8 
[MUSSO] 
x 
MRf 
λx = hf 
T = Asfyd 
C = bf hfηfcd
z = d - hf /2
ηfcd 
h d 
bf 
As 
LN 
bw 
hf xlim
Md,lim
λxlim 
T = As,limfyd 
Ca = (bf - bw)hf ηfcd
za = d - hf /2
ηfcd 
h d
bf 
As 
LN 
bw 
hfa w a
zw = d - λxlim /2
Cw = bwλxlimηfcd 
h d 
bf 
As 
bw 
hf 
Md Ma 
bf - bw 
Aa 
hf
d 
bw 
Aw 
λx 
Mw 
d 
Ma 
bf - bw 
Aa 
hf
d 
h d 
bf 
As 
bw 
hf 
Md 
d 
bf 
As 
λx
Md 
h d 
bf 
As 
bw 
hf 
Md 
d′ 
sA′ 
bw
Aw
λxlim 
Mw 
sA′
d 
d′
sdsA σ′′
sdsA σ′′
ΔM
d-d´+
Aw,limfyd Mw,lim 
bwλxlimηfcd
=
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 36
 
VIGA - LARGURA COLABORANTE DA MESA DE SEÇÃO T 
[NBR 6118] 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 37
 
VIGA - TABELA DE MOMENTO DE INÉRCIA E POSIÇÃO DO CENTRO DE GRAVIDADE DE SEÇÃO T 
 
[MUSSO] 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 38
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6.2.2 - VIGA - DISPOSIÇÃO DA ARMADURA 
PARA MOMENTO FLETOR
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 39
 
VIGA - TAXA MÍNIMA DE ARMADURA LONGITUDINAL DE TRAÇÂO 
Ac área da seção transversal de concreto fyd fyk/1,15 
resistência de cálculo de escoamento do aço à 
tração 
As área da seção da armadura longitudinal de 
tração 
fyk resistência característica de escoamento do 
aço à tração 
As,mín área da seção mínima da armadura longitudinal 
de tração 
h altura da seção transversal 
b largura da seção transversal ρ As/Ac 
taxa geométrica de armadura longitudinal de 
tração 
fcd fck/1,4 
resistência de cálculo do concreto à 
compressão 
ω Asfyd/(Acfcd) 
taxa mecânica de armadura longitudinal de 
tração 
fck resistência característica do concreto à 
compressão aos 28 dias 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
[NBR 6118] 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 40
 
VIGA - DISPOSIÇÃO DA ARMADURA LONGITUDINAL A NÍVEL DE SEÇÃO 
ah máximo(20 mm; φ; 1,2dag) dc distância do centróide da armadura 
 espaçamento livre mínimo horizontal entre tracionada ao centro da armadura da 
 barras da armadura longitudinal primeira camada 
av máximo(20 mm; φ; 0,5dag) d’ distância do centróide da armadura 
 espaçamento livre mínimo vertical entre barras comprimida à borda comprimida da seção 
 da armadura longitudinal transversal 
As área da seção da armadura longitudinal d” distância do centróide da armadura 
 tracionada tracionada à borda tracionada da seção 
As’ área da seção da armadura longitudinal transversal 
 comprimida fcd fck/1,4 
As,mín máximo(0,15%; 0,035fcd/fyd)bh resistência de cálculo do concreto à 
 área da seção mínima da armadura compressão 
 longitudinal (seção retangular) fck resistência característica do concreto à 
As,máx As + As’ < 4%bh compressão aos 28 dias 
 área da seção máxima da armadura fyd fyk/1,15 
 longitudinal resistência de cálculo de escoamento do 
As,pele 0,10%bh (por face lateral ; se h > 60 cm) aço à tração 
 área da seção da armadura de pele fyk resistência característica de escoamento do 
b largura da seção transversal aço à tração 
ct cobrimento de concreto da armadura h altura da seção transversal 
 transversal φ diâmetro da barra da armadura longitudinal 
d altura útil da seção transversal φt diâmetro da barra da armadura transversal 
 distância do centróide da armadura tracionada 
 à borda comprimida da seção transversal 
dag diâmetro do agregado graúdo 
 9,5 mm (brita 0) 
 19 mm (brita 1) 
 25 mm (brita 2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
[MUSSO] 
b 
av > máximo(20 mm; φ; 0,5dag) 
ah > máximo(20 mm; φ; 1,2dag) 
φ 
ct 
5 mm < φt < b/10 
h 
d 
dc < 10%h 
d’ 
d” 
As,pele > 0,10%bh (se h > 60 cm) 
< d/3 
< 20 cm 
As 
As’ 
2ª camada 
> φt 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 41
 
VIGA - DISPOSIÇÃO DA ARMADURA LONGITUDINAL A NÍVEL DE SEÇÃO 
T1 - Área da seção transversal de Q barras longitudinais (cm2) 
Diâmetro da barra (mm) Q 5 6,3 8 10 12,5 16 20 22 25 
1 0,20 0,31 0,50 0,79 1,23 2,01 3,14 3,80 4,91 
2 0,39 0,62 1,01 1,57 2,45 4,02 6,28 7,60 9,82 
3 0,59 0,94 1,51 2,36 3,68 6,03 9,42 11,40 14,73 
4 0,79 1,25 2,01 3,14 4,91 8,04 12,57 15,21 19,63 
5 0,98 1,56 2,51 3,93 6,14 10,05 15,71 19,01 24,54 
6 1,18 1,87 3,02 4,71 7,36 12,06 18,85 22,81 29,45 
7 1,37 2,18 3,52 5,50 8,59 14,07 21,99 26,61 34,36 
8 1,57 2,49 4,02 6,28 9,82 16,08 25,13 30,41 39,27 
9 1,77 2,81 4,52 7,07 11,04 18,10 28,27 34,21 44,18 
10 1,96 3,12 5,03 7,85 12,27 20,11 31,42 38,01 49,09 
11 2,16 3,43 5,53 8,64 13,50 22,12 34,56 41,81 54,00 
12 2,36 3,74 6,03 9,42 14,73 24,13 37,70 45,62 58,90 
13 2,55 4,05 6,53 10,21 15,95 26,14 40,84 49,42 63,81 
14 2,75 4,36 7,04 11,00 17,18 28,15 43,98 53,22 68,72 
15 2,95 4,68 7,54 11,78 18,41 30,16 47,12 57,02 73,63 
16 3,14 4,99 8,04 12,57 19,63 32,17 50,27 60,8278,54 
17 3,34 5,30 8,55 13,35 20,86 34,18 53,41 64,62 83,45 
18 3,53 5,61 9,05 14,14 22,09 36,19 56,55 68,42 88,36 
19 3,73 5,92 9,55 14,92 23,32 38,20 59,69 72,23 93,27 
20 3,93 6,23 10,05 15,71 24,54 40,21 62,83 76,03 98,17 
21 4,12 6,55 10,56 16,49 25,77 42,22 65,97 79,83 103,08 
22 4,32 6,86 11,06 17,28 27,00 44,23 69,12 83,63 107,99 
23 4,52 7,17 11,56 18,06 28,23 46,24 72,26 87,43 112,90 
24 4,71 7,48 12,06 18,85 29,45 48,25 75,40 91,23 117,81 
T2 - Número máximo de barras por camada (estribo de 2 ramos) 
nb,máx = INT[1+(b-2ct-2φt-φ)/(ah+φ)] ah = MÁXIMO(2 cm; φ; 1,2dag) ct cm 2,5 dag mm 19 
Largura da seção (cm) φ mm φt mm 10 12 15 20 25 30 35 40 45 50 ah cm 
5 2 2 3 5 6 8 10 11 13 15 
6,3 1 2 3 5 6 8 10 11 13 14 
8 1 2 3 5 6 8 9 11 13 14 8 
10 1 2 3 4 6 8 9 11 13 14 
2,28 
5 1 2 3 4 6 8 9 11 12 14 
6,3 1 2 3 4 6 7 9 10 12 14 
8 1 2 3 4 6 7 9 10 12 13 10 
10 1 2 3 4 6 7 9 10 12 13 
2,28 
5 1 2 3 4 6 7 8 10 11 13 
6,3 1 2 3 4 5 7 8 10 11 13 
8 1 2 3 4 5 7 8 10 11 12 12,5 
10 1 2 2 4 5 7 8 9 11 12 
2,28 
5 1 2 2 4 5 6 8 9 10 11 
6,3 1 2 2 4 5 6 7 9 10 11 
8 1 1 2 4 5 6 7 9 10 11 16 
10 1 1 2 3 5 6 7 9 10 11 
2,28 
5 1 1 2 3 4 6 7 8 9 10 
6,3 1 1 2 3 4 6 7 8 9 10 
8 1 1 2 3 4 6 7 8 9 10 20 
10 1 1 2 3 4 5 7 8 9 10 
2,28 
5 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
6,3 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
8 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 25 
10 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
2,50 
obs.: φt é o diâmetro da armadura transversal (estribos) 
 ct é o cobrimento de concreto da armadura transversal 
T3 - Número máximo de camadas 
nc,máx = INT[1+(2x10%h)/(av+φ)] av = MÁXIMO(2 cm; φ; 0,5dag) dag mm 19 
Altura da seção (cm) φ mm 30 35 40 45 50 55 60 70 80 90 100 av cm 
8 3 3 3 4 4 4 5 6 6 7 8 2,0 
10 3 3 3 4 4 4 5 5 6 7 7 2,0 
12,5 2 3 3 3 4 4 4 5 5 6 7 2,0 
16 2 2 3 3 3 4 4 4 5 6 6 2,0 
20 2 2 3 3 3 3 4 4 5 5 6 2,0 
25 2 2 2 3 3 3 3 4 4 5 5 2,5 
[MUSSO] 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 42
 
VIGA - DISPOSIÇÃO DA ARMADURA LONGITUDINAL A NÍVEL DE ELEMENTO 
Zona de boa e má aderência para as armaduras 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resistência de aderência de cálculo - fbd (fyk = 500 MPa; φ < 32 mm e γc = 1,4) 
)MPa()2(f2363,0f7,0f);1(f3375,0]4,1/)f3,0(7,0[25,2]f[25,2f 3/2ckboa,bdmá,bd
3/2
ck
3/2
ckctdboa,bd ===== 
concreto C20 C25 C30 C35 C40 C45 C50 
zona boa 2,487 2,886 3,259 3,611 3,947 4,270 4,581 
zona má 1,741 2,020 2,281 2,528 2,763 2,989 3,206 
Comprimento de ancoragem básico - lb,bás (fyk = 500 MPa, φ < 32 mm, γs = 1,15 e γc = 1,4) 
 
 
 
 
 
 
concreto C20 C25 C30 C35 C40 C45 C50 
zona boa 43,7φ 37,7φ 33,4φ 30,1φ 27,5φ 25,5φ 23,7φ 
zona má 62,4φ 53,8φ 47,7φ 43,0φ 39,3φ 36,4φ 33,9φ 
Deslocamento lateral do diagrama de momentos fletores - al 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Comprimento das barras da armadura longitudinal e ancoragem da armadura inferior nos apoios 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
[MUSSO] 
h h 
30 
h 
30 
armaduras 
h < 30 cm 30 < h < 60 cm h > 60 cm
zona má 
zona boa 
)3(
f4
f
lolog
4
Amas
fAl
bd
yd
bás,b
2
s
ydsbás,b
φ=πφ=
=πφfbd φ 
lb,bás 
yds fA
(a) em (b): T1z = M1 + 0,5Vzcotθ 
ou T1z = M1 + V.al = M1 + ΔM 
onde: al = 0,5zcotθ e ΔM = V.al 
Conclusão: o momento fletor na 
seção 1 (T1z) é igual a M1 acrescido 
de V.al o que é equivalente a uma 
translação lateral al do diagrama de 
momentos fletores (ver fig. abaixo) 
C 
z 
T1 θ 
z 
zcotθ 
M2 
V 
M2 = T1z + 0,5Vzcotθ (b) 
o V 
V 
θ 
zcotθ 
M2 
V 
M2 = M1 + Vzcotθ (a) 
o 
M1 
1 2 1 
lb,nec > lb,mín 
apoio 
externo 
B B 
10φ 10φ 
ΔM 
al 
A A lb,bás lb,bás 
ΔM 
al 
B B 
A A lb,bás lb,bás 
10φ 10φ 
Md 
Md deslocado de al 
deslocamento lateral do 
diagrama de momentos 
al = 0,5zcotθ; z = 0,9d (4) 
θ = 30º θ = 45º al 0,78d 0,45d 
θ = inclinação da biela 
>10φ 
apoio 
interno 
As,int > As,vão/3 se lMintl<Mvão/2 
As,int > As,vão/4 se lMintl>Mvão/2 
M
vã
o 
M
in
t 
As,vão 
As,ext > As,vão/3 
lb,nec= α1lb,bás
ext,syd
d
Af2
cotV θ
 
 1,0(ancoragem reta) 
 0,7(ancor. com gancho) 
lb,mín = máx(0,3lb,bás; 10φ; 10cm) 
5φ se φ < 20mm 
8φ se φ > 20mm 
 
armadura de montagem 
φ 
> 8φ 
φp 
gancho
aço CA-50 
β 
β 
tanβ = V 
 = ΔM/al 
M1 
M1 
α1 
armadura positiva 
armadura negativa 
φp 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 43
 
VIGA - TIPOS DE ANCORAGEM DA ARMADURA LONGITUDINAL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
[NBR 6118] 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 44
 
VIGA - EMENDAS DA ARMADURA LONGITUDINAL POR TRASPASSE 
 
 
[NBR 6118] 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 45
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6.2.3 - VIGA - DIMENSIONAMENTO À 
FORÇA CORTANTE (ELU-V)
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 46
 
VIGA - FORMULÁRIO DE DIMENSIONAMENTO DE SEÇÂO RETANGULAR À FORÇA CORTANTE (ELU-V) 
Asw área da seção da armadura transversal h altura da seção transversal 
Asw,mín área mínima da seção da armadura transversal Md momento fletor de cálculo 
b largura da seção transversal s espaçamento longitudinal entre estribos 
C força de compressão nas bielas de concreto 100 cm (para obter Asw em cm2/m) 
d altura útil da seção transversal cV força cortante resistida por outros mecanismos 
 distância do centróide da armadura tracionada Vd 1,4(VG + VQ) força cortante de cálculo 
 à borda comprimida da seção transversal VRd,máx força cortante de cálculo máxima resistida por 
fcd fck/1,4 resistência de cálculo do concreto à compressão diagonal das bielas de concreto 
 compressão VG força cortante da ação permanente G 
fck resistência característica do concreto à VQ força cortante da ação variável Q 
 compressão aos 28 dias Vsw força cortante de cálculo resistida pela 
fctd fctk/1,4 resistência de cálculo do concreto à armadura transversal 
 tração z braço de alavanca 
fctk 0,7fctm resistência característica do concreto à β ângulo da tensão principal de tração 
 tração ν 0,6(1 – fck/250) (fck em MPa) coeficiente de 
fctm 0,3fck2/3 (fck em MPa) resistência média do redução da resistência do concreto fissurado 
 concreto à tração por força cortante 
fyd fyk/1,15 resistência de cálculo de escoamento σc tensão principal de compressão 
 do aço σt tensão principal de tração 
fyk resistência característica de escoamento do aço τ tensão tangencial da força cortante 
Fc força de compressão no concreto θ ângulo das bielas de concreto comprimidas 
Fs força de tração na armadura longitudinal 
Analogia de treliça 
 
 
 
 
 
 
 
A – Verificação da compressão diagonal do concreto 
(dados b, d e fck, obter VRd,máx; Vd < VRd,máx) 
Modelo resistente à força cortante no estado limite 
último 
Compressão diagonal das bielas de concreto (corte a-a) cálculo simplificado θ (45o) 
refinado 
θ (30o a 45o) 
VRd,máx cdfbd45,0 ν θν 2senfbd45,0 cd A1 
fck MPa 20 25 30 35 
ν 0,552 0,540 0,528 0,516 
θ (45o) 0,355 0,434 0,509 0,581 )bd/(V máx,Rd θ (30o) 0,307 0,376 0,441 0,503 
obs.: VRd,máx/(bd) em kN/cm2 
B – Dimensionamento da armadura transversal 
(dados Vd, b, d, fck e fyk, obter Asw) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(a) θν=θθν=θ= 2senfbd45,0sencosfbzCsenV cdcdmáx,Rd 
cálculo simplificado θ (45o) 
refinado 
θ (30o a 45o) Tração transversal dos estribos (corte b-b) 
Asw 
yd
cd
df9,0
s)VV( − θ
−
cotdf9,0
s)VV(
yd
cd B1 
od VV ≤ od VV> 
cV oV 
oV o
omáx,Rd
dmáx,Rd V
VV
VV
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−
− B2 
oV ctdbdf6,0 B3 
Asw,mín ykctm f/bsf2,0 B4 
fck MPa 20 25 30 35 
fctm MPa 2,210 2,565 2,896 3,210 
fctd MPa 1,105 1,282 1,448 1,605 
)bd/(Vo 0,0663 0,0769 0,0869 0,0963 
)bs/(A mín,sw 0,088% 0,103% 0,116% 0,128% 
obs.: Vo/(bd) em kN/cm2 e Asw,mín/(bs) para fyk = 500 MPa 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(b) cdswcswd VVVouVVV −=+= 
(c) θ=θ= cotf
s
Ad9,0cotf
s
AzV ydswydswsw 
(b) em (c): θ
−=
cotdf9,0
s)VV(A
yd
cd
sw 
[MUSSO] 
τ
τ 
τ 
τ 
τ 
σ σt σc 2β 
σtσc 
σt σc 
β
tração 
compressão
ab 
b a
Vsw = (zcotθ/s)Aswfyd 
estribos 
fissuras 
s 
θ 
zcotθ 
Vd 
Vc 
z = 0,9d 
Md 
número de estribos em zcotθ
b 
h Asw
d 
Fs 
Fc 
fissuras 
C = b(zcosθ)νfcd 
θ 
zcosθ 
Fs 
bielas 
θ 
θ 
Md 
VRd,máx 
b 
h Asw
d z = 0,9d 
Fc 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 47
 
VIGA - GRÁFICO DE DIMENSIONAMENTO DE SEÇÃO RETANGULAR À FORÇA CORTANTE 
 
[MUSSO] 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 48
 
VIGA - TABELA DE DIMENSIONAMENTO DE SEÇÃO RETANGULAR À FORÇA CORTANTE - SIMPLIFICADO 
 
[MUSSO] 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 49
 
VIGA - TABELA DE DIMENSIONAMENTO DE SEÇÃO RETANGULAR À FORÇA CORTANTE - REFINADO 
 
[MUSSO] 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 50
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6.2.4 - VIGA - DISPOSIÇÃO DA ARMADURA 
PARA FORÇA CORTANTE 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 51
 
VIGA - DISPOSIÇÃO DA ARMADURA TRANSVERSAL A NÍVEL DE SEÇÃO 
T1 - Área da seção transversal de estribos de 2 ramos (cm2/m) 
Diâmetro da barra (mm) Diâmetro da barra (mm) s cm 
5 6,3 8 10 12,5 
s cm 
5 6,3 8 10 12,5 
7 5,61 8,91 14,36 22,44 35,06 19 2,07 3,28 5,29 8,27 12,92 
8 4,91 7,79 12,57 19,63 30,68 20 1,96 3,12 5,03 7,85 12,27 
9 4,36 6,93 11,17 17,45 27,27 21 1,87 2,97 4,79 7,48 11,69 
10 3,93 6,23 10,05 15,71 24,54 22 1,78 2,83 4,57 7,14 11,16 
11 3,57 5,67 9,14 14,28 22,31 23 1,71 2,71 4,37 6,83 10,67 
12 3,27 5,20 8,38 13,09 20,45 24 1,64 2,60 4,19 6,54 10,23 
13 3,02 4,80 7,73 12,08 18,88 25 1,57 2,49 4,02 6,28 9,82 
14 2,80 4,45 7,18 11,22 17,53 26 1,51 2,40 3,87 6,04 9,44 
15 2,62 4,16 6,70 10,47 16,36 27 1,45 2,31 3,72 5,82 9,09 
16 2,45 3,90 6,28 9,82 15,34 28 1,40 2,23 3,59 5,61 8,77 
17 2,31 3,67 5,91 9,24 14,44 29 1,35 2,15 3,47 5,42 8,46 
18 2,18 3,46 5,59 8,73 13,64 30 1,31 2,08 3,35 5,24 8,18 
T2 - Área da seção transversal de estribos de 3 ramos (cm2/m) 
Diâmetro da barra (mm) Diâmetro da barra (mm) s cm 
5 6,3 8 10 12,5 
s cm 
5 6,3 8 10 12,5 
7 8,41 13,36 21,54 33,66 52,59 19 3,10 4,92 7,94 12,40 19,38 
8 7,36 11,69 18,85 29,45 46,02 20 2,95 4,68 7,54 11,78 18,41 
9 6,54 10,39 16,76 26,18 40,91 21 2,80 4,45 7,18 11,22 17,53 
10 5,89 9,35 15,08 23,56 36,82 22 2,68 4,25 6,85 10,71 16,73 
11 5,35 8,50 13,71 21,42 33,47 23 2,56 4,07 6,56 10,24 16,01 
12 4,91 7,79 12,57 19,63 30,68 24 2,45 3,90 6,28 9,82 15,34 
13 4,53 7,19 11,60 18,12 28,32 25 2,36 3,74 6,03 9,42 14,73 
14 4,21 6,68 10,77 16,83 26,30 26 2,27 3,60 5,80 9,06 14,16 
15 3,93 6,23 10,05 15,71 24,54 27 2,18 3,46 5,59 8,73 13,64 
16 3,68 5,84 9,42 14,73 23,01 28 2,10 3,34 5,39 8,41 13,15 
17 3,46 5,50 8,87 13,86 21,66 29 2,03 3,22 5,20 8,12 12,70 
18 3,27 5,20 8,38 13,09 20,45 30 1,96 3,12 5,03 7,85 12,27 
T3 - Área da seção transversal de estribos de 4 ramos (cm2/m) 
Diâmetro da barra (mm) Diâmetro da barra (mm) s cm 
5 6,3 8 10 12,5 
s cm 
5 6,3 8 10 12,5 
7 11,22 17,81 28,72 44,88 70,12 19 4,13 6,56 10,58 16,53 25,84 
8 9,82 15,59 25,13 39,27 61,36 20 3,93 6,23 10,05 15,71 24,54 
9 8,73 13,85 22,34 34,91 54,54 21 3,74 5,94 9,57 14,96 23,37 
10 7,85 12,47 20,11 31,42 49,09 22 3,57 5,67 9,14 14,28 22,31 
11 7,14 11,34 18,28 28,56 44,62 23 3,41 5,42 8,74 13,66 21,34 
12 6,54 10,39 16,76 26,18 40,91 24 3,27 5,20 8,38 13,09 20,45 
13 6,04 9,59 15,47 24,17 37,76 25 3,14 4,99 8,04 12,57 19,63 
14 5,61 8,91 14,36 22,44 35,06 26 3,02 4,80 7,73 12,08 18,88 
15 5,24 8,31 13,40 20,94 32,72 27 2,91 4,62 7,45 11,64 18,18 
16 4,91 7,79 12,57 19,63 30,68 28 2,80 4,45 7,18 11,22 17,53 
17 4,62 7,33 11,83 18,48 28,87 29 2,71 4,30 6,93 10,83 16,93 
18 4,36 6,93 11,17 17,45 27,27 30 2,62 4,16 6,70 10,47 16,36 
 
 
 
VIGA - ESPAÇAMENTO LONGITUDINAL E TRANSVERSAL MÁXIMOS 
Espaçamento longitudinal máximo entre estribos Espaçamento transversal máximo entre ramos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
[MUSSO] 
st,máx 
 
máx,Rdd V20,0Vse);cm80;d(mín ≤
máx,Rdd V20,0Vse);cm35;d6,0(mín >
φt > 5 mm < b/10 
máx,Rdd V67,0Vse);cm30;d6,0(mín ≤
máx,RdSd V67,0Vse);cm20;d3,0(mín >
sl,máx 
 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 52
 
VIGA - TIPOS DE ANCORAGEM DA ARMADURA TRANSVERSAL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
[NBR 6118] 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 53
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6.2.5 - VIGA - DIMENSIONAMENTO À 
MOMENTO TORÇOR (ELU-T)
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 54
 
VIGA - FORMULÁRIO DE DIMENSIONAMENTO DE SEÇÃO RETANGULAR À MOMENTO TORÇOR (ELU-T) 
A bh área da seção transversal Fs força de tração na armadura longitudinal 
Ae xeye área limitada pela linha média da seção h altura da seção transversal 
 vazada s espaçamento longitudinal entre estribos 
As área da seção da armadura longitudinal 100 cm (para obter Asw em cm2/m) 
 tracionada te máximo(A/u; 2c1); < b/2; < h/2 espessura da 
As,mín área mínima da seção da armadura longitudinal parede da seção vazada 
 no perímetro ue Td 1,4(TG + TQ) momento torçor de cálculo 
Asw área da seção da armadura transversal TRd,máx momento torçor de cálculo máximo resistido por 
Asw,mín área mínima da seção da armadura transversal compressão diagonal das bielas de concreto 
b largura da seção transversal TG momento torçor da ação permanente G 
c1 cm52/c tt ≈φ+φ+ TQ momento torçor da ação variável Q 
ct cobrimento do estribo u 2(b + h) perímetro da seção transversal 
d altura útil da seção transversal ue 2(xe + ye) perímetro da área Ae 
fcd fck/1,4 resistência de cálculo do concreto à xe b – te largura da área Ae 
 compressão ye h – te altura da área Ae 
fck resistência característica do concreto à φ diâmetro da armadura longitudinal 
 compressão aos 28 dias φt diâmetro da armadura transversal 
fctm 0,3fck2/3 (fck em MPa) resistência média do κ 0,5(1 – fck/250) (fck em MPa) coeficiente de 
 concreto à tração redução da resistência do concreto fissurado 
fyd fyk/1,15 resistência de cálculo de escoamento por momento torçor 
 do aço τ tensão tangencial do momento torçor 
fyk resistência característica de escoamento do aço θ ângulo das bielas comprimidas de concreto 
Seção vazada de cálculo com espessura te Modelo resistente à momento torçor no estado limite 
último 
Compressão diagonal e tração longitudinal (1 parede) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A – Verificação da compressão diagonal do concreto 
(dados b, h e fck, obter TRd,máx; Td < TRd,máx) 
simplificado refinado cálculo θ (45o) θ (30o a 45o) 
TRd,máx cdee ftA κ θκ 2senftA cdee A1 
fck MPa 20 25 30 35 
κ 0,460 0,450 0,440 0,430
θ (45o) 0,657 0,804 0,943 1,075)tA/(T eemáx,Rd θ (30o) 0,569 0,696 0,817 0,931
obs.: TRd,máx/(Aete) em kN/cm2 
B – Dimensionamentoda armadura transversal 
(dados Td, b, h e fyk, obter Asw por parede) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(a) θθκ=θ= sencosfytCsen
A2
yT
cdee
e
emáx,Rd 
 ou θκ= 2senftAT cdeemáx,Rd 
(b) ydeess fy)u/A()2/F(2cosC ==θ 
(c) θ=θθ=θ= tanfy
u
Atan)cosC(Csen
A2
yT
yde
e
s
e
ed 
 ou θ= tanfA2
uTA
yde
ed
s 
simplificado refinado Tração transversal (1 parede) cálculo θ (45o) θ (30o a 45o) 
Asw 
yde
d
fA2
sT θcotfA2
sT
yde
d B1 
Asw,mín ykctme f/sft2,0 B2 
C – Dimensionamento da armadura longitudinal 
(dados Td, b, h e fyk, obter As total no perímetro ue) 
simplificado refinado cálculo θ (45o) θ (30o a 45o) 
As 
yde
ed
fA2
uT θtanfA2
uT
yde
ed C1 
As,mín ykctmee f/fut2,0 C2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(d) ydswe
e
ed fA
s
coty
A2
yT θ= ou θ= cotfA2
sTA
yde
d
sw 
[MUSSO] 
torçãodefluxo)t( e =τ
ee2ee1 x)t(V;y)t(V τ=τ= 
2/yV22/xV2T e2e1d += 
eeeeee yx)t(xy)t( τ+τ= 
∴τ= ee A)t(2
e
d
e A2
T)t( =τ 
e
ed
1 A2
yTV = ; 
e
ed
2 A2
xTV = 
Td 
V2 
Td ye 
xe 
V1 
V2 
V1 
te 
Ae 
(xeye) 
seção 
real 
seção 
de cálculo 
e
emáx,Rd
A2
yT 
e
ed
A2
yT 
fissura 
C = te(yecosθ)κfcd 
 θ 
yecosθ 
Fs/2 = (As/ue)yefyd/2 
biela 
θ 
θ 
Fs/2 
ye
armadura longitudinal na parede ye 
b 
h
As 
d 
Ae, ue 
te 
A, u 
Td 
(yecotθ/s)Aswfyd 
estribos 
fissuras 
s 
θ 
yecotθ 
ye 
número de estribos em yecotθ 
b 
h
Asw 
d 
Ae, ue 
te 
A, u 
Td e
ed
A2
yT 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 55
 
VIGA - DIMENSIONAMENTO DE SEÇÃO RETANGULAR À M. TORÇOR, M. FLETOR E FORÇA CORTANTE 
A – Verificação da compressão diagonal do concreto A bh área da seção transversal 
(dados Vd, Td, b, h e fck: Vd/ VRd,máx + Td/ TRd,máx < 1) Ae xeye área limitada pela linha média da seção 
simplificado refinado vazada cálculo θ (45o) θ (30o a 45o) As,M área da seção da armadura longitudinal 
VRd,máx cdfbd45,0 ν θν 2senfbd45,0 cd A1 tracionada para Md 
fck MPa 20 25 30 35 As,T área da seção da armadura longitudinal 
ν 0,552 0,540 0,528 0,516 tracionada para Td 
simplificado refinado Asw,T área da seção da armadura transversal para Td cálculo θ (45o) θ (30o a 45o) Asw,V área da seção da armadura transversal para Vd 
TRd,máx cdee ftA κ θκ 2senftA cdee A2 b largura da seção transversal 
fck MPa 20 25 30 35 c1 cm52/c tt ≈φ+φ+ 
κ 0,460 0,450 0,440 0,430 ct cobrimento do estribo 
Superposição de força cortante e momento torçor d altura útil da seção transversal 
fcd fck/1,4 resistência de cálculo do concreto à 1
T
T
V
V
máx,Rd
d
máx,Rd
d ≤+ A3
 compressão 
B – Dimensionamento da armadura transversal fck resistência característica do concreto à 
(dados Vd, Td, b, d, h, fck e fyk, obter Asw,total) compressão aos 28 dias 
simplificado refinado fctd fctk/1,4 resist. de cálculo do concreto à tração cálculo θ (45o) θ (30o a 45o) fctk 0,7fctm resist. característica do concreto à tração 
fctm 0,3fck2/3 (fck em MPa) resistência média do Asw,V 
yd
cd
df9,0
s)VV( − θ
−
cotdf9,0
s)VV(
yd
cd B1
 concreto à tração 
od VV ≤ od VV > fyd fyk/1,15 resist. de cálculo de escoamento do aço 
B2 fyk resistência característica de escoamento do aço cV oV 
oV o
omáx,Rd
dmáx,Rd V
VV
VV
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−
−
 
 h altura da seção transversal 
oV ctdbdf6,0 B3 Md 1,4(MG + MQ) momento fletor de cálculo 
fck MPa 20 25 30 40 Md,lim momento fletor de cálculo máximo com 
fctd MPa 1,105 1,282 1,448 1,605 armadura simples 
)bd/(Vo kN/cm
2 0,0663 0,0769 0,0869 0,0963 s espaçamento longitudinal entre estribos 
simplificado refinado 100 cm (para obter Asw em cm2/m) cálculo θ (45o) θ (30o a 45o) te máximo(A/u; 2c1); < b/2; < h/2 espessura da 
 parede da seção vazada Asw,T 
por 
parede yde
d
fA2
sT θcotfA2
sT
yde
d B4
Td 1,4(TG + TQ) momento torçor de cálculo 
Superposição de armaduras transversais TRd,máx momento torçor de cálculo máximo resistido por 
T,swV,swtotal,sw A2AA += B5 compressão diagonal das bielas de concreto 
C – Dimensionamento da armadura longitudinal ue 2(xe + ye) perímetro da área Ae 
(dados Md, Td, b, d, h, fck e fyk, obter As por face) u 2(b + h) perímetro da seção transversal 
fck < 35 MPa > 35 MPa cV força cortante resistida por outros mecanismos 
xlim 0,5d 0,4d C1 Vd 1,4(VG + VQ) força cortante de cálculo 
Md,lim cd
2fbd272,0 cd
2fbd22848,0 C2 VRd,máx força cortante de cálculo máxima resistida por 
Armadura simples (seção com As; Md < Md,lim; x < xlim) compressão diagonal das bielas de concreto 
 xe b – te largura da área Ae 
C3 ye h – te altura da área Ae ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ −−=
cd
2
d
fbd425,0
M
11d25,1x 
 x profundidade da linha neutra no estádio 3 (ELU) 
ydcdM,s f/bxf68,0A = (face tracionada) C4 xlim profundidade máxima da linha neutra para 
simplificado refinado ruptura dúctil da seção (ruptura com aviso) cálculo θ (45o) θ (30o a 45o) φ diâmetro da armadura longitudinal 
φt diâmetro da armadura transversal As,T 
em ue yde
ed
fA2
uT θtanfA2
uT
yde
ed C5 κ 0,5(1 – fck/250) (fck em MPa) coeficiente de 
Superposição de armaduras longitudinais redução da resist. do concreto fissurado por Td 
eeT,sMporcomprimidaface,s u/xAA = C6 ν 0,6(1 – fck/250) (fck em MPa) coeficiente de 
eeT,slateralfacecada,s u/yAA = C7 redução da resist. do concreto fissurado por Vd 
eeT,sM,sMportracionadaface,s u/xAAA += C8 θ ângulo das bielas comprimidas de concreto 
[MUSSO] 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 56
 
VIGA - TABELA DE DIMENSIONAMENTO DE SEÇÃO RETANGULAR À MOMENTO TORÇOR - SIMPLIFICADO 
 
[MUSSO] 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 57
 
VIGA - TABELA DE DIMENSIONAMENTO DE SEÇÃO RETANGULAR À MOMENTO TORÇOR - REFINADO 
 
[MUSSO] 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 58
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6.2.6 - VIGA - DISPOSIÇÃO DA ARMADURA 
PARA MOMENTO TORÇOR 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 59
 
VIGA - DISPOSIÇÃO DA ARMADURA LONGITUDINAL E TRANSVERSAL A NÍVEL DE SEÇÃO 
T1 - Área da seção transversal de Q barras longitudinais (cm2) 
Q Diâmetro da barra (mm) 
 5 6,3 8 10 12,5 16 20 22 25 
1 0,20 0,31 0,50 0,79 1,23 2,01 3,14 3,80 4,91 
2 0,39 0,62 1,01 1,57 2,45 4,02 6,28 7,60 9,82 
3 0,59 0,94 1,51 2,36 3,68 6,03 9,42 11,40 14,73 
4 0,79 1,25 2,01 3,14 4,91 8,04 12,57 15,21 19,63 
5 0,98 1,56 2,51 3,93 6,14 10,05 15,71 19,01 24,54 
6 1,18 1,87 3,02 4,71 7,36 12,06 18,85 22,81 29,45 
7 1,37 2,18 3,52 5,50 8,59 14,07 21,99 26,61 34,36 
8 1,57 2,49 4,02 6,28 9,82 16,08 25,13 30,41 39,27 
9 1,77 2,81 4,52 7,07 11,04 18,10 28,27 34,21 44,18 
10 1,96 3,12 5,03 7,85 12,27 20,11 31,42 38,01 49,09 
11 2,16 3,43 5,53 8,64 13,50 22,12 34,56 41,81 54,00 
12 2,36 3,74 6,03 9,42 14,73 24,13 37,70 45,62 58,90 
13 2,55 4,05 6,53 10,21 15,95 26,14 40,84 49,42 63,81 
14 2,75 4,36 7,04 11,00 17,18 28,15 43,98 53,22 68,72 
15 2,95 4,68 7,54 11,78 18,41 30,16 47,12 57,02 73,63 
16 3,14 4,99 8,04 12,57 19,63 32,17 50,27 60,82 78,54 
17 3,34 5,30 8,55 13,35 20,86 34,18 53,41 64,62 83,45 
18 3,53 5,61 9,05 14,14 22,09 36,19 56,55 68,42 88,36 
19 3,73 5,92 9,55 14,92 23,32 38,20 59,69 72,23 93,27 
20 3,93 6,23 10,05 15,71 24,54 40,21 62,83 76,03 98,17 
21 4,12 6,55 10,56 16,49 25,77 42,22 65,97 79,83 103,08 
22 4,32 6,86 11,06 17,28 27,00 44,23 69,12 83,63 107,99 
23 4,52 7,17 11,5618,06 28,23 46,24 72,26 87,43 112,90 
T2 - Área da seção transversal de estribos de 1 ramo (cm2/m) 
Diâmetro da barra (mm) Diâmetro da barra (mm) s cm 
5 6,3 8 10 12,5 
s cm 
5 6,3 8 10 12,5 
7 2,80 4,45 7,18 11,22 17,53 19 1,03 1,64 2,65 4,13 6,46 
8 2,45 3,90 6,28 9,82 15,34 20 0,98 1,56 2,51 3,93 6,14 
9 2,18 3,46 5,59 8,73 13,64 21 0,93 1,48 2,39 3,74 5,84 
10 1,96 3,12 5,03 7,85 12,27 22 0,89 1,42 2,28 3,57 5,58 
11 1,78 2,83 4,57 7,14 11,16 23 0,85 1,36 2,19 3,41 5,34 
12 1,64 2,60 4,19 6,54 10,23 24 0,82 1,30 2,09 3,27 5,11 
13 1,51 2,40 3,87 6,04 9,44 25 0,79 1,25 2,01 3,14 4,91 
14 1,40 2,23 3,59 5,61 8,77 26 0,76 1,20 1,93 3,02 4,72 
15 1,31 2,08 3,35 5,24 8,18 27 0,73 1,15 1,86 2,91 4,55 
16 1,23 1,95 3,14 4,91 7,67 28 0,70 1,11 1,80 2,80 4,38 
17 1,15 1,83 2,96 4,62 7,22 29 0,68 1,07 1,73 2,71 4,23 
18 1,09 1,73 2,79 4,36 6,82 30 0,65 1,04 1,68 2,62 4,09 
T3 - Área da seção transversal de estribos de 2 ramos (cm2/m) 
Diâmetro da barra (mm) Diâmetro da barra (mm) s cm 
5 6,3 8 10 12,5 
s cm 
5 6,3 8 10 12,5 
7 5,61 8,91 14,36 22,44 35,06 19 2,07 3,28 5,29 8,27 12,92 
8 4,91 7,79 12,57 19,63 30,68 20 1,96 3,12 5,03 7,85 12,27 
9 4,36 6,93 11,17 17,45 27,27 21 1,87 2,97 4,79 7,48 11,69 
10 3,93 6,23 10,05 15,71 24,54 22 1,78 2,83 4,57 7,14 11,16 
11 3,57 5,67 9,14 14,28 22,31 23 1,71 2,71 4,37 6,83 10,67 
12 3,27 5,20 8,38 13,09 20,45 24 1,64 2,60 4,19 6,54 10,23 
13 3,02 4,80 7,73 12,08 18,88 25 1,57 2,49 4,02 6,28 9,82 
14 2,80 4,45 7,18 11,22 17,53 26 1,51 2,40 3,87 6,04 9,44 
15 2,62 4,16 6,70 10,47 16,36 27 1,45 2,31 3,72 5,82 9,09 
16 2,45 3,90 6,28 9,82 15,34 28 1,40 2,23 3,59 5,61 8,77 
17 2,31 3,67 5,91 9,24 14,44 29 1,35 2,15 3,47 5,42 8,46 
18 2,18 3,46 5,59 8,73 13,64 30 1,31 2,08 3,35 5,24 8,18 
VIGA - ESPAÇAMENTO LONGITUDINAL E DISTRIBUIÇÃO DA ARMADURA LONGITUDINAL 
Espaçamento longitudinal máximo entre estribos Distribuição da armadura longitudinal 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
[MUSSO] 
< 35 cm 
φt > 5 mm 
< b/10 
45o 
φ > φt (b < h) 
sl,máx 
67,0
V
V
T
Tse);cm30;d6,0(mín
2Rd
Sd
2Rd
Sd ≤+ 
67,0
V
V
T
Tse);cm20;d3,0(mín
2Rd
Sd
2Rd
Sd >+
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 60
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6.3 - VIGA - VERIFICAÇÃO NO ESTADO 
LIMITE DE SERVIÇO (ELS)
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 61
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6.3.1 - VIGA - VERIFICAÇÃO DE 
FLECHA (ELS-DEF)
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 62
 
VIGA - VERIFICAÇÃO DE FLECHA EM VIGA DE SEÇÃO RETANGULAR (ELS-DEF) 
As área da seção da armadura longitudinal Lbal comprimento do balanço 
 tracionada MG momento fletor da ação permanente G 
sA′ área da seção da armadura longitudinal MQ momento fletor da ação variável Q 
 comprimida MQP MG + ψ2MQ momento fletor da ação quase 
b largura da seção transversal permanente pQP (momento positivo no vão; 
d altura útil da seção transversal momento no engaste, no caso de balanço) 
 distância do centróide da armadura tracionada Mr Wcfctf momento fletor de fissuração 
 à borda comprimida da seção transversal n Es/Ecs razão entre os módulos de elasticidade 
d′ distância do centróide da armadura comprimida do aço e do concreto 
 à borda comprimida da seção transversal pQP G + ψ2Q ação quase permanente 
d ′′ h - d Q ação variável 
Ecs 4760fck1/2 MPa módulo de elasticidade secante x2 profundidade da linha neutra no estádio 2 
 do concreto xc profundidade da linha neutra da seção bruta 
Es 210000 MPa módulo de elasticidade do aço distância do centróide da seção bruta à fibra 
fck resistência característica do concreto à extrema comprimida 
 compressão aos 28 dias t tempo que se deseja calcular a flecha (meses) 
fctf αfctm resistência do concreto à tração na flexão to idade do concreto ao entrar em carga (meses) 
fctm 0,3fck2/3 (fck em MPa) resistência média do yt h - xc distância do centróide da seção bruta à 
 concreto à tração fibra extrema tracionada 
fdiferida flecha do efeito da fluência do concreto Wc Ic/yt (bh2/6 para seção retangular) 
felástica flecha obtida com p = pQP, E = Ecs e I = Ic módulo resistente da seção bruta 
fimediata flecha da viga ao entrar em carga α 1,0 (EC2); 1,5 seção retangular (NBR 6118) 
flimite flecha máxima para limitar efeito visual αf coeficiente para levar em conta a fluência do 
 desagradável concreto no cálculo da flecha diferida 
ftotal fimediata + fdiferida flecha total ψ2 0,3 para edifícios residenciais 
G ação permanente 0,4 para edifícios comerciais, de escritórios, 
h altura da seção transversal estações e edifícios públicos 
I2 momento de inércia da seção no estádio 2 0,6 para bibliotecas, oficinas e garagens 
Ic bh3/12 para seção retangular fator de redução da ação variável para 
 momento de inércia da seção bruta combinação de ação quase permanente 
Ie momento de inércia efetivo da seção ρ’ As’/(bd) taxa geométrica de armadura 
L vão entre apoios longitudinal comprimida 
A – Flecha elástica F - Parâmetros auxiliares 
elásticaf fck MPa 20 25 30 35 
(ver flechas em diversos sistemas) 
A1 
fctm MPa 2,210 2,565 2,896 3,210 
B – Flecha imediata fctf MPa 3,316 3,847 4,345 4,815 
Ecs MPa 21287 23800 26072 28161 
n = Es/Ecs 9,865 8,824 8,055 7,457 
e
c
elásticaimediata I
I
ff = B1 
G – Seção equivalente (seção fissurada – estádio 2) 
seção fissurada (MQP > Mr) 
2
3
QP
r
c
3
QP
r
e IM
M
1I
M
M
I ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛−+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛= (BRANSON) B2 
seção não fissurada (MQP < Mr) 
ce II = B3 
C – Flecha diferida 
imediatafdiferida ff α= C1 
seção real seção equivalente 
de concreto 
'501
)t()t( o
f ρ+
ξ−ξ=α C2 )a2/(]aa4aa[x 1312222 −+−= G1 
)meses70t( ≤ξ 32,0t t)996,0(68,0 2/ba1 = G2 
)meses70t( >ξ 2 C3 ss2 A)1n(nAa ′−+= G3 
t meses 1 3 6 12 > 70 dA)1n(dnAa ss3 ′′−−−= G4 
ξ(t) 0,68 0,95 1,18 1,44 2,00 
D – Flecha total 
itelimdiferidaimediatatotal ffff ≤+= D1 
2
2s
2
2s
3
2
2 )dx(A)1n()xd(nA3
bx
I ′−′−+−+= G5 
E – Flecha limite 
250
Lf itelim = (L = 2Lbal, no caso de balanço) E1 
profundidade da l. neutra ∑∑= iii AAxx 
momento de inércia 
∑ Δ+= )AI(I 2iii 
[MUSSO] 
d 
b 
As 
LN 
sA′
d′
x2
d 
b 
nAs
LN 
(n-1) sA′
d′
x2
d-x2 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 63
 
VIGA - GRÁFICO DE PROFUNDIDADE DA LINHA NEUTRA DE SEÇÃO RETANGULAR NO ESTÁDIO 2 
 
[MUSSO] 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 64
 
VIGA - GRÁFICO DE MOMENTO DE INÉRCIA DE SEÇÃO RETANGULAR NO ESTÁDIO 2 
 
[MUSSO] 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 65
 
VIGA - GRÁFICO DE MOMENTO DE INÉRCIA EFETIVO DE SEÇÃO RETANGULAR - BRANSON 
 
[MUSSO] 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 66
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6.3.2 - VIGA - VERIFICAÇÃO DE 
ABERTURA DE FISSURA (ELS-W)
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 67
 
VIGA - VERIFICAÇÃO DE ABERTURA DE FISSURA EM VIGA DE SEÇÃO RETANGULAR (ELS-W) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Seção não Fissurada (Estádio 1) 
wk = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Módulo de Elasticidade do Aço Es e Módulo de Elasticidade Secante do Concreto Ecs 
aço Æ Es = 210.000 MPa (11) concreto Æ 2/1ck2/1ckcics f4760f)5600(85,0E85,0E=== MPa (12) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Verificação da Segurança ELS-W 
wk < wlim (15) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
[MUSSO] 
Momento Fletor de Cálculo MF 
MF = MGk + ψ1MQ1k + nψ2jMQjk (1) 
(combinação freqüente) 
 MGk parcela permanente 
 ψ1MQ1k parcela variável principal 
 nψ2jMQjk demais parcelas variáveis 
Tabela 1 – Coeficientes Ψ1 e Ψ2 
Finalidade da Estrutura ψ1 ψ2 
edifício residencial 0,4 0,3 
edifício comercial 0,6 0,4 
biblioteca; oficina; garagem 0,7 0,6 
Momento de Fissuração Mr,w 
É o valor do momento fletor que produz na seção 
bruta (secão de concreto desprezando armadura) 
uma tensão igual a fct,f na fibra extrema tracionada 
W,ctcW,r fWM = (2) 
Wc módulo resistente da seção bruta em relação a 
 fibra extrema tracionada tc y/I= (3) 
 Ic momento de inércia da seção bruta 
 yt distância do centróide à fibra ext. tracionada 
fct,W resistência do concreto à tração na flexão 
(módulo de ruptura) (MPa) 
)gulartanreseção(f05,1 ctm= (NBR 6118) (4a) 
)Tseção(f84,0 ctm= (NBR 6118) (4b) 
)2EC(fctm= (4c) 
MF < Mr,w ? Sim Não 
Seção Fissurada (Estádio 2) 
)6(454
E5,12
w);5(
f
3
E5,12
w
rs
s
1
2
ctm
s
s
s
1
1 ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +ρ
σ
η
φ=σση
φ= 
)w;w(mínimow 21k = (7) 
wk abertura de fissura característica 
φ diâmetro da barra da armadura longitudinal 
η1 coeficiente de conformação superficial da barra 
σs tensão no aço tracionado no estádio 2 
Es módulo de elasticidade do aço 
fctm resistência média do concreto à tração = 0,3fck2/3 (MPa) (8) 
ρr taxa de armadura As na região de envolvimento Acr 
= As/Acr (9) 
As área de aço da armadura longitudinal tracionada 
Acr área da região de envolvimento 
Área de Envolvimento Acr 
 
 
 
 
 
 
 
 
Acr = mín[(y+7,5φ); h/2].b (10) 
d h 
Acr 
b 
< h/2 
7,
5φ
 
y 
φ 
Tensão no Aço Tracionado na 
Seção Fissurada σs (Estádio 2 puro) 
)xd(
I
M
nn 2
2
F
cs −=σ=σ (14) 
 n razão Es/Ecs (13) 
 MF momento fletor para combinação frequente 
 I2 momento de inércia da seção no estádio 2 
 d altura útil da seção 
 x2 profundidade da linha neutra no estádio 2 
 
x2; I2 (ver ELS-DEF) 
Tabela 2 - Coeficiente de Conformação Superficial η1 
Tipo de Barra η1 
lisa (CA-25) 1,00 
entalhada (CA-60) 1,40 
alta aderência (CA-50) 2,25 
Tabela 3 - Abertura de Fissura Limite wlim 
Classe de 
Agressividade 
 Ambiental 
Agressividade Tipo de Ambiente wlim (mm) 
I fraca rural ou submerso 0,4 
II moderada urbano 
III forte marinho ou industrial 0,3 
IV muito forte indústrias químicas ou respingos de maré 0,2 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 68
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6.4 - VIGA - EXEMPLOS 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 69
 
VIGA BIAPOIADA - (b = 20 cm; C25) 
 
[MUSSO] 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 70
 
VIGA MONOENGASTADA - (b = 20 cm; C25) 
 
[MUSSO] 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 71
 
VIGA BIENGASTADA - (b = 20 cm; C25) 
 
[MUSSO] 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 72
 
VIGA EM BALANÇO - (b = 20 cm; C25) 
 
[MUSSO] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 - LAJE
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 73
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7.1 - LAJE - DEFINIÇÕES
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 74
 
LAJE - SISTEMAS ESTRUTURAIS DE LAJES MACIÇAS E LAJES NERVURADAS 
 
 
Lajes Maciças Lajes Nervuradas 
 
Laje maciça com vigas Laje nervurada com vigas 
 
Laje maciça lisa Laje nervurada com capitel Laje cogumelo nervurada 
 
Laje maciça com capitel 
Laje cogumelo maciça Laje nervurada com vigas integradas 
[MUSSO] 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 75
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7.2 - LAJE - ANÁLISE 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 76
 
LAJE - VÃO EFETIVO DE LAJES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
[NBR 6118] 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 77
 
LAJE - CRITÉRIO SIMPLIFICADO DE ENGASTAMENTO DE LAJES CONTÍNUAS COM APOIOS LINEARES 
Esquema 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Engastar L1 em L2 
Engastar L2 em L1 se 0,8a2 < a1
Esquema 2 
 
 
 
 
a1 < a2
L1 L2
a2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Engastar L1 em L2 
Engastar L2 em L1 se 0,8a2 < a1 e x > 2y/3 
Engastar L3 em L2 
a1 < a2
L1 L2
a2
x y 
vazio 
L3 
a3
la
je
 e
m
 
ba
la
nç
o
Exemplo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
[MUSSO] 
4 m
L1 L3
5 m 
5m
 
vazio 
L4
1 m
la
je
 e
m
 
ba
la
nç
o
7m
 
6 m
L2
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 78
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 79
 
LAJE - ÁREAS PARA FORÇA CORTANTE EM LAJES COM CARGA UNIFORME E APOIOS LINEARES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
[MUSSO] 
 
a 
b 
45o 45o
45o 45o
a/
2 
a/
2 
[a
b-
a2
/2
]/2
 
a2/4 
a2/4 
[a
b-
a2
/2
]/2
 
a/2 a/2 
a 
b 
30o 45o
30o 45o
[(3
-3
1/
2 )
ab
-(
2.
31
/2
-3
)a
2 ]/
2 
(3
1/
2 -
1)
a/
2 
(3-31/2)a/2 (31/2-1)a/2 
(31/2-1)a2/4
(3
1/
2 -
1)
a/
2 
(31/2-1)a2/4 [
(3
1/
2 -
1)
ab
-(2
-3
1/
2 )
a2
]/2
 
b/a > 31/2-1 
4 
a 
b 
30o 30o
30o 30o
[a
b-
31
/2
a2
/6
]/2
 
[a
b-
31
/2
a2
/6
]/2
 
31/2a2/12 
31/2a2/12 
31
/2
a/
6
31
/2
a/
6
a/2 a/2 
b/a > 31/2/3 7 
a 
b 
30o 45o
45o 60o
(3
-3
1/
2 )
[a
b/
2-
a2
/4
] 
(3
-3
1/
2 )
a/
2 
(3-31/2)a/2 (31/2-1)a/2 
(31/2-1)a2/4 
(3
1/
2 -
1)
a/
2 
(3-31/2)a2/4 
(3
1/
2 -
1)
[a
b/
2-
a2
/4
] 
a 
b 
45o 60o
45o 60o
[(3
-3
1/
2 )
ab
-3
(2
-3
1/
2 )
a2
]/2
 
(3
-3
1/
2 )
a/
2 
(3-31/2)a/2 (31/2-1)a/2 
(3-31/2)a2/4
(3
-3
1/
2 )
a/
2 
(3-31/2)a2/4
[(3
1/
2 -
1)
ab
-(2
.3
1/
2 -
3)
a2
]/2
 
b/a > 1 b/a > 3-31/25 6a 
b 
a 
45o 30o
45o 30
o
b/
2 
b/
2 
b2
/4
 
b/2 
31
/2
b2
/1
2 
[ab-(31/2+3)b2/12]/2 
31/2b/6 
[ab-(31/2+3)b2/12]/2 
b/a < 3-31/26b 
a 
b 
30o 30o
45o
[a
b-
(3
1/
2 +
3)
a2
/1
2]
/2
 31/2a2/12 
31
/2
a/
6
a/
2[a
b-
(3
1/
2 +
3)
a2
/1
2]
/2
 
a2/4 
45o
a/2 a/2 
a 
b 
45o 45o
45o 45o
a/
2 
a/
2 
[a
b-
a2
/2
]/2
 
a2/4 
a2/4 
[a
b-
a2
/2
]/2
 
a/2 a/2 
b/a > (31/2+3)/6 b/a > 1 8 9 
b 
a 
30o 30o
30o 30o
b/
2 
b/
2 
31
/2
b2
/1
2 
31/2b/6 
31
/2
b2
/1
2 
[ab-31/2b2/6]/231/2b/6 
[ab-31/2b2/6]/2 
b/a > 31/2 b/a < 31/2
3a 3b a 
b 
60o 60o
60o 60o
31
/2
a/
2 [a
b-
31
/2
a2
/2
]/2
 
31/2a2/4 
31/2a2/4 
31
/2
a/
2 
[a
b-
31
/2
a2
/2
]/2
 
a/2 a/2 
a 
b 
45o 45o
60o 60o
a/
2 
31
/2
a/
2 
[a
b-
(3
1/
2 +
1)
a2
/4
]/2
 a2/4 
31/2a2/4 
a/2 a/2 
[a
b-
(3
1/
2 +
1)
a2
/4
]/2
 
b 
a 
45o 45
o
30o 30o
(3
1/
2 -
1)
b/
2 
(3
-3
1/
2 )
b/
2 
(3
1/
2 -
1)
b2
/4
 
(31/2-1)b/2 
(3
1/
2 -
1)
b2
/4
 
[(3-31/2)ab-
(2.31/2-3)b2]/2 
[(31/2-1)ab-
(2-31/2)b2]/2 
(31/2-1)b/2 
b/a > 1 b/a > (31/2+1)/2 b/a < (31/2+1)/2 1 2a 2b 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 80
 
LAJE - FORÇA CORTANTE EM LAJES COM CARGA UNIFORME E APOIOS LINEARES (β = b/a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
[MUSSO] 
a 
b 
45o 45o
45o 45o
a/
2 
a/
2 p
a[
1-
1/
(2
β)]
/2
 
pa/4 
pa/4 
a/2 a/2 
β > 31/2-1 a 
b 
30o 45o
30o 45o
pa
[(3
-3
1/
2 )
-(
2.
31
/2
-3
)/β
]/2
 
(3
1/
2 -
1)
a/
2 
(3-31/2)a/2 (31/2-1)a/2 
pa(31/2-1)/4
(3
1/
2 -
1)
a/
2 
pa(31/2-1)/4
pa
[(3
1/
2 -
1)
-(2
-3
1/
2 )
/β]
/2
 
4 
a 
b 
30o 30o
30o 30o
pa
[1
-3
1/
2 /(
6β
)]/
2 
pa
[1
-3
1/
2 /(
6β
)]/
2 
pa31/2/12 
pa31/2/12 
31
/2
a/
6
31
/2
a/
6
a/2 a/2 
β > 31/2/3 7 
β > 3-31/2a 
b 
30o 45o
45o 60o
pa
(3
-3
1/
2 )
[1
/2
-1
/(4
β)]
 
(3
-3
1/
2 )
a/
2 
(3-31/2)a/2 (31/2-1)a/2 
pa(31/2-1)/4 
(3
1/
2 -
1)
a/
2 
pa(3-31/2)/4 
pa
(3
1/
2 -
1)
[1
/2
-1
/(4
β)]
 
a 
b 
45o 60o
45o 60o
pa
[(3
-3
1/
2 )
-3
(2
-3
1/
2 )
/β]
/2
 
(3
-3
1/
2 )
a/
2 
(3-31/2)a/2 (31/2-1)a/2 
pa(3-31/2)/4
(3
-3
1/
2 )
a/
2 
pa(3-31/2)/4 pa
[(3
1/
2 -
1)
-(2
.3
1/
2 -
3)
/β]
/2
 
β > 1 5 6a 
b 
a 
45o 30o
45o 30
o
b/
2 
b/
2 
pa
β/4
 
b/2 
pa
31
/2
β/1
2 
pa[β-(31/2+3)β2/12]/2 
31/2b/6 
pa[β-(31/2+3)β2/12]/2 
β < 3-31/26b 
a 
b 
30o 30o
45o
pa
[1
-(
31
/2
+3
)/(
12
β)]
/2
 pa31/2/12 
31
/2
a/
6
a/
2pa
[1
-(
31
/2
+3
)/(
12
β)]
/2
 
pa/4 45o
a/2 a/2 
a 
b 
45o 45o
45o 45o
a/
2 
a/
2 
pa
[1
-1
/(2
β)]
/2
 
pa/4 
pa/4 
pa
[1
-1
/(2
β)]
/2
 
a/2 a/2 
β > (31/2+3)/6 β > 1 8 9 
β < 31/2
b 
a 
30o 30o
30o 30o
b/
2 
b/
2 p
a3
1/
2 β/
12
 
31/2b/6 
pa
31
/2
β/1
2 
pa[β-31/2β2/6]/2 
31/2b/6 
pa[β-31/2β2/6]/2 
β > 31/23a 3b a 
b 
60o 60o
60o 60o
31
/2
a/
2 
pa
[1
-3
1/
2 /(
2β
)]/
2 
pa31/2/4 
pa31/2/4 
31
/2
a/
2 
pa
[1
-3
1/
2 /(
2β
)]/
2 
a/2 a/2 
a 
b 
45o 45o
60o 60o
a/
2 
31
/2
a/
2 
pa
[1
-(
31
/2
+1
)/(
4β
)]/
2 
pa/4 
pa31/2/4 
a/2 a/2 
β < (31/2+1)/2 
b 
a 
45o 45
o
30o 30o
(3
1/
2 -
1)
b/
2 
(3
-3
1/
2 )
b/
2 
pa
(3
1/
2 -
1)
β/4
 
(31/2-1)b/2 
pa
(3
1/
2 -
1)
β/4
 
pa[(3-31/2)β-
(2.31/2-3)β2]/2 
pa[(31/2-1)β-
(2-31/2)β2]/2 
(31/2-1)b/2 
β > 1 β > (31/2+1)/2 1 2a 2b 
pa
[1
-1
/(2
β)]
/2
 
pa
[1
-(
31
/2
+1
)/(
4β
)]/
2 
 
LAJE - ESFORÇOS E FLECHAS EM LAJE RETANGULAR COM APOIOS LINEARES (ν = 0,2) multiplicar
 
[MUSSO] 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 81
 
LAJE - ESFORÇOS E FLECHAS EM LAJE RETANGULAR COM APOIOS LINEARES (ν = 0,2) dividir 
 
[MUSSO] 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 82
 
LAJE - ESFORÇOS E FLECHAS EM LAJE RETANGULAR COM APOIOS LINEARES - (ν = 0,0) 
 
[CZERNY] 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 83
 
LAJE - ESFORÇOS E FLECHAS EM LAJE RETANGULAR COM APOIOS LINEARES - (ν = 0,15) 
 
[BARES] 
 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 84
 
LAJE - INFLUENCIA DO MÓDULO DE POISSON 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
[BARES] 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 85
 
LAJE - INFLUENCIA DO MÓDULO DE POISSON 
 
 
 
[BARES] 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 86
 
LAJE - INFLUENCIA DO MÓDULO DE POISSON 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
[BARES] 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 87
 
LAJE - MOMENTOS E FLECHAS EM LAJE COM APOIOS INTERNOS PONTUAIS - PAINEL DE CANTO 
 
 
 
 
 
[EISENBIEGLER] 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 88
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7.3 - LAJE - DIMENSIONAMENTO NO 
ESTADO LIMITE ÚLTIMO (ELU)
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 89
 
LAJE - DIMENSÕES LIMITES DE LAJES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
[NBR 6118] 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 90
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7.3.1 - LAJE - DIMENSIONAMENTO À 
MOMENTO FLETOR (ELU-M)
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 91
 
LAJE - FORMULÁRIO DE DIMENSIONAMENTO DE SEÇÂO RETANGULAR À MOMENTO FLETOR (ELU-M) 
As área da seção da armadura longitudinal fyk resistência característica de escoamento do aço 
 tracionada h altura da seção transversal 
sA′ área da seção da armadura longitudinal Md 1,4(MG + MQ) momento fletor de cálculo 
 comprimida Md,lim momento fletor de cálculo máximo com 
As,mín área mínima da seção da armadura longitudinal armadura simples 
 tracionada MG momento fletor da ação permanente G 
As,lim área da seção da armadura tracionada MQ momento fletor da ação variável Q 
 correspondente a Md,lim T força de tração na armadura longitudinal 
b largura da seção transversal x profundidade da linha neutra no estádio 3 (ELU) 
C força de compressão no concreto xlim profundidade máxima da linha neutra para 
d altura útil da seção transversal ruptura dúctil da seção (ruptura com aviso) 
 distância do centróide da armadura tracionada à z braço de alavanca (braço do binário) 
 borda comprimida da seção transversal encurtamento da fibra extrema de concreto εc
d′ fyd/Es deformação de escoamento do aço distância do centróide da armadura comprimida εyd
 à borda comprimida da seção transversal εs alongamento da armadura tracionada 
d ′′ h - d sε′ encurtamento da armadura comprimida 
dlim altura útil mínima com armadura simples ξ x/d profundidade da linha neutra adimensional 
Es 210000 MPa módulo de elasticidade do aço λ 0,8 coeficiente de redução da altura comprimida 
fcd fck/1,4 resistência de cálculo do concreto à da seção (diagrama retangular x parabólico) 
 compressão η 0,85 coeficiente de redução da resistência de 
fck resistência característica do concreto à cálculo do concreto à compressão 
 compressão aos 28 dias μ Md/(bd2ηfcd) momento fletor adimensional 
fyd fyk/1,15 resistência