D1T2 - Modelos de Filas

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Modelos de filas
Os modelos de filas fornecem ao analista uma ferramenta poderosa para projetar e avaliar o desempenho
dos processos que geram filas. Neste conteúdo, vamos conhecer outros modelos mais complexo para o
estudo dos processos de filas.
Prof. Mauro Rezende Filho
1. Itens iniciais
Propósito
Compreender as características de filas mais complexas, as soluções matemáticas e os exemplos de
aplicação de filas na vida real é fundamental para os profissionais que projetam e/ou gerenciam processos ou
sistemas produtivos.
Preparação
Antes de iniciar o conteúdo, faça o download do Solucionário. Nele. você encontrará o feedback das
atividades.
Objetivos
Reconhecer alguns modelos de filas.
Reconhecer o modelo de fila M/M/1.
Reconhecer o modelo de fila M/M/s.
Reconhecer filas com prioridades.
Introdução
Olá! Antes de começarmos, assista ao vídeo e compreenda o conceito de modelos de filas.
Conteúdo interativo
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1. Exemplos de filas
Reconhecendo modelos de filas
Neste vídeo, você conhecerá alguns exemplos de modelos de filas.
Conteúdo interativo
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Exemplos de modelos de filas
Para começar nosso estudo, vamos, primeiramente, definir o modelo de um processo de Markov de tempo
contínuo em espaço de estado discreto. Seja os possíveis estados de um processo. O
valor de " " pode ser finito ou infinito, mas deve ser discreto. Observe que usamos um valor numérico
para apresentar um estado apenas por conveniência, para facilitar o entendimento. Na verdade, estado-i nada
mais é do que um nome, sendo selecionado para fins de referência. No entanto, em muitos casos, esses
nomes têm um significado e seu uso pode levar a uma apresentação natural de um estado, como o número de
clientes em uma fila (quando aplicável).
Por conveniência, assumimos que para qualquer , o número de parâmetros positivos, , 
, é finito. 
Essa suposição vale para todos os modelos que vamos definir. Sempre que o processo entra no estado ,
para qualquer com parâmetro positivo , uma variável aleatória com distribuição independente e
exponencial com parâmetro é desenhada.
Observe que são realizadas independentemente do histórico do processo anterior a essa entrada no estado-i.
O processo então permanece no estado-i por um período cujo valor é o menor entre essas variáveis
aleatórias. Além disso, ele se move para o estado-j em que esta minimização é alcançada. Uma vez no
estado-j, isso é repetido, agora com parâmetros, , ad infinitum. O parâmetro é geralmente
referido como a taxa de transição do estado-i para o estado-j. Sem perda de generalidade, assumimos que 
.
Na teoria das filas, a notação criada por Kendall (ou às
vezes a notação de Kendall, pois foi introduzida por A.
Kendall Erlan) é o sistema padrão usado para descrever e
classificar um nó de uma fila. Kendall propôs inicialmente
descrever modelos de filas usando três fatores
referenciados como A/S/c, nos quais A denota o tempo
entre as chegadas à fila, S a distribuição do tempo de
atendimento e c o número de canais de atendimento
abertos no nó. 
Posteriormente, essa notação foi estendida a fim de
representar melhor um sistema de filas, para A/S/c/K/N/D
de modo que K é a capacidade da fila, N é o tamanho da
população de trabalhos a serem atendidos e D é a disciplina
de filas.
Veja a seguir quais são os códigos comumente usados:
1 Markoviano ou sem memória (M)
Processo de chegada de processo de Poisson (ou aleatório), ou seja, tempos exponenciais entre
chegadas.
Exemplo: M/M/1
2
Distribuição degenerada (D)
Um tempo determinístico ou fixo entre chegadas.
Exemplo: D/D/1
3
Distribuição Erlang 
Uma distribuição Erlang com k como parâmetro de forma, ou seja, soma de k variáveis aleatórias
exponenciais.
Exemplo: 
4
Distribuição geral (G)
Embora G geralmente se refira a chegadas independentes, alguns autores preferem usar GI para
serem explícitos.
Exemplo: M/G/1
Conheça agora alguns dos modelos mais utilizados.
Exemplo 1
Processos de nascimento e morte
Um processo de Markov é chamado de processo de nascimento e morte se seu espaço de estado for 
 e suas únicas taxas de transição diferentes de zero são e .
Perceba a seguir, a representação gráfica do processo de nascimento e morte.
Representação gráfica do processo de nascimento e morte.
Exemplo 2
A fila M/M/1
Suponha que os tempos entre chegadas para uma fila de um único servidor sejam independentes e
exponencialmente distribuídos com o parâmetro que denominaremos de (lambda). Além disso, suponha
que os tempos de atendimento sejam independentes e sigam uma distribuição exponencial com o parâmetro
que denominaremos de (mi). Todas as variáveis aleatórias consideradas aqui são independentes.
Essa situação pode ser modelada como um processo de Markov de tempo contínuo cujo espaço de estados é
o conjunto de inteiros não negativos, representando o número no sistema (na fila mais em serviço), e cujas
probabilidades de transição diferentes de zero são , para e , para .
Observe que usamos duas propriedades da distribuição exponencial: a propriedade sem memória e o fato de
que o mínimo entre variáveis exponenciais e aleatórias independentes também é distribuído exponencialmente
e com um parâmetro igual à soma dos parâmetros individuais. Assim, obtemos um caso especial de um
processo de nascimento e morte com , para e , para .
Perceba a seguir, a representação gráfica de uma fila M/M/1.
Representação gráfica de uma fila M/M/1.
Exemplo 3
A fila M/M/ꝏ
Vamos considerar um modelo como apresentado no exemplo 2, mas com uma mudança (ao invés
de ) para . Essa seleção de parâmetros pode representar um modelo de fila com um
processo de chegada de Poisson e com um número infinito de servidores, cada um dos quais fornece serviço
que segue uma distribuição exponencial com um parâmetro comum . Além disso, sempre que "i" clientes
estão presentes, o tempo até o primeiro entre eles completar o serviço é o mínimo entre as " " variáveis
aleatórias exponenciais. Assim, a taxa de transição de "i" para i - 1 é i . Novamente, esse é um caso especial
de um processo de nascimento e morte com , para e , para . Na
realidade, foi modelado aqui mais um sistema de atraso do que um sistema de filas real.
Perceba a seguir, a representação gráfica da fila: M/M/ꝏ.
Representação gráfica da fila: M/M/ꝏ.
Exemplo 4
A fila M/M/s
O sistema de filas M/M/s é um modelo intermediário entre os dois modelos (exemplos 2 e 3). Especificamente,
assumimos que o número de servidores é "s" e que são todos idênticos. As taxas de natalidade são como nos
dois exemplos anteriores, ou seja, , para as taxas de transição correspondentes à morte
são, para i ,
Perceba a seguir, a representação gráfica da fila M/M/s.
Representação gráfica da fila: M/M/s.
Exemplo 5
A fila M/Er/1
Suponha que o processo de chegada a uma única fila de um servidor seja distribuído de acordo com Poisson.
Os tempos de serviço seguem uma distribuição Erlang com " " estágios, cada um dos quais é
exponencialmente distribuído com o parâmetro . Suponha que clientes estejam no sistema, e que
um dos quais esteja em serviço. Além disso, suponha que " " estágios de serviço sejam deixados para
aquele atualmente em serviço por cerca de . Então, essas duas informações são suficientes para
determinar estatisticamente o futuro, independentemente de qualquer outra informação do passado. 
Além disso, o número de etapas a serem concluídas por todos os clientes do sistema é Por
outro lado, se houver " " estágios de serviço incompletos, é possível deduzir a situação atual da fila.
Especificamente, se for um número inteiro, então clientes estão presentes, um em serviço com
" " estágios à frente e na fila. Se não for um número inteiro, ainda há um em serviço
com (mod r) estágios à frente e clientes na fila. Em resumo, o número de estágios incompletos
pode servir como um estado emum espaço de estados (unidimensional) de um processo de Markov. As taxas
de transição são as seguintes: .
Perceba a seguir, a representação gráfica da fila M/Er/1.
Exemplificação gráfica da fila: M/Er/1.
Exemplo 6
Filas de servidor único multiclasse
Considere uma fila sem memória FCFS (primeiro a chegar, primeiro a ser servido) de um servidor único. Existe
um número finito de classes de clientes. A taxa de chegada da classe-c é "c" e sua taxa de serviço é , ou
seja, o tempo de atendimento de cada um de seus clientes segue uma distribuição exponencial com
parâmetro . Agora temos que ) representa um estado típico em um processo de Markov.
Em particular, é a classe do cliente em serviço, é a classe do segundo da fila, e assim por diante. As
taxas de transição diferentes de zero são as seguintes. De é possível) em 
 a taxa é e de em ; ) a taxa é .
Exemplificação gráfica de filas de servidor único multiclasse.
Exemplo 7
Filas com novas tentativas
Considere uma fila M/M/1, mas com a seguinte variação importante. Assim que um cliente chega, ele verifica
se o servidor está ocioso. Se esse for o caso, inicia o serviço imediatamente e, caso contrário, vai para uma
sala de espera. Lá ele tenta novamente após um tempo que segue uma distribuição exponencial com
parâmetro . Se o servidor estiver novamente ocupado, ele volta para a sala de espera e assim
sucessivamente. Observe que, se alguns clientes estiverem na sala de espera, todos se comportarão
conforme indicado aqui. A modelagem do processo de Markov, nesse caso, é a seguinte: os estados são pares
, em que ( , respectivamente) significa que o servidor está ocupado (ocioso,
respectivamente) e j é o número de clientes na sala de espera. As taxas de transição são:
Perceba a seguir, a reprodução gráfica de filas com novas tentativas.
Exemplificação gráfica de filas com novas tentativas.
Verificando o aprendizado
Questão 1
Em geral, os sistemas de filas podem ser caracterizados por processos de entrada complexos, distribuição de
tempo de atendimento, número de servidores (ou canais), tamanho do buffer (ou sala de espera) e disciplinas
de fila. Na prática, esses processos e disciplinas de filas muitas vezes não são passíveis de análise. Uma das
características do sistema de filas é
A
feedback dos clientes.
B
mecanismo aleatório.
C
experiência do cliente.
D
mecanismo de serviço.
E
mecanismo de atendimento.
A alternativa D está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.
Questão 2
Em um sistema de filas M/M/1, se os elementos “A”, “B”, “C” e “D” forem colocados em uma fila e forem
excluídos um de cada vez, em que ordem eles serão removidos?
A
ABCD
B
DCBA
C
DCAB
D
ABCD
E
ADBC
A alternativa A está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.
2. Modelo de fila M/M/1
As Filas M/M/1
Neste vídeo, você compreenderá o conceito de filas de servidor único (M/M/1).
Conteúdo interativo
Acesse a versão digital para assistir ao vídeo.
Conceito de filas de servidor único
Vamos agora estudar o processo de uma fila M/M/1, ou seja, de servidor único em estado estacionário. Os
tempos entre chegadas e os tempos de serviço são assumidos como distribuídos com funções de densidade
dadas, respectivamente, a:
Distribuição exponencial Distribuição de Poisson
Perceba o gráfico da função exponencial.
Gráfico: Função exponencial.
Agora perceba o diagrama de transição de taxa para a fila M/M/1.
Diagrama de transição de taxa para a fila M/M/1.
Considere " " como o número de clientes no sistema. As chegadas podem ser consideradas como
"nascimentos" para o sistema, e as saídas podem ser consideradas como "mortes" (desde que haja pelo
menos um cliente no sistema). Assim, a fila é um processo birth/death (nascimento e morte) com 
 e . As equações de equilíbrio de fluxo para esse sistema são:
Alternativamente, podemos escrever:
Perceba a exemplificação gráfica da fila M/M/1.
Fila M/M/1.
Ao apresentar os modelos a seguir, vamos começar devagar e apresentar vários exemplos, para que você
possa ter uma ideia melhor dos modelos de fila de espera. Seja paciente e reserve bastante tempo para
estudar, caso contrário, você pode facilmente se confundir.
Inicialmente, vamos relembrar as suposições da teoria das filas:
 
A população de origem tem tamanho infinito.• 
0 tempo entre chegadas tem uma distribuição de probabilidade exponencial com uma taxa média de
chegada de chegadas de clientes por unidade de tempo.
Não há comportamento incomum do cliente.
A disciplina de serviço é FIFO.
0 tempo de serviço tem uma distribuição de probabilidade exponencial com uma taxa média de serviço
de conclusões de serviço por unidade de tempo.
A taxa média de chegada é menor que a taxa média de atendimento, ou seja, .
Não há nenhum comportamento incomum do servidor.
Sistema de filas M/M/1 (∞/FIFO)
Esse é um modelo de filas em que as chegadas seguem um processo de Poisson, os tempos de atendimento
são exponencialmente distribuídos e há apenas um servidor. É um sistema com entrada de Poisson, tempo de
espera exponencial e saída de Poisson com canal único.
A capacidade da fila do sistema é infinita com o modo primeiro a entrar, primeiro a sair (FIFO). O primeiro M na
notação representa a entrada de Poisson, o segundo M a saída de Poisson, 1 para o número de servidores e ∞
para capacidade infinita do sistema.
Fórmulas
Probabilidade de unidade zero na fila:
Comprimento médio da fila:
Número médio de unidades no sistema:
Tempo médio de espera de uma chegada:
Tempo médio de espera de uma chegada no sistema:
• 
• 
• 
• 
• 
• 
Exemplo
Os trabalhos chegam a um servidor de acordo com uma distribuição de Poisson, com uma intensidade de um
trabalho a cada 7 segundos. Os trabalhos observam a fila. Eles não entram na fila com probabilidade se
observarem tarefas na fila. se , ou 0 , caso contrário. O tempo de serviço é distribuído
exponencialmente com tempo médio de 6 segundos. Determine o número médio de clientes no sistema.
Solução
Observe o diagrama do sistema!
Diagramas de estado de espaço.
Esse é um modelo simples, mas requer um design cuidadoso. Depois de construir o diagrama de estado
correto, a solução é encontrada, com base nas equações de balanceamento LOCAL. Temos um sistema com 6
estados. Espaço de estados: : jobs no sistema. 0 diagrama do sistema é mostrado na imagem anterior.
Observe agora o sistema de equação de equilíbrio:
Esse sistema de equações (6 equações e 6 incógnitas) poderá ser resolvido pelo método de substituições e
calcular . As probabilidades restantes são calculadas com base em e nas equações acima.
Depois de determinar as probabilidades de estado, derivamos o número médio de clientes no sistema por
meio de:
Observamos aqui um sistema com diferentes taxas de chegada em cada estado. Esses sistemas são definidos
como não homogêneos. No entanto, a taxa de serviço é constante. O servidor está ocupado com
probabilidade . Quando está ocupado, executa os trabalhos. A taxa de serviço é Como
resultado, o servidor pode atender a 100 trabalhos em 100 segundos em MÉDIA!
Exemplo
A Linha 1 do metrô de São Paulo tem um balcão único na estação Jabaquara. Durante as horas de pico, os
clientes chegam à taxa de 10 por hora. O número médio de clientes que podem ser atendidos é de 12 por
hora. Descubra:
A probabilidade de o balcão estar livre.
O número médio de clientes na fila.
Solução
Dados do problema: λ = 10/hora, μ = 12/hora.
Probabilidade de unidade zero na fila:
Número médio de clientes na fila:
Exemplo
O Banco YDVQS está pensando em abrir um novo caixa para atendimento ao cliente. A gerência estima que os
clientes chegarão a uma taxa de 15 por hora. O caixa que está sendo considerado para ocupar o guichê pode
realizar os atendimentos a uma taxa de um a cada três minutos. Assumindo que as chegadas de clientes
seguem uma distribuição de Poisson e o serviço uma distribuição exponencial, pede-se:
Número médio na filade espera.
Número médio no sistema.
Tempo médio de espera na fila.
Tempo médio de espera no sistema.
Solução
Dados do problema: λ = 15/hora e μ = 60/3 = 20/hora.
Número médio na fila de espera:
Número médio no sistema:
1. 
2. 
1. 
2. 
3. 
4. 
Tempo médio de espera na fila:
Tempo médio de espera no sistema:
Sistema de filas M/Ek/1 (∞/FIFO)
É um modelo de filas em que as chegadas seguem um processo de Poisson, o tempo de atendimento segue
uma distribuição de probabilidade Erlang e o número de servidores é um.
A capacidade da fila do sistema é infinita com o modo primeiro a entrar, primeiro a sair. O primeiro na
notação representa a entrada de Poisson, " " para o número de fases, 1 para o número de servidores e 
para capacidade infinita do sistema.
 
 de uma distribuição de probabilidade é a distribuição de probabilidade de uma variável aleatória, que
pode ser expressa como a soma " " independes variáveis exponenciais identicamente distribuídas.
Fórmulas
Número esperado de entidades na fila:
Tempo de espera antes de ser atendido:
Tempo esperado gasto no sistema:
Número esperado de entidades no sistema:
À medida que k se aproxima do infinito, as expressões de e são dadas por...
Número esperado de entidades na fila:
Tempo de espera antes de ser atendido:
Tempo esperado gasto no sistema:
Número esperado de entidades no sistema:
Exemplo
O registro de um aluno em uma universidade requer três etapas a serem concluídas sequencialmente. O
tempo gasto para executar cada etapa segue uma distribuição exponencial com média de 30/3 minutos e é
independente entre si. Os alunos chegam à sede de acordo com um processo de entrada de Poisson com uma
taxa média de 25 por hora. Suponha que haja apenas uma pessoa para registro. Com base nessas
informações, encontre:
Tempo de espera esperado.
Número esperado de alunos na fila.
Solução
Esse é um sistema M/Ek/1. Temos que k = 3, λ = 25 por hora.
Tempo de serviço por fase:
1. 
2. 
Número esperado de alunos na fila:
Tempo de espera antes de ser atendido:
Teoria na prática
O reparo de determinado tipo de máquina requer três etapas a serem concluídas sequencialmente. O tempo
gasto para executar cada etapa segue uma distribuição exponencial com média de 20/3 minutos e é
independente entre si. A quebra da máquina segue um processo de Poisson com taxa de 1 por 2 horas.
Supondo que haja apenas um técnico de manutenção, determine:
O tempo ocioso esperado de uma máquina.
O tempo médio de espera de uma máquina quebrada em uma fila.
O número esperado de máquinas quebradas na fila.
O número médio de máquinas que não estão em operação.
Chave de resposta
Assista ao vídeo a seguir para conferir a resolução da questão.
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Mão na massa
Questão 1
No posto de combustível YDVQS, os clientes chegam de acordo com um processo de Poisson com um tempo
médio de 5 minutos entre as chegadas. O tempo de atendimento é distribuído exponencialmente com tempo
médio = 2 minutos. Com base nessas informações, descubra qual é o tempo médio gasto por um carro na
bomba de gasolina.
1. 
2. 
3. 
4. 
A
1,33 minutos
B
1,86 minutos
C
2,58 minutos
D
3,34 minutos
E
4,34 minutos
A alternativa D está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.
Questão 2
Os alunos chegam à sede de uma grande universidade de acordo com um processo de entrada de Poisson
com uma taxa média de 40 por hora. O tempo necessário para atender um aluno tem uma distribuição
exponencial com média de 50 por hora. Suponha que os alunos sejam atendidos por um único indivíduo.
Encontre o tempo médio de espera de um aluno.
A
1,33 minutos
B
1,86 minutos
C
2,58 minutos
D
4,80 minutos
E
4,94 minutos
A alternativa D está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.
Questão 3
Um técnico especializado em reparo de televisões descobre que o tempo gasto em seu trabalho tem uma
distribuição exponencial com média de 30 minutos. Se ele consertar as TVs na ordem em que chegaram e se
a chegada das TVs seguir uma distribuição de Poisson com uma taxa média de 10 por dia de 8 horas, qual
será o tempo ocioso esperado do técnico a cada dia?
A
5 horas
B
4 horas
C
3 horas
D
2 horas
E
1 horas
A alternativa C está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.
Questão 4
Em média, 96 pacientes por dia de 24 horas requerem o serviço de uma clínica de emergência. Também em
média, um paciente requer 10 minutos de atenção ativa. Suponha que a instalação possa lidar com apenas
uma emergência por vez. Suponha que custa à clínica R$ 100 por paciente atendido para obter um tempo
médio de atendimento de 10 minutos, e que cada minuto de diminuição desse tempo médio custaria R$ 10 por
paciente tratado. Quanto teria de ser orçado pela clínica para diminuir o tamanho médio da fila de um terço de
paciente para meio paciente?
A
R$ 125 por paciente
B
R$ 105 por paciente
C
R$ 100 por paciente
D
R$ 85 por paciente
E
R$ 65 por paciente
A alternativa A está correta.
Assista ao vídeo para conferir a resolução do exercício.
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Questão 5
Os clientes chegam a uma unidade de uma janela de acordo com uma distribuição de Poisson com média de
10 minutos e o tempo de atendimento por cliente é exponencial com média de 6 minutos. O espaço em frente
à janela pode acomodar apenas três clientes, incluindo o atendido. Os outros clientes devem esperar fora
desse espaço. Calcule a probabilidade de um cliente ter de esperar fora do espaço direcionado.
A
32,5%
B
31,7%
C
30,8%
D
28,4%
E
21,6%
A alternativa E está correta.
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Questão 6
Os alunos chegam à sede de uma universidade de acordo com um processo de entrada de Poisson com uma
taxa média de 25 por hora. O tempo necessário para atender um aluno tem uma distribuição exponencial com
média de 45 por hora. Suponha que os alunos sejam atendidos por um único indivíduo. Encontre o tempo
médio de espera de um aluno.
A
18 minutos e 25 segundos
B
17 minutos e 38 segundos
C
16 minutos e 41 segundos
D
15 minutos e 19 segundos
E
14 minutos e 53 segundos
A alternativa C está correta.
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Verificando o aprendizado
Questão 1
Os usuários de um serviço público chegam a um guichê seguindo uma distribuição de Poisson com um tempo
médio de 5 minutos entre uma chegada e outra. O tempo de atendimento é em média 3 minutos e segue uma
distribuição exponencial. Qual é a probabilidade de que o guichê esteja ocupado?
A
40%
B
50%
C
60%
D
70%
E
74%
A alternativa C está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.
Questão 2
Um mecânico conserta 4 máquinas. O tempo médio entre os requisitos de serviço é de 5 horas para cada
máquina e forma uma distribuição exponencial. O tempo médio de reparo é de 1 hora e também segue o
mesmo padrão de distribuição. Encontre o número esperado de máquinas em operação.
A
0
B
1
C
2
D
3
E
4
A alternativa D está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.
3. Modelo de fila M/M/s
As filas M/M/s
Neste vídeo, você conhecerá o sistema de filas M/M/s e outros modelos de filas tais como: a fila finita M/M/1/K
e o sistema de perda M/M/s/S.
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Sistema de filas M/M/s
Quando temos uma única fila, porém com mais de 1 servidor paralelo, então temos um sistema de filas M/M/s.
O diagrama abaixo mostra 4 servidores paralelos atendendo a 1 fila. É importante entendermos a diferença
entre o sistema de filas M/M/s e o sistema de filas s vezes M/M/1. No sistema de filas , temos " "
servidores paralelos com 1 fila enquanto no sistema de filastemos o mesmo número de
servidores, mas alteramos a configuração para ter " " número de filas.
Perceba os dois tipos de fila a seguir.
Sistema de filas M/M/s
Sistema de filas s*M/M/1
O desempenho de nosso sistema de filas, no qual a distribuição de chegada dos clientes segue a distribuição
de Poisson e a distribuição do tempo de atendimento segue a distribuição exponencial com o número s de
servidores paralelos, é dado pelas fórmulas abaixo.
Para calcular a medida de eficácia do sistema de filas, primeiro precisamos calcular a razão entre a
intensidade do tráfego e a probabilidade de que o sistema esteja ocioso .
Fórmulas
Entrada
Taxa de chegada (número de clientes/unidade de tempo) = λ
Taxa de atendimento (número de clientes/tempo da unidade) = µ
Número de servidores = s
Saída
Fator de utilização = porcentagem do tempo em que todos os servidores estão ocupados:
Taxa efetiva de chegada:
Probabilidade de não haver clientes no sistema:
Probabilidade de haver "n" clientes no sistema:
Tempo médio que um cliente gasta na fila esperando pelo atendimento:
Tempo médio que um cliente fica no sistema (na fila de espera e sendo atendido):
Número médio de clientes em fila de espera para atendimento:
Número médio de clientes no sistema (em fila de espera e sendo atendidos):
Pela formulação apresentada, você pode notar que o desempenho da fila não é linear. Quanto maior o número
de servidores paralelos, o tempo de espera e o comprimento da fila reduzem drasticamente. Por outro lado,
adicionar servidores significa custo adicional para atender os clientes. Esse pensamento nos leva a questionar
se podemos encontrar o número ideal de servidores para minimizar o custo do seu sistema de negócios
usando o modelo de filas.
A otimização considera a taxa de chegada de clientes, a taxa de atendimento, o custo do serviço para operar
os servidores de filas e o tempo de espera do cliente (insatisfação do cliente ou oportunidade de perda de
clientes).
Perceba a seguir, o gráfico da otimização.
Gráfico da otimização.
O objetivo de otimização de filas é minimizar o custo total de custo de espera e custo de serviço. Precisamos
encontrar o equilíbrio entre demanda (lado dos clientes) e oferta (número de servidores). O aspecto mais
importante da otimização de filas é como você valoriza seus clientes em comparação a como você avalia o
custo de seus servidores. A razão entre Cs e Cw representa, na verdade, a qualidade do serviço do seu
sistema de filas. Acompanhe:
1 Quanto maior o valor de Cs comparado ao Cw, você define que o valor do servidor é muito mais caro
do que o valor do cliente e, portanto, você obtém menor qualidade de serviço em seu sistema de
filas.
2Quando você define o custo unitário de espera Cw sendo muito mais alto do que o custo unitário do
servidor Cs, valoriza o cliente como uma pessoa muito importante (VIP) e tem uma qualidade de
serviço muito melhor, mas precisa arcar com custos mais altos por esse serviço.
Exemplo
Suponha que um hospital tenha dois médicos cuja taxa de atendimento seja em média de 20 minutos por
pacientes. Admitindo-se que os pacientes cheguem em média a cada meia hora, vamos analisar o sistema.
Taxa média de chegada = 1 paciente a cada ½ hora, λ = 2 pacientes por hora.
Tempo médio de atendimento = 20 minutos para atendimento de cada paciente, µ = 3 pacientes por
hora.
Temos 2 médicos, s = 2.
• 
• 
• 
Utilização: ρ = λ/2µ = 2/6 = 1/3 (se s=1, ρ=2/3).
Solução
Vamos então calcular as métricas. Qual a probabilidade de que ambos os médicos estejam ociosos?
Qual a probabilidade de um médico estar ocioso?
Qual a probabilidade de haver pacientes?
Qual o número esperado de pacientes esperando por um médico?
Qual o número esperado de pacientes no hospital?
Qual o tempo médio que um cliente gasta na fila esperando pelo atendimento?
Qual o tempo médio de permanência de um cliente no hospital?
• 
Exemplo
O serviço de emergência de um pequeno hospital em Duque de Caxias tem um médico em serviço
permanente. Pode-se dizer que os doentes chegam segundo uma distribuição de Poisson com razão média de
2,4 por hora. O médico garante o tratamento de emergência até outro médico chegar a aproximadamente 3
doentes por hora. A distribuição do tempo do médico por atendimento é, aproximadamente, exponencial.
Sabendo disso, responda:
Em média, qual a parte do tempo do médico gasta na prestação de serviço?
Em média, quanto deverá esperar um paciente até ser atendido pelo médico?
Se o hospital melhorar a qualidade do atendimento de emergência, ao acrescentar um médico ao
serviço permanente (sistema M/M/2), qual deverá a ser a utilização do tempo dos médicos?
Com dois médicos disponíveis, quanto deverá esperar, em média, um paciente até ser atendido?
Quanto, em média, deverá um paciente esperar até ser atendido por um médico, em uma situação em
que um médico e um assistente façam parte de um sistema do tipo M/M/1, com razão de serviço de 6
pacientes por hora, mantendo a razão de chegada em 2,4 pacientes por hora?
Justifique por que motivo o tempo médio de espera em (d) é menor que o tempo médio de espera em
(e), embora as razões médias de chegada e de serviço sejam iguais.
Solução
Taxa média de chegada: pacientes por hora.
Tempo médio de atendimento: pacientes por hora.
Então temos .
(a) Número de servidores:
Probabilidade de o médico estar ocupado: .
O tempo utilizado dos médicos será de .
(b) Tempo médio de espera até um paciente ser atendido:
(c) Número de servidores:
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
Probabilidade de o sistema estar desocupado: .
O tempo utilizado dos médicos será de 40%.
(d) Tempo até ser atendido:
(e) Taxa média de chegada: pacientes por hora:
Tempo médio de atendimento: pacientes por hora 
Número de servidores: Fila 
Tempo médio de espera de um doente até ser atendido:
(f) O sistema em (d) é muito mais flexível que o sistema em (f).
Exemplo
Suponha que os clientes cheguem a uma agência de viagens de acordo com um processo de entrada de
Poisson e os tempos de atendimento tenham uma distribuição exponencial.
 minuto, ou seja, 1 cliente a cada 10 minutos..
 minuto, ou seja, 8 clientes a cada 100 minutos.
Se houvesse apenas um servidor, o que aconteceria? 
Logo, os clientes hesitariam em longas filas – nunca atingiriam o estado estacionário. Quantos servidores você
recomendaria?
Calcular e para e .
Solução
Para esse exemplo, desenvolvemos uma planilha em Excel para responder às perguntas. Veja!
• 
• 
Captura de tela do Excel.
Para facilitar as formulações, demos nomes às células. Confira!
Captura de tela do Excel.
Para que você possa repetir esse exemplo em seu equipamento, faça a seguir as seguintes formulações:
· C8 =SE((s-1-Lambda/Mu)=0;EXP(-Mu*Tempo1)*(1+P0*((Lambda/Mu)^s)/(FATORIAL(s)*(1-
Rho))*Mu*C9);EXP(-Mu*Tempo1)*(1+P0*((Lambda/Mu)^s)/(FATORIAL(s)*(1-Rho))*(1-EXP(-
Mu*Tempo1*(s-1-Lambda/Mu)))/(s-1-Lambda/Mu))).
C11 =(1-SOMA(DESLOC(P0;0;0;s;1)))*EXP(-s*Mu*(1-Rho)*Tempo2).
C18 =Cs*s.
C19 =Cw*'L'.
C20 =Custodeservico+Custodeespera.
F4 =SE(Rho=@n;((C4/Mu)^@n)*P0/FATORIAL(@n);((C4/Mu)^@n)*P0/
(FATORIAL(s)*(s^(@n-s)))));NÃO.DISP()).
Arrastar de K5 até K29.
Outros modelos
A fila finita M/M/1/K
0 sistema de filas M/M/1/k pode ser pensado como uma cadeia de Markov de Tempo Contínuo (CTMC), 
, em que representa o número total de clientes no sistema. Podemos aproveitar a
capacidade (restrição) do sistema sendo finita.
Se as chegadas acontecem na taxa e a taxa de serviço é , então o diagrama de taxa de transição será
conforme imagem a seguir. Observe o número finito de estados, com o espaço de estado 
Representação gráfica de uma fila finitaM/M/1/k.
As probabilidades de estado estacionário, , são obtidas pela solução das equações
de estado estacionário (fluxo para fora = fluxo para dentro):
E a equação de normalização . As equações de estado estacionário contêm o padrão de
dependência de um processo de nascimento-morte, com a equação final sendo modificada devido ao espaço
de estado finito, embora isso não dificulte a solução.
Fórmulas
• 
• 
• 
 
Exemplo
Uma pequena empresa de vendas por correspondência tem uma linha telefônica e uma facilidade de chamada
em espera para dois clientes adicionais. Os pedidos chegam à taxa de um por minuto e cada pedido requer 2
minutos e 30 segundos para anotar os detalhes. Modele esse sistema como uma fila M/M/1/3 e responda às
seguintes perguntas:
(a) Qual é o número esperado de chamadas aguardando na fila? Qual é a espera média na fila?
Assumindo que as chegadas estão em um processo de Poisson com taxa 1 por minuto e os tempos de
atendimento são exponenciais com média de 2,5 minutos , temos . Além disso, .
(b) Qual é a probabilidade de que a chamada tenha que esperar mais de 1,5 minuto antes de ser atendida?
Usamos a fórmula para com e . Logo, nós obtemos:
O sistema de perda M/M/s/S
Classificamos uma fila como M/M/s/s aquela na qual os clientes que chegam quando todos os servidores
estão ocupados não têm permissão para entrar no sistema. Antes da introdução dos buffers de chamada em
espera, os sistemas telefônicos operavam estritamente como sistemas de perda.
Sejam as chegadas de clientes Poisson com parâmetro e os tempos de atendimento exponenciais com
média . Existem " " servidores e todos os clientes que chegam quando todos os servidores estão
ocupados são perdidos para o sistema. Assim, o espaço de estado para o número de clientes no sistema é 
.
As probabilidades limite são obtidas usando as equações de equilíbrio de estado:
Fórmulas
Escrevendo α = λ/μ, pode ser resolvido recursivamente para obter:
Essa é a probabilidade de um cliente ser impedido de entrar no sistema, ou seja, de chamadas telefônicas que
são perdidas. Além disso, fornece o número esperado de clientes que serão impedidos de entrar no
sistema na unidade de tempo. Essa fórmula tem sido amplamente utilizada no projeto de sistemas telefônicos
por engenheiros de tráfego.
Para referência imediata, os valores são plotados para diferentes valores de contra valores variados da
carga oferecida Na literatura de teletráfego, é comum medir a carga oferecida (a razão entre a taxa de
chegada e a taxa de serviço) em Erlangs por conveniência. Observe que, no jargão da indústria telefônica, a
carga transportada é dada por , pois uma proporção ps dos clientes que chegam é perdida para o
sistema.
Teoria na prática
O supervisor operacional de uma empresa de máquinas elétricas verificou que o serviço de manutenção
corrente de equipamento sofria atrasos, devido à espera na seção de ferramentas. Como qualquer atraso na
produção obriga a uma alteração das ordens de fabricação ou mesmo ao recurso a horas extraordinárias, o
supervisor requereu um estudo sobre a viabilidade de acrescentar mais funcionários na seção em questão,
para melhorar a resposta às necessidades do serviço de manutenção.
O assunto foi estudado, concluindo-se que o tempo médio entre as chegadas é de 80 segundos e que o
tempo médio de atendimento, por parte de um funcionário, é de 60 segundos. O custo total de um funcionário
na seção de ferramentas é de R$8,50 por hora, enquanto o custo relativo à espera (equipamento parado) é de
R$15,00 por hora. Considera-se que o dia de trabalho tem 8 horas. A tabela seguinte, parcialmente completa,
informa sobre o efeito na fila de espera de acrescentar mais funcionários (fila tipo M/M/S, S = 2, 3) à seção,
incluindo a análise dos custos diários totais envolvidos nas várias opções.
Complete a tabela e responda: Na perspectiva dos custos totais tabelados, qual será a melhor opção?
Tabela de custos. Mauro Rezende Filho
Chave de resposta
Assista ao vídeo a seguir para conferir a resolução da questão.
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Mão na massa
Questão 1
Fernando é um usuário e um dos críticos do funcionamento do serviço de uma veterinária localizada perto de
sua residência. De acordo com Fernando, sempre que chama um veterinário, este nunca vem no mesmo dia.
Atualmente, há dois veterinários, cada um atendendo em média 5 chamadas por dia (o serviço pode ser
considerado M/M/2). Quanto aos pedidos de apoio a animais doentes verifica-se que chegam aleatoriamente,
seguindo um processo de Poisson, a razão de 9 por dia. Sensível às críticas dos clientes, a direção decidiu
discutir o caso, admitindo contratar um novo veterinário. Avalie a situação, contribuindo com informação que
possa ser útil para uma tomada de decisão sobre a referida contratação.
A
A afirmação está incorreta, pois as chamadas demoram 0,85 dias para serem atendidas.
B
A afirmação está correta, pois as chamadas demoram 0,85 dias para serem atendidas.
C
A afirmação está incorreta, pois as chamadas demoram 0,68 dias para serem atendidas.
D
A afirmação está correta, pois as chamadas demoram 1,23 dias para serem atendidas.
E
A afirmação está correta, pois as chamadas demoram 1,09 dias para serem atendidas.
A alternativa A está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.
Questão 2
A seção de cópias de uma empresa, aberta 40 horas por semana, dispõe de 2 copiadoras arrendadas pelo
valor total de R$12,00 cada por semana. Os clientes chegam a razão de 33/hora e o tempo médio de serviço é
de 3 minutos. O custo horário médio, para a empresa, do pessoal que realiza o serviço de cópias é de R$1,80/
hora, incluindo overheads. Será conveniente aumentar ao número de copiadoras arrendadas? E para que
número?
A
2 copiadoras com um custo de R\$2,50 por hora.
B
3 copiadoras com um custo de R\$3,60 por hora.
C
4 copiadoras com um custo de por hora.
D
5 copiadoras com um custo de R\$4,49 por hora.
E
6 copiadoras com um custo de por hora.
A alternativa C está correta.
Assista ao vídeo para conferir a resolução do exercício.
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Questão 3
Os clientes chegam a uma janela de drive-thru da farmácia de acordo com uma distribuição de Poisson com
uma média de 10 por hora. O tempo de atendimento por cliente é exponencial com média de 5 minutos.
Existem 3 vagas em frente ao guichê, incluindo a do carro a ser servido. Outros carros que chegam podem
esperar fora desses 3 espaços. A farmácia está interessada em saber quanto tempo os clientes ficam no
sistema?
A
10 minutos
B
20 minutos
C
30 minutos
D
40 minutos
E
50 minutos
A alternativa C está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.
Questão 4
Uma empresa possui 4 linhas telefônicas com taxa de chegada de uma ligação a cada dois minutos. A duração
média de uma chamada é de 4 minutos. Qual é a probabilidade de um cliente ser impedido de entrar no
sistema?
A
6,8%
B
7,3%
C
5,4%
D
8,2%
E
9,5%
A alternativa E está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.
Questão 5
A YDQS Materiais de Construção emprega atualmente um trabalhador cuja função é carregar tijolos em
caminhões de saída da empresa. Uma média de 24 caminhões por dia, ou 3 por hora, chegam à plataforma de
carregamento, de acordo com a distribuição de Poisson. O trabalhador carrega os tijolos a uma taxa de 4
caminhões por hora, seguindo aproximadamente a distribuição exponencial em seus tempos de serviço. A
YDQS acredita que adicionar um segundo carregador de tijolos melhorará substancialmente a produtividade
da empresa. A empresa estima que uma equipe de duas pessoas no portão de carregamento dobrará a taxa
de carregamento de 4 caminhões por hora para 8 caminhões por hora. Analise o efeito dessa mudança na fila
e compare os resultados com os obtidos com um trabalhador. Qualé a probabilidade de haver mais de 3
caminhões sendo carregados ou esperando com dois carregadores?
A
0,002
B
0,273
C
0,0141
D
0,053
E
0,375
A alternativa E está correta.
Assista ao vídeo para conferir a resolução do exercício.
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Questão 6
Observe o diagrama a seguir de um sistema M/M/2. Qual a probabilidade de o sistema estar vazio?
A
32%
B
38%
C
43%
D
47%
E
49%
A alternativa C está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.
Verificando o aprendizado
Questão 1
Há dois trabalhadores responsáveis por 10 fresadoras. As máquinas trabalham em média 20 minutos, então
requerem um período médio de serviço de 5 minutos, ambas as vezes distribuídas exponencialmente.
Determine o número de máquinas esperando serviço.
A
1,38 máquinas
B
1,61 máquinas
C
1,46 máquinas
D
2,14 máquinas
E
3,47 máquinas
A alternativa C está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.
Questão 2
Uma companhia de petróleo está considerando a expansão de sua única instalação de descarga em sua
refinaria. Devido a variações aleatórias no clima, atrasos no carregamento e outros fatores, os navios que vão
à refinaria para descarregar petróleo bruto chegam a uma taxa de 5 navios por semana. A taxa de serviço é de
10 navios por semana. Assuma que as chegadas sigam um processo de Poisson e o tempo de atendimento
seja exponencial. Encontre o tempo médio que um navio deve esperar antes de começar a entregar sua carga
à refinaria.
A
0,1 semanas
B
0,2 semanas
C
0,3 semanas
D
0,4 semanas
E
0,5 semanas
A alternativa A está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.
4. Filas com prioridades
Filas M/M/1 com prioridades: concepção e exemplos
Assista ao vídeo e compreenda o conceito e exemplos de fila M/M/1 com prioridades.
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Fila M/M/1 com prioridades
Assista ao vídeo e compreenda o conceito e exemplos de filas M/M/1 com prioridades e suas concepções.
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Embora o tipo de fila M/M/1 com prioridades seja extremamente complexo, é muito importante conhecê-lo.
Isso porque se trata de um modelo trabalhado em diversos locais como supermercados, aeroportos e bancos.
Você se deparará com essa situação na vida real e certamente terá de obter o equacionamento do problema.
Disciplinas de filas que atribuem atendimento prioritário a
alguns clientes são comuns em sistemas de atendimento. A
prioridade pode ser baseada em fatores como a classe do
cliente, o tipo de atendimento e até mesmo o tempo de
atendimento. 
Com o advento dos computadores, uma ampla variedade de
disciplinas prioritárias foi introduzida para melhorar o
desempenho do sistema. As disciplinas de menor tempo de
processamento e primeira data de vencimento são alguns
dos exemplos.
Uma vez que a análise da maioria das variantes envolve processos subjacentes muito mais complexos do que
aqueles que consideramos até o momento, não vamos aprofundá-los neste conteúdo. No entanto,
introduziremos o modelo simples de prioridade de duas classes sob a configuração M/M/1 e discutiremos as
questões fundamentais de sua análise.
Para começar, quando abordamos as filas prioritárias, devemos considerar os seguintes casos:
 
Há mais de uma classe de clientes com base em suas necessidades ou importância para o sistema.
Os clientes de uma classe têm maior prioridade de serviço do que os outros. Quando houver mais de
duas classes, podemos organizá-las em uma hierarquia de prioridades em relação ao atendimento.
A prioridade concedida a uma classe de clientes pode ser preemptiva ou não preemptiva. Se um cliente
tiver prioridade de preferência sobre outro, o cliente prioritário terá preferência pelo serviço do cliente
não prioritário. Se a prioridade for não preemptiva, o cliente prioritário entrará em serviço após a
conclusão do serviço em andamento no momento de sua chegada.
Quando é permitida a preempção de serviço, o serviço ao cliente preemptivo pode ser retomado após
o atendimento dos clientes prioritários, a partir do ponto em que houve preempção ou recomeçando do
início. Essas duas alternativas são conhecidas como disciplinas de retomada preventiva e repetição
preventiva, respectivamente. Para fins de análise, a disciplina de repetição preemptiva pode ainda ser
dividida em diferente e idêntica, dependendo do tempo de serviço selecionado na retomada do
• 
• 
• 
• 
serviço. Sob disciplina diferente de repetição preemptiva, a amostra de realização do serviço é
diferente daquela originalmente escolhida. Sob a disciplina idêntica de repetição preemptiva, a mesma
realização de amostra é usada.
Desde que a atribuição de prioridades não seja baseada no tempo de serviço e não haja preempção, o
número total de clientes no sistema prioritário tem a mesma distribuição que o número de clientes no
sistema sem prioridades. Assim, nesse caso, a disciplina de prioridade afeta apenas o tempo de espera
dos clientes que entram no sistema.
Considere uma fila M/M/1 com duas classes de prioridade. Permita que os clientes da classe 1 tenham maior
prioridade de atendimento em relação aos clientes da classe 2. Além disso, considere a chegada de Poisson e
as taxas exponenciais de atendimento dos clientes das duas classes, como segue:
Classe 1
Taxa de chegada λ1; taxa de serviço μ1.
Classe 2
Taxa de chegada λ2; taxa de serviço μ2.
Vamos assumir primeiro um sistema de prioridade não preemptiva com serviço fornecido por um único
servidor. Por causa da chegada de Poisson e da suposição de tempo de serviço exponencial, podemos usar
um modelo generalizado de processo de nascimento e morte para esse sistema. O espaço de estado do
processo de Markov subjacente deve ser representado com três componentes:
Número de clientes classe 1
Número de clientes classe 2
Classe de clientes em serviço
Seja a distribuição limite do espaço de estados para o processo. Quando
, por conveniência denotamos a probabilidade por . Em geral, os elementos do espaço de
estados são:
As seguintes equações de equilíbrio de estado determinam a distribuição limite do estado do processo 
• 
• 
• 
• 
Quando tivermos um processo pequeno, essas equações podem ser resolvidas numericamente. Antes de
embarcar em uma solução numérica, observe que o número de equações (consequentemente, o número de
incógnitas) pode se tornar muito grande mesmo com limites de capacidade baixos.
Se é o número permitido no sistema, o número de equações passa a ser . Assim, se 
, deve-se lidar com 111 equações. Sem passar pela análise, apresentamos as seguintes conclusões
que são úteis para entender o efeito da atribuição de prioridade nos clientes, bem como no sistema:
 
Quando as taxas de serviço das duas classes de clientes são diferentes, o número médio de clientes
de baixa prioridade em espera é maior, e o número médio de clientes de alta prioridade em espera é
menor do que as médias correspondentes para um sistema de duas classes sem prioridades.
Para o sistema de filas, um esquema de prioridade é útil apenas se a taxa de atendimento dos clientes
de maior prioridade for maior que a taxa de atendimento dos clientes de menor prioridade.
Se a redução do tempo de espera dos clientes no sistema for um critério de projeto, estendendo a
conclusão de 2 acima, podemos inferir que o esquema de prioridade conhecido como disciplina de
menor tempo de processamento é ótimo. Nessa disciplina de fila, o cliente com o menor tempo de
atendimento tem a maior prioridade.
• 
• 
• 
Devido à natureza não preemptiva da disciplina de prioridade, o tempo médio de espera do cliente de
alta prioridade será maior do que o tempo médio de espera sob uma prioridade preemptiva. Essa
diferença é igual ao tempo médio de atendimento do cliente de baixa prioridade condicionado à
chegada do cliente dealta prioridade quando não há clientes de alta prioridade no sistema.
Isso pode ser obtido como:
Exemplo de fila M/M/1 com prioridades
Confira no vídeo os exemplos de aplicação do tipo de filas M/M/1 com prioridades.
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Acesse a versão digital para assistir ao vídeo.
Uma central de atendimento é configurada basicamente para prestar um tipo de serviço, que identificamos
como classe 1. No entanto, para garantir que o pessoal de atendimento fique o mais ocupado possível, a
central aceita outro tipo de serviço, denominado classe 2, em uma base de baixa prioridade. A qualquer
momento, apenas dois clientes podem estar presentes no sistema. Sejam e as taxas de chegada de
Poisson dessas duas classes de clientes e e suas taxas de atendimento assumindo que os tempos de
atendimento são exponenciais. Vamos determinar a distribuição limite do número de clientes no sistema sob
as disciplinas de prioridade não preemptiva e preemptiva.
Prioridade não preemptiva
Segundo esta disciplina, uma vez que um cliente não prioritário inicia o serviço, ele é executado até a
conclusão, mesmo que um cliente prioritário chegue nesse meio tempo. Os estados que representam o
número de clientes no sistema e a classe de cliente em atendimento são , 112). As
equações de equilíbrio do estado são as seguintes 
• 
Eq. 1
Eq. 2
Eq. 3
Substituindo de (3) e (6) em (1):
Mas de (1):
Resolvendo para p101 e p012:
Eq. 4
Eq. 5
Eq. 6
Eq. 7
Eq. 8
Eq. 9
Eq. 10
Substituindo esses valores em (4) – (7), obtemos (11):
Agora, é obtido da condição de normalização :
Resumindo, temos (12):
Eq. 12
Para comparar as duas disciplinas, considere λ1 = 3/hora, λ2 = 2/hora, e os tempos médios de atendimento
sejam de 30 minutos cada (μ1 = μ2 = 2/hora). Obtemos, então, os seguintes resultados:
Prioridade preemptiva
Devido à natureza preemptiva da disciplina, ainda assumimos que, quando há dois clientes classe 2 no
sistema e um deles está em serviço, um cliente classe 1 chegando substituirá o cliente em serviço. Isso
significa que um cliente classe 2 será removido. Os estados que representam o número de clientes no sistema
são . As equações de equilíbrio do estado são dadas abaixo :
Esse é um exemplo no qual a ajuda de um computador na resolução das equações simultâneas provavelmente
funcionará melhor. Veja agora a técnica de eliminação padrão para a solução. Por conveniência para facilitar
os cálculos, escrevemos:
A penúltima equação nos permite escrever:
Eliminando p02 do conjunto de equações, obtemos:
Escrevemos e . Eliminando de (4) e (5):
Eliminando p01 de (1) e (7), temos:
Eq. 1
Eq. 2
Eq. 3
Eq. 4
Eq. 5
Eq. 6
Eq. 7
Eq. 8
Eliminando p20 de (3) e (8), temos:
E obtemos:
Usando em (2), obtemos:
Substituindo os valores de p10 e p20 em (7), temos:
Substituindo em (5):
Finalmente, voltando para (1), obtemos:
Usando os resultados de (9) – (13) na condição de normalização ∑pij = 1, obtemos:
Com os valores numéricos usados no caso não preemptivo, alcançamos os seguintes resultados:2
Eq. 9
Eq. 10
Eq. 11
Eq. 12
Eq. 13
Eq. 14
Por fim, temos:
Obviamente, essa solução será obtida mais facilmente com suporte computacional.
Verificando o aprendizado
Questão 1
Uma fila de prioridade é um tipo de fila que organiza os elementos com base em seus valores de prioridade.
Elementos com valores de prioridade mais altos normalmente são recuperados antes dos elementos com
valores de prioridade mais baixos. Qual das opções a seguir não é uma vantagem de uma fila de prioridade?
A
Fácil de implementar.
B
Processos com prioridade diferente podem ser tratados de forma eficiente.
C
Aplicações com requisitos diferentes.
D
Fácil de excluir elementos em qualquer caso.
E
Não precisa de auxílio computacional.
A alternativa D está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.
Questão 2
Suponha um processo de teleprocessamento no qual temos 20 classes de prioridades. Para modelar esse
processo, precisaremos de quantas equações de estabilidade?
A
421
B
41
C
161
D
281
E
324
A alternativa A está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.
5. Conclusão
Considerações finais
Neste conteúdo, aprendemos que uma situação de fila é basicamente caracterizada por um fluxo de clientes
chegando a uma instalação de atendimento. Ao chegar à instalação, o cliente pode ser atendido
imediatamente por um servidor ou, se todos os servidores estiverem ocupados, pode ter de esperar em uma
fila até que um servidor esteja disponível. O cliente deixará o sistema após a conclusão do serviço. As
situações de filas estão presentes em nosso cotidiano, nas áreas de telecomunicações, transporte, logística,
finança, serviços de emergência, informática, engenharia industrial e gerenciamento de projetos.
Compreendemos que o padrão de chegada dos clientes e o tempo de atendimento alocado para cada cliente
só podem ser especificados probabilisticamente. Essas instalações de serviço são difíceis de programar “de
forma otimizada” devido à presença de elementos aleatórios na chegada e nos padrões de serviço.
Percebemos a existência de suporte de uma teoria matemática que fornece meios para analisar essas
situações. Isso é conhecido como teoria das filas (teoria da fila de espera, teoria do congestionamento, teoria
do sistema de serviço estocástico), que analisa as características operacionais de uma situação de fila com o
uso da teoria da probabilidade. Por fim, vimos que a teoria das filas se aplica não apenas no dia a dia, mas
também na sequência de programação de computadores, redes, área médica, setores bancários etc.
Explore +
Entenda mais sobre os modelos de filas lendo o artigo científico A teoria das filas aplicada aos serviços
bancários, de Luiz Ricardo Amidani.
Referências
MARCHAL, W. G. An approximation formula for waiting times in single-server queues. AIIE Transactions, 8: 473,
1976.
 
MEDHI, J. Stochastic Models in Queueing Theory. Amsterdam: Academic Press, 2003.
 
RAVINDRAN, A.; PHILLIPS, D. T.; Solberg, J. Operations Research: Principles and Practice. [s.l.]: John Wiely &
Sons, 1991.
 
ROSS, S. M. Introduction to Probability Models. Academic Press. San Diego: Eleventh edition, 2014.
 
WHITT, W. The queueing network analyzer. Bell System Technical Journal, v. 62, n. 9, 1983
	Modelos de filas
	1. Itens iniciais
	Propósito
	Preparação
	Objetivos
	Introdução
	Conteúdo interativo
	1. Exemplos de filas
	Reconhecendo modelos de filas
	Conteúdo interativo
	Exemplos de modelos de filas
	Markoviano ou sem memória (M)
	Distribuição degenerada (D)
	Distribuição Erlang
	Distribuição geral (G)
	Exemplo 1
	Processos de nascimento e morte
	Exemplo 2
	A fila M/M/1
	Exemplo 3
	A fila M/M/ꝏ
	Exemplo 4
	A fila M/M/s
	Exemplo 5
	A fila M/Er/1
	Exemplo 6
	Filas de servidor único multiclasse
	Exemplo 7
	Filas com novas tentativas
	Verificando o aprendizado
	2. Modelo de fila M/M/1
	As Filas M/M/1
	Conteúdo interativo
	Conceito de filas de servidor único
	Distribuição exponencial
	Distribuição de Poisson
	Sistema de filas M/M/1 (∞/FIFO)
	Fórmulas
	Exemplo
	Solução
	Exemplo
	Solução
	Exemplo
	Solução
	Sistema de filas M/Ek/1 (∞/FIFO)
	Fórmulas
	Exemplo
	Solução
	Teoria na prática
	Conteúdo interativo
	Mão na massa
	Conteúdo interativo
	Questão 6
	Verificando o aprendizado
	3. Modelo de fila M/M/s
	As filas M/M/s
	Conteúdo interativo
	Sistema de filas M/M/s
	Sistema de filas M/M/s
	Sistema de filas s*M/M/1
	Fórmulas
	Entrada
	Saída
	Exemplo
	Solução
	Exemplo
	Solução
	Exemplo
	Solução
	Outros modelos
	A fila finita M/M/1/K
	Fórmulas
	Exemplo
	O sistema de perda M/M/s/S
	Fórmulas
	Teoria na prática
	Conteúdo interativo
	Mão na massa
	Conteúdo interativo
	Conteúdo interativo
	Questão 6
	Verificando o aprendizado
	4. Filas com prioridades
	Filas M/M/1 com prioridades: concepção e exemplos
	Conteúdo interativo
	Fila M/M/1 com prioridades
	Conteúdo interativo
	Classe 1
	Classe 2
	Exemplo de fila M/M/1com prioridades
	Conteúdo interativo
	Prioridade não preemptiva
	Prioridade preemptiva
	Verificando o aprendizado
	5. Conclusão
	Considerações finais
	Explore +
	Referências