2012.2

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Universidade Federal de Pernambuco
Departamento de F´ısica
Exame Geral de Doutorado
Segundo semestre de 2012
Eletrodinaˆmica Cla´ssica
07/08/2012 – 09h a`s 12h
(Escolha treˆs dentre as quatro questo˜es)
Exame Geral de Doutorado
Eletrodinaˆmica Cla´ssica
1
Questa˜o 1: Eletrosta´tica
Uma linha de cargas muito longa e com densidade linear de cargas λ e´ colocada paralela ao
eixo de um cilindro, tambe´m muito longo e de raio b. A distaˆncia da linha ao eixo do cilindro
e´ R > b, conforme mostra a figura abaixo. O cilindro e´ mantido a um potencial fixo, de modo
que o potencial no infinito seja nulo. Determine:
a) (30%) a magnitude e a posic¸a˜o da(s) carga(s) imagem;
b) (30%) o potencial em todo o espac¸o. Determine a forma assinto´tica do potencial para
pontos muito distantes do cilindro;
c) (20%) a densidade superficial de cargas induzidas;
d) (20%) a forc¸a por unidade de comprimento sobre a linha de cargas.
b 
R 
λ 
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Eletrodinaˆmica Cla´ssica
2
Questa˜o 2: Magnetosta´tica
a) (40%) Mostre que o mo´dulo da induc¸a˜o magne´tica no eixo de um soleno´ide de compri-
mento L, raio a e n espiras compactas por unidade de comprimento, conduzindo uma
corrente I, e´ dada por
B = |Bz| = µ0nI
2
(cosθ1 + cosθ2)
com os aˆngulos θ1 e θ2 definidos na figura abaixo. A coordenada z e´ medida em relac¸a˜o
ao centro do soleno´ide.
 
 
 
 
 
 
z 
θ2 
θ1 
a 
L 
b) (20%) Partindo de ~∇ · ~B = 0, mostre que, para ρ� a,
Bρ(ρ, 0) ≈ −ρ
2
(
∂Bz
∂z
)
z=0, ρ=0
.
c) (40%) Mostre que para um soleno´ide longo (L� a) a induc¸a˜o magne´tica pro´xima ao eixo
(e ao centro do soleno´ide) possui uma pequena componente radial dada por
|Bρ| ≈ 24µ0nI a
2zρ
L4
onde a coordenada z e´ medida em relac¸a˜o ao centro do soleno´ide e a coordenada radial e´
ρ� a. Sugesta˜o: use o resultado do item (b).
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Eletrodinaˆmica Cla´ssica
3
Questa˜o 3: Problemas de contorno
Uma diferenc¸a de potencial V0 e´ aplicada a um capacitor de placas meta´licas paralelas se-
paradas por uma distaˆncia L. O capacitor e´ preenchido por um material de permissividade
ele´trica ε, exceto por uma pequena esfera oˆca de raio a � L, que se encontra distante das
placas. Despreze os efeitos de borda nas placas do capacitor.
a) (40%) Obtenha o potencial ele´trico em toda a regia˜o ocupada pelo diele´trico e no interior
da esfera oˆca.
b) (30%) Obtenha a densidade da carga de polarizac¸a˜o na superf´ıcie da esfera em func¸a˜o do
aˆngulo θ.
c) (30%) Mostre que o campo fora da esfera tem uma contribuic¸a˜o de campo uniforme
somada a` de um dipolo ele´trico.
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Questa˜o 4: Ondas eletromagne´ticas
Uma onda eletromagne´tica plana propagando em um meio 1, de permissividade ele´trica ε1,
incide perpendicularmente sobre um meio 2, de permissividade ele´trica ε2, conforme mostrado
na figura abaixo. Ambos os meios sa˜o na˜o magne´ticos, de modo que µ1 = µ2 = µ0.
 
 
 
 
 
���� �
��
� 
����� 
���� 
����� 
���� 
���� 
����� 
���� 
	
, �
 
	
, �� 
a) (20%) Partindo das equac¸o˜es de Maxwell, obtenha a equac¸a˜o de onda em um meio na˜o
magne´tico, de permissividade ele´trica ε e sem cargas livres. Mostre que a velocidade v de
propagac¸a˜o da onda e´ tal que c/v = n =
√
ε/ε0.
b) (40%) Use as condic¸o˜es de contorno adequadas e mostre que os coeficientes de transmissa˜o
e de reflexa˜o sa˜o
t =
Et
Ei
=
2
√
ε1√
ε2 +
√
ε1
; r =
Er
Ei
=
√
ε2 −√ε1√
ε2 +
√
ε1
c) (30%) Verifique a lei da conservac¸a˜o da energia mostrando que a poteˆncia da onda inci-
dente e´ igual a` poteˆncia da onda transmitida somada a` poteˆncia da onda refletida.
d) (10%) Suponha agora que a permissividade ele´trica do meio 2 seja complexa: ε2 = ε
′
2+iε
′′
2 ,
de modo que este meio seja absortivo. O ı´ndice de refrac¸a˜o do meio 2 tambe´m sera´
complexo: n˜ = n+ iκ. Obtenha n e κ em termos de ε
′
2 e ε
′′
2 .
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Formula´rio
Lei de Biot-Savart:
d ~B =
µ0i
4pi
d~`× ~r
r3
Operador gradiente em coordenadas cil´ındricas:
~∇f = zˆ ∂f
∂z
+
ρˆ
ρ
∂
∂ρ
(ρf) +
ϕˆ
ρ
∂f
∂ϕ
Expansa˜o de uma func¸a˜o em polinoˆmios de Legendre:
f(r, θ) =
∑
`
(
A`r
` +B`
1
r`+1
)
P`(cosθ)
Polinoˆmios de Legendre:
P0(θ) = 1
P1(θ) = cos θ
P2(θ) =
1
2
(
3 cos2 θ − 1)
P3(θ) =
1
2
(
5 cos3 θ − 3 cos θ)
Campo ele´trico de um dipolo:
~Ed =
1
4piε0
3(~p · ~r)~r − ~p(~r · ~r)
r5
Equac¸o˜es de Maxwell:
~∇× ~H = ∂
~D
∂t
~∇× ~E = −∂
~B
∂t
~∇ · ~B = 0
~∇ · ~D = ρ