Coordenadas Polares - Cálculo III

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Parte 13 - Coordenadas polares 
 
Calcule a integral 
  dAyx
R
 
22
, com R delimitada 
pela figura de equação x2 + y2 = 4. 
 
 
Para situações em que a região de integração é 
circular, existe a possibilidade de transformar as 
coordenadas cartesianas em função das razões 
trigonométricas simples (seno e cosseno). As novas 
coordenadas são denominadas polares. 
 
Um sistema polar de coordenadas fica assim 
determinado: 
- um ponto O (pólo); 
- um raio AO (r), que parte de este ponto (eixo polar); 
- uma unidade para medir distâncias. 
 
 
 
Para determinar por completo o sistema polar deve-se 
indicar que direção das rotações ao redor do ponto O se 
tomam por positivas. Normalmente são tomadas como 
positivas as rotações efetuadas na direção contrária ao 
movimento dos ponteiros de um relógio (sentido anti-
horário, trigonométrico). 
 
Suponha dados o pólo e o eixo polar. 
 
- Consideremos um ponto arbitrário M. Designa-se por r 
a sua distância ao ponto O (r = │OM│) e por 

 o 
ângulo que o raio OA deve girar para coincidir com o 
raio OM (

 = 

AOM). 
 
- O ângulo 

 é convencionado como na trigonometria; 
- Os números 

 e r são as coordenadas do ponto M. 
 
- O número r é a coordenada primeira ou raio polar. 
- O número 

 é a coordenada segundo ou ângulo polar. 
 
Como valor principal do ângulo polar toma-se um valor 
no qual se deve girar o raio OA para coincidir com OM. 
A rotação positiva é o valor principal do ângulo polar se 
toma. 
 
Se o ponto M coincide com O, temos: r = │OM│= 0. A 
primeira coordenada do pólo é igual a zero. A segunda 
coordenada não tem valor determinado. 
 
 
Conversão de coordenadas 
 
M é um ponto arbitrário do plano xOy. 
 
OMx =│OM│. cos

; OMy =│OM│. sen

 
 
x = r. cos

; y = r.sen

 
 
 
Para definir 

 é necessário saber se o seu valor é 
positivo ou negativo. 
 
 
 
 
Integrais em coordenadas polares 
 
 
Considere a região R na figura a seguir, delimitada por 
dois raios (que fazem ângulos positivos 

 e 

 com o 
eixo polar) e pelos gráficos de suas equações polares r 
= g1 (

) e r = g2 (

), em que g1 e g2 são funções 
contínuas e g1 (

) 

 g2 (

), para 

 
  
 

. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
R pode ser subdividida por arcos circulares e raios 
conforme a figura a seguir. 
 
A coleção de regiões polares contidas em R é chamada 
partição polar interior de R. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se f é uma função contínua das variáveis polares r e 

, 
então pode-se provar o seguinte teorema. 
 
 
 
R
dArf ,
 = 
 
 
 





rdrdrf
g
g
 
2
1
,
 
 
Podemos considerar a integral iterada um limite de 
somas duplas. Primeiro, mantemos o ângulo 

 fixo e 
somamos ao longo da região em forma de cunha 
exibida na figura a seguir, do gráfico de g1 até o gráfico 
de g2. Para a segunda somatória, varremos a região 
fazendo 

 variar de 

 a 

. 
 
 
 
Exercícios 
 
1) Por meio de coordenadas polares, calcule as 
integrais. 
a)  dydxe
a
a
xa
yx
 



22
22
0
 
b)  dxdyyx
y
 


2
0
4
0
22
2
cos
 
c) 
dA
yx
x
R
  22
2 , onde R é a região delimitada por x2 
+ y2 = a2 e x2 + y2 = b2, com 0 < a < b. 
 
 
2) Calcule a integral    
 1
0
1
0
4
0
2 22y yx
dxdxdyz
. 
 
3) Calcule o volume do sólido delimitado pela superfície 
z = 4 - x2 - y2 e pelo plano xOy. RESP: 16

/3 
 
4) Um sólido é delimitado pelas superfícies z = x2 + y2 e 
x2 + y2 = 4 e pelo plano xOy. Calcule o seu volume. 
RESP: 8

 
 
5) Um sólido Q é delimitado pelo cone de equação z = 
22 yx 
 e pelo plano z = 2. A densidade do material 
que constitui o cone em qualquer ponto P é diretamente 
proporcional ao quadrado da distância de P até a 
origem. Calcule a massa de Q. RESP: (48k

)/5 
 
6) Suponha que f (x, y) 

 0 em toda a região R do 
plano xOy e que f tenha derivadas parciais contínuas 
em R. Seja S a porção do gráfico de f cuja projeção 
sobre o plano xOy é R. A área A da superfície S será 
calculada: 
 
A = 
      
R
yx yxfyxf 1,,
22
 dA. 
 
Seja R a região triangular no plano xOy de vértices (0, 
0, 0), (0, 1, 0) e (1, 1, 0). Calcule a área da superfície da 
porção do gráfico de z = 3x + y2 que está acima de R. 
RESP: (143/2 - 103/2)/12 
 
7) Calcule a área da superfície de equação z = 4 - x2 - 
y2 para z 

 0. RESP: 

(173/2 - 1)/6