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Parte 13 - Coordenadas polares Calcule a integral dAyx R 22 , com R delimitada pela figura de equação x2 + y2 = 4. Para situações em que a região de integração é circular, existe a possibilidade de transformar as coordenadas cartesianas em função das razões trigonométricas simples (seno e cosseno). As novas coordenadas são denominadas polares. Um sistema polar de coordenadas fica assim determinado: - um ponto O (pólo); - um raio AO (r), que parte de este ponto (eixo polar); - uma unidade para medir distâncias. Para determinar por completo o sistema polar deve-se indicar que direção das rotações ao redor do ponto O se tomam por positivas. Normalmente são tomadas como positivas as rotações efetuadas na direção contrária ao movimento dos ponteiros de um relógio (sentido anti- horário, trigonométrico). Suponha dados o pólo e o eixo polar. - Consideremos um ponto arbitrário M. Designa-se por r a sua distância ao ponto O (r = │OM│) e por o ângulo que o raio OA deve girar para coincidir com o raio OM ( = AOM). - O ângulo é convencionado como na trigonometria; - Os números e r são as coordenadas do ponto M. - O número r é a coordenada primeira ou raio polar. - O número é a coordenada segundo ou ângulo polar. Como valor principal do ângulo polar toma-se um valor no qual se deve girar o raio OA para coincidir com OM. A rotação positiva é o valor principal do ângulo polar se toma. Se o ponto M coincide com O, temos: r = │OM│= 0. A primeira coordenada do pólo é igual a zero. A segunda coordenada não tem valor determinado. Conversão de coordenadas M é um ponto arbitrário do plano xOy. OMx =│OM│. cos ; OMy =│OM│. sen x = r. cos ; y = r.sen Para definir é necessário saber se o seu valor é positivo ou negativo. Integrais em coordenadas polares Considere a região R na figura a seguir, delimitada por dois raios (que fazem ângulos positivos e com o eixo polar) e pelos gráficos de suas equações polares r = g1 ( ) e r = g2 ( ), em que g1 e g2 são funções contínuas e g1 ( ) g2 ( ), para . R pode ser subdividida por arcos circulares e raios conforme a figura a seguir. A coleção de regiões polares contidas em R é chamada partição polar interior de R. Se f é uma função contínua das variáveis polares r e , então pode-se provar o seguinte teorema. R dArf , = rdrdrf g g 2 1 , Podemos considerar a integral iterada um limite de somas duplas. Primeiro, mantemos o ângulo fixo e somamos ao longo da região em forma de cunha exibida na figura a seguir, do gráfico de g1 até o gráfico de g2. Para a segunda somatória, varremos a região fazendo variar de a . Exercícios 1) Por meio de coordenadas polares, calcule as integrais. a) dydxe a a xa yx 22 22 0 b) dxdyyx y 2 0 4 0 22 2 cos c) dA yx x R 22 2 , onde R é a região delimitada por x2 + y2 = a2 e x2 + y2 = b2, com 0 < a < b. 2) Calcule a integral 1 0 1 0 4 0 2 22y yx dxdxdyz . 3) Calcule o volume do sólido delimitado pela superfície z = 4 - x2 - y2 e pelo plano xOy. RESP: 16 /3 4) Um sólido é delimitado pelas superfícies z = x2 + y2 e x2 + y2 = 4 e pelo plano xOy. Calcule o seu volume. RESP: 8 5) Um sólido Q é delimitado pelo cone de equação z = 22 yx e pelo plano z = 2. A densidade do material que constitui o cone em qualquer ponto P é diretamente proporcional ao quadrado da distância de P até a origem. Calcule a massa de Q. RESP: (48k )/5 6) Suponha que f (x, y) 0 em toda a região R do plano xOy e que f tenha derivadas parciais contínuas em R. Seja S a porção do gráfico de f cuja projeção sobre o plano xOy é R. A área A da superfície S será calculada: A = R yx yxfyxf 1,, 22 dA. Seja R a região triangular no plano xOy de vértices (0, 0, 0), (0, 1, 0) e (1, 1, 0). Calcule a área da superfície da porção do gráfico de z = 3x + y2 que está acima de R. RESP: (143/2 - 103/2)/12 7) Calcule a área da superfície de equação z = 4 - x2 - y2 para z 0. RESP: (173/2 - 1)/6
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