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Construções Geométricas II
Apresentação
Nesta Unidade de Aprendizagem daremos continuidade ao trabalho com as construções 
geométricas. Esse conhecimento será útil para a elaboração de desenhos técnicos feitos de modos 
tradicionais ou em meio computacional. Nosso tema será quadriláteros. 
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Nomear os quadriláteros.•
Identificar as características dos diferentes quadriláteros.•
Combinar diferentes entidades para construir uma forma geométrica complexa.•
Desafio
Os quadriláteros estão presentes em quase todos os objetos que utilizamos. Mesmo tendo suas 
arestas arredondadas para prevenir acidentes, podemos identificar que nossas mesas, cadernos, 
telefones, telas, televisões, notebooks e cartões de crédito podem ser representados por 
quadriláteros. Esses objetos não são construídos aleatoriamente e muitos têm proporções entre 
seus lados. Escolha um desses quadriláteros, meça e desenhe. Após, busque encontrar 
geometricamente a proporção entre os lados.
Infográfico
Acompanhe no infográfico as construções geométricas de quadriláteros, conteúdo abordado nesta 
Unidade de Aprendizagem.
 
 
Conteúdo do livro
Denomina-se quadrilátero um polígono, que é uma figura geométrica plana e fechada constituída 
por segmentos de reta, de quatro lados em que a soma de seus ângulos internos é igual a 360°. Os 
quadriláteros são utilizados em várias situações práticas, e por isso, conhecer suas características, 
os diferentes tipos bem como a construção de uma forma geométrica é fundamental. Cada 
quadrilátero possui suas peculiaridades, alguns também têm semelhanças entre si, portanto, nesta 
obra, estudaremos em detalhes este tipo de polígono.
No capítulo Construções Geométricas II, você aprofundará os conhecimentos a respeito da 
geometria plana. Conhecerá novos conceitos muito importantes da geometria e da matemática que 
são fundamentais para outras áreas do conhecimento. Além disso, perceberá como o conteúdo em 
estudo está presente em diferentes situações problema. Serão fornecidos exemplos, ilustrações e 
aplicações envolvendo as definições e conceitos da geometria plana.
DESENHO TÉCNICO
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
 > Nomear os quadriláteros.
 > Identificar as características dos diferentes quadriláteros.
 > Combinar diferentes entidades para construir uma forma geométrica 
complexa.
Introdução
Um quadrilátero é uma figura plana que tem quatro pontos ou lados retos, 
com quatro ângulos e quatro lados. Como exemplo, podemos pensar em um 
quadrado. Cada tipo de quadrilátero possui suas características e fórmulas 
de cálculo específicas para encontrar determinadas medidas de interesse. 
Por serem polígonos, os quadriláteros herdam todas as características e pro-
priedades dos polígonos, como o fato de possuírem somente duas diagonais 
e a soma dos ângulos internos ser sempre igual a 360°. Cabe ressaltar que as 
características e propriedades específicas dos quadriláteros estão relacionadas 
aos seus lados, ângulos e diagonais.
Neste capítulo, você vai conhecer os quadriláteros e suas formas, bem como 
as definições e características de cada um. Por fim, verá como construir uma 
forma geométrica por meio de situações-problema.
Construções 
geométricas II
Cristiane da Silva
Quadriláteros
Omar Khayyam (1048–1131), matemático persa conhecido como fabricante 
de tendas, dedicou-se ao estudo da álgebra, incluindo equações de terceiro 
grau. Para equações de segundo grau, ele fornecia soluções aritméticas e 
geométricas. Já para as equações cúbicas, Khayyam acreditava que as solu-
ções aritméticas eram impossíveis, fornecendo, portanto, apenas soluções 
geométricas (Figura 1). Embora esta última ideia tenha sido desconstruída 
mais tarde, provando sua falsidade, Omar fez contribuições relevantes à sua 
época e importantes até os dias de hoje (BOYER; MERZBACH, 2012).
Figura 1. Página de um manuscrito de Khayyam, atualmente mantido na Universidade de 
Teerã, Irã.
Fonte: Omar... ([201-?], documento on-line).
As antigas soluções geométricas gregas das equações cúbicas consideravam 
os coeficientes como segmentos de retas, enquanto Omar Khayyam considerava 
números específicos. Uma das suas contribuições mais promissoras foi o esforço 
em aproximar a álgebra numérica e a geométrica, o que se consolidou muito 
Construções geométricas II2
mais tarde, com o filósofo e matemático francês René Descartes (1596–1650). 
No entanto, Khayyam avançava nessa direção quando escreveu: 
Quem quer que imagine que a álgebra é um artif ício para achar quantidades 
desconhecidas pensou em vão. Não se deve dar atenção ao fato de a álgebra e a 
geometria serem diferentes na aparência. As álgebras são fatos geométricos que 
são demonstrados (BOYER; MERZBACH, 2012, p. 173).
Khayyam também investigava o postulado paralelo de Euclides. Sua con-
tribuição foi relativa à ideia de um quadrilátero com dois lados congruentes 
perpendiculares à base. Ele tinha interesse em saber como seriam os ângulos 
superiores do quadrilátero, que são necessariamente iguais um ao outro 
(congruentes). Sua pergunta sobre o quadrilátero tornou-se a forma-padrão 
de discutir o postulado paralelo (BOYER; MERZBACH, 2012).
Para saber mais sobre a história da geometria e das representações 
geométricas antes e depois de Euclides, consulte o livro A janela 
de Euclides: a história da geometria, das linhas paralelas ao hiperespaço, 
de Leonard Mlodinow (2004).
Nesse contexto, é importante explicar que os quadriláteros são polígonos 
(figuras matemáticas fechadas formadas por segmentos de retas) que apre-
sentam quatro lados e possuem duas diagonais. Além disso, a soma dos seus 
ângulos internos é sempre igual a 360°, o que significa que não existem pontos 
de um quadrilátero fora do plano (no espaço). Os segmentos de reta que os 
formam se encontram nas suas extremidades e, por isso, são denominadas 
figuras fechadas. Observe na Figura 2 a representação de alguns quadriláteros.
Figura 2. Exemplos de quadriláteros.
Construções geométricas II 3
Como mostra a Figura 3, um quadrilátero é formado por lados, que são 
os segmentos de reta que formam o contorno do polígono, por vértices, 
que são os pontos de encontro dos segmentos de reta, por quatro ângulos 
internos somando 360° e por diagonais, que são duas e ligam dois vértices 
não consecutivos.
Figura 3. Elementos de um quadrilátero.
Um quadrilátero pode ser côncavo ou convexo. Será denominado convexo 
se a reta que contiver um dos seus lados deixar todos os demais no mesmo 
semiplano; será côncavo se existir uma semirreta que contenha um dos lados 
e deixe parte dos demais lados em outro semiplano (Figura 4).
Figura 4. Quadriláteros: (a) convexo e (b) côncavo.
a b
Construções geométricas II4
A classificação dos quadriláteros se dá conforme a posição relativa entre 
seus lados. Aqueles que têm lados opostos paralelos são denominados para-
lelogramos, aqueles que possuem um par de lados opostos paralelos e outro 
não são denominados trapézios e a outra classe de quadriláteros envolve 
aqueles que não possuem paralelismo algum entre seus lados (CASTANHEIRA; 
LEITE, 2014).
Nesta seção, você aprendeu que quadriláteros são polígonos com caracte-
rísticas especiais, dentre elas o fato de possuírem quatro lados. Além disso, 
eles existem em diferentes tipos e formas. Também vimos a representação 
de quadriláteros côncavo e convexo. Na próxima seção, aprofundaremos o 
estudo dos quadriláteros, detalhando sua classificação e identificando as 
características entre eles e sua representação geométrica. 
Características dos quadriláteros 
Vimos que os quadriláteros podem se dividir em figuras que possuem dois 
pares de lados paralelos, as quais denominamos paralelogramos, aquelas em 
que há somente um par de lados paralelos, denominadas trapézios, e aquelas 
figuras que não apresentam lados paralelos. Nesta seção, vamos conhecer 
as características de cada um desses tipos de quadriláteros.Os paralelogramos são quadriláteros cujos lados opostos são paralelos. 
Os ângulos opostos são congruentes, os lados opostos são congruentes e as 
diagonais se intersectam no ponto médio (Figura 5) (REIS, 2014).
Figura 5. Paralelogramos: (a) lados e ângulos opostos congruentes; (b) diagonais se inter-
ceptam no ponto médio.
Fonte: Reis (2014, p. 76).
a b
Construções geométricas II 5
O retângulo é um exemplo de paralelogramo cujos ângulos internos são 
congruentes. Além disso, tem suas diagonais congruentes. Pelo teorema de 
Pitágoras temos que, para um retângulo de lados a e b, a medida das diagonais 
é dada por d = √ 2 + 2 . 
O losango é o paralelogramo que apresenta todos os lados congruentes. 
Uma propriedade específica do losango é que suas diagonais são perpen-
diculares e bissetrizes (uma semirreta com origem no vértice de um ângulo, 
que divide esse ângulo em dois ângulos de mesma medida) de seus ângulos 
internos. 
O quadrado é losango e retângulo simultaneamente; por isso, tem todos os 
ângulos retos e todos os lados congruentes. Suas diagonais são congruentes, 
bissetrizes dos ângulos internos e perpendiculares entre si. É possível medir 
as diagonais de um quadrado de lado a pela seguinte equação (REIS, 2014): 
= √2 
Já o trapézio não é um paralelogramo, e, por isso, as propriedades dos 
paralelogramos não são válidas para ele. A principal característica do tra-
pézio é a presença de apenas um par de lados paralelos, e eles existem em 
três classes: os trapézios quaisquer (não são retângulos nem isósceles), 
os trapézios retângulos e os trapézios isósceles. Os lados paralelos de um 
trapézio são denominados bases. Observe, na Figura 6, a representação de 
um trapézio com bases e .
Figura 6. Trapézio.
Fonte: Reis (2014, p. 78).
Em todo trapézio ABCD, os ângulos internos que apresentam um dos lados 
não paralelos com o lado comum são suplementares, ou seja, Â + D̂ = Ĉ + B̂ = 180°. 
Sua classificação se dá conforme os seus lados não paralelos. O trapézio 
será isósceles se possuir os lados não paralelos congruentes — neste caso, 
Construções geométricas II6
os ângulos de uma mesma base são congruentes e as diagonais também 
são congruentes. Ele será escaleno se os lados não paralelos não forem 
congruentes. E o trapézio retângulo é aquele que possui um de seus lados 
não paralelos perpendiculares às bases (Figura 7) (REIS, 2014).
Figura 7. Trapézios: (a) isósceles; (b) escaleno; (c) retângulo.
Fonte: Reis (2014, p. 78).
a b
c
A Figura 8 mostra um trapézio qualquer em que os lados não paralelos não 
são congruentes e também não são perpendiculares às bases (CASTANHEIRA; 
LEITE, 2014).
Figura 8. Trapézio qualquer.
Fonte: Adaptada de Castanheira e Leite (2014).
Construções geométricas II 7
Agora vamos verificar as fórmulas que nos permitirão calcular a área dos 
quadriláteros estudados. A área do paralelogramo é definida como o produto 
da base pela altura. O mesmo vale para o retângulo, pois todo retângulo é 
também um paralelogramo. A área do quadrado corresponde ao quadrado 
do seu lado. Uma das maneiras de calcular a área do losango é multiplicar 
suas diagonais (diagonal maior multiplicada pela diagonal menor) e dividir o 
resultado obtido pela metade. A área do trapézio é calculada somando-se a 
base maior com a base menor, dividindo esta soma por dois e, por fim, mul-
tiplicando pela altura do trapézio (REIS, 2014). Na Figura 9, temos as fórmulas 
para realizar os cálculos de área.
Figura 9. Fórmulas para o cálculo de áreas dos diferentes quadriláteros: (a) área do paralelo-
gramo; (b) área do retângulo; (c) área do quadrado; (d) área do losango; (e) área do trapézio.
Fonte: Reis (2014, p. 162–169).
a b
c
e
d
Outro ponto interessante de ressaltar é que na geometria uma figura 
inscrita é entendida como aquela que se encaixa perfeitamente dentro de 
outra figura geométrica. Um quadrilátero está inscrito numa circunferência, 
Construções geométricas II8
por exemplo, quando todos os quatro vértices desse polígono de quatro lados 
tocam o seu segmento. Um quadrado inscrito, por exemplo, é um quadrilátero 
com lados e ângulos iguais cujos vértices pertencem a uma circunferência. 
Para ficar mais claro o conceito, vamos pensar em um quadrado inscrito em 
um quadrado, como mostra o exemplo a seguir.
Exemplo 1
Qual é a menor área de um quadrado inscrito em um quadrado de lado a? Para 
encontrar a resposta, devemos perceber que, ao inscrever um quadrado em 
um quadrado de lado a, criamos quatro triângulos retângulos congruentes, 
como mostra a Figura 10. 
Figura 10. Quadrado inscrito em um quadrado.
Fonte: Clubes de Matemática da OBMEP ([201-?], documento on-line).
Indicando por x a medida de um dos catetos, ao aplicarmos o teorema 
de Pitágoras em um dos triângulos retângulos, obtemos que o quadrado da 
medida do lado do quadrado inscrito (que coincide com sua área) será:
x2 + (a – x)2 = 2x2 – 2ax + a2
Note que a área do quadrado inscrito é função de x, A = A(x), assim:
A(x) = 2x2 – 2ax + a2
Construções geométricas II 9
Logo, para calcular a área mínima, basta lembrar de como calcular o valor 
mínimo de uma função quadrática. Então a área mínima será dada por:
−
(−2 )2 − 4 ∙ 2 ∙ 2
4 ∙ 2
=
2
2
 
Portanto, a área mínima de um quadrado inscrito em um quadrado de 
lados com comprimento a é:
=
2
2
 
Nesta seção, conhecemos as características de cada um dos quadriláteros: 
paralelogramo, retângulo, losango, quadrado e trapézio. Em relação ao último, 
vimos que a classificação se dá conforme os seus lados não paralelos, podendo 
ser isósceles, escaleno, retângulo ou ainda um trapézio qualquer. Conhece-
mos as fórmulas que são utilizadas para calcular a área dos quadriláteros 
estudados e, por fim, o conceito de figura e quadrado inscrito. Na próxima 
seção, por meio de exemplos detalhados, veremos como combinar diferentes 
entidades para construir uma forma geométrica complexa.
Construção de formas geométricas 
complexas
Agora que conhecemos as características e propriedades dos diferentes 
quadriláteros, vamos aplicar os conhecimentos em problemas envolvendo 
tais formas geométricas.
Exemplo 2
Imagine uma caixa de papelão que tenha 15 cm de comprimento, 7 cm de 
largura e 10 cm de altura, como mostra a Figura 11. Calcule a quantidade de 
papelão que foi utilizada para fazer essa caixa.
Construções geométricas II10
Figura 11. Representação da caixa de papelão.
Fonte: Adaptada de Castanheira e Leite (2014).
Solução
Note que, para calcularmos a quantidade de papelão gasta para fazer a caixa, 
será necessário calcular a área de um retângulo de 34 cm por 15 cm e soma-la 
com a área de um retângulo de 14 cm por 10 cm, como mostra a Figura 12.
Figura 12. Representação para a resolução.
Fonte: Adaptada de Castanheira e Leite (2014).
Assim:
A = 34 cm ∙ 15 cm + 14 cm ∙ 10 cm
A = 510 cm2 + 140 cm2 = 650 cm2
Construções geométricas II 11
Portanto, para fazer a caixa, foi gasta a quantidade de 650 cm2 de papelão.
Exemplo 3
Para fazer uma pipa na forma de losango, similar àquela mostrada na Figura 
13, Ana dispõe de duas varetas com as seguintes medidas: 70 cm e 50 cm. 
Qual é a quantidade de papel de seda que ela irá utilizar?
Figura 13. Representação da pipa que Ana deseja construir.
Fonte: Clker-Free-Vector-Images/Pixabay.com.
Solução
Para conhecer a quantidade de papel a ser utilizada por Ana, basta calcular 
a área do losango, que é dada pela metade do produto das diagonais do 
losango (a medida das varetas).
=
∙
2
 
=
70 cm ∙ 50 cm
2
 
= 1750 cm2 
Ou seja, Ana utilizará 1750 cm2 de papel de seda para cobrir sua pipa.
Construções geométricas II12
Exemplo 4
A área de uma sala em forma de retângulo é de exatos 9,1 m2. Nessas condi-
ções, se a medida de um dos lados da sala é de 325 cm (Figura 14), qual é a 
medida do outro lado?
Figura 14. Representação da sala.
Solução
Transformando a medida do lado conhecido em metros, teremos 325 cm ÷ 
100 = 3,25 m. A partir daí:
= ∙ ℎ 
9,1 = 3,25 ∙ ℎ 
ℎ =
9,1
3,25
 
ℎ =2,8 m = 280 cm 
Sendo assim, a medida do outro lado da sala é 2,8 m, ou 280 cm.
Exemplo 4
Uma rampa de skate foi projetada sobre o perfil de um trapézio de área total 
igual a 12 m2, altura de 3 m e base maior de 6 m (Figura 15). Tendo a rampa 
5 m de largura, qual é a área da parte superior da rampa?
Construções geométricas II 13
Figura 15. Representação da rampa de skate.
Fonte: Qconcursos.com (2021, documento on-line).
Solução
Para resolver este problema, começamos pelo cálculo da área do trapézio, 
que é dada por:
=
( + ) ℎ
2
 
12 =
(6 + ) 3
2
 
24 = 18 + 3 
24 − 18 = 3 
3 = 6 
= 2 m 
Agora, conhecendo a base menor do trapézio, é possível calcular a área 
da parte superior da rampa, que é um retângulo:
S = b ∙ h
S = 2 ∙ 5
S = 10 m2
Construções geométricas II14
Nesta seção, você acompanhou a aplicação de conhecimentos a respeito 
dos quadriláteros em problemas de ordem prática. Para isso, revisitou as 
formas geométricas retângulo, losango e trapézio estudadas nas seções ante-
riores, bem como constatou a aplicabilidade das fórmulas de cálculo de área. 
Referências
BOYER, C.; MERZBACH, U. C. História da matemática. São Paulo: Blucher, 2012.
CASTANHEIRA, N. P.; LEITE, Á. E. Geometria plana e trigonometria. Curitiba: InterSaberes, 
2014.
CLUBES DE MATEMÁTICA DA OBMEP. Problema: quadrado inscrito em quadrado. [S. l.: 
s. n., 201-?]. Disponível em: http://clubes.obmep.org.br/blog/problema-quadrado-
-inscrito-em-quadrado/. Acesso em: 23 jun. 2021.
MLODINOW, L. A janela de Euclides: a história da geometria, das linhas paralelas ao 
hiperespaço. São Paulo: Geração Editorial, 2004. 
OMAR KHAYYAM. In: BRITANNICA. [S. l.: s. n., 201-?]. Disponível em: https://www.britan-
nica.com/science/mathematics/Omar-Khayyam. Acesso em: 23 jun. 2021.
QCONCURSOS.COM. Questões de matemática: quadriláteros para concurso. [S. l.: s. n.], 
2021. Disponível em: https://www.qconcursos.com/questoes-de-concursos/disciplinas/
matematica-matematica/quadrilateros/questoes?page=3. Acesso em: 23 jun. 2021.
REIS, A. G. Geometrias plana e sólida: introdução e aplicações em agrimensura. Porto 
Alegre: Bookman, 2014.
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Construções geométricas II 15
Dica do professor
Veremos nesta Unidade de Aprendizagem as principais características dos quadriláteros. Mesmo 
quando utilizamos ferramentas e técnicas de CAD, o conhecimento das técnicas de desenho 
geométrico se mostra de grande valia. Assista ao vídeo a seguir e identifique algumas das principais 
construções geométricas.
Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar.
https://fast.player.liquidplatform.com/pApiv2/embed/cee29914fad5b594d8f5918df1e801fd/a4dafc20dc3655d55346f590a01d6856
Exercícios
1) Considerando os quadriláteros, o que é um trapézio? 
A) É um paralelogramo com dois lados paralelos.
B) É um paralelogramo com lados iguais e ângulos opostos iguais.
C) É um paralelogramo com lados opostos paralelos e iguais e ângulos iguais.
D) É um paralelogramo com lados opostos paralelos e iguais e ângulos opostos iguais.
E) É um paralelogramo sem lados paralelos.
2) Considerando um quadrilátero qualquer, podemos dizer que: 
A) É uma forma geométrica com quatro lados sem que nenhum seja paralelo.
B) É uma forma geométrica com quatro lados sem que nenhum seja paralelo; todos os ângulos 
diferem.
C) É uma forma geométrica com quatro lados sem que nenhum seja igual ao outro.
D) É uma forma geométrica com quatro lados, sendo que dois são paralelos.
E) É qualquer quadrilátero que se inscreva em uma circunferência.
3) Qual afirmação está correta? 
A) Dentro de um quadrado há dois triângulos retângulos.
B) Só é possível inserir triângulos retângulos em retângulos.
C) O trapézio escaleno é assim chamado por ter todos os lados paralelos.
D) O losango tem lados opostos iguais e paralelos.
E) O paralelogramo possui lados opostos paralelos e iguais.
4) O que é um quadrado inscrito? 
A) Quadrilátero com lados e ângulos iguais cujos vértices pertencem a uma circunferência.
B) Quadrilátero com lados e ângulos iguais cujos vértices não pertencem a uma circunferência.
C) Quadrilátero com lados e ângulos iguais cujos lados são tangentes a uma circunferência.
D) Quadrilátero com lados e ângulos iguais, sendo que um dos lados define o diâmetro da 
circunferência e passa pelo seu centro.
E) Quadrilátero com lados e ângulos iguais de mesma área de uma circunferência.
5) O que chamamos de paralelogramo? 
A) Todos os quadriláteros cujos lados opostos são paralelos e congruentes, e os ângulos opostos 
também são congruentes.
B) Apenas os quadrados cujos lados são paralelos e iguais e os ângulos opostos também são 
iguais.
C) Apenas os quadrados e retângulos cujos lados são paralelos e os ângulos opostos também são 
iguais.
D) Apenas quadrado, retângulo e losango, cujo lados são paralelos e os ângulos opostos são 
iguais.
E) Apenas o paralelogramo propriamente dito, pois é um erro comum usar o termo para outras 
formas semelhantes.
Na prática
Veja como um profissional conseguiu solucionar uma questão que parecia impossível de ser 
resolvida no primeiro momento.
Saiba +
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do professor:
Construções geométricas
Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar.
Construções geométricas
Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar.
https://pt.khanacademy.org/math/geometry-home/geometric-constructions
https://canal.cecierj.edu.br/012016/18eede3bbd190a6067bf195ffa355673.pdf