tarefa07_TÓPICOS DE SISTEMAS LINEARES E MATRIZES

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO MARANHÃO
Universidade Federal do Maranhão
Tarefa 07
Wagner Bastos Ferreira
13 de fevereiro de 2025
1 Resolução dos Sistemas por Inversão de Matrizes
AX = B e em seguida calcularemos A−1 para obter X = A−1B.
adj(A).
Item (a): 
2x1 + 3x2 + x3 = 9,
x1 + 2x2 + 3x3 = 6,
3x1 + x2 + 2x3 = 8.
Passo 1 – Expressão Matricial:
Escrevemos o sistema na forma
AX = B,
onde
A =
2 3 1
1 2 3
3 1 2
 , X =
x1
x2
x3
 , B =
9
6
8
 .
Passo 2 – Cálculo da Inversa de A para o Sistema 3x3:
Primeiramente, verifique que det(A) ̸= 0. Calcularemos det(A) usando a Regra de Sarrus.
Cálculo do Determinante via Regra de Sarrus:
Dados
A =

2 3 1
1 2 3
3 1 2
 ,
1
estenda as duas primeiras colunas à direita:
2 3 1 2 3
1 2 3 1 2
3 1 2 3 1
Soma dos produtos das diagonais principais:
S1 = 8 + 27 + 1 = 36.
Soma dos produtos das diagonais secundárias:
S2 = 6 + 6 + 6 = 18.
Logo, o determinante é:
det(A) = S1 − S2 = 36− 18 = 18.
Cálculo da Matriz Adjugada de A:
Para obter A−1 usamos
A−1 =
1
det(A)
adj(A),
onde adj(A) é a transposta da matriz dos cofatores.
Calcule cada cofator Cij:
� C11: Exclua a primeira linha e coluna:∣∣∣∣∣2 3
1 2
∣∣∣∣∣ = 2 · 2− 3 · 1 = 4− 3 = 1.
Como i+ j = 1 + 1 = 2 (par), C11 = 1.
� C12: Exclua a primeira linha e a segunda coluna:∣∣∣∣∣1 3
3 2
∣∣∣∣∣ = 1 · 2− 3 · 3 = 2− 9 = −7.
Como i+ j = 1+2 = 3 (́ımpar), C12 = −(−7) = 7 (lembre-se do sinal alternado: −1i+j).
� C13: Exclua a primeira linha e a terceira coluna:∣∣∣∣∣1 2
3 1
∣∣∣∣∣ = 1 · 1− 2 · 3 = 1− 6 = −5.
i+ j = 1 + 3 = 4 (par), então C13 = −5.
� C21: Exclua a segunda linha e a primeira coluna:∣∣∣∣∣3 1
1 2
∣∣∣∣∣ = 3 · 2− 1 · 1 = 6− 1 = 5.
i+ j = 2 + 1 = 3 (́ımpar) então C21 = −5.
2
� C22: Exclua a segunda linha e a segunda coluna:∣∣∣∣∣2 1
3 2
∣∣∣∣∣ = 2 · 2− 1 · 3 = 4− 3 = 1.
i+ j = 2 + 2 = 4 (par), assim C22 = 1.
� C23: Exclua a segunda linha e a terceira coluna:∣∣∣∣∣2 3
3 1
∣∣∣∣∣ = 2 · 1− 3 · 3 = 2− 9 = −7.
i+ j = 2 + 3 = 5 (́ımpar), então C23 = 7.
� C31: Exclua a terceira linha e a primeira coluna:∣∣∣∣∣3 1
2 3
∣∣∣∣∣ = 3 · 3− 1 · 2 = 9− 2 = 7.
i+ j = 3 + 1 = 4 (par), assim C31 = 7.
� C32: Exclua a terceira linha e a segunda coluna:∣∣∣∣∣2 1
1 3
∣∣∣∣∣ = 2 · 3− 1 · 1 = 6− 1 = 5.
i+ j = 3 + 2 = 5 (́ımpar), então C32 = −5.
� C33: Exclua a terceira linha e a terceira coluna:∣∣∣∣∣2 3
1 2
∣∣∣∣∣ = 2 · 2− 3 · 1 = 4− 3 = 1.
i+ j = 3 + 3 = 6 (par), portanto C33 = 1.
A matriz dos cofatores é, então,
C =
 1 7 −5
−5 1 7
7 −5 1
 .
A adj(A) é a transposta de C:
adj(A) = CT =
 1 −5 7
7 1 −5
−5 7 1
 .
Assim, a inversa de A é:
A−1 =
1
det(A)
adj(A) =
1
18
 1 −5 7
7 1 −5
−5 7 1
 .
3
Passo 3 – Obtenção da Solução:
Multiplicando A−1 por B,
X = A−1B =
1
18
 1 −5 7
7 1 −5
−5 7 1

9
6
8
 .
Realizando a multiplicação:
x1 =
1
18
[
1 · 9− 5 · 6 + 7 · 8
]
=
1
18
[
9− 30 + 56
]
=
35
18
,
x2 =
1
18
[
7 · 9 + 1 · 6− 5 · 8
]
=
1
18
[
63 + 6− 40
]
=
29
18
,
x3 =
1
18
[
−5 · 9 + 7 · 6 + 1 · 8
]
=
1
18
[
−45 + 42 + 8
]
=
5
18
.
Solução do Item (a):
x1 =
35
18
, x2 =
29
18
, x3 =
5
18
.
Item (b):
Considere o sistema: 
2x1 + x2 + 5x3 + x4 = 5,
x1 + x2 − 3x3 − 4x4 = −1,
3x1 + 6x2 − 2x3 + x4 = 8,
2x1 + 2x2 + 2x3 − 3x4 = 2.
O método consiste em escrever o sistema na forma matricial
AX = B,
e encontrar a inversa A−1 aplicando o método de Gauss-Jordan (escalonamento) na matriz
aumentada [A | I]. Assim, teremos X = A−1B.
Passo 1 – Montagem da Matriz Aumentada
A matriz dos coeficientes e o vetor dos termos independentes são:
A =

2 1 5 1
1 1 −3 −4
3 6 −2 1
2 2 2 −3
 , B =

5
−1
8
2
 .
Montamos a matriz aumentada [A | I]:
2 1 5 1 1 0 0 0
1 1 −3 −4 0 1 0 0
3 6 −2 1 0 0 1 0
2 2 2 −3 0 0 0 1
 .
4
Dividimos a linha 1 por 2:
L1 →
1
2
L1 :

1 1
2
5
2
1
2
1
2
0 0 0
1 1 −3 −4 0 1 0 0
3 6 −2 1 0 0 1 0
2 2 2 −3 0 0 0 1
 .
Zerando os elementos abaixo do pivô (coluna 1):
� Para L2: L2 → L2 − L1.
L2 : [0, 1
2
, −11
2
, −9
2
| − 1
2
, 1, 0, 0].
� Para L3: L3 → L3 − 3L1.
L3 : [0, 9
2
, −19
2
, −1
2
| − 3
2
, 0, 1, 0].
� Para L4: L4 → L4 − 2L1.
L4 : [0, 1, −3, −4 | − 1, 0, 0, 1].
A matriz passa a ser: 
1 1
2
5
2
1
2
1
2
0 0 0
0 1
2
−11
2
−9
2
−1
2
1 0 0
0 9
2
−19
2
−1
2
−3
2
0 1 0
0 1 −3 −4 −1 0 0 1
 .
Multiplicamos L2 por 2:
L2 → 2L2 : [0, 1, −11, −9 | − 1, 2, 0, 0].
Agora a matriz é: 
1 1
2
5
2
1
2
1
2
0 0 0
0 1 −11 −9 −1 2 0 0
0 9
2
−19
2
−1
2
−3
2
0 1 0
0 1 −3 −4 −1 0 0 1
 .
� Atualize L1: L1 → L1 − 1
2
L2.
L1 : [1, 0, 8, 5 | 1, −1, 0, 0].
� Atualize L3: L3 → L3 − 9
2
L2.
L3 : [0, 0, 40, 40 | 3, −9, 1, 0].
� Atualize L4: L4 → L4 − L2.
L4 : [0, 0, 8, 5 | 0, −2, 0, 1].
5
A matriz torna-se: 
1 0 8 5 1 −1 0 0
0 1 −11 −9 −1 2 0 0
0 0 40 40 3 −9 1 0
0 0 8 5 0 −2 0 1
 .
Utilize L3 e divida-a por 40:
L3 →
1
40
L3 : [0, 0, 1, 1 | 3
40
, − 9
40
, 1
40
, 0].
Elimine os elementos da coluna 3 das outras linhas:
� Para L1: L1 → L1 − 8L3.
L1 : [1, 0, 0, 5− 8, | 1− 8 · 3
40
, −1− 8 ·
(
− 9
40
)
, 0− 8 · 1
40
, 0].
Calculando:
5− 8 = −3,
1− 24
40
=
16
40
=
2
5
,
−1 +
72
40
=
32
40
=
4
5
,
0− 8
40
= −1
5
.
Assim, L1 torna-se:
[1, 0, 0, −3 | 2
5
, 4
5
, −1
5
, 0].
� Para L2: L2 → L2 + 11L3.
L2 : [0, 1, 0, −9 + 11 | − 1 + 11 · 3
40
, 2 + 11 ·
(
− 9
40
)
, 0 + 11 · 1
40
, 0].
Calculando:
−9 + 11 = 2,
−1 +
33
40
= − 7
40
,
2− 99
40
= −19
40
,
0 +
11
40
=
11
40
.
Assim, L2 passa a ser:
[0, 1, 0, 2 | − 7
40
, −19
40
, 11
40
, 0].
� Para L4: L4 → L4 − 8L3.
L4 : [0, 0, 0, 5− 8 | 0− 8 · 3
40
, −2− 8 ·
(
− 9
40
)
, 0− 8 · 1
40
, 1].
6
Calculando:
5− 8 = −3,
0− 24
40
= −3
5
,
−2 +
72
40
= −2 +
9
5
= −10
5
+
9
5
= −1
5
,
0− 8
40
= −1
5
.
Assim, L4 torna-se:
[0, 0, 0, −3 | − 3
5
, −1
5
, −1
5
, 1].
Utilize L4 e torne seu elemento (4,4) igual a 1, dividindo L4 por −3:
L4 → −1
3
L4 : [0, 0, 0, 1 | 1
5
, 1
15
, 1
15
, −1
3
].
Elimine os elementos da coluna 4 das outras linhas:
� Para L1: L1 tem −3 na coluna 4.
L1 → L1 + 3L4.
Cálculos:
2
5
+ 3 · 1
5
= 2
5
+ 3
5
= 1,
4
5
+ 3 · 1
15
= 4
5
+ 1
5
= 1,
−1
5
+ 3 · 1
15
= −1
5
+ 1
5
= 0,
0 + 3 ·
(
−1
3
)
= −1.
Assim, L1 passa a ser:
[1, 0, 0, 0 | 1, 1, 0, −1].
� Para L2: L2 tem 2 na coluna 4.
L2 → L2 − 2L4.
Cálculos:
− 7
40
− 2 · 1
5
= − 7
40
− 16
40
= −23
40
,
−19
40
− 2 · 1
15
= −19
40
− 8
40
= −27
40
,
11
40
− 2 · 1
15
= 11
40
− 8
40
= 3
40
,
0− 2 ·
(
−1
3
)
= 2
3
.
Assim, L2 torna-se:
[0, 1, 0, 0 | − 23
40
, −27
40
, 3
40
, 2
3
].
7
� Para L3: L3 tem 1 na coluna 4.
L3 → L3 − L4.
Cálculos:
3
40
− 1
5
= 3
40
− 8
40
= − 5
40
= −1
8
,
− 9
40
− 1
15
= − 9
40
− 8
120
= − 27
120
− 8
120
= − 35
120
= − 7
24
,
1
40
− 1
15
= 1
40
− 8
120
= 3
120
− 8
120
= − 5
120
= − 1
24
,
0−
(
−1
3
)
= 1
3
.
Assim, L3 passa a ser:
[0, 0, 1, 0 | − 1
8
, − 7
24
, − 1
24
, 1
3
].
Agora, a matriz à direita é a inversa de A:
A−1 =

1 1 0 −1
−23
40
−27
40
3
40
2
3
−1
8
− 7
24
− 1
24
1
3
1
5
1
15
1
15
−1
3
 .
A solução do sistema é dada por:
X = A−1B.
SoluçãoA−1B:
x1 = 2, x2 =
1
5
, x3 = 0, x4 =
4
5
.
2 Resolução dos Sistemas por Triangulação de Gauss
Item (a)
Considere o sistema: 
2x1 + 3x2 + x3 = 9,
x1 + 2x2 + 3x3 = 6,
3x1 + x2 + 2x3 = 8.
L1 : x1 + 2x2 + 3x3 = 6,
L2 : 2x1 + 3x2 + x3 = 9,
L3 : 3x1 + x2 + 2x3 = 8.
Passo 2 – Eliminação de x1:
Eliminação em L2:
Multiplique L1 por 2 e subtraia de L2:
L2 − 2L1 : [2x1 + 3x2 + x3]− 2[x1 + 2x2 + 3x3] = 9− 2 · 6.
Calculando:
2x1 + 3x2 + x3 − 2x1 − 4x2 − 6x3 = −x2 − 5x3,
lado direito: 9− 12 = −3.
8
Assim, obtemos:
L′
2 : −x2 − 5x3 = −3.
Multiplicando por −1:
L′′
2 : x2 + 5x3 = 3.
Eliminação em L3:
Multiplique L1 por 3 e subtraia de L3:
L3 − 3L1 : [3x1 + x2 + 2x3]− 3[x1 + 2x2 + 3x3] = 8− 3 · 6.
Calculando:
3x1 + x2 +2x3 − 3x1 − 6x2 − 9x3 = −5x2 − 7x3,
lado direito: 8− 18 = −10.
Obtemos:
L′
3 : −5x2 − 7x3 = −10.
Multiplicando por −1:
L′′
3 : 5x2 + 7x3 = 10.
Agora temos o sistema:
L1 : x1 + 2x2 + 3x3 = 6,
L′′
2 : x2 + 5x3 = 3,
L′′
3 : 5x2 + 7x3 = 10.
Elimine x2 de L′′
3 utilizando L′′
2. Multiplique L′′
2 por 5:
5x2 + 25x3 = 15.
Subtraia L′′
3 desta equação:
(5x2 + 25x3)− (5x2 + 7x3) = 15− 10,
18x3 = 5 =⇒ x3 =
5
18
.
Substitua x3 =
5
18
em L′′
2:
x2 + 5
(
5
18
)
= 3 =⇒ x2 +
25
18
= 3.
multiplique 3·18
18
= 54
18
:
x2 =
54
18
− 25
18
=
29
18
.
Agora, substitua x2 e x3 em L1:
x1 + 2
(
29
18
)
+ 3
(
5
18
)
= 6.
Calcule:
2
(
29
18
)
=
58
18
, 3
(
5
18
)
=
15
18
,
x1 +
58 + 15
18
= 6 =⇒ x1 +
73
18
= 6.
Escreva 6 como 108
18
:
x1 =
108
18
− 73
18
=
35
18
.
Solução do Item (a):
x1 =
35
18
, x2 =
29
18
, x3 =
5
18
.
9
(b)
Considere o sistema: 
2x1 + x2 + 5x3 + x4 = 5,
x1 + x2 − 3x3 − 4x4 = −1,
3x1 + 6x2 − 2x3 + x4 = 8,
2x1 + 2x2 + 2x3 − 3x4 = 2.
L1 : x1 + x2 − 3x3 − 4x4 = −1,
L2 : 2x1 + x2 + 5x3 + x4 = 5,
L3 : 3x1 + 6x2 − 2x3 + x4 = 8,
L4 : 2x1 + 2x2 + 2x3 − 3x4 = 2.
Eliminação de x1:
Em L2:
Multiplique L1 por 2 e subtraia de L2:
L2 − 2L1 :
[2x1 + x2 + 5x3 + x4]− 2[x1 + x2 − 3x3 − 4x4] = −x2 + 11x3 + 9x4.
Lado direito: 5− 2(−1) = 7. Assim,
L′
2 : −x2 + 11x3 + 9x4 = 7.
Em L3:
Multiplique L1 por 3 e subtraia de L3:
L3 − 3L1 :
[3x1 + 6x2 − 2x3 + x4]− 3[x1 + x2 − 3x3 − 4x4] = 3x2 + 7x3 + 13x4.
Lado direito: 8− 3(−1) = 11. Assim,
L′
3 : 3x2 + 7x3 + 13x4 = 11.
Em L4:
Multiplique L1 por 2 e subtraia de L4:
L4 − 2L1 :
[2x1 + 2x2 + 2x3 − 3x4]− 2[x1 + x2 − 3x3 − 4x4] = 8x3 + 5x4.
Lado direito: 2− 2(−1) = 4. Assim,
L′
4 : 8x3 + 5x4 = 4.
O sistema agora fica:
L1 : x1 + x2 − 3x3 − 4x4 = −1,
L′
2 : −x2 + 11x3 + 9x4 = 7,
L′
3 : 3x2 + 7x3 + 13x4 = 11,
L′
4 : 8x3 + 5x4 = 4.
Eliminação de x2:
Primeiro, multiplique L′
2 por −1:
L′′
2 : x2 − 11x3 − 9x4 = −7.
10
Agora, elimine x2 de L′
3 subtraindo 3L′′
2:
L′
3 − 3L′′
2 :
[3x2+7x3+13x4]−3[x2−11x3−9x4] = (3x2−3x2)+(7x3+33x3)+(13x4+27x4) = 40x3+40x4.
Lado direito: 11− 3(−7) = 11 + 21 = 32. Assim,
40x3 + 40x4 = 32 =⇒ 5x3 + 5x4 = 4,
ou seja,
L′′′
3 : x3 + x4 =
4
5
.
O sistema agora é:
L1 : x1 + x2 − 3x3 − 4x4 = −1,
L′′
2 : x2 − 11x3 − 9x4 = −7,
L′′′
3 : x3 + x4 = 4
5
,
L′
4 : 8x3 + 5x4 = 4.
Eliminação de x3:
Da equação L′′′
3 , isole x3:
x3 =
4
5
− x4.
Substitua esta expressão em L′
4:
8
(
4
5
− x4
)
+ 5x4 = 4.
Calcule:
32
5
− 8x4 + 5x4 = 4 =⇒ 32
5
− 3x4 = 4.
Isolando x4:
−3x4 = 4− 32
5
=
20− 32
5
= −12
5
=⇒ x4 =
4
5
.
Então,
x3 =
4
5
− 4
5
= 0.
Substituição Retroativa:
Substitua x3 = 0 e x4 =
4
5
em L′′
2:
x2 − 11(0)− 9
(
4
5
)
= −7 =⇒ x2 −
36
5
= −7.
Escreva −7 como −35
5
:
x2 = −35
5
+
36
5
=
1
5
.
Finalmente, substitua x2 =
1
5
, x3 = 0 e x4 =
4
5
em L1:
x1 +
1
5
− 3(0)− 4
(
4
5
)
= −1.
Calcule:
x1 +
1
5
− 16
5
= −1 =⇒ x1 −
15
5
= −1,
x1 − 3 = −1 =⇒ x1 = 2.
Solução de (b):
x1 = 2, x2 =
1
5
, x3 = 0, x4 =
4
5
.
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